Heiteres Mengen-Raten 5

[Moebius]

Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.

Es geht dabei um eine Menge N c IR für die folgendes gilt:

AM c IR(1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M).

Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle in
Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)

So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

_______________________________________________________________________

*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften bezüglich
der gesuchten Menge N:

An(n e N -> n+1 =/= 1)
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,

die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

[Moebius]

Post by Moebius
Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.
     AM c IR(1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M).
Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle in
Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

Die Lösung:

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Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen, wenn
sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1 enthalten,
dann besagt obiges "Axiom":

N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.

Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist, dass
N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen "unterbestimmt".

N kann eine beliebige Teilmenge von IN sein. Also z. B. {}, {1}, {1+1},
{1, 1+1}, {1, (1+1)+1, (((1+1)+1)+1)+1, ...} etc.

Post by Moebius
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*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften bezüglich
An(n e N -> n+1 =/= 1)
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,
die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

[Moebius]

Post by Moebius

Post by Moebius
Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.
      AM c IR(1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M).
Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle
in Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

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Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen, wenn
sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1 enthalten,
          N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.
Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist, dass
N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen "unterbestimmt".
N kann eine beliebige Teilmenge von IN sein. Also z. B. {}, {1}, {1+1},
{1, 1+1}, {1, (1+1)+1, (((1+1)+1)+1)+1, ...} etc.

Will man N noch etwas genauer "spezifizieren", muss man noch weitere
Eigenschaften von N auflisten.

Ich nenne hier mal 2 weitere:

1 e N
An(n e N -> n+1 e N).

Tatsächlich ist N c IR nun durch diese 3 Eigenschaften (und die unter *)
genannten 2 weiteren) _eindeutig_ bestimmt.

Mückenheim, was meinen Sie: N = ?

Post by Moebius

Post by Moebius
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*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften bezüglich
An(n e N -> n+1 =/= 1)
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,
die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

[WM]

Post by Moebius

Post by Moebius
Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.

N kann eine beliebige Teilmenge von IN sein. Also z. B. {}, {1},
{1+1}, {1, 1+1}, {1, (1+1)+1, (((1+1)+1)+1)+1, ...} etc.

Falsch. Erstens geht es um Zahlen, nicht um Singletons, außerdem ist {1,
1+1} kein mögliches Ergebnis, denn es geht nicht durch Additionen von 1
aus 1 hervor.

Gruß, WM

[Moebius]

Post by Moebius

Post by Moebius

Post by Moebius
Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.
      AM c IR(1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M).
Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle
in Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen, wenn
sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1 enthalten,
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.
Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist,
dass N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen "unterbestimmt".
N kann eine beliebige Teilmenge von IN sein. Also z. B. {}, {1},
{1+1}, {1, 1+1}, {1, (1+1)+1, (((1+1)+1)+1)+1, ...} etc.

Will man N noch etwas genauer "spezifizieren", muss man noch weitere
Eigenschaften von N auflisten.
        1 e N
        An(n e N -> n+1 e N).
Tatsächlich ist N c IR nun durch diese 3 Eigenschaften (und die unter *)
genannten 2 weiteren) _eindeutig_ bestimmt.

Interessant ist noch, dass man aus diesen beiden Axiomen alleine schon
ableiten kann, dass N unendlich ist! D a s wird wohl auch der
Hauptgrund dafür sein, dass diese beiden Axiome in Mückenheims
hanebüchenen "Axiomensystem für IN" fehlen.

Es ist aber auch denkbar, dass er hier - beim Abschreiben einer Vorlage
(z. B. einer Vorlesungsmitschrift) - wieder einmal meinte, etwas
"verbessern" zu müssen.

Die "Erläuterung", die er seinem Axiomensystem folgen lässt

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."

lässt vermuten, dass das Axiomensystem ursprünglich/im Original wohl
tatsächlich die beiden Axiome

1. 1 e IN
2. n e IN -> n+1 e IN ,

umfasst hat, denn ohne diese beiden Axiome macht die Erläuterung keinen
Sinn.

Die nachfolgende Erläuterung

"Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
Zahlen erfüllen diese Axiom ebenfalls. Für die Einschränkung
auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
erforderlich..."

legt des weiteren nahe, dass Mückenheim wohl gedacht hat, das
ursprüngliche Axiomensystem

1. 1 e IN
2. n e IN -> n+1 e IN
3. 1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M **)

durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu können.
Nämlich zu

4.1 1 e M
4.2 n e M -> n+1 e M
4.3 Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M

Dümmer geht es kaum noch!

Man kann sich da Franz Lemmermeyers Einschätzung nur anschließen, wenn
er von "Qualitätsunterschieden" spricht "zwischen dem Stoff, den man
auch in vergleichbaren Büchern findet und Dingen, die der Autor
offenkundig selbst verfasst hat".

Es ist bedauerlich, dass Herr Mückenheim sich offenbar nicht mehr an die
Quelle erinnern kann, auf die er sich bei seinem "Axiomensystem für IN"
gestützt hat. Aber man kann wohl mit Sicherheit davon ausgehen, dass das
dort angegebene System nichts mit dem von Mückenheim angegebenen zu tun
hat (siehe Erläuterungen oben).

_________________________________________________________________________

**) For the sake of the argument habe ich hier auf die explizite Nennung
des Allquantors mit der Einschränkung M c IR verzichtet.

Post by Moebius

Post by Moebius

Post by Moebius
_______________________________________________________________________
*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften
An(n e N -> n+1 =/= 1)
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,
die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

[WM]

Post by Moebius

Post by Moebius
Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle
in Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)

Die Addition von 1 ist die Grundlage aller Mathematik und schon seit
Jahrtausenden bekannt. Dazu braucht man keine reellen Zahlen. Außerdem
wäre das auch ein Willkürakt, denn die rationalen Zahlen oder die
komplexen Zahlen täten es ebenso.

Post by Moebius

Post by Moebius
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen, wenn
sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1 enthalten,
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.

Nein, die Menge der Stammbrüche ist ebenso wie die Menge der geraden
Zahlen eine induktive Menge. Beide enthalten ℕ nicht.

Post by Moebius
Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist,
dass N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen "unterbestimmt".

Das ist durch den einfachsten Induktionsbeweis
1 & n ==> n+1 für die Menge ℕ_def gezeigt. ℕ_def ist Untermenge einer
jeden so definierten Menge (und für Spätzünder: besitzt natürlich
dieselben Eigenschaften).

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Post by WM

Post by Moebius
Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen,
wenn sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.

Nein, die Menge der Stammbrüche ist ebenso wie die Menge der geraden
Zahlen eine induktive Menge. Beide enthalten ℕ nicht.

TH7 Definitionen:

Moebius definierte /induktiv/ in der oben beschriebenen Weise.

Die Menge der Stammbrüche enthält zwar die 1 = 1/1, aber für n = 1 ist
n+1 nicht in der Menge der Stammbrüche enthalten.

Dein Einwand "Nein, die Menge der Stammbrüche ist eine induktive Menge"
ist im Einklang mit der Erfahrung, dass Du nicht weißt, was eine
Definition ist.

Gruß,
RR

[WM]

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Moebius
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.

Nein, die Menge der Stammbrüche ist ebenso wie die Menge der geraden
Zahlen eine induktive Menge. Beide enthalten ℕ nicht.

Moebius definierte /induktiv/ in der oben beschriebenen Weise.

Gleichgültig, wie er was definiert. Sein Satz ist falsch.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Post by WM
Gleichgültig, wie er was definiert. Sein Satz ist falsch.

Konkret und dusslig.

Gruß,
RR

[Blacky Cat]

Post by Rainer Rosenthal
Dein Einwand "Nein, die Menge der Stammbrüche ist eine induktive Menge"
ist im Einklang mit der Erfahrung, dass Du nicht weißt, was eine
Definition ist.

Hallo Rainer,
mohhl neeää frochjen:

der WM, neä...
der hat doch geschrieben:

1 & n ==> n + 1. (für die Menge IN_def)

- mal davon abgeseheen, das _def als Definition gelten solle, dann würde
doch für:
1 & n ==> n + 1.

gleich:

1 & n ==> n & 1.
1 + n ==> n & 1.
1 + n ==> n + 1.

gelten wobei gilt, das mit den Symbol: ==> gemeint ist, das:
1 & n.

sich auf: n + 1. oder n & 1. abbildet ?

- was für mich das gleiche macht, wie: 1 ==> IN.
- weil:

(1 & n) == (1) ==> (n + 1) = (1). ==> 1 ==> 1. oder: 1 ==> IN.

- weil: 1 ist ja IN. bzw. Die Mächtigkeit von IN ist 1 oder: aleph_0.

- dann würde doch gelten:

aleph_0 ==> IN. oder:
1 ==> IN. oder:
1 ==> 1. oder:
IN ==> IN.

- was für mich dann im Endeffekt bedeutet, das sich IN auf sich selbst
als Menge solches, auf sich selbst abbildet - was für mich legetim zu
scheinen mag... ?

Blacky

[joes]

Post by WM

Post by Moebius

Post by Moebius
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen, wenn
sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1 enthalten,
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.

Nein, die Menge der Stammbrüche ist ebenso wie die Menge der geraden
Zahlen eine induktive Menge. Beide enthalten ℕ nicht.

Nicht mit +1 als Nachfolgerrelation. Mit einem Stammbruch 1/n ist 1+1/n
nicht auch einer.

Post by WM

Post by Moebius
Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist,
dass N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen "unterbestimmt".

Das ist durch den einfachsten Induktionsbeweis 1 & n ==> n+1 für die
Menge ℕ_def gezeigt. ℕ_def ist Untermenge einer jeden so definierten
Menge (und für Spätzünder: besitzt natürlich dieselben Eigenschaften).

Wie gesagt, diese Menge wird üblicherweise N genannt. Was du unter N
verstehst, ist mir schleierhaft.

[WM]

Post by joes

Post by WM

Post by Moebius

Post by Moebius
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen, wenn
sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1 enthalten,
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.

Nein, die Menge der Stammbrüche ist ebenso wie die Menge der geraden
Zahlen eine induktive Menge. Beide enthalten ℕ nicht.

Nicht mit +1 als Nachfolgerrelation. Mit einem Stammbruch 1/n ist 1+1/n
nicht auch einer.

Seine Definition ist privat. Die habe ich mangels Interesse verworfen.
Sein Satz ist falsch.

Post by joes

Post by WM

Post by Moebius
Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist,
dass N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen "unterbestimmt".

Das ist durch den einfachsten Induktionsbeweis 1 & n ==> n+1 für die
Menge ℕ_def gezeigt. ℕ_def ist Untermenge einer jeden so definierten
Menge (und für Spätzünder: besitzt natürlich dieselben Eigenschaften).

Wie gesagt, diese Menge wird üblicherweise N genannt. Was du unter N
verstehst, ist mir schleierhaft.

Das liegt daran, dass Du folgendes nicht begreifst: Offenkundig führt
die Subtraktion aller Endlichen Anfangsabschnitte von ℕ, deren
Subtraktion von ℕ nicht zur leeren Menge führt, nicht zur leeren Menge -
ob nacheinander oder gleichzeitig bewirkt keinen Unterschied. Die
Vereinigung dieser EAs - und nur sie - fassen wir in ℕ_def zusammen.

Du phantasierst da etwas von Quantorentausch zusammen. Damit hat diese
einfache logische Tatsache nichts zu tun.

Gruß, WM

[joes]

Post by WM

Post by joes

Post by WM

Post by Moebius

Post by Moebius
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen,
wenn sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.

Nein, die Menge der Stammbrüche ist ebenso wie die Menge der geraden
Zahlen eine induktive Menge. Beide enthalten ℕ nicht.

Nicht mit +1 als Nachfolgerrelation. Mit einem Stammbruch 1/n ist 1+1/n
nicht auch einer.

Seine Definition ist privat. Die habe ich mangels Interesse verworfen.
Sein Satz ist falsch.

Wessen Definition von was? Du kannst natürlich 1/n -> 1/(n+1) nehmen,
aber das wiederum gilt dann nicht für N.

Post by WM

Post by joes

Post by WM

Post by Moebius
Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist,
dass N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen
"unterbestimmt".

Das ist durch den einfachsten Induktionsbeweis 1 & n ==> n+1 für die
Menge ℕ_def gezeigt. ℕ_def ist Untermenge einer jeden so definierten
Menge (und für Spätzünder: besitzt natürlich dieselben Eigenschaften).

Wie gesagt, diese Menge wird üblicherweise N genannt. Was du unter N
verstehst, ist mir schleierhaft.

Das liegt daran, dass Du folgendes nicht begreifst: Offenkundig führt
die Subtraktion aller Endlichen Anfangsabschnitte von ℕ, deren
Subtraktion von ℕ nicht zur leeren Menge führt, nicht zur leeren Menge -
ob nacheinander oder gleichzeitig bewirkt keinen Unterschied. Die
Vereinigung dieser EAs - und nur sie - fassen wir in ℕ_def zusammen.

Doch, ich weiß, was du meinst - es ist halt falsch. Jeder (endliche)
AA "führt" zu einer nichtleeren Menge (außer natürlich A(omega)=N,
aber das ist ja nicht endlich). Das gilt auch für die Mengendifferenz
endlich vieler AA von N, aber eben nicht für die Differenz aller, was
unendlich viele sind, praktischerweise genausoviele wie in N. Ihre
Vereinigung wird N genannt.

Post by WM
Du phantasierst da etwas von Quantorentausch zusammen. Damit hat diese
einfache logische Tatsache nichts zu tun.

Du weißt ja nicht einmal, was ein Quantorentausch ist.

[WM]

Post by joes
Jeder (endliche)
AA "führt" zu einer nichtleeren Menge (außer natürlich A(omega)=N,
aber das ist ja nicht endlich). Das gilt auch für die Mengendifferenz
endlich vieler AA von N, aber eben nicht für die Differenz aller, was
unendlich viele sind, praktischerweise genausoviele wie in N. Ihre
Vereinigung wird N genannt.

Offenkundig führt die Subtraktion aller unendlich vielen Endlichen
Anfangsabschnitte von ℕ, deren Subtraktion von ℕ nicht zur leeren Menge
führt, nicht zur leeren Menge - ob nacheinander oder gleichzeitig
bewirkt keinen Unterschied.

Gruß, WM

[Moebius]

Post by Moebius

Post by Moebius

Post by Moebius
Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.
      AM c IR(1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M).
Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle
in Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?

Wenn wir hier einmal Teilmengen von IR /induktiv/ nennen wollen, wenn
sie 1 enthalten und mit jedem n das sie enthalten auch n+1 enthalten,
           N ist Teilmenge jeder induktiven Menge.
Was leider NICHT gesagt wird (außer in Mückenheims Wahnwelt), ist,
dass N selbst induktiv ist. Damit ist N einigermaßen "unterbestimmt".
N kann eine beliebige Teilmenge von IN sein. Also z. B. {}, {1},
{1+1}, {1, 1+1}, {1, (1+1)+1, (((1+1)+1)+1)+1, ...} etc.

Will man N noch etwas genauer "spezifizieren", muss man noch weitere
Eigenschaften von N auflisten.
        1 e N
        An(n e N -> n+1 e N).
Tatsächlich ist N c IR nun durch diese 3 Eigenschaften (und die unter *)
genannten 2 weiteren) _eindeutig_ bestimmt.

Interessant ist noch, dass man aus diesen beiden Axiomen alleine schon
ableiten kann, dass N unendlich ist! D a s wird wohl auch der
Hauptgrund dafür sein, dass diese beiden Axiome in Mückenheims
hanebüchenen "Axiomensystem für IN" fehlen.

Es ist aber auch denkbar, dass er hier - beim Abschreiben einer Vorlage
(z. B. einer Vorlesungsmitschrift) - wieder einmal meinte, etwas
"verbessern" zu müssen.

Die "Erläuterung", die er seinem Axiomensystem folgen lässt

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."

lässt vermuten, dass das Axiomensystem ursprünglich/im Original wohl
tatsächlich die beiden Axiome

1. 1 e IN
2. n e IN -> n+1 e IN ,

umfasst hat, denn ohne Bezugnahme auf diese beiden Axiome (bzw. sehr
ähnliche Axiome) macht die Erläuterung keinen (erkennbaren) Sinn.

Die nachfolgende Erläuterung

"Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
erforderlich..."

legt des weiteren nahe, dass Mückenheim wohl gedacht hat, das
ursprüngliche Axiomensystem

1. 1 e IN
2. n e IN -> n+1 e IN
3. 1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M **)

durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu können.
Nämlich zu

4.1 1 e M
4.2 n e M -> n+1 e M
4.3 Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M

Dümmer geht es kaum noch!

Man kann sich da Franz Lemmermeyers Einschätzung nur anschließen, wenn
er von "Qualitätsunterschieden" spricht "zwischen dem Stoff, den man
auch in vergleichbaren Büchern findet und Dingen, die der Autor
offenkundig selbst verfasst hat".

Es ist bedauerlich, dass Herr Mückenheim sich offenbar nicht mehr an die
Quelle erinnern kann, auf die er sich bei seinem "Axiomensystem für IN"
gestützt hat. Aber man kann wohl mit Sicherheit davon ausgehen, dass das
dort angegebene System nichts mit dem von Mückenheim angegebenen zu tun
hat (siehe Erläuterungen oben).

_________________________________________________________________________

**) For the sake of the argument habe ich hier auf die explizite Nennung
des Allquantors mit der Einschränkung M c IR verzichtet.

Post by Moebius

Post by Moebius

Post by Moebius
_______________________________________________________________________
*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften
An(n e N -> n+1 =/= 1)
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,
die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

[Moebius]

Es ist aber auch denkbar, dass Mückenheim hier - beim Abschreiben einer Vorlage
(z. B. einer Vorlesungsmitschrift) - wieder einmal meinte, etwas
"verbessern" zu müssen.
Die "Erläuterung", die er seinem Axiomensystem folgen lässt
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
lässt vermuten, dass das Axiomensystem ursprünglich/im Original wohl
tatsächlich die beiden Axiome
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN ,
umfasst hat, denn ohne Bezugnahme auf diese beiden Axiome (bzw. sehr
ähnliche Axiome) macht die Erläuterung keinen (erkennbaren) Sinn.
Die nachfolgende Erläuterung
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
legt des weiteren nahe, dass Mückenheim wohl gedacht hat, das
ursprüngliche Axiomensystem
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN
3.         1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M **)
durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu können.
Nämlich zu
4.1        1 e M
4.2        n e M -> n+1 e M
4.3        Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M
Dümmer geht es kaum noch!

@Mückenheim: Was _Ihr_ "Axiomensystem für IN" aussagt, ist
(bestenfalls), dass IN Teilmenge jeder induktiven Menge ist.*) IN könnte
also {}, oder {1}, oder {1, 2}, aber auch {1, 2, 3, ..., max} etc. sein.
Kurz, Ihr "Axiomensystem für IN" lässt IN weitgehend unbestimmt.

Dass Sie zu doof und zu blöde sind, das einzusehen, tut diesem Umstand
keinen Abbruch.

Merkwürdig ist jedenfalls, dass sich Ihre "Erläuterung"

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."

offensichtlich auf die 2 Axiome

4.1 1 e IN
4.2 n e IN -> n+1 e IN

bezieht, und nicht auf die 2 Formeln

4.1 1 e M
4.2 n e M -> n+1 e M ;

oder sehen sehen Sie da irgend eine Bezugnahme auf eine Menge, die mit
"IN" bezeichnet ist/wird?

Es drängt sich wieder einmal der Eindruck auf, dass Sie zu doof und zu
blöde für Mathematik sind, Mückenheim.

______________________________________________________________________

*) Um das einzusehen, sollte man Ihr "System" etwas umstellen, und zwar so:

4. Erfüllt M [die Bedingungen] (4.1) und (4.2), so gilt IN c M.
4.1 1 e M
4.2 n e M -> n+1 e M

.
.
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[Moebius]

Post by Moebius

Es ist aber auch denkbar, dass Mückenheim hier - beim Abschreiben
einer Vorlage (z. B. einer Vorlesungsmitschrift) - wieder einmal
meinte, etwas "verbessern" zu müssen.
Die "Erläuterung", die er seinem Axiomensystem folgen lässt
          "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
           1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
lässt vermuten, dass das Axiomensystem ursprünglich/im Original wohl
tatsächlich die beiden Axiome
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN ,
umfasst hat, denn ohne Bezugnahme auf diese beiden Axiome (bzw. sehr
ähnliche Axiome) macht die Erläuterung keinen (erkennbaren) Sinn.
Die nachfolgende Erläuterung
          "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
           Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
           auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
           erforderlich..."
legt des weiteren nahe, dass Mückenheim wohl gedacht hat, das
ursprüngliche Axiomensystem
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN
3.         1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M **)
durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu können.
Nämlich zu
4.1        1 e M
4.2        n e M -> n+1 e M
4.3        Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M
Dümmer geht es kaum noch!

@Mückenheim: Was _Ihr_ "Axiomensystem für IN" aussagt, ist
(bestenfalls), dass IN Teilmenge jeder induktiven Menge ist.*) IN könnte
also {}, oder {1}, oder {1, 2}, aber auch {1, 2, 3, ..., max} etc. sein.
Kurz, Ihr "Axiomensystem für IN" lässt IN weitgehend unbestimmt.
Dass Sie zu doof und zu blöde sind, das einzusehen, tut diesem Umstand
keinen Abbruch.
Merkwürdig ist jedenfalls, dass sich Ihre "Erläuterung"
           "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
            1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
offensichtlich auf die 2 Axiome
4.1         1 e IN
4.2         n e IN -> n+1 e IN
bezieht, und nicht auf die 2 Formeln
4.1         1 e M
4.2         n e M -> n+1 e M ;
oder sehen sehen Sie da irgend eine Bezugnahme auf eine Menge, die mit
"IN" bezeichnet ist/wird?
Es drängt sich wieder einmal der Eindruck auf, dass Sie zu doof und zu
blöde für Mathematik sind, Mückenheim.
______________________________________________________________________
4.    Erfüllt M [die Bedingungen] (4.1) und (4.2), so gilt IN c M.
      4.1   1 e M
      4.2   n e M -> n+1 e M

Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
Ihres völlig untauglichen "Axiomensystems für IN" darstellen, Mückenheim:

4.1 1 e IN
4.2 n e IN -> n+1 e IN
4.3 Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
4.3.1 1 e M
4.3.2 n e M -> n+1 e M

Aber in diesem Leben werden Sie das wohl nicht mehr einsehen.

Ein letzter Versuch: DANN würden jedenfalls Ihre "Erläuterungen" Sinn
ergeben:

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
und:
"Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
erforderlich..."

.
.
.

[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
       4.3.1   1 e M
       4.3.2   n e M -> n+1 e M

Irgendwo habe ich (mutatis mutandis) mal so etwas gelesen wie:

(4.1), (4.2) und (4.3) legen streng formal/präzise
fest, was mit der Schreibweise IN = {1, 2, 3, ...}
gemeint ist.

Post by Moebius
Aber in diesem Leben werden Sie das wohl nicht mehr

einsehen, Mückenheim.

Post by Moebius
Ein letzter Versuch: DANN würden jedenfalls Ihre "Erläuterungen" Sinn
        "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
         1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
        "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
         Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
         auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
         erforderlich..."
.
.
.

[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
       4.3.1   1 e M
       4.3.2   n e M -> n+1 e M

Irgendwo habe ich (mutatis mutandis) mal so etwas gelesen wie:

(4.1), (4.2) und (4.3) legen streng formal/präzise
fest, was mit der Schreibweise IN = {1, 2, 3, ...}
gemeint ist.

Post by Moebius
Aber in diesem Leben werden Sie das wohl nicht mehr einsehen, Mückenheim.
Ein letzter Versuch: DANN würden jedenfalls Ihre "Erläuterungen" Sinn
        "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
         1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
        "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
         Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
         auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
         erforderlich..."
.
.
.

[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M -> n+1 e M

Die Umstellung dieses Axiomensystems auf

4.1* 1 e M
4.2* n e M -> n+1 e M
4.3* Erfüllt M die Bedingungen (4.1*) und (4.2*), so gilt IN c M.

um das System "zu verschlanken", ist natürlich hirnloser Schwachsinn.

Mathematik ist ganz offensichtlich wirklich "nicht ihr Ding", Mückenheim.

          (4.1), (4.2) und (4.3) legen streng formal/präzise
          fest, was mit der Schreibweise IN = {1, 2, 3, ...}
          gemeint ist.

Post by Moebius
Aber in diesem Leben werden Sie das wohl nicht mehr einsehen, Mückenheim.
Ein letzter Versuch: DANN würden jedenfalls Ihre "Erläuterungen" Sinn
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
.
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[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M -> n+1 e M

Die Umstellung dieses Axiomensystems auf

4.1* 1 e M
4.2* n e M -> n+1 e M
4.3* Erfüllt M die Bedingungen (4.1*) und (4.2*), so gilt IN c M.

um das System "zu verschlanken", ist natürlich hirnloser Schwachsinn.

Mathematik ist ganz offensichtlich wirklich "nicht Ihr Ding", Mückenheim.

          (4.1), (4.2) und (4.3) legen streng formal/präzise
          fest, was mit der Schreibweise IN = {1, 2, 3, ...}
          gemeint ist.

Post by Moebius
Aber in diesem Leben werden Sie das wohl nicht mehr einsehen, Mückenheim.
Ein letzter Versuch: DANN würden jedenfalls Ihre "Erläuterungen" Sinn
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
.
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Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M -> n+1 e M

          (4.1), (4.2) und (4.3) legen streng formal/präzise
          fest, was mit der Schreibweise IN = {1, 2, 3, ...}
          gemeint ist.

Ok, dazu muss man natürlich noch die Definitionen

2 := 1+1
3 := 2+1

kennen.

Denn dann kann man

{1, 2, 3, ...}

auch so schreiben:

{1, 1+1, (1+1)+1, ...}

Und damit ist recht "offensichtlich" die Menge IN gemeint, die durch das
oben genannte Axiomensystem charakterisiert ist. (Im Zweifelsfalle legt
eben dieses Axiomensystem (!) fest, was mit IN = {1, 1+1, (1+1)+1, ...}
gemeint ist.)

Post by Moebius
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
.
.
.

[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M -> n+1 e M

          (4.1), (4.2) und (4.3) legen streng formal/präzise
          fest, was mit der Schreibweise IN = {1, 2, 3, ...}
          gemeint ist.

Ok, dazu muss man natürlich noch die Definitionen

2 := 1+1
3 := 2+1

voraussetzen.

Denn dann kann man

{1, 2, 3, ...}

auch so schreiben:

{1, 1+1, (1+1)+1, ...}

Und damit ist recht "offensichtlich" die Menge IN gemeint, die durch das
oben genannte Axiomensystem charakterisiert ist. (Im Zweifelsfalle legt
eben dieses Axiomensystem (!) fest, was mit IN = {1, 1+1, (1+1)+1, ...}
gemeint ist.)

Post by Moebius
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
.
.
.

[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE
Verbesserung Ihres völlig untauglichen "Axiomensystems für IN"
darstellen, Mückenheim: [...]
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M => n+1 e M

In W. Rautenbergs Buch "Elementare Grundlagen der Analysis" findet man
z. B.

(PIII) Ist M c IN und erfüllt M die beiden Bedingungen
(a) 1 e M, (b) n e M => n+ e M, für alle n,
so ist M = IN.

Rautenberg kommt aber (im Gegensatz zu Mückenheim) nicht auf die
Schnapsidee, uns dieses Axiom -das Induktionsaxiom- als "die Definition
der Menge IN" zu verkaufen. lol.

[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M -> n+1 e M

Eine kleinen Tick besser (ohne allzusehr von der Idee, die Ihrem
"Axiomensystem" zugrunde liegt, abzuweichen) wäre viell. noch:

4.1 1 e IN
4.2 n e IN -> n+1 e IN
4.3 Erfüllt M c IN die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt M = IN.
4.3.1 1 e M
4.3.2 n e M -> n+1 e M

(Bezüglich der Formulierung von 4.3 vgl. mit W. Rautenberg.)

Post by Moebius
        "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
         1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
        "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
         Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
         auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
         erforderlich..."

Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung der
Schreibweise

IN = {1, 2, 3, ...}

ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1
verfügt).

Aus IN = {1, 2, 3, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e IN.
Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das "usw.
nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1 bezieht.
Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die "..." aber
offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die Menge IN neben 1, 2, 3 NUR
solche Elemente enthalten soll - also solche, die (beginnend mit 1)
"nach diesem Schema" gebildet sind. Mit anderen Worten, es soll (4.3)
gelten.

[Moebius]

Post by Moebius
Letztlich würde also das folgende System eine WESENTLICHE Verbesserung
4.1     1 e IN
4.2     n e IN -> n+1 e IN
4.3     Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M -> n+1 e M

Eine kleinen Tick besser (ohne allzusehr von der Idee, die Ihrem
"Axiomensystem" zugrunde liegt, abzuweichen) wäre viell. noch:

4.1 1 e IN
4.2 n e IN -> n+1 e IN
4.3 Erfüllt M c IN die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt M = IN.
4.3.1 1 e M
4.3.2 n e M -> n+1 e M

(Bezüglich der Formulierung von 4.3 vgl. mit W. Rautenberg.)

Post by Moebius
        "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
         1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
        "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
         Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
         auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
         erforderlich..."

Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung der
Schreibweise

IN = {1, 2, 3, ...}

ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1
verfügt).

Aus IN = {1, 2, 3, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e IN.
Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das "usw.
nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1 bezieht.
Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die "..." aber
in diesem Fall offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die Menge IN
neben 1, 2, 3 NUR solche Elemente enthalten soll - also solche, die
(beginnend mit 1) "nach diesem Schema" gebildet sind. Mit anderen
Worten, es soll (4.3) gelten.

[Moebius]

Post by Moebius
Eine kleinen Tick besser (ohne allzusehr von der Idee, die Ihrem
4.1    1 e IN
4.2    n e IN -> n+1 e IN
4.3    Erfüllt M c IN die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt M = IN.
       4.3.1   1 e M
       4.3.2   n e M -> n+1 e M
(Bezüglich der Formulierung von 4.3 vgl. mit W. Rautenberg.)

         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."

Und nein, Herr Mückenheim, man kann dieses (an sich schon recht kompakte
und intuitiv einleuchtende) Axiomensystem NICHT dadurch "vereinfachen"
bzw. "verschlanken", indem man die ursprünglichen Axiome (4.1) und (4.2)
weglässt und stattdessen

4.1 1 e M
4.2 n e M -> n+1 e M
4.3 Erfüllt M c IN die Bedingungen (4.1) und (4.2), so gilt M = IN.

schreibt.

Der hirnlose Hinweis auf den "kompetenten Leser" ("mündigen Studenten")
usw. ändert an diesem Sachverhalt NICHTS, Mückenheim. (4.1), (4.2) und
(4.3) stellen nach dieser Kastration KEIN "Axiomensystem für IN" mehr
dar. Punkt.

Auch Ihre "Erklärung"

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."

macht dann keinen Sinn mehr.

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[Moebius]

Post by Moebius

Post by Moebius
Eine kleinen Tick besser (ohne allzusehr von der Idee, die Ihrem
4.1 1 e IN
4.2 n e IN -> n+1 e IN
4.3 Erfüllt M c IN die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt M = IN.
4.3.1 1 e M
4.3.2 n e M -> n+1 e M
(Bezüglich der Formulierung von 4.3 vgl. mit W. Rautenberg.)

Post by Moebius
"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
"Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
erforderlich..."

Und nein, Herr Mückenheim, man kann dieses (an sich schon recht

kompakte und intuitiv einleuchtende) Axiomensystem NICHT dadurch
"vereinfachen" bzw. "verschlanken", indem man die ursprünglichen Axiome
(4.1) und (4.2) weglässt und stattdessen

Post by Moebius
4.1 1 e M
4.2 n e M -> n+1 e M
4.3 Erfüllt M c IN die Bedingungen (4.1) und (4.2), so gilt M = IN.
schreibt.
Der hirnlose Hinweis auf den "kompetenten Leser" ("mündigen Studenten")
usw. ändert an diesem Sachverhalt NICHTS, Mückenheim. (4.1), (4.2) und
(4.3) stellen nach dieser Kastration KEIN "Axiomensystem für IN" mehr
dar. Punkt.
Auch Ihre "Erklärung"
"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
macht dann keinen Sinn mehr.

ICH jedenfalls kann zwischen

4.1 1 e M
4.2 n e M -> n+1 e M

und Ihrer "Erläuterung"

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."

KEINEN Zusammenhang erkennen. (Aber viell. sind Ihre "kompetenten
Leser", "mündigen Studenten", usw. einfach kompetenter als ich).

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[Moebius]

Post by Moebius
ICH jedenfalls kann zwischen
4.1    1 e M
4.2    n e M -> n+1 e M
und Ihrer "Erläuterung"
       "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
        1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
KEINEN Zusammenhang erkennen. (Aber viell. sind Ihre "kompetenten
Leser", "mündigen Studenten", usw. einfach kompetenter als ich).

Wenn ICH das als Student gelesen hätte, Mückenheim, dann hätte ich auf
einen "typo" (bzw. 2 typos) im Buch getippt und es dem Autor mitgeteilt.

Meine "Vermutung" wäre gewesen, dass der Autor eigentlich hätte

4.1 1 e IN
4.2 n e IN -> n+1 e IN

schreiben wollen.

Natürlich wäre ich dann über Ihr Axiom

4.3 Erfüllt M die Bedingungen (4.1) und (4.2), so gilt IN c M.

gestolpert.

Aber auch hier hätte ich mir gedacht, dass wohl während des
"Redaktionsprozesses" (des Buchs) irgend etwas schief gegangen ist.

Dass also das Axiomensystem eig. so hätte aussehen sollen:

4.1 1 e IN
4.2 n e IN -> n+1 e IN
4.3 Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
4.3.1 1 e M
4.3.2 n e M -> n+1 e M .

DENN DANN hätten auch Ihre "Erläuterungen" zu dem Axiomensystem Sinn
ergeben:

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
und:
"Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die
Einschränkung auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
erforderlich..."

Darüber, wie /n+1/ eig. definiert ist (bzw. wie es für n "definiert"
ist, die keine Zahlen sind), und warum die Axiome

An(n e IN -> n+1 =/= 1)
An,m(n,m e IN -> (n+1 = m+1 -> n = m))

NICHT explizit aufgeführt sind, hätte ich mir zum damaligen Zeitpunkt
wohl noch keine Gedanken gemacht.

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[Moebius]

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ICH jedenfalls kann zwischen
4.1    1 e M
4.2    n e M -> n+1 e M
und Ihrer "Erläuterung"
        "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
         1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
KEINEN Zusammenhang erkennen. (Aber viell. sind Ihre "kompetenten
Leser", "mündigen Studenten", usw. einfach kompetenter als ich).

Wenn ICH das als Student gelesen hätte, Mückenheim, dann hätte ich auf
einen "typo" (bzw. 2 typos) im Buch getippt und es dem Autor mitgeteilt.
Meine "Vermutung" wäre gewesen, dass der Autor eigentlich hätte
4.1    1 e IN
4.2    n e IN -> n+1 e IN
schreiben wollen.
Natürlich wäre ich dann über Ihr Axiom
4.3   Erfüllt M die Bedingungen (4.1) und (4.2), so gilt IN c M.
gestolpert.
Aber auch hier hätte ich mir gedacht, dass wohl während des
"Redaktionsprozesses" (des Buchs) irgend etwas schief gegangen ist.
4.1    1 e IN
4.2    n e IN -> n+1 e IN
4.3    Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
       4.3.1   1 e M
       4.3.2   n e M -> n+1 e M .
DENN DANN hätten auch Ihre "Erläuterungen" zu dem Axiomensystem Sinn
       "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
        1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
       "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
        Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die
        Einschränkung auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
        erforderlich..."
Darüber, wie /n+1/ eig. definiert ist (bzw. wie es für n "definiert"
ist, die keine Zahlen sind), und warum die Axiome
       An(n e IN -> n+1 =/= 1)
       An,m(n,m e IN -> (n+1 = m+1 -> n = m))
NICHT explizit aufgeführt sind, hätte ich mir zum damaligen Zeitpunkt
wohl noch keine Gedanken gemacht.

Ich finde es bedauerlich, dass sich hier keiner der "gelernten
Mathematiker" dazu äußert. Diese NG ist wohl WIRKLICH tot. :-(

Traurig, aber wahr.

P.S. Insgesamt scheint es um die "Intelligenzija" in Deutschland nicht
mehr zum Besten gestellt zu sein.

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ICH jedenfalls kann zwischen
4.1    1 e M
4.2    n e M -> n+1 e M
und Ihrer "Erläuterung"
        "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
         1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
KEINEN Zusammenhang erkennen. (Aber viell. sind Ihre "kompetenten
Leser", "mündigen Studenten", usw. einfach kompetenter als ich).

Wenn ICH das als Student gelesen hätte, Mückenheim, dann hätte ich auf
einen "typo" (bzw. 2 typos) im Buch getippt und es dem Autor mitgeteilt.
Meine "Vermutung" wäre gewesen, dass der Autor eigentlich hätte
4.1    1 e IN
4.2    n e IN -> n+1 e IN
schreiben wollen.
Natürlich wäre ich dann über Ihr Axiom
4.3   Erfüllt M die Bedingungen (4.1) und (4.2), so gilt IN c M.
gestolpert.
Aber auch hier hätte ich mir gedacht, dass wohl während des
"Redaktionsprozesses" (des Buchs) irgend etwas schief gegangen ist.
4.1    1 e IN
4.2    n e IN -> n+1 e IN
4.3    Erfüllt M die Bedingungen (4.3.1) und (4.3.2), so gilt IN c M.
        4.3.1   1 e M
        4.3.2   n e M -> n+1 e M .
DENN DANN hätten auch Ihre "Erläuterungen" zu dem Axiomensystem Sinn
        "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
         1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
        "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
         Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die
         Einschränkung auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
         erforderlich..."
Darüber, wie /n+1/ eig. definiert ist (bzw. wie es für n "definiert"
ist, die keine Zahlen sind), und warum die Axiome
        An(n e IN -> n+1 =/= 1)
        An,m(n,m e IN -> (n+1 = m+1 -> n = m))
NICHT explizit aufgeführt sind, hätte ich mir zum damaligen Zeitpunkt
wohl noch keine Gedanken gemacht.

Ich finde es bedauerlich, dass sich hier keiner der "gelernten
Mathematiker" dazu äußert. Diese NG ist wohl WIRKLICH tot. :-(
Traurig, aber wahr.
P.S. Insgesamt scheint es um die "Intelligenzija" in Deutschland nicht
mehr zum Besten gestellt zu sein.

Ich frage mich, ob sich mal einer der kompetenten Leute die Mühe gemacht
hat, dem Oldenburg bzw. dem De Gruyter Verlag mitzuteilen, dass in
Mückenheims Buch ein Haufen Scheißdreck steht. (Das Wort eines
"gelernten" Mathematikers sollte wohl etwas mehr Gewicht haben als das
Wort eines obskuren "Schrägeinsteigers" ohne einen Universitätsabschluss
in Mathematik.)

Post by Moebius

Post by Moebius
.
.
.

[Blacky Cat]

Post by Moebius
Aus IN = {1, 2, 3, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e IN.
Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten,

Wobei man, mit den nötigen Hintergrund-Wissen sofort auf:

(1 + 1) + 1 e IN. oder:
((1 + 1) + 1) + 1 e IN. oder:
(((1 + 1) + 1) + 1) + 1 e IN. oder usw.

kommt.

So dass dann:

2 := 1 + 1. und:
3 := 2 + 1. und usw.

Quatsch ist wie: Quatsch da lag der Pratsch - oder die Wurzel des ...

Ich erinnere nochmals:
Die Symbole 2, 3, 4, 6, 7, 8, und 9 sind bei der logischen Betrachtung
mit modernen oder Stand der Heutigen Dinge: Quatsch.

Selbst wenn man schon in der Lage ist 4096 QuBits zu verarbeiten: Wir
haben nun einen Quanten-Computer, wissen aber nicht, was wir mit ihm
anfangen oder wie wir ihn programmieren können. [2]

So ist...
- das Symbol: 0 gleich "ein" (1) S.m.Sk. 1, weil: 1. [0]
- das Symbol: 1 gleich "ein" (1) S.m.Sk. 1, weil: 1. [0]
----
- das Symbol: 2 gleich "ein" (1) S.m.Sk. 2, weil: 1 + 1. [1]
- das Symbol: 3 gleich "ein" (1) S.m.Sk. 3, weil: 1 + 1 + 1. [1]
- das Symbol: 4 gleich "ein" (1) S.m.Sk. 4, weil: 1 + 1 + 1 + 1. [1]

[0] bei logischer Betrachtung: 0 = falsch/Strom fließt, 1 = wahr.
[1] bei logischer Betrachtung: ALLE Werte größer ">" null "0" gelten
als wahr/Strom fließt bzw. die Ladung kann gemessen werden.

[2] IBM bietet auf seiner WebSite einen Programmierbaren "virtuellen"
4 Bit Quanten-Computer an, der von Benutzern selbst bedient werden
kann. Allerdings besteht auch hier das Problem, das sämtliche Be-
rechnungen entweder von 1 Bit auf 4 Bit (4 Bit entsprechen 2 QuBit's
umgewandelt und von 4 Bit wieder auf 1 Bit konvertiert werden müssen
was 10 Bit ausmacht; also der Faktor 10 = 1+1+4+4 an Zeitverschwend-
ung darstellt.
Tolle Erfindung also, die Massen an Energie benötigt. Tolle Leistung

Blacky

[Blacky Cat]

Am 25.03.2025 um 06:59 schrieb Blacky Cat:
[...] und hat die Legende vergessen:

Legende:
S.m.Sk entspricht: Symbol mit Stelligkeit.

Blacky

[Moebius]

Am 24.03.2025 um 19:38 schrieb Moebius:

Hier noch etwas für unseren Gruppentroll. :-)

Post by Moebius
Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung der
Schreibweise
            IN = {1, 2, 3, ...}
ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1
verfügt).
Aus IN = {1, 2, 3, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e IN.
Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das "usw.
nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1 bezieht.
Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die "..." aber
in diesem Fall offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die Menge IN
neben 1, 2, 3 NUR solche Elemente enthalten soll - also solche, die
(beginnend mit 1) "nach diesem Schema" gebildet sind. Mit anderen
Worten, es soll (4.3) gelten.

Analog gilt:

Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung der
Schreibweise

IN = {1, 10, 11, ...}

ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 10 = 1 + 1 und 11 = 10 + 1
verfügt).

Aus IN = {1, 10, 11, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 10 = 1 + 1 und 11 = 10 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e
IN. Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das
"usw. nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1 bezieht.
Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die "..." aber
in diesem Fall offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die Menge IN
neben 1, 10, 11 NUR solche Elemente enthalten soll - also solche, die
(beginnend mit 1) "nach diesem Schema" gebildet sind. Mit anderen
Worten, es soll (4.3) gelten.

.
.
.

[Moebius]

Post by Moebius
Hier noch etwas für unseren Gruppentroll. :-)

Post by Moebius
Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung
der Schreibweise
             IN = {1, 2, 3, ...}
ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1
verfügt).
Aus IN = {1, 2, 3, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e
IN. Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das
"usw. nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1
bezieht. Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die
"..." aber in diesem Fall offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die
Menge IN neben 1, 2, 3 NUR solche Elemente enthalten soll - also
solche, die (beginnend mit 1) "nach diesem Schema" gebildet sind. Mit
anderen Worten, es soll (4.3) gelten.

Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung der
Schreibweise
            IN = {1, 10, 11, ...}
ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 10 = 1 + 1 und 11 = 10 + 1
verfügt).
Aus IN = {1, 10, 11, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 10 = 1 + 1 und 11 = 10 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e
IN. Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das
"usw. nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1 bezieht.
Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die "..." aber
in diesem Fall offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die Menge IN
neben 1, 10, 11 NUR solche Elemente enthalten soll - also solche, die
(beginnend mit 1) "nach diesem Schema" gebildet sind. Mit anderen
Worten, es soll (4.3) gelten.

Oder auch:

Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung der
Schreibweise

IN = {1, 11, 111, ...}

ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 11 := 1 + 1 und 111 := 11 +
1 verfügt).

Aus IN = {1, 11, 111, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 11 := 1 + 1 und 111 := 11 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e
IN. Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das
"usw. nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1 bezieht.
Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die "..." aber
in diesem Fall offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die Menge IN
neben 1, 11, 111 NUR solche Elemente enthalten soll - also solche, die
(beginnend mit 1) "nach diesem Schema" gebildet sind. Mit anderen
Worten, es soll (4.3) gelten.

usw.

Post by Moebius
.
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[Blacky Cat]

Post by Moebius
Man kann (4.1), (4.2) und (4.3) als Präzisierung und Konkretisierung der
Schreibweise
            IN = {1, 11, 111, ...}
ansehen (wenn man über das Hintergrundwissen 11 := 1 + 1 und 111 := 11 +
1 verfügt).

hier meinst Du sicherlich die Multiplikation.
Weil, Addition und Multiplikation sind ja in der Betrachtung als gleich
anzusehen-

- dann würde: 1 = 1 = 1.
- dann würde: 11 = 1 * 1 = 1.
- dann würde: 111 = 1 * 1 * 1 = 1.
- ... usw.

ergeben.

womit Du vollkommen richtig liegst.

Blacky

[Blacky Cat]

Post by Moebius
Aus IN = {1, 10, 11, ...} kann man natürlich entnehmen: 1 e IN (4.1),
ebenso (mit 10 = 1 + 1 und 11 = 10 + 1): 1 + 1 e IN und (1 + 1) + 1 e
IN. Die "..." kann man als "usw. nach diesem Schema" deuten, wobei das
"usw. nach diesem Schema" sich offenbar auf die Addition mit 1 bezieht.
Allgemein formuliert: An(n e IN -> n+1 e IN) (4.2). Was die "..." aber
in diesem Fall offenbar NOCH andeuten sollen, ist, dass die Menge IN
neben 1, 10, 11 NUR solche Elemente enthalten soll - also solche, die
(beginnend mit 1) "nach diesem Schema" gebildet sind. Mit anderen
Worten, es soll (4.3) gelten.

das hast Du richtig erkannt, Bravo !

Schon Cantor schrieb, das die Menge IN Elemente "seiners gleichen" ent-
halten soll/muss um bei Logik-Betrachtungen für allgemeingültig erklärt
werden kann.

Das ganze kannst Du auf moderner Art und Weise auch als System verstehen
in dem "NUR KOMPONENTEN DER GLEICHEN ART" vorkommen.

Im übertragenen Sinn stellen diese Komponenten mathematische Individduen
dar, die unterschiedliche Aufgaben erfüllen können, um dann zu eindeutig
zuordbaren Resultaten führen.

Das währe dann hier für Komponente A stellvertretend die 0.
Während es für die Komponente B stellvertretend die 1 sein kann.

Mehr geht dann auch nicht.

Die Individuen können aber durchaus einen zeitlichen Rahmen enthalten in
dem sie verschiedene Aufgaben erledigen können.

Es können auch Komponenten die gleiche Aufgabe erledigen.Dann wird durch
Trigger bestimmt, welche Komponeten verwendet werden.

Mehrere Komponenten nennt man auch Gatter/Array.

Blacky

[Blacky Cat]

Post by Moebius
Die "Erläuterung", die er seinem Axiomensystem folgen lässt
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."

was FALSCH ist !
meine jütte...

richtig wäre:
1 e IN -> 1 + 1 = 1 e IN -> 1 + 1 = 1 e IN usw.

und nicht wie fälschlicherweise:
1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw.

Blacky

[Moebius]

Die "Erläuterung", die Mückenheim seinem "Axiomensystem" folgen lässt
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
lässt vermuten, dass das Axiomensystem ursprünglich/im Original wohl
tatsächlich die beiden Axiome
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN ,
umfasst hat, denn ohne Bezugnahme auf diese beiden Axiome (bzw. sehr
ähnliche Axiome) macht die Erläuterung keinen (erkennbaren) Sinn.
Die nachfolgende Erläuterung
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
legt des weiteren nahe, dass Mückenheim wohl gedacht hat, das
ursprüngliche Axiomensystem
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN
3.         1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M **)

Bei Hilbert ("Über das Unendliche") findet sich ein ganz ähnliches System:

Z(0)
Z(a) -> Z(a+1)
{A(0) & (a)(A(a) -> A(a+1))} -> {Z(a) -> A(a)}

Dabei bedeutet Z(a): "a ist eine natürliche Zahl".

Wenn wir Hilberts System in die Sprache der Mengenlehre übersetzen, mit
Z(x) <-> x e IN und A(x) <-> x e M, und 0 durch 1 ersetzen, dann
erhalten wir tatsächlich das System:

1 e IN
1 e IN -> n+1 e IN
1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M .

Ein Zufall kann das wohl nicht sein.

Jedoch: Dieses (überaus "kompakte" und intuitiv einleuchtende) System

durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu

[wollen].

Nämlich zu
4.1        1 e M
4.2        n e M -> n+1 e M
4.3        Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M

ist Irrsinn.***)

Dümmer geht es kaum noch!
Man kann sich da Franz Lemmermeyers Einschätzung nur anschließen, wenn
er von "Qualitätsunterschieden" spricht "zwischen dem Stoff, den man
auch in vergleichbaren Büchern findet und Dingen, die der Autor
offenkundig selbst verfasst hat".

Franz Lemmermeyer: "die 'Definition' der natürlichen Zahlen [...] auf S.
25 ist hanebüchen; die Existenz des Nachfolgers wird mit dem Axiom der
vollständigen Induktion verwechselt". (Wenn's d a s nur wäre.)

Es ist bedauerlich, dass Herr Mückenheim sich offenbar nicht mehr an die
Quelle erinnern kann, auf die er sich bei seinem "Axiomensystem für IN"
gestützt hat. Aber man kann wohl mit Sicherheit davon ausgehen, dass das
dort angegebene System nichts mit dem von Mückenheim angegebenen zu tun
hat (siehe Erläuterungen oben).
_________________________________________________________________________
**) For the sake of the argument habe ich hier auf die explizite Nennung
des Allquantors mit der Einschränkung M c IR verzichtet.

Post by Moebius
_______________________________________________________________________
*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften
An(n e N -> n+1 =/= 1)
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,
die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

***) Man verliert dadurch 2 WESENTLICHE "Informationen" in Bezug auf IN:
nämlich, dass (i) 1 e IN ist und (ii) dass für alle n e IN gilt: n+1 e
IN. IN ist dann weitgehend unbestimmt; alles was man aufgrund des
Induktionsaxioms über IN weiß, ist, dass es (eine endliche oder
unendliche) Teilmenge jeder "induktiven" Menge ist.

Franz Lemmermeyer: "was dem Autor egal sein kann, da die Menge der
natürlichen Zahlen in seinem Weltbild erstens endlich ist und zweitens
große Lücken hat, folglich sowohl die Existenz eines Nachfolgers wie
auch das Axiom der vollständigen Induktion 'Ausnahmen leidet'".

[Moebius]

Die "Erläuterung", die Mückenheim seinem "Axiomensystem" folgen lässt
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
lässt vermuten, dass das Axiomensystem ursprünglich/im Original wohl
tatsächlich die beiden Axiome
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN ,
umfasst hat, denn ohne Bezugnahme auf diese beiden Axiome (bzw. sehr
ähnliche Axiome) macht die Erläuterung keinen (erkennbaren) Sinn.
Die nachfolgende Erläuterung
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
legt des weiteren nahe, dass Mückenheim wohl gedacht hat, das
ursprüngliche Axiomensystem
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN
3.         1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M **)

Bei Hilbert ("Über das Unendliche") findet sich ein ganz ähnliches System:

Z(0)
Z(a) -> Z(a+1)
{A(0) & (a)(A(a) -> A(a+1))} -> {Z(a) -> A(a)}

Dabei bedeutet Z(a): "a ist eine natürliche Zahl".

Wenn wir Hilberts System in die Sprache der Mengenlehre übersetzen, mit
Z(x) <-> x e IN und A(x) <-> x e M, und 0 durch 1 ersetzen, dann
erhalten wir tatsächlich das System:

1 e IN
1 e IN -> n+1 e IN
1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M .

Ein Zufall kann das wohl nicht sein.

Jedoch: Dieses (überaus "kompakte" und intuitiv einleuchtende) System

durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu [wollen].
Nämlich zu
4.1        1 e M
4.2        n e M -> n+1 e M
4.3        Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M

ist Irrsinn.***)

Franz Lemmermeyer: "die 'Definition' der natürlichen Zahlen [...] auf S.
25 ist hanebüchen; die Existenz des Nachfolgers wird mit dem Axiom der
vollständigen Induktion verwechselt". (Wenn's d a s nur wäre.)

Es ist bedauerlich, dass Herr Mückenheim sich offenbar nicht mehr an die
Quelle erinnern kann, auf die er sich bei seinem "Axiomensystem für IN"
gestützt hat. Aber man kann wohl mit Sicherheit davon ausgehen, dass das
dort angegebene System nichts mit dem von Mückenheim angegebenen zu tun
hat (siehe Erläuterungen oben).

__________________________________________________________________________

***) Man verliert dadurch 2 WESENTLICHE "Informationen" in Bezug auf IN:
nämlich, dass (i) 1 e IN ist und (ii) dass für alle n e IN gilt: n+1 e
IN. IN ist dann weitgehend unbestimmt; alles was man aufgrund des
Induktionsaxioms über IN weiß, ist, dass es (eine endliche oder
unendliche) Teilmenge jeder "induktiven" Menge ist.

Franz Lemmermeyer: "was dem Autor egal sein kann, da die Menge der
natürlichen Zahlen in seinem Weltbild erstens endlich ist und zweitens
große Lücken hat, folglich sowohl die Existenz eines Nachfolgers wie
auch das Axiom der vollständigen Induktion 'Ausnahmen leidet'".

[Moebius]

Die "Erläuterung", die Mückenheim seinem "Axiomensystem" folgen lässt
         "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können
          1 e IN -> 1 + 1 = 2 e IN -> 2 + 1 = 3 e IN usw."
lässt vermuten, dass das Axiomensystem ursprünglich/im Original wohl
tatsächlich die beiden Axiome
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN ,
umfasst hat, denn ohne Bezugnahme auf diese beiden Axiome (bzw. sehr
ähnliche Axiome) macht die Erläuterung keinen (erkennbaren) Sinn.
Die nachfolgende Erläuterung
         "Aber die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen
          Zahlen erfüllen diese Axiome ebenfalls. Für die Einschränkung
          auf die natürlichen Zahlen ist die Bedingung (4.3)
          erforderlich..."
legt des weiteren nahe, dass Mückenheim wohl gedacht hat, das
ursprüngliche Axiomensystem
1.         1 e IN
2.         n e IN -> n+1 e IN
3.         1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M **)

Bei Hilbert ("Über das Unendliche") findet sich ein ganz ähnliches System:

Z(0)
Z(a) -> Z(a+1)
{A(0) & (a)(A(a) -> A(a+1))} -> {Z(a) -> A(a)}

Dabei bedeutet Z(a): "a ist eine natürliche Zahl".

Wenn wir Hilberts System in die Sprache der Mengenlehre übersetzen, mit
Z(x) <-> x e IN und A(x) <-> x e M, und "0" durch "1" (und "a" durch
"n") ersetzen, dann erhalten wir tatsächlich das System:

1 e IN
n e IN -> n+1 e IN
1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M .

Ein Zufall kann das wohl nicht sein.

Jedoch: Dieses (überaus "kompakte" und intuitiv einleuchtende) System

durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu [wollen].
Nämlich zu
4.1        1 e M
4.2        n e M -> n+1 e M
4.3        Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M

ist Irrsinn.***)

Franz Lemmermeyer: "die 'Definition' der natürlichen Zahlen [...] auf S.
25 ist hanebüchen; die Existenz des Nachfolgers wird mit dem Axiom der
vollständigen Induktion verwechselt". (Wenn's d a s nur wäre.)

Es ist bedauerlich, dass Herr Mückenheim sich offenbar nicht mehr an die
Quelle erinnern kann, auf die er sich bei seinem "Axiomensystem für IN"
gestützt hat. Aber man kann wohl mit Sicherheit davon ausgehen, dass das
dort angegebene System nichts mit dem von Mückenheim angegebenen zu tun
hat (siehe Erläuterungen oben).

__________________________________________________________________________

***) Man verliert dadurch 2 WESENTLICHE "Informationen" in Bezug auf IN:
nämlich, dass (i) 1 e IN ist und (ii) dass für alle n e IN gilt: n+1 e
IN. IN ist dann weitgehend unbestimmt; alles was man aufgrund des
Induktionsaxioms über IN weiß, ist, dass es (eine endliche oder
unendliche) Teilmenge jeder "induktiven" Menge ist.

Franz Lemmermeyer: "was dem Autor egal sein kann, da die Menge der
natürlichen Zahlen in seinem Weltbild erstens endlich ist und zweitens
große Lücken hat, folglich sowohl die Existenz eines Nachfolgers wie
auch das Axiom der vollständigen Induktion 'Ausnahmen leidet'".

[Moebius]

Post by Moebius
Wenn wir Hilberts System in die Sprache der Mengenlehre übersetzen, mit
Z(x) <-> x e IN und A(x) <-> x e M, und "0" durch "1" (und "a" durch
              1 e IN
              n e IN -> n+1 e IN
              1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> IN c M .
Ein Zufall kann das wohl nicht sein.
Jedoch: Dieses (überaus "kompakte" und intuitiv einleuchtende) System

durch eine wahrhaft geniale (lol) Abänderung "verschlanken" zu [wollen].
Nämlich zu
4.1        1 e M
4.2        n e M -> n+1 e M
4.3        Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt IN c M

ist Irrsinn.***)

Nicht zuletzt auch deshalb, weil (4.1), wenn es denn ein Axiom WÄRE -
wie Herr Mückenheim in seinem Buch für die ersten Semester behauptet -,
aussagen würde, dass JEDE MENGE die Zahl 1 enthält. Man kann die Leser
seines Buches also nur vor diesem UNSINN warnen!

Wenn aber (4.1) und (4.2) - anders als Mückenheim behauptet - keine
Axiome sind, sondern lediglich 2 "Bedingungen" auf die sich (4.3)
bezieht, dann ist sein "System" in der Tat nichts anderes als eine etwas
verunglückte Formulierung des _Induktionsaxioms_ (vgl. Lemmermeyer).

Wie man das besser macht, zeigt Rautenberg:

(PIII) Ist M c IN und erfüllt M die beiden Bedingungen
(a) 1 e M, (b) n e M => n+ e M, für alle n,
so ist M = IN.

Post by Moebius
Franz Lemmermeyer: "die 'Definition' der natürlichen Zahlen [...] auf S.
25 ist hanebüchen; die Existenz des Nachfolgers wird mit dem Axiom der
vollständigen Induktion verwechselt". (Wenn's d a s nur wäre.)

Es ist bedauerlich, dass Herr Mückenheim sich offenbar nicht mehr an
die Quelle erinnern kann, auf die er sich bei seinem "Axiomensystem
für IN" gestützt hat. Aber man kann wohl mit Sicherheit davon
ausgehen, dass das dort angegebene System nichts mit dem von
Mückenheim angegebenen zu tun hat (siehe Erläuterungen oben).

__________________________________________________________________________
nämlich, dass (i) 1 e IN ist und (ii) dass für alle n e IN gilt: n+1 e
IN. IN ist dann weitgehend unbestimmt; alles was man aufgrund des
Induktionsaxioms über IN weiß, ist, dass es (eine endliche oder
unendliche) Teilmenge jeder "induktiven" Menge ist.
Franz Lemmermeyer: "was dem Autor egal sein kann, da die Menge der
natürlichen Zahlen in seinem Weltbild erstens endlich ist und zweitens
große Lücken hat, folglich sowohl die Existenz eines Nachfolgers wie
auch das Axiom der vollständigen Induktion 'Ausnahmen leidet'".

[Moebius]

Post by Moebius
Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.
     AM c IR(1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M). (*)
Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle in
Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?
_______________________________________________________________________
*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften bezüglich
An(n e N -> n+1 =/= 1)

Diese Behauptung ist leider falsch. Richtig ist, dass man das aus N c IR
und (*) schließen kann. Sorry.

[IR+ ist z. B. eine Teilmenge M von IR für die gilt: 1 e M und An(n e M
-> n+1 e M. Nach dem Induktionsaxiom muss also N c IR+ sein. Wäre nun
für ein n e N n+1 = 1, dann müsste n = 0 sein. 0 ist aber nicht e R+
also auch nicht e N. Widerspruch!]

Allerdings für die folgende Aussage stimmt meine Behauptung (weil das ja
"auf" IR gilt, und damit auch "auf" N c IR).

Post by Moebius
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,
die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

[Moebius]

Post by Moebius
Hier ein neues "Rätsel" welches ich im wesentlichen Mückenheims Buch
"für die ersten Semester" entnommen habe.
     AM c IR(1 e M & An(n e M -> n+1 e M) -> N c M). (*)
Anmerkung: Die explizite Einschränkung auf Teilmengen von IR erfolgt
hier, damit sichergestellt ist, dass die Operation n+1 auch für alle in
Frage kommenden Elemente n _definiert_ ist (eben als die übliche
Addition von n mit 1 auf IR).*)
So, Mückenheim, nun raten Sie mal schön: N = ?
_______________________________________________________________________
*) Man erhält daraus auch sofort zwei wichtige Eigenschaften bezüglich
An(n e N -> n+1 =/= 1)

Diese Behauptung ist leider falsch. Richtig ist, dass man das aus (*)
schließen kann. Sorry.

[IR+ ist z. B. eine Teilmenge M von IR für die gilt: 1 e M und An(n e M
-> n+1 e M. Nach dem Induktionsaxiom muss also N c IR+ sein. Wäre nun
für ein n e N n+1 = 1, dann müsste n = 0 sein. 0 ist aber nicht e R+
also auch nicht e N. Widerspruch!]

Allerdings für die folgende Aussage stimmt meine Behauptung (weil das ja
"auf" IR gilt, und damit auch "auf" N c IR).

Post by Moebius
An,m(n,m e N -> (n+1 = m+1 -> n = m)) ,
die man sich andernfalls aus den Fingern saugen (also -wie Herr
Mückenheim es gerne tut - herbeifantasieren müsste).

[Blacky Cat]

Am 24.03.2025 um 17:27 schrieb Moebius:
[...] wieder einmal viel zu viel.... Quatsch.

Blacky