Was ist Konnexität?

[Eckard Blumschein]

Präsident Hobson schrieb in Proc. Vol. XXXV no. 798, p.129 (1902)
"This property of unlimited divisibility, or connexity, is only one of
the distinguishing characteristics of continuum". Als die andere
Eigenschaft benannte er Vollständigkeit.
Schließt nicht die Vollständigkeit eines Kontinuums seine unbegrenzte
Teilbarkeit (Jeder Teil hat Teile) ein?

In einem moderen Kontext fand ich Konnexität als Uni-Linearität bzw.
(a>b)v(a<b)v(a=b) erklärt. Ich sehe darin eher Trichotomie.

In Wikipedia fand ich Konnexität nicht.

Gruss,
Eckard Blumschein

[Martin Fuchs]

Post by Eckard Blumschein
In einem moderen Kontext fand ich Konnexität als Uni-Linearität bzw.
(a>b)v(a<b)v(a=b) erklärt.

In der Relationentheorie benutzt man den Begriff wie folgt:

Eine (homogene) Relation R über einer Grundmenge G ist konnex,
gdw. für alle x,y aus G (x,y)\in R oder (y,x)\in R gilt.

Handelt es sich speziell um eine Ordnungsrelation, sagt man
zu dieser Eigenschaft eher "linear".

Post by Eckard Blumschein
Ich sehe darin eher Trichotomie.

Dann siehst du es falsch.
"Oder" ist nicht das gleiche wie "entweder oder"!

Post by Eckard Blumschein
In Wikipedia fand ich Konnexität nicht.

Nun, Wikipedia wäre so ziemlich die letzte Quelle, die ich bei
einer mathematischen Definition bemühen würde, aber sei's drum:
du findest es vermutlich unter "Relationen".


mf

[fiesh]

Post by Martin Fuchs
Eine (homogene) Relation R über einer Grundmenge G ist konnex,
gdw. für alle x,y aus G (x,y)\in R oder (y,x)\in R gilt.

Was ist denn eine homogene Relation?

Damit sich das mit der mir gelaeufigen Definition von Konnex deckt,
sollte aber x != y vorausgesetzt werden.

[Martin Fuchs]

Post by fiesh

Post by Martin Fuchs
Eine (homogene) Relation R über einer Grundmenge G ist konnex,
gdw. für alle x,y aus G (x,y)\in R oder (y,x)\in R gilt.

Was ist denn eine homogene Relation?

Nun eine Relation auf G x G für eine gewisse Grundmenge
G.
Es gibt doch auch Relationen G1 x G2 (heterogene Relationen)
für verschiedene Grundmengen G1 und G2.

Post by fiesh
Damit sich das mit der mir gelaeufigen Definition von Konnex deckt,
sollte aber x != y vorausgesetzt werden.

Dafür kenne ich die Bezeichnung "semikonnex".


Eine homogene Relation über G ist semikonnex, gdw.
für alle x,y aus G gilt: (x != y) => x R y oder y R x

Demnach ist eine reflexive und semikonnexe Relation konnex.


Mag aber sein, dass du eine Definition benutzt, in der du
"mein" semikonnex als konnex bezeichnest.
Ich kenne die Begriffe aus dem Bereich Relationentheorie und
dort werden ziemlich viele Eigenschaften von Relationen
untersucht, die in der übrigen Mathematik kaum eine Rolle
spielen und deren Bezeichnungen daher auch nicht so bekannt
sind.


Die von mir verwendeten Definition findest du z.B. in
Schmidt/Ströhlein "Relationen und Graphen", Springer-Verlag
(bei einem der Autoren hatte ich auch die einschlägigen
Vorlesungen besucht).


mf

[fiesh]

Post by Martin Fuchs

Post by fiesh

Post by Martin Fuchs
Eine (homogene) Relation R über einer Grundmenge G ist konnex,
gdw. für alle x,y aus G (x,y)\in R oder (y,x)\in R gilt.

Was ist denn eine homogene Relation?

Nun eine Relation auf G x G für eine gewisse Grundmenge
G.
Es gibt doch auch Relationen G1 x G2 (heterogene Relationen)
für verschiedene Grundmengen G1 und G2.

Ich wusste nicht, dass das gleich einen eigenen Namen traegt (und halte
es auch fuer etwas ueberfluessige Nomenklatur ;)).

Post by Martin Fuchs

Post by fiesh
Damit sich das mit der mir gelaeufigen Definition von Konnex deckt,
sollte aber x != y vorausgesetzt werden.

Dafür kenne ich die Bezeichnung "semikonnex".
Eine homogene Relation über G ist semikonnex, gdw.
für alle x,y aus G gilt: (x != y) => x R y oder y R x
Demnach ist eine reflexive und semikonnexe Relation konnex.

OK, das habe ich auch schonmal gehoert, ebenfalls in diesem
Zusammenhang. Dann wurde der Begriff "konnex" wohl nicht ganz sauber
gebraucht. Danke.