Discussion:
Sphärisches Pendel (Lagrange Funktion)
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Sven Bone
2008-11-25 22:51:56 UTC
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Hallo,

Ich habe aktuell ein Problem bei der Herleitung der Lagrange Funktion L
des sphärischen Pendels.

l = Länge Pendel (Stab)
m = Masse der Kugel am Pendel
theta = Winkel zwische Z und l
phi = Wikel zwischen X und l

Kugelkoordinaten des Pendels (Matrix)
--------------------------------------

l*sin(theta)cos(phi)
r(theta, phi) = l*sin(theta)sin(phi)
-l*cos(theta)

Herleitung Lagrange-Funktion:

kinetische Energie
-------------------

T = 1/2 * m * v^2 = 1/2 * ||r'||^2


theta'*l*cos(theta)cos(phi) - phi'*l*sin(theta)sin(phi)
r' = theta'*l*cos(theta)sin(phi) - phi'*l*sin(theta)cos(phi)
theta'*l*sin(theta)

Im Skript steht nun, für T folgt:

T = 1/2 m l^2 (theta'^2+(1-cos^2(theta))phi'^2)
= 1/2 m l^2 (theta'^2 + phi'^2 sin^2(theta)

Aber irgendwie komme ich beim besten willen nicht auf T.

Wenn ich meiner Ableitung r' weiter rechne komme ich auf folgende Lösung:

T = 1/2 m l^2 [theta'^2 - sin^2(theta)(sin^1(phi) - cos^2(phi))]

Habe ich evtl. bei der Ableitung von r einen Fehler gemacht? Oder fehlt
mir nur der letzte Umformungsschritt?

Danke für Eure Hilfe!

Viele Grüße
Sven
Dieter Heidorn
2008-11-26 16:01:19 UTC
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Post by Sven Bone
Ich habe aktuell ein Problem bei der Herleitung der Lagrange Funktion L
des sphärischen Pendels.
l = Länge Pendel (Stab)
m = Masse der Kugel am Pendel
theta = Winkel zwische Z und l
phi = Wikel zwischen X und l
Kugelkoordinaten des Pendels (Matrix)
--------------------------------------
l*sin(theta)cos(phi)
r(theta, phi) = l*sin(theta)sin(phi)
-l*cos(theta)
kinetische Energie
-------------------
T = 1/2 * m * v^2 = 1/2 * ||r'||^2
theta'*l*cos(theta)cos(phi) - phi'*l*sin(theta)sin(phi)
r' = theta'*l*cos(theta)sin(phi) - phi'*l*sin(theta)cos(phi)
theta'*l*sin(theta)
In der y-Komponente sollte es " + phi'*l*sin(theta)cos(phi)"
Post by Sven Bone
T = 1/2 m l^2 (theta'^2+(1-cos^2(theta))phi'^2)
= 1/2 m l^2 (theta'^2 + phi'^2 sin^2(theta)
Dieter Heidorn
Sven Bone
2008-11-26 22:50:37 UTC
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Danke! Da hat sich mal wieder ein Vorzeichenfehler eingeschlichen :-(
Jetzt komme ich auf die richtige Lösung!
Post by Dieter Heidorn
Post by Sven Bone
Ich habe aktuell ein Problem bei der Herleitung der Lagrange Funktion L
des sphärischen Pendels.
l = Länge Pendel (Stab)
m = Masse der Kugel am Pendel
theta = Winkel zwische Z und l
phi = Wikel zwischen X und l
Kugelkoordinaten des Pendels (Matrix)
--------------------------------------
l*sin(theta)cos(phi)
r(theta, phi) = l*sin(theta)sin(phi)
-l*cos(theta)
kinetische Energie
-------------------
T = 1/2 * m * v^2 = 1/2 * ||r'||^2
theta'*l*cos(theta)cos(phi) - phi'*l*sin(theta)sin(phi)
r' = theta'*l*cos(theta)sin(phi) - phi'*l*sin(theta)cos(phi)
theta'*l*sin(theta)
In der y-Komponente sollte es " + phi'*l*sin(theta)cos(phi)"
Post by Sven Bone
T = 1/2 m l^2 (theta'^2+(1-cos^2(theta))phi'^2)
= 1/2 m l^2 (theta'^2 + phi'^2 sin^2(theta)
Dieter Heidorn
Sven Bone
2008-11-27 21:48:05 UTC
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Noch eine andere Frage, die mir gerade so einfällt, obwohl ich es schon
lange angewendet habe.

Wieso wird aus

x = l*sin(theta)cos(phi)

dx/dtheta = theta' * l * cos(theta)cos(phi)

Wenn theta und phi doch nur Winkel sind, dann muss ich doch eigentlich
auch keine Kettenregel anwenden, oder?

Viele Grüße
Sven
Post by Dieter Heidorn
Post by Sven Bone
Ich habe aktuell ein Problem bei der Herleitung der Lagrange Funktion L
des sphärischen Pendels.
l = Länge Pendel (Stab)
m = Masse der Kugel am Pendel
theta = Winkel zwische Z und l
phi = Wikel zwischen X und l
Kugelkoordinaten des Pendels (Matrix)
--------------------------------------
l*sin(theta)cos(phi)
r(theta, phi) = l*sin(theta)sin(phi)
-l*cos(theta)
kinetische Energie
-------------------
T = 1/2 * m * v^2 = 1/2 * ||r'||^2
theta'*l*cos(theta)cos(phi) - phi'*l*sin(theta)sin(phi)
r' = theta'*l*cos(theta)sin(phi) - phi'*l*sin(theta)cos(phi)
theta'*l*sin(theta)
In der y-Komponente sollte es " + phi'*l*sin(theta)cos(phi)"
Post by Sven Bone
T = 1/2 m l^2 (theta'^2+(1-cos^2(theta))phi'^2)
= 1/2 m l^2 (theta'^2 + phi'^2 sin^2(theta)
Dieter Heidorn
Roland Franzius
2008-11-27 22:16:08 UTC
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Post by Sven Bone
Noch eine andere Frage, die mir gerade so einfällt, obwohl ich es schon
lange angewendet habe.
Wieso wird aus
x = l*sin(theta)cos(phi)
dx/dtheta = theta' * l * cos(theta)cos(phi)
Wenn theta und phi doch nur Winkel sind, dann muss ich doch eigentlich
auch keine Kettenregel anwenden, oder?
Das kommt davon, wenn man die Abbildungen und die betrachtete lineare
Approximation nicht aufschreibt. Wahrscheinlich ist in deinem Universum
theta'=1.
--
Roland Franzius
Theo Wollenleben
2008-11-27 22:24:00 UTC
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Post by Sven Bone
Noch eine andere Frage, die mir gerade so einfällt, obwohl ich es schon
lange angewendet habe.
Wieso wird aus
x = l*sin(theta)cos(phi)
dx/dtheta = theta' * l * cos(theta)cos(phi)
Wenn theta und phi doch nur Winkel sind, dann muss ich doch eigentlich
auch keine Kettenregel anwenden, oder?
Die Kettenregel lautet:

dx(theta(t),phi(t))/dt = (dx/dtheta)theta'(t) + (dx/dphi)phi'(t)

Nach theta und phi ist dabei partiell abzuleiten.

Hendrik van Hees
2008-11-26 22:59:33 UTC
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Post by Sven Bone
Hallo,
Ich habe aktuell ein Problem bei der Herleitung der Lagrange Funktion
L des sphärischen Pendels.
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mech/node47.html
--
Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universität Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
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