Verallgemeinerung von Prüfungsaufgabe zu Trapez

[Stephan Gerlach]

"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich wieder in
die Hände gefallen ist, folgende (verallgemeinerte) Aufgabe:

Voraussetzungen:
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.

Aufgabe:
Legt man eine Tangente irgendwo "unterhalb" der waagerechten Gerade y=h
an f, so entsteht zusammen mit der senkrechten Gerade x=s ein Trapez
(Skizze ist hilfreich).
Es gibt genau ein Trapez mit maximalem Flächeninhalt.
Wie groß ist dieser maximale Flächeninhalt?

Bemerkungen dazu:
Es gibt wohl (in der ursprünglichen Version der Aufgabe; dort war eine
spezielle Funktion f sowie spezielle Daten für h und s gegeben) einen
"normalen" Lösungsweg sowie einen geometrischen.
Der geometrische Lösungsweg ist nach einigem Nachdenken intuitiv
logisch; allerdings fehlte mir in der offiziellen Lösung eine
ordentliche Begründung dafür, warum dieser Lösungsweg funktioniert bzw.
warum nun die so erhaltene Lösung richtig ist.

[Marc Olschok]

Post by Stephan Gerlach
"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich wieder in
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.
Legt man eine Tangente irgendwo "unterhalb" der waagerechten Gerade y=h
an f, so entsteht zusammen mit der senkrechten Gerade x=s ein Trapez
(Skizze ist hilfreich).[...]

Wahrscheinlich bin ich einfach zu doof.
Ich bekomme aus den drei Geraden kein Trapez zusammen.
Welche Schnittpunkte der beteiligten Kurven sind denn zu verwenden?

[Alfred Flaßhaar]

Post by Stephan Gerlach
"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich wieder in
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.
Legt man eine Tangente irgendwo "unterhalb" der waagerechten Gerade y=h
an f, so entsteht zusammen mit der senkrechten Gerade x=s ein Trapez
(Skizze ist hilfreich).[...]

Die Aufgabe ohne Skizze habe ich so verstanden:

Zeichne im 1. Quadranten eine streng monotone konvexe Kurve f,

Parallele p1 zur x-Achse bei y=h,

Zeichne Senkrechte s in x=s,

Wähle Punkt A=(x;yA) auf f mit yA<h,

Kurventangente t in A,

Parallele p2 zur x-Achse in A

Schnitt von s mit p2 ist Punkt B, Schnitt mit p1 ist C,

Schnitt t mit p1 ist D,

Viereck ABCD ist ein Trapez. Soll dieses untersucht werden?

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach
"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich wieder in
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.
Legt man eine Tangente irgendwo "unterhalb" der waagerechten Gerade y=h
an f, so entsteht zusammen mit der senkrechten Gerade x=s ein Trapez
(Skizze ist hilfreich).[...]

Zeichne im 1. Quadranten eine streng monotone konvexe Kurve f,
Parallele p1 zur x-Achse bei y=h,
Zeichne Senkrechte s in x=s,
Wähle Punkt A=(x;yA) auf f mit yA<h,
Kurventangente t in A,
Parallele p2 zur x-Achse in A

Braucht man nicht.

Post by Alfred Flaßhaar
Schnitt von s mit p2 ist Punkt B, Schnitt mit p1 ist C,
Schnitt t mit p1 ist D,
Viereck ABCD ist ein Trapez. Soll dieses untersucht werden?

Nein. Die Punkte A und B liegen auf der x-Achse.
A ist der Schnittpunkt von t mit der x-Achse.

[Ralf Goertz]

Am Mon, 8 Feb 2021 00:21:22 -0000 (UTC)

Post by Marc Olschok

Post by Stephan Gerlach
"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich
wieder in die Hände gefallen ist, folgende (verallgemeinerte)
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.
Legt man eine Tangente irgendwo "unterhalb" der waagerechten Gerade
y=h an f, so entsteht zusammen mit der senkrechten Gerade x=s ein
Trapez (Skizze ist hilfreich).[...]

Wahrscheinlich bin ich einfach zu doof.
Ich bekomme aus den drei Geraden kein Trapez zusammen.
Welche Schnittpunkte der beteiligten Kurven sind denn zu verwenden?

Ich habe mir das so zusammengereimt, dass die Trapezpunkte folgende
sind: der Punkt mit der Tangente (x,f(x)), von da senkrecht nach oben
(x,h), nach links (s,h) und dann zum Schnittpunkt Tangente senkrechte
Gerade (s,f(x)+f'(x)*(s-x)).

Wenn ich mich nicht verrechnet habe (was eher unwahrscheinlich ist), ist
das Trapez bei sqrt(3*f(x)/f''(x))+s (unter der Annahme, dass f(x)
positiv ist) maximal. Habe allerdings nicht auf Maximalität geprüft und
auch den Flächeninhalt nicht ausgerechnet. Das Ganze hängt nicht von h
ab, was mir auch irgendwie plausibel erscheint, da der variable Anteil
des Trapezes ausschließlich aus dem rechtwinkligen Dreieck unterhalb des
Rechtecks besteht.

Für f(x)=x^2 käme somit x=s/(1-(sqrt(3/2)) heraus. Ein bisschen Sorgen
mache ich mir, ob ich genügend berücksichtigt habe, dass ein Teil des
Dreiecks unterhalb der x-Achse liegen kann. Für s=0 scheint das aber zu
passen, da dann ja die Tangente waagerecht ist und das Trapez zu einem
Punkt entartet.

[Stephan Gerlach]

Post by Marc Olschok

Post by Stephan Gerlach
"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich wieder in
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.
Legt man eine Tangente irgendwo "unterhalb" der waagerechten Gerade y=h
an f, so entsteht zusammen mit der senkrechten Gerade x=s ein Trapez
(Skizze ist hilfreich).[...]

Wahrscheinlich bin ich einfach zu doof.

Nein, ich habe Voraussetzungen vergessen anzugeben.

Post by Marc Olschok
Ich bekomme aus den drei Geraden kein Trapez zusammen.
Welche Schnittpunkte der beteiligten Kurven sind denn zu verwenden?

Ich habe die x-Achse vergessen, und f(x)>0.

Nochmal richtig, das Trapez sollte begrenzt werden von:
- Tangente
- x-Achse
- y=h
- x=s.

Man sollte (zur Vereinfachung) weiter voraussetzen, daß s "hinreichend
groß" ist, damit es tatsächlich ein "richtiges" Trapez ist und kein
überlappendes Trapez (die Tangente könnte y=h zu weit rechts schneiden,
für x>s, was man besser vermeiden sollte).


Bei der ursprünglichen Aufgabe war das aufgrund des Beispiels
automatisch alles gegeben.

[Ralf Goertz]

Am Mon, 08 Feb 2021 11:04:43 +0100

Post by Stephan Gerlach
Ich habe die x-Achse vergessen, und f(x)>0.
- Tangente
- x-Achse
- y=h
- x=s.

Okay, dann hatte ich wohl das falsche Trapez und bei diesem hier wird
der Maximalpunkt von h abhängen.

Zunächst der Schnittpunkt (x_h,h) der Tangente mit der Geraden h. Dafür
gilt:

h=f(x)+f'(x)(x_h-x), also x_h=x+(h-f(x))/f'(x).

Der Schittpunkt mit der x-Achse (x_0,0) entsprechend

0=f(x)+f'(x)(x_0-x), also x_0=x-f(x)/f'(x).

Der Flächeninhalt A des Trapezes ist

A=h/2 * ((x_h-s)+(x_0-s))
=h/2 * ((x+(h-f(x))/f'(x)-s)+(x-f(x)/f'(x)-s))

Lässt man den Faktor 1/2 und nach dem Ausmultiplizieren alle Summanden
weg, die nicht von x abhängen, bleibt

y=h*x+h²/f'(x)-h*f(x)/f'(x)+h*x-h*f(x)/f'(x)

Setze y'=0

0=2*h-h²*f''(x)/(f'(x))²-2*h*((f'(x))²-f(x)*f''(x))/(f'(x))²

Das kann man jetzt noch ein bisschen vereinfachen, aber ich sehe nicht,

Post by Stephan Gerlach
Man sollte (zur Vereinfachung) weiter voraussetzen, daß s "hinreichend
groß" ist, damit es tatsächlich ein "richtiges" Trapez ist und kein
überlappendes Trapez (die Tangente könnte y=h zu weit rechts
s schneiden, für x>s, was man besser vermeiden sollte).

Das ist dann also ein überschlagenes Trapez. Dessen Flächinhalt wird
wohl gegen unendlich gehen, schätze ich mal. Damit würde oben nichts
sinnvolles rauskommen können. Ich vermute, deine Verallgemeinerung geht
zu weit.

Aber mögen das bitte andere bestätigen, die sich in Analysis mehr zu
Hause fühlen als ich. Habe bestimmt wieder Rechenfehler gemacht.

[Stephan Gerlach]

Post by Ralf Goertz
Am Mon, 08 Feb 2021 11:04:43 +0100

Post by Stephan Gerlach
Ich habe die x-Achse vergessen, und f(x)>0.
- Tangente
- x-Achse
- y=h
- x=s.

Okay, dann hatte ich wohl das falsche Trapez und bei diesem hier wird
der Maximalpunkt von h abhängen.
Zunächst der Schnittpunkt (x_h,h) der Tangente mit der Geraden h. Dafür
h=f(x)+f'(x)(x_h-x), also x_h=x+(h-f(x))/f'(x).
Der Schittpunkt mit der x-Achse (x_0,0) entsprechend
0=f(x)+f'(x)(x_0-x), also x_0=x-f(x)/f'(x).

Das x ist hier die Abszisse vom Tangenten-Berührpunkt, nehme ich an.

Post by Ralf Goertz
Der Flächeninhalt A des Trapezes ist
A=h/2 * ((x_h-s)+(x_0-s))
=h/2 * ((x+(h-f(x))/f'(x)-s)+(x-f(x)/f'(x)-s))

Ich hatte hier in der ersten Zeile s-x_h und s-x_0 gedacht (Reihenfolge
vertauscht), da ich s>x_h und s>x_0 angenommen hatte.

Am Ende habe/hatte ich dann einige Vorzeichen "andersrum".

Post by Ralf Goertz
Lässt man den Faktor 1/2 und nach dem Ausmultiplizieren alle Summanden
weg, die nicht von x abhängen...,

Dann kann man gleich h/2 weglassen. Alternativ h/2 so lassen, weil sich
dann praktischerweise einige 2-en wegkürzen.

Post by Ralf Goertz
... bleibt
y=h*x+h²/f'(x)-h*f(x)/f'(x)+h*x-h*f(x)/f'(x)
Setze y'=0
0=2*h-h²*f''(x)/(f'(x))²-2*h*((f'(x))²-f(x)*f''(x))/(f'(x))²
Das kann man jetzt noch ein bisschen vereinfachen, aber ich sehe nicht,
dass ich hier auf ein x komme.

Man kommt auch (allgemein) aus dieser Gleichung auf ein explizites x.

Das zu ziehende Fazit aus dieser Gleichung (bzw. bei mir mit -1
multipliziert) ist ein anderes, was durchaus überraschend(?) erscheint.

Post by Ralf Goertz

Post by Stephan Gerlach
Man sollte (zur Vereinfachung) weiter voraussetzen, daß s "hinreichend
groß" ist, damit es tatsächlich ein "richtiges" Trapez ist und kein
überlappendes Trapez (die Tangente könnte y=h zu weit rechts
s schneiden, für x>s, was man besser vermeiden sollte).

Das ist dann also ein überschlagenes Trapez. Dessen Flächinhalt wird
wohl gegen unendlich gehen, schätze ich mal.

Überschlagene Trapeze wollte ich vermeiden. Evtl. kann man das, indem
man voraussetzt:

s > x_h für alle Tangenten-Berührpunkte P(x;f(x)).

Daß dies überhaupt geht, könnte wiederum dadurch erreicht werden, daß
man eine Nullstellt x_0 von f voraussetzt (für die natürlich x_0<x<x_h
gilt).

Post by Ralf Goertz
Damit würde oben nichts
sinnvolles rauskommen können. Ich vermute, deine Verallgemeinerung geht
zu weit.

Offenbar ja. Wie gesagt sollten "entartete" Fälle wie überschlagene
Trapeze vermieden werden.

Post by Ralf Goertz
Aber mögen das bitte andere bestätigen, die sich in Analysis mehr zu
Hause fühlen als ich. Habe bestimmt wieder Rechenfehler gemacht.

Konnte ich auf den ersten Blick nicht erkennen, bis auf den
Vorzeichenfehler in der ersten Flächenformel.

Allerdings geht die Berechnung bzw. "Auswertung" der Aufgabe noch
weiter, obwohl man nicht explizit x bekommt.

[Ralf Goertz]

Am Wed, 10 Feb 2021 20:27:15 +0100

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Am Mon, 08 Feb 2021 11:04:43 +0100

Post by Stephan Gerlach
Ich habe die x-Achse vergessen, und f(x)>0.
- Tangente
- x-Achse
- y=h
- x=s.

Okay, dann hatte ich wohl das falsche Trapez und bei diesem hier
wird der Maximalpunkt von h abhängen.
Zunächst der Schnittpunkt (x_h,h) der Tangente mit der Geraden h.
h=f(x)+f'(x)(x_h-x), also x_h=x+(h-f(x))/f'(x).
Der Schittpunkt mit der x-Achse (x_0,0) entsprechend
0=f(x)+f'(x)(x_0-x), also x_0=x-f(x)/f'(x).

Das x ist hier die Abszisse vom Tangenten-Berührpunkt, nehme ich an.

Ja genau. Den will ich ja finden, von daher habe ich ihn als x belassen,
was mich selbst ein bisschen durcheinander gebracht hat, weil er ja auch
der Entwicklungspunkt x_0 für die Taylor-Approximation ist.

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Der Flächeninhalt A des Trapezes ist
A=h/2 * ((x_h-s)+(x_0-s))
=h/2 * ((x+(h-f(x))/f'(x)-s)+(x-f(x)/f'(x)-s))

Ich hatte hier in der ersten Zeile s-x_h und s-x_0 gedacht
(Reihenfolge vertauscht), da ich s>x_h und s>x_0 angenommen hatte.

Hm, in meiner Skizze ist s links vom Tangentialpunkt. Daher ist bei mir
x_h>s und nach Voraussetzung kein überschlagenes Trapez auch x_0>s. Das
ändert glaube ich einiges. Vermutlich sind deine Maxima bei mir dann
Minima. Das ist mir aber erst klar geworden, nachdem ich das Beispiel
unten beschrieben habe. (Offenbar schon wieder das falsche Trapez.)

Post by Stephan Gerlach
Am Ende habe/hatte ich dann einige Vorzeichen "andersrum".

Eben.

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Lässt man den Faktor 1/2 und nach dem Ausmultiplizieren alle
Summanden weg, die nicht von x abhängen...,

Dann kann man gleich h/2 weglassen.

Allerdings. :-) Ich sag ja, Analysis ist eigentlich nicht meins.

Post by Stephan Gerlach
Alternativ h/2 so lassen, weil sich dann praktischerweise einige 2-en
wegkürzen.

Post by Ralf Goertz
... bleibt
y=h*x+h²/f'(x)-h*f(x)/f'(x)+h*x-h*f(x)/f'(x)
Setze y'=0
0=2*h-h²*f''(x)/(f'(x))²-2*h*((f'(x))²-f(x)*f''(x))/(f'(x))²

Ich habe mal als Beispiel s=0, h=10 und f=x²+1 genommen. Zu Fuß rechnen,
war mir zu aufwändig. Stattdessen habe ich mir erst einmal das Trapez
bei x=2 gezeichnet und irgendwie gleich gesehen, dass das wohl nicht das
größte ist. Es erschien mir plötzlich plausibel, dass das größte Trapez
dann entsteht, wenn die Tangente an den Schnittpunkt von f mit h gelegt
wird. Habe ein CAS herausgeholt den Flächeninhalt als Funktion von x
bestimmt, das ergab A=20/x+5*x. Hier sieht man dann auch schon, dass
A'=(5*x²-20)/x²=0 für positive x nur bei 2 ist. Aber für x=2 ist das
mitnichten ein Maximum, sondern ein Mimimum: A''=40/x³. Also müssen
Maxima am Rand liegen.

Post by Stephan Gerlach
Das zu ziehende Fazit aus dieser Gleichung (bzw. bei mir mit -1
multipliziert) ist ein anderes, was durchaus überraschend(?)
erscheint.

Dass der Punkt x nicht von f abhängt?

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Aber mögen das bitte andere bestätigen, die sich in Analysis mehr zu
Hause fühlen als ich. Habe bestimmt wieder Rechenfehler gemacht.

Konnte ich auf den ersten Blick nicht erkennen, bis auf den
Vorzeichenfehler in der ersten Flächenformel.
Allerdings geht die Berechnung bzw. "Auswertung" der Aufgabe noch
weiter, obwohl man nicht explizit x bekommt.
Man kommt auch (allgemein) aus dieser Gleichung auf ein explizites x.

Vielleicht könntest du auch nochmal die Originalaufgabe posten.

[Stephan Gerlach]

Post by Ralf Goertz
Am Wed, 10 Feb 2021 20:27:15 +0100

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Am Mon, 08 Feb 2021 11:04:43 +0100

Post by Stephan Gerlach
Ich habe die x-Achse vergessen, und f(x)>0.
- Tangente
- x-Achse
- y=h
- x=s.

Okay, dann hatte ich wohl das falsche Trapez und bei diesem hier
wird der Maximalpunkt von h abhängen.
Zunächst der Schnittpunkt (x_h,h) der Tangente mit der Geraden h.
h=f(x)+f'(x)(x_h-x), also x_h=x+(h-f(x))/f'(x).
Der Schittpunkt mit der x-Achse (x_0,0) entsprechend
0=f(x)+f'(x)(x_0-x), also x_0=x-f(x)/f'(x).

Das x ist hier die Abszisse vom Tangenten-Berührpunkt, nehme ich an.

Ja genau. Den will ich ja finden, von daher habe ich ihn als x belassen,
was mich selbst ein bisschen durcheinander gebracht hat, weil er ja auch
der Entwicklungspunkt x_0 für die Taylor-Approximation ist.

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Der Flächeninhalt A des Trapezes ist
A=h/2 * ((x_h-s)+(x_0-s))
=h/2 * ((x+(h-f(x))/f'(x)-s)+(x-f(x)/f'(x)-s))

Ich hatte hier in der ersten Zeile s-x_h und s-x_0 gedacht
(Reihenfolge vertauscht), da ich s>x_h und s>x_0 angenommen hatte.

Hm, in meiner Skizze ist s links vom Tangentialpunkt. Daher ist bei mir
x_h>s und nach Voraussetzung kein überschlagenes Trapez auch x_0>s. Das
ändert glaube ich einiges. Vermutlich sind deine Maxima bei mir dann
Minima.

Müßte so sein. Dein Trapez ist ja praktisch so eine Art "Gegenstück" von
meinem, bzw. die Vereinigungsmenge beider Trapeze sollte ein Rechteck
bilden.
(Oder so ähnlich.)

Das bedeutet auch, wenn du mit "deinem" Trapez Maxima ausrechnest,
kommen bei mir Minima raus, und diese sind (ohne daß ich jetzt
nachgerechnet hätte) bei mir vermutlich Rand-Minima.

Post by Ralf Goertz
Das ist mir aber erst klar geworden, nachdem ich das Beispiel
unten beschrieben habe. (Offenbar schon wieder das falsche Trapez.)

Post by Stephan Gerlach
Am Ende habe/hatte ich dann einige Vorzeichen "andersrum".

Eben.

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Lässt man den Faktor 1/2 und nach dem Ausmultiplizieren alle
Summanden weg, die nicht von x abhängen...,

Dann kann man gleich h/2 weglassen.

Allerdings. :-) Ich sag ja, Analysis ist eigentlich nicht meins.

Post by Stephan Gerlach
Alternativ h/2 so lassen, weil sich dann praktischerweise einige 2-en
wegkürzen.

Post by Ralf Goertz
... bleibt
y=h*x+h²/f'(x)-h*f(x)/f'(x)+h*x-h*f(x)/f'(x)
Setze y'=0
0=2*h-h²*f''(x)/(f'(x))²-2*h*((f'(x))²-f(x)*f''(x))/(f'(x))²

Ich habe mal als Beispiel s=0, h=10 und f=x²+1 genommen. Zu Fuß rechnen,
war mir zu aufwändig. Stattdessen habe ich mir erst einmal das Trapez
bei x=2 gezeichnet und irgendwie gleich gesehen, dass das wohl nicht das
größte ist. Es erschien mir plötzlich plausibel, dass das größte Trapez
dann entsteht, wenn die Tangente an den Schnittpunkt von f mit h gelegt
wird.

Mit dem Trapez "linsseitig der Tangente", wenn ich das richtig verstehe.
Das würde/sollte sogar Sinn ergeben, daß du ein Randmaximum bekommst.

Post by Ralf Goertz
Habe ein CAS herausgeholt den Flächeninhalt als Funktion von x
bestimmt, das ergab A=20/x+5*x. Hier sieht man dann auch schon, dass
A'=(5*x²-20)/x²=0 für positive x nur bei 2 ist. Aber für x=2 ist das
mitnichten ein Maximum, sondern ein Mimimum: A''=40/x³. Also müssen
Maxima am Rand liegen.

Das bedeutet, bei mir liegen Minima am Rand; vermutlich sogar allgemein
und nicht nur im Beispiel.

Interessanter ist allerdings (in deinem Fall) die Suche nach Minima bzw.
(in meinem Fall) die Suche nach Maxima.

Post by Ralf Goertz

Post by Stephan Gerlach
Das zu ziehende Fazit aus dieser Gleichung (bzw. bei mir mit -1
multipliziert) ist ein anderes, was durchaus überraschend(?)
erscheint.

Dass der Punkt x nicht von f abhängt?

Doch, hängt er natürlich.
Besonders an x selbst ist wohl nur, daß es eindeutig bestimmt ist, da f
streng monoton steigend vorausgesetzt wurde.

Das eigentliche Fazit ist irgendwo unten in einem der Postings von
Alfred zu finden; allerdings dort nicht so als Fazit bezeichnet.
Es ist auch geometrisch interessant, finde ich, da es im Nachhinen
überraschend klar(?) erscheint.

Post by Ralf Goertz

Post by Stephan Gerlach

Post by Ralf Goertz
Aber mögen das bitte andere bestätigen, die sich in Analysis mehr zu
Hause fühlen als ich. Habe bestimmt wieder Rechenfehler gemacht.

Konnte ich auf den ersten Blick nicht erkennen, bis auf den
Vorzeichenfehler in der ersten Flächenformel.
Allerdings geht die Berechnung bzw. "Auswertung" der Aufgabe noch
weiter, obwohl man nicht explizit x bekommt.
Man kommt auch (allgemein) aus dieser Gleichung auf ein explizites x.

Das paßt gar nicht dazu, weil ich einen (hier wichtigen) Buchstaben k
vergessen habe:

Man kommt auch (allgemein) aus dieser Gleichung auf kein explizites x.

Es muß also "kein explizites x" heißen, nicht "ein explizites x".

Post by Ralf Goertz
Vielleicht könntest du auch nochmal die Originalaufgabe posten.

Als Originaltext aus "technischen" Gründen lieber nicht, aber die
entsprechenden Daten kann ich gern liefern:

f(x) = 1/18 * x²
h = 50
s = 120

Das war im Rahmen einer Sachaufgabe; das Trapez sollte hier einen
Spiegel darstellen, dessen Fläche zu maximieren war; genaugenommen war
in der Originalaufgabe dieser Flächeninhalt gesucht.

Ich fand allerdings ein anderes Detail als den Flächeninhalt selsbt
interessant und hatte daraufhin versucht, dieses allgemein zu beweisen
(was auch geklappt hat).

Das Trapez befindet sich in der Originalaufgabe rechtsseitig von f,
liegt also "zwischen" der x-Achse, s=120, h=50 und dem Graph von f.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Auch ich habe verschiedene nicht zutreffende Trapeze verarztet und
Seltsames kam heraus. Könntest Du bitte zusätzlich angeben, aus welchen
Schnitten die Trapezeckpunkte gebildet werden oder eine typische
Situationsskizze hochladen und den link angeben.

Gruß, Alfred

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Auch ich habe verschiedene nicht zutreffende Trapeze verarztet und
Seltsames kam heraus. Könntest Du bitte zusätzlich angeben, aus welchen
Schnitten die Trapezeckpunkte gebildet werden

- Punkt A = Schnittpunkt Tangente mit x-Achse
- Punkt B = Schnittpunkt x=s mit x-Achse
- Punkt C = Schnittpunkt x=s mit y=h
- Punkt D = Schnittpunkt Tangente mit y=h

Evtl. muß man noch voraussetzen, daß f eine Nullstelle hat und daß die
Abszisse des Berührpunktes der Tangente an f rechts dieser Nullstelle
liegt; allerdings war/ist halte ich (bis jetzt) diese Voraussetzung für
unnötig.
Vielleicht ist die Voraussetzung aber tatsächlich notwendig, um
Maxima/Minima im Grenzwert (x--> -unendlich) auszuschließen.

Weiterhin sollten solche "entarteten" Fälle wie überschlagene Trapeze
nach Möglichkeit ausgeschlossen werden, da ich nicht garantieren kann
bzw. nicht glaube, daß die "gewünschte" Aussage dann noch gilt.

Post by Alfred Flaßhaar
oder eine typische
Situationsskizze hochladen und den link angeben.

Wenn ich Zeit habe, werde ich das wieder teXen.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Stephan Gerlach
"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich wieder in
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.

(...)

Liegt s links oder rechts von der Abszisse des Tangentenpunktes?

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach
"Inspiriert" von einer alten Prüfungsaufgabe, die mir neulich wieder
- reelle Funktion f, streng monoton steigend und konvex
- waagerechte Gerace y=h, die f schneidet
- senkrechte Gerade bei x=s.

(...)
Liegt s links oder rechts von der Abszisse des Tangentenpunktes?

("Möglichst weit") rechts davon.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Seien O der Koordinatenursprung und Punkte H=(0;h) und T=(xt;yt) der
Tangentialpunkt an f(x). Die Punkte A, B, C D wurden bereits definiert.
Im Rechteck OBCH wird die Trapezfläche ABCD maximal, wenn die Restfläche
minimal wird. Nach einiger Rechnerei unter Voraussetzung, daß die erste
und zweite Ableitung von f in ausreichend großer offener Umgebung von T
existiert und nicht Null ist und in xt f´*f´´>0 (Konvexität, strenge
Monotonie wachsend?)ist, bekomme ich (vorbehaltlich Rechenfehler) die
Ordinate f(xt) von T zu h/4 heraus.

Gruß, Alfred

[Alfred Flaßhaar]

(...)

p.s.

Die Fläche von Trapez ABCD wird damit F=h*(s-xt).

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Seien O der Koordinatenursprung und Punkte H=(0;h) und T=(xt;yt) der
Tangentialpunkt an f(x). Die Punkte A, B, C D wurden bereits definiert.
Im Rechteck OBCH wird die Trapezfläche ABCD maximal, wenn die Restfläche
minimal wird.

Hmm, ja, kann man machen.
Diese Restfläche ist BTW ebenfalls ein Trapez. Die Betrachtung dieser
Restfläche (statt des Trapezes ABCD selbst) benötigt die
(Zusatz-)Voraussetzung, daß alle beteiligen x-Werte positiv sind;
andernfalls könnten wieder unpraktische Sonderfälle entstehen.

Post by Alfred Flaßhaar
Nach einiger Rechnerei unter Voraussetzung, daß die erste
und zweite Ableitung von f in ausreichend großer offener Umgebung von T
existiert und nicht Null ist und in xt f´*f´´>0 (Konvexität, strenge
Monotonie wachsend?)ist, bekomme ich (vorbehaltlich Rechenfehler) die
Ordinate f(xt) von T zu h/4 heraus.

Da ist mutmaßlich irgendein (eher kleiner) Rechenfehler drin. Allerdings
ist es schonmal eine interessante Idee, die Ordinate yt statt xt selbst
zu berechnen.

Der Nachweis des Maximums der Fläche für das Trapez ABCD ist übrigens
überraschend gut/einfach berechenbar, wenn man die richtige Ordinate
berechnet hat.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Stephan Gerlach

(...)

Da ist mutmaßlich irgendein (eher kleiner) Rechenfehler drin. Allerdings
ist es schonmal eine interessante Idee, die Ordinate yt statt xt selbst
zu berechnen.

Würdest Du bitte Deine Lösung veröffentlichen. Dann könnte ich meinen
Rechenfehler, den ich derzeit nicht finde, vielleicht entdecken. Eine
Testrechnung mit f(x)=-sin(x) in pi<x<3/2*pi liefert allerdings
plausible Ergebnisse.
Die Beschränkung des Geschehens auf den 1. Quadranten sollte zur
Voraussetzung gemacht werden.

Gruß, Alfred

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

(...)

Da ist mutmaßlich irgendein (eher kleiner) Rechenfehler drin.
Allerdings ist es schonmal eine interessante Idee, die Ordinate yt
statt xt selbst zu berechnen.

Würdest Du bitte Deine Lösung veröffentlichen.

Hauptbedingung:
A = 1/2 * (a+c) * h ---> Maximum!

Nebenbedingungen:
h ... (ist gegeben, konstant)
P(xt;xt) ist der Tangentenpunkt
Tangentengleichung t an f:
t(x) = f'(xt)*x + f(xt)-f'(xt)*xt
Für a brauchen wir die Nullstelle von t:
t(x) = 0
f'(xt)*x + f(xt)-f'(xt)*xt = 0
umstellen nach x
x_0 = xt - f(xt)/f'(xt)
Für c brauchen wir die Stelle x_h von t mit:
t(x) = h
f'(xt)*x + f(xt)-f'(xt)*xt = h
umstellen nach x
x_h = xt + (h-f(xt))/f'(xt)

Unter der Voraussetzung, daß o.B.d.A. alles im I. Quadranten liegt, gilt

a = s-x_0
c = s-x_h

Setzt man alle Nebenbedingungen in die Hauptbedingung ein, ergibt sich
die Zielfunktion:

A = h/2 * ((s-x_0) + (s-x_h))
= h/2 * (2*s - x_0 - x_h)
= h/2 * (2*s - (xt - f(xt)/f'(xt)) - (xt + (h-f(xt))/f'(xt)))
= h/2 * (2*s - 2*xt + f(xt)/f'(xt) - (h-f(xt))/f'(xt))
= h/2 * (2*s - 2*xt + (2*f(xt)-h)/f'(xt))

Multipliziert man die 1/2 in die Klammer rein und schreibt zur
Vereinfachung statt x_p wieder x, erhält man

A(x) = h * [s - x + (f(x)-h/2)/f'(x)]

Ableiten nach x ergibt

A'(x) = h * [-1 + (f'(x)*f'(x)-(f(x)-h/2)*f''(x))/(f'(x))²]
= h * [-1 + ((f'(x))²-f(x)*f''(x)+h/2*f''(x)/(f'(x))²]
= h * [-1 + (f'(x))²/(f'(x))² +(-f(x)*f''(x)+h/2*f''(x))/(f'(x))²]
= h * [-1 + 1 + (h/2*f''(x)-f(x)*f''(x))/(f'(x))²]
= h * (h/2*f''(x)-f(x)*f''(x))/(f'(x))²

Gleich 0 setzen ergibt
A'(x) = 0
h * (h/2*f''(x)-f(x)*f''(x))/(f'(x))² = 0
h/2*f''(x)-f(x)*f''(x)) = 0
f''(x) * (h/2-f(x)) = 0

Da f streng konvex ist, kann man durch f''(x) dividieren und erhält

h/2-f(x) = 0

f(xt) = h/2 bzw. yt = h/2,

wobei ich im letzten Schritt wieder xt statt nur x geschrieben habe.
Man bekommt also ein Ergebnis interessanterweise ein allgemeines
explizites Ergebnis für yt(!), aber nicht für xt.
(Außer man schreibt formal xt = f^-1(yt) = f^-1(h/2) mit der
Umkehrfunktion von f.)

Post by Alfred Flaßhaar
Dann könnte ich meinen
Rechenfehler, den ich derzeit nicht finde, vielleicht entdecken. Eine
Testrechnung mit f(x)=-sin(x) in pi<x<3/2*pi liefert allerdings
plausible Ergebnisse.
Die Beschränkung des Geschehens auf den 1. Quadranten sollte zur
Voraussetzung gemacht werden.

Ja, ist wohl besser.

Der Nachweis des Maximums mit der zweiten Ableitung A''(x) ist ebenfalls
überraschend gut machbar:

A''(x) = [...Details übersprungen...] =
h*[h/2*f'''(x)*f'(x)-(f'(x))²*f''(x)-f(x)*f'''(x)*f'(x)-h*(f''(x))²+2*f(x)*(f''(x))²]/(f'(x))³

Das sieht erstmal unübersichtlich aus. Setzt man aber xt ein, so werden
alle Terme f(xt) zu h/2, so daß sich im Zähler viele Terme paarweise
aufheben, und es ergibt sich

A''(xt) =
h*[h/2*f'''(xt)*f'(xt)-(f'(xt))²*f''(xt)-h/2*f'''(xt)*f'(xt)-h*(f''(xt))²+2*h/2*(f''(xt))²]/(f'(xt))²
= h*[-(f'(xt))²*f''(xt)]/(f'(xt))³
= -h * f''(xt)/f'(xt).

Wegen der strengen Konvexität und dem monotonen Steigen von f sind
f''(xt) und f'(xt) beide positiv, woraus

A''(xt) < 0

folgt, also ist bei xt tatsächlich ein Maximum der Trapezfläche.

Die Trapezfläche selbst kann dann berechnet werden mit

A(xt) = h * [s - xt + (f(xt)-h/2)/f'(xt)]
= h * [s - xt + (h/2-h/2)/f'(x)]
= h * [s - xt + 0/f'(x)]
= h * [s - xt].


Die Aufgabe hat aber noch eine (geometrische) Pointe; vielleicht ist sie
auch schon dem ein oder anderen Leser aufgefallen(?).

[Stephan Gerlach]

Post by Stephan Gerlach

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

(...)

Da ist mutmaßlich irgendein (eher kleiner) Rechenfehler drin.
Allerdings ist es schonmal eine interessante Idee, die Ordinate yt
statt xt selbst zu berechnen.

Würdest Du bitte Deine Lösung veröffentlichen.

[...]

Post by Stephan Gerlach
f(xt) = h/2 bzw. yt = h/2,

[...]

Post by Stephan Gerlach
Die Aufgabe hat aber noch eine (geometrische) Pointe; vielleicht ist sie
auch schon dem ein oder anderen Leser aufgefallen(?).

Hmm, eventuell hat keiner die Pointe gefunden, oder aber es liest
einfach keiner diesen Faden mehr.

Bei Bedarf kann ich diese Pointe noch verraten, bzw. genauer, wieso die
Lösung

yt = h/2

beim dritten Mal draufgucken "völlig klar" erscheint.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Stephan Gerlach

(...)

Bei Bedarf kann ich diese Pointe noch verraten, bzw. genauer, wieso die
Lösung
yt = h/2
beim dritten Mal draufgucken "völlig klar" erscheint.

Nun rück schon raus damit, ich komme nicht drauf.

Gruß, Alfred

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

(...)

Bei Bedarf kann ich diese Pointe noch verraten, bzw. genauer, wieso
die Lösung
yt = h/2
beim dritten Mal draufgucken "völlig klar" erscheint.

Nun rück schon raus damit, ich komme nicht drauf.

Vereinfachende Annahmen:
- Alles spielt sich im I. Quadrant ab.
- f hat eine (positive) Nullstelle.
- Die Trapez-Höhe liegt rechts von der Tangente.

Der Witz an der Aufgabe liegt in der speziellen Geometrie des Trapezes:

Der Flächeninhalt

A = 1/2 * (a+c) * h

hängt nur von der "Mittellinie"

m = 1/2 * (a+c)

ab, da die Höhe h als konstant angenommen wurde.
Wenn die Fläche A maximal werden soll, dann kann man genausogut die
Mittellinie m maximieren (was auch formal leicht beweisbar ist).
Die Mittellinie (auch wenn sie nicht maximal ist) befindet sich immer(!)
auf halber Höhe des Trapezes, also bei h/2.
Genauer: Die Mittellinie ist eine Teilmenge (Strecke) der Gerade
y_m = h/2.
Geometrisch ist nun "klar"(?), daß die Mittellinie genau dann maximal
lang wird, wenn der Tangentenpunkt P(xt;yt) der Schnittpunkt der
erwähnten Gerade y_m = h/2 mit der Funktion f ist (*).

Daraus folgt aber
f(xt) = h/2. q.e.d.

-------------
(*) Diese Begründung wurde in der Originalaufgabe so ähnlich und etwas
verkürzt als alternativer Lösungsweg angeboten.

Dieser alternative Lösungsweg ist zwar, wenn er korrekt ist, sehr
elegant; aber IMHO müßte hier noch der Teil mit "geometrisch ist nun
klar..." genauer begründet werden, warum nun genau die Äquivalenz gilt:

Mittellinie maximal lang <==> P ist Schnittpunkt von f mit y_m.

Offenbar wird hier wesentlich benutzt, daß f streng konvex und monoton
steigend ist. Denn wenn man z.B. f konkav annimmt, gilt alles bis zu
"geometrisch ist nun klar..." genauso, aber danach würde es dann falsch.

Die Begründung
"das ist offensichtlich"/"das ist geometrisch klar"/"das sieht man"/"das
ist nun offensichtlich"
gefällt mir noch nicht so richtig :-) .

[Jens Kallup]

Post by Stephan Gerlach
Dieser alternative Lösungsweg ist zwar, wenn er korrekt ist, sehr
elegant; aber IMHO müßte hier noch der Teil mit "geometrisch ist nun
Mittellinie maximal lang <==> P ist Schnittpunkt von f mit y_m.

ich weiß ja nicht woher Du diesen (vorigen) Text herbei gefummelt hast.
Aber Du willst sicherlich damit ausdrücken, das "die Hälfte" von P

- wobei P als Punkt angesehen werden kann,
- egal welches koordinaten System man wählt
(ich bleibe mal hier bei 2 imensional)

immer h/2 gilt.
Ist ja logisch - man kann die Länge (ich nehme mal den Abstand von
der Quelle P(0,0) ) durch zwei dividieren, und erhält immer die Hälfte
der Linie, die sich aus dem verbinden der Punkt-koordinaten und P(0,0)
ergibt.
Es ist auch furz egal, in welchen Quadranten sich das ganze abspielt.
Sofern der Ausgangspunkt bei x:0, y:0 befindet, oder wie lang man diese
Verbindung zerrt oder die x,y Koordinaten wechselt oder dabei auch die
Quadranten wechselt.
Scheiz egal :->

Das braucht man nicht mit superduppa Rechnungen oder suppaduppa 3-D
Computerbildern machen, die auf 320x200x16 Millionen Farben, und
32 tausend Megapixel dpi groß sind, beweisen.

Das geht auch mit den einfachen Worten (auch wenn ich das hier so in
die Länge ziehe) gut erklären/beweisen - wenn man einen Blinden vor
sich hat.
Was nützt es also, HD TV 3D Stereo Souround Sound Anlagen mit 3 Meter
hohen Boxen in der 1 Mann Wohnung zu haben, wenn das Verständnis fehlt.

Nun gut, Ich denke mal, das sind so Aufgaben für die 10. oder 11.
Klasse, oder 11. Klasse Halbjahrszeugnisse-Prüfung.

Also für mich ist das schonmal gaggaloris - ohne Mathematik studiert
zu haben.

Mit freundlichen Grüßen an den ober Indianern dieser Aufgabe, die
erwartungsvoll hier immer die Gruppe besuchen, um das Ergebnis abzu-
schreiben.

Euer Schreiberling

Jens

[Jens Kallup]

Post by Jens Kallup

Post by Stephan Gerlach
Dieser alternative Lösungsweg ist zwar, wenn er korrekt ist, sehr
elegant; aber IMHO müßte hier noch der Teil mit "geometrisch ist nun
Mittellinie maximal lang <==> P ist Schnittpunkt von f mit y_m.

ich weiß ja nicht woher Du diesen (vorigen) Text herbei gefummelt hast.
Aber Du willst sicherlich damit ausdrücken, das "die Hälfte" von P

hab ich ja noch einen Denkanstoß:

Diese Aufgabe kommt sicherlich beim Flugpersonal in Frankfurt zum
Einsatz.
Weil innerhalb dieses geschreibsel die Horizont-Anzeige innerhalb
eines Flugzeuges beschreibt.
Ein Höhen-Messer setzt sich aus 2 Linien zusammen - rechts und
links, sowie einen beweglichen Horizont.
die 2 Linien geben die Länge und Breite, die "statisch" bewegliche
Linie die Höhe.
In der Mitte ist dann nochmals eine Kugel abgebildet, das die
Position des Flugzeuges erkennbar macht - aber eigentlich nutzlos
ist, weil man diese "Wasserwaagen-Kugel" auch mit einen Punkt
versehen könnte.
Ok, gibt weitere Eigenschaften für die Nutzung einer Kugel - so
zum Beispiel für die Anzeige des Ballastes, etc. ...
Aber für jedes Wehwehjen gibts ja eine Anzeige.
Es macht immer blimm blings.
Last uns singen, eine Reise die ist lustig ... haha, Ihr Ingienuere.
Somit kann man sich eigentlich auch "ohne" digitalen Krimskrams
die Werte ablesen, die man momentan mit digitalen Schnickschnack
bei vielen Menschen nicht mehr zurecht kommen.
Ein Hoch auf Beate U.

Achja, das Trapez:
Das setzt sich dann zusammen, wenn man ein weiteres Messgerät mit
in die Rechnung einnimmt.
Und zwar der Abstand zwischen Horizont und Erde/Boden.
Verbindet man nun alle Linien - auch hier ist es furz egal, wie
krum oder schief die Lage ist - zwischen rechter Längen, linker
Breiten, Horizont, und Abstand zwischen Erde, mit jeweils einen
Punkt am Rand/Ende/Anfang kommt bei geeigneten wählen einer
koordinaten-Größe ein Trapez heraus.

So, mein lieber Alfred, nun wisst ders.

Jens

[Jens Kallup]

Hallo,

wie der Nachtragtittel schon beschreibt, soll es hier um Hinweise
für die Konstruktion der voran gegangen Posts von mir gehen.
Ich gehe mal nicht davon aus, das es keine 100 prozentige Übersetzung
des Trapezes geben wird - wenngleich das auch rechnerisch bewiesen
werden kann.
Im Anfangspost wurde ja auch davon ausgegangen, das es sich um eine
Funktion, also um eine Parabel handeln soll.
Ok, lasst es uns angehen:

Man hat also eine Funktion mit einer "hier" beliebigen Form, als
Parabel, um im Endbild ein Trapezförmiges Abbild zu erhalten.
Diese, so der Poster, soll ausschließlich im 1. Quadranten vorliegen.
Wobei es egal ist,ob diese sich zur Hälfte zwischen 1. und 4. positiven
Quadranten bzw. ganz im 4. Quadranten fallend, oder 1. und 4. negativen
Quadranten steigend befindet.
Man könnte das freilich mit einen Einheits-Kreis machen, aber wo bleibt
dann der Spaß :-> ?

Ok. Weiter.
Man wählt nun den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel. Damit meine
Ich den Scheitelwert, an dem die Parabel ihren höchsten bzw. tiefsten
Punkt hat.
Man legt nun das Dreieck mit der Seite, wo sich der 90 Grad Winkel sich
befindt, an die Y-Achse an.
Weiter legt man das Lineal, das auch zur Standardausrüstung eines Mathe
oder Flugschülers vorhanden sein muss, an die linke bzw. rechte, gerade
Seite des Dreiecks.
Nun kann man das Dreieck näherungsweise so verschieben, bis der Punkt,
den als Scheittelwert betrachten kann, erreicht hat.
Man zeichnet nun eine Linie von geeigneter Länge von links nach rechts
bzw. rechts nach links (je nachdem in welchen Quadranten sich die vor-
eingezeichnete Parabel befindet).
Nun hat man schon die Abschluss-Linie des Trapezes (die je nach Lage
sich im positiven oder negativen Quadranten liegen kann).
Nun zeichnet man mit Lineal oder Dreieck - das ist hier egal, weil es
ja nicht um die rechnerische Darstellung, sondern um die geometrische
Darstellung handeln soll - an der Kante, bezogen auf den Nullpunkt
(Erde) also nun rechts und links jeweils eine Linie, und voila: wenn
man nun mal die überstehenden Linien sich weg denkt oder mit einen
Ratselfummel wegschmiert kann man ein Trapez erkennen.

Mit freundlichen Grüßen,

Euer Schreiberling Jens

P.S.: also ich habe mich da ein wenig aus dem Fenster zu sehr raus
geschaut. Ist sicherlich eine Aufgane für die 8chte Klasse.

Alle Angaben wurden ohne Rücksicht auf grammatische- und/oder
rechtschreibliche Fehler gemacht.
Ich habe mich bemüht, alles so verständlich aufzuschreiben.
Leider kann ich keine 100 %tige Garantie auf Richtigkeit geben.
Sollten Fehler enthalten sein, oder andere Fragen entstanden sein,
so bitte ich um Meldung.

Danke fürs Lesen.

[Jens Kallup]

Hallo,

wem das so poppelhaft sein sollte, der kann ja mal versuchen - jetzt
bitte nicht Lachen ! - rechnerisch hergehen und eine Verschiebung der
Kantenpunkte in sinnvoller Form zu berechnen, damit das Trepez nicht
"gerade", sondern "geneigt" dargestellt werden kann.

Wem das zu abstrakt erscheinen mag, der kann ja Taschenrechner oder
Computer - UND MATHEBUCH - BITTE KEIN GOOGLE zur helferrischen Hand
nehmen.

Hiermal schon viel Spaß.
Ich würde mich hier in der Gruppe, auch von den "nur" Mitlesenden um
Rückmeldung und/oder Lösungsangaben, Rechenwege, Computerprogramme
freuen.

Computerprogramme sollten keine Programme sein, die mit nicht bezahl-
baren Programmen, nicht erstellt wurden sein.
Das könnte zum Beispiel:
- Pascal (free pascal compiler - fpc)
- GNU C/C++
- Python

Bitte kein Assembler oder andere Lisp oder hochtrabende Sprachen ver-
wenden. Einfach ist halt mehr.
Auch hier: Bei Interesse stehe ich gerne zur Verfügung, wenn es um die
Fragen nach Installation und Bezugsquellen der oben "kostenlos"
aufgeführten Programme bezieht.

Mit freundlichen Grüßen

Euer Schreiberling Jens

[Jens Kallup]

Hallo Stephan,

Post by Jens Kallup

Post by Stephan Gerlach
Dieser alternative Lösungsweg ist zwar, wenn er korrekt ist, sehr
elegant; aber IMHO müßte hier noch der Teil mit "geometrisch ist nun
Mittellinie maximal lang <==> P ist Schnittpunkt von f mit y_m.

ich weiß ja nicht woher Du diesen (vorigen) Text herbei gefummelt hast.

Selbst überlegt / drauf gekommen / Bezug genommen auf eine Lösung?

ist das jetzt eine Frage, mich zu necken, um Dir die korrekte Lösung zu
präsentieren, die Du hier versuchst einzufordern ?
Ich mein ich lass mich ja über Alles Reden.
Aber das musst Du mir etwas näher erklären.

Sinnigerweise hast du den mit "dieser alternative Lösungsweg"
referenzierten Teil weggelassen.

Ja, Schande auf mein Haupt.
Warum? siehe Text oben.

Post by Jens Kallup
Aber Du willst sicherlich damit ausdrücken, das "die Hälfte" von P
- wobei P als Punkt angesehen werden kann,
- egal welches koordinaten System man wählt
  (ich bleibe mal hier bei 2 imensional)
immer h/2 gilt.

Nein, ganz sicher nicht. Es gibt keine Hälfte eines Punktes. Selbst wenn
der Punkt eine Hälfte hätte, ergibt der Satz
"... die Hälfte von P gilt immer h/2..."
logisch keinen Sinn.

Das ist erstmal sinnigerweise richtig von Dir überlegt, und dargelegt.
Allerdings verstehe ich Dich, das Du nun wieder zu logisch abstrakhieren
vermagst.
Klar, halbe Sachen gibt es nicht.
Ich kann auch kein halbes Loch im Garten draußen buddeln, um dann den
Samen für meine Möhren in diesen "halben" Loch zu streuen.

Mathematisch kann man aber beweisen, das der kürzeste Weg zwischen zwei
Punkten, eine Gerade ist.
Und die Hälfte dieser Geraden kann halt durch 1/2 oder 0.5 dargelegt
werden.

Bitte entschuldige das ich wieder einmal nicht bis auf die Knochen und
i-Tüpfelchen genau der meiner Ansicht war, das mit P ein Punkt im 2-D
kartessichen Koordinaten-System entsprechen sollte.

Post by Jens Kallup
Ist ja logisch - man kann die Länge (ich nehme mal den Abstand von
der Quelle P(0,0) ) durch zwei dividieren,  und erhält immer die Hälfte
der Linie, die sich aus dem verbinden der Punkt-koordinaten und P(0,0)
ergibt.

Das Ganze ist relativ unverständlich ausgedrückt. Vermutlich willst du
irgendwie zum Ausdruck bringen, daß der Mittelpunkt zwischen P(0,0) und
einem anderen Punkt Q(x,y) genau M(x/2,y/2) ist(?).

ja richtig.

Das hat aber rein gar nichts mit meiner ursprünglichen Aufgabe zu tun
(Thema verfehlt).

ok, Herr Lehrer.
Dann formulieren Sie mal Bitte Haar genau was die Lösung Ihrer
"erdachten" Annahme/Aufgabe ist.
In diese Kristalkugel kann ich leider im Moment nicht Blicken.

Vermutlich hast du die ursprüngliche Problemstellung nicht ansatzweise
verstanden.

vielleicht dann zur Hälfte :-)
Bitt um Aufklärung, in Bezug, nicht nur vom OP bis hier hin.

Um dies zu testen, könntest du versuchen, eine Planskizze von der von
Alfred und mir beschriebenen Problemstellung mit dem Trapez zu zeichnen.

könnte ich machen. Brauch ich aber nicht. Hab das Bild im Kopf bereits
konstuhieren können - im dunklen.
Das heißt also weiter: ich habe Ressourcen gesparrt, damit ich nun hier
schreiben kann - mit Atomstrom vom AKW.
Tolle Wurst - oder :-) ?

Post by Jens Kallup
Es ist auch furz egal, in welchen Quadranten sich das ganze abspielt.
Sofern der Ausgangspunkt bei x:0, y:0 befindet, oder wie lang man diese
Verbindung zerrt oder die x,y Koordinaten wechselt oder dabei auch die
Quadranten wechselt.
Scheiz egal :->

Hier ist fraglich, was wofür egal ist.

Tjor, wisste nicht?
Für 3 ist die Hälfte 1.5
Fur 4 ist die Hälfte 2

noch Fragen?

Post by Jens Kallup
Das braucht man nicht mit superduppa Rechnungen oder suppaduppa 3-D
Computerbildern machen, die auf 320x200x16 Millionen Farben, und
32 tausend Megapixel dpi groß sind, beweisen.

Das hat nun überhaupt nichts mehr mit der ursprünglichen Aufgabe zu tun.
Selbst mit deiner Mittelpunkt(?)berechnung nicht.

Reine Selbstironie - nicht zu ernst nehmen - will nur foppen :-)

Post by Jens Kallup
Das geht auch mit den einfachen Worten (auch wenn ich das hier so in
die Länge ziehe) gut erklären/beweisen - wenn man einen Blinden vor
sich hat.

Hier schreibst du "das geht auch mit den einfachen Worten ... zu
erklären/beweisen".
Was geht mit einfachen Worten zu erklären/beweisen?

Hier wirds mir zu blöd ...

Auf einmal geht es nun um Aufgaben für 10. oder 11. Klassen.
Welches sollen diese Aufgaben für die 10./11. Klassen sein?

Jens

[Stephan Gerlach]

Post by Jens Kallup
Hallo Stephan,

Post by Jens Kallup

Post by Stephan Gerlach
Dieser alternative Lösungsweg ist zwar, wenn er korrekt ist, sehr
elegant; aber IMHO müßte hier noch der Teil mit "geometrisch ist nun
Mittellinie maximal lang <==> P ist Schnittpunkt von f mit y_m.

ich weiß ja nicht woher Du diesen (vorigen) Text herbei gefummelt hast.

Selbst überlegt / drauf gekommen / Bezug genommen auf eine Lösung?

ist das jetzt eine Frage, mich zu necken, um Dir die korrekte Lösung zu
präsentieren, die Du hier versuchst einzufordern ?

Ich versuche keine Lösung einzufordern, sondern habe stattdessen die
Lösung / Erklärung für meine Aufgabe beschrieben.

[...]

Post by Jens Kallup

Post by Jens Kallup
Aber Du willst sicherlich damit ausdrücken, das "die Hälfte" von P
- wobei P als Punkt angesehen werden kann,
- egal welches koordinaten System man wählt
(ich bleibe mal hier bei 2 imensional)
immer h/2 gilt.

Nein, ganz sicher nicht. Es gibt keine Hälfte eines Punktes. Selbst
wenn der Punkt eine Hälfte hätte, ergibt der Satz
"... die Hälfte von P gilt immer h/2..."
logisch keinen Sinn.

Das ist erstmal sinnigerweise richtig von Dir überlegt, und dargelegt.
Allerdings verstehe ich Dich, das Du nun wieder zu logisch abstrakhieren
vermagst.
Klar, halbe Sachen gibt es nicht.

In der Mathematik doch: Z.B. kann man Zahlen halbieren, Strecken,
Flächen, Volumen. Aber keine Punkte.

Post by Jens Kallup
Ich kann auch kein halbes Loch im Garten draußen buddeln, um dann den
Samen für meine Möhren in diesen "halben" Loch zu streuen.
Mathematisch kann man aber beweisen, das der kürzeste Weg zwischen zwei
Punkten, eine Gerade ist.

Das stimmt ausnahmsweise mal, hat aber wenig mit der
Aufgabe/Problemstellung zu tun.

(Thema verfehlt)

Post by Jens Kallup
Und die Hälfte dieser Geraden kann halt durch 1/2 oder 0.5 dargelegt
werden.

Es ist unklar, was mit "die Hälfte einer Geraden darlegen" gemeint sein
soll.

[...]

Post by Jens Kallup

Das Ganze ist relativ unverständlich ausgedrückt. Vermutlich willst du
irgendwie zum Ausdruck bringen, daß der Mittelpunkt zwischen P(0,0)
und einem anderen Punkt Q(x,y) genau M(x/2,y/2) ist(?).

ja richtig.

Dann solltest du das auch so schreiben.

Post by Jens Kallup

Das hat aber rein gar nichts mit meiner ursprünglichen Aufgabe zu tun
(Thema verfehlt).

ok, Herr Lehrer.
Dann formulieren Sie mal Bitte Haar genau was die Lösung Ihrer
"erdachten" Annahme/Aufgabe ist.

Das mache ich nicht, weil sowohl die Aufgabe als auch die Lösung; ja
sogar die Alternativlösung hier im Faden zu finden ist.

Wenn du unbedingt willst, kann ich es nochmal per copy&paste hier
hineinkopieren, aber das kannst du sicher auch selbst.

Post by Jens Kallup
In diese Kristalkugel kann ich leider im Moment nicht Blicken.

Aber diesen Faden lesen, um darin sehr schnell die Aufgabe und
zugehörige Lösung(en) zu finden.

Post by Jens Kallup

Vermutlich hast du die ursprüngliche Problemstellung nicht ansatzweise
verstanden.

vielleicht dann zur Hälfte :-)
Bitt um Aufklärung, in Bezug, nicht nur vom OP bis hier hin.

Um dies zu testen, könntest du versuchen, eine Planskizze von der von
Alfred und mir beschriebenen Problemstellung mit dem Trapez zu zeichnen.

könnte ich machen. Brauch ich aber nicht. Hab das Bild im Kopf bereits
konstuhieren können - im dunklen.

Tja, es ist fraglich, ob dieses Bild stimmt.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Stephan Gerlach

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

(...)

Bei Bedarf kann ich diese Pointe noch verraten, bzw. genauer, wieso
die Lösung
yt = h/2
beim dritten Mal draufgucken "völlig klar" erscheint.

Nun rück schon raus damit, ich komme nicht drauf.

- Alles spielt sich im I. Quadrant ab.
- f hat eine (positive) Nullstelle.
- Die Trapez-Höhe liegt rechts von der Tangente.
Der Flächeninhalt
A = 1/2 * (a+c) * h
hängt nur von der "Mittellinie"
m = 1/2 * (a+c)
ab, da die Höhe h als konstant angenommen wurde.

(...)

Erstaunlich einfache Lösung. Aber warum nur einfach lösen, wenn es auch
umständlich geht ;-)? Wenn man das einfache logische Denken verlernt
hat, dann ist der Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen.

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

(...)

Bei Bedarf kann ich diese Pointe noch verraten, bzw. genauer, wieso
die Lösung
yt = h/2
beim dritten Mal draufgucken "völlig klar" erscheint.

Nun rück schon raus damit, ich komme nicht drauf.

- Alles spielt sich im I. Quadrant ab.
- f hat eine (positive) Nullstelle.
- Die Trapez-Höhe liegt rechts von der Tangente.
Der Flächeninhalt
A = 1/2 * (a+c) * h
hängt nur von der "Mittellinie"
m = 1/2 * (a+c)
ab, da die Höhe h als konstant angenommen wurde.

(...)
Erstaunlich einfache Lösung. Aber warum nur einfach lösen, wenn es auch
umständlich geht ;-)? Wenn man das einfache logische Denken verlernt
hat, dann ist der Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen.

Naja, wie gesagt fehlt wohl genaugenommen noch irgendeine formale
Begründung, warum nun tatsächlich genau dann die maximale
Mittellinien-Länge erreicht wird (nicht nur "das sieht man doch aus der
Skizze"), wenn der Tangentenpunkt der Schnittpunkt zwischen der
"Mittel-Gerade" und der Funktion ist.

Das sollte aber relativ leicht aus f'(x)>0 und f''(x)>0 folgen.

Ich vermute, daß aus diesen Bedingungen einfach folgt
t(x) <= f(x),
wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x = xt ist, wobei P(xt;yt) der
Tangentenpunkt ist.

[Jens Kallup]

Post by Stephan Gerlach
Ich vermute, daß aus diesen Bedingungen einfach folgt
t(x) <= f(x),
wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x = xt ist, wobei P(xt;yt) der
Tangentenpunkt ist.

das wäre reiner Zufall.
x = xt

man müsste darlegen:

xt_start = xt_end

wobei
start = end ist, oder:

+1 = -1 <-- das wäre dann gleich (geometrisch).

und +1 und -1 sind zwar in der Ebene, zwei unterschiedliche Zahlenmengen
rein rechnerisch jedoch ergibt sich das gleiche:

+1 = -1 | -1 auf beide Seiten:
0 = 0

Somit zeigt sich, das +1 = -1 der Ruhepunkt ist - bzw. der fix-Punkt.
Aber wie wir Wissen, das sich das Universum bewegt - selbst die Erde
bewegt sich um Ihre Eigene Achse, sowie bewegt sie sich in Ellipsen-
Form von ihren ursprünglichen Ort, Tag ein Tag aus ...

Das hat damit zu tun, das die Sonne zusammen mit den in unserem Sonnen-
system befindlichen schwarzen Loch in eine Art "gemeinsame Gravitation"
sich im Universum bewegen.
Auch wenn es scheint, das sich die Milchstraße und die darin enthaltenen
Sonnen sich nicht zu bewegen scheinen.
Das knüpft jetzt ziemlich nahe an die RelativitätsTheory an.
Aber das ist eine andere Baustelle.

Gruß, Jens

[Stephan Gerlach]

Post by Jens Kallup

Post by Stephan Gerlach
Ich vermute, daß aus diesen Bedingungen einfach folgt
t(x) <= f(x),
wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x = xt ist, wobei P(xt;yt) der
Tangentenpunkt ist.

das wäre reiner Zufall.

Nein, das kann man im genannten Kontext beweisen.

Post by Jens Kallup
x = xt
xt_start = xt_end

?
Was soll hier xt_start, xt_end bedeuten.
Das hat nichts mit der Aufgabenstellung zu tun.

(Thema verfehlt)

Post by Jens Kallup
wobei
+1 = -1 <-- das wäre dann gleich (geometrisch).

Nein, das ist falsch: +1 = -1
bezeichnet man als falsche Aussage. Hat nebenbei (natürlich) ebenfalls
nix mit der ursprünglichen Diskussion/Aufgabe zu tun.

[...]

Post by Jens Kallup
Gruß, Jens

[Alfred Flaßhaar]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Seien O der Koordinatenursprung und Punkte H=(0;h) und T=(xt;yt) der
Tangentialpunkt an f(x). Die Punkte A, B, C D wurden bereits definiert.
Im Rechteck OBCH wird die Trapezfläche ABCD maximal, wenn die Restfläche
minimal wird. Nach einiger Rechnerei unter Voraussetzung, daß die erste
und zweite Ableitung von f in ausreichend großer offener Umgebung von T
existiert und nicht Null ist und in xt f´*f´´>0 (Konvexität, strenge
Monotonie wachsend?)ist, bekomme ich (vorbehaltlich Rechenfehler) die
Ordinate f(xt) von T zu h/4 heraus.

Nochmal nachgerechnet: f(xt)=h/2 und max F=h*(s-xt)

Hoffentlich diesmal nicht wieder verrechnet.