Jordan-Normalform

[Daniel Arnold]

Hallo

Ich bin daran, mir ein Rezept zusammenzustellen, mit dem ich möglichst
rasch die JDN einer Matrix finde:

1. Eigenwerte bestimmen
2. Die algebraischen Vielfachheiten verraten die Grösse der Jordanblöcke
3. Dim Ker(A-c*I) = Anzahl Jordankästchen zum Eigenwert c
4. Falls nicht nur 1 Kästchen:
(A-c*I) so lange potenzieren, bis Ker(A-c*I)^p = Ker(A-c*I)^p+1
Dann ist p die Länge des grössten Jordankästchens.

Ist das soweit akzeptabel? Was ist aber nun, wenn ich zu einem Eigenwert
z.B. drei Kästchen habe? Ich kenne mit p zwar die Länge des grössten
Kästchens, doch wie lange ist das zweitgrösste?

Grüsse, Daniel

[Michael Karlinsky]

Post by Daniel Arnold
Hallo
Ich bin daran, mir ein Rezept zusammenzustellen, mit dem ich möglichst
1. Eigenwerte bestimmen
2. Die algebraischen Vielfachheiten verraten die Grösse der Jordanblöcke
3. Dim Ker(A-c*I) = Anzahl Jordankästchen zum Eigenwert c
(A-c*I) so lange potenzieren, bis Ker(A-c*I)^p = Ker(A-c*I)^p+1
Dann ist p die Länge des grössten Jordankästchens.
Ist das soweit akzeptabel? Was ist aber nun, wenn ich zu einem Eigenwert
z.B. drei Kästchen habe? Ich kenne mit p zwar die Länge des grössten
Kästchens, doch wie lange ist das zweitgrösste?
Grüsse, Daniel

Hast du erst einmal die Eigenwerte (l_n) der Matrix A, dann berechnest
du für jegen Eigenwert die Rangpartition wie folgt

Rg((A-l_i*I)^0)-Rg((A-l_i*I)^1)=a_1
Rg((A-l_i*I)^1)-Rg((A-l_i*I)^2)=a_2

usw. solange bis die Summe der a_i gleich der algebraischen Vielfachheit
von l_i ist. (I ist die Einheitsmatrix). Nun bildest du das Inverse
(q*_i) der Rangpartition (q_i).

Das geht am besten an einem Beispiel: Sei q=(2,3) die Rangpartition,
dann ist q*=(2,2,1) das Inverse.

###
##

Wie man an dieser kleinen Illustration sehen kann :) zählt man für q die
Kästchen pro Zeile und für q* die Kästchen der Spalte.

q* sind nun die Kästchengrößen für den jeweiligen Eigenwert. Die
Kästchen für alle Eigenwerte zusammen ist dei JNF.

Bsp: l_1=2 , l_2=3, q_1=(3,2), q_2=(1), dann ist
q*_1=(2,2,1) und q*_2=(1) und die, besser eine, JNF ist:

21
02
21
02
2
1

Rest Nullen versteht sich. Dabei kann man die Blöcke der Eigenwerte
vertauschen.


MfG
Michael

PS: Komplizierter wird es, wenn du eine Matrix S finden sollst, für die
S^-1AS=JNF gilt.

[Michael Karlinsky]

Post by Daniel Arnold
Hallo
Ich bin daran, mir ein Rezept zusammenzustellen, mit dem ich möglichst
1. Eigenwerte bestimmen
2. Die algebraischen Vielfachheiten verraten die Grösse der Jordanblöcke
3. Dim Ker(A-c*I) = Anzahl Jordankästchen zum Eigenwert c
(A-c*I) so lange potenzieren, bis Ker(A-c*I)^p = Ker(A-c*I)^p+1
Dann ist p die Länge des grössten Jordankästchens.
Ist das soweit akzeptabel? Was ist aber nun, wenn ich zu einem Eigenwert
z.B. drei Kästchen habe? Ich kenne mit p zwar die Länge des grössten
Kästchens, doch wie lange ist das zweitgrösste?
Grüsse, Daniel

Hast du erst einmal die Eigenwerte (l_n) der Matrix A, dann berechnest
du für jegen Eigenwert die Rangpartition wie folgt

Rg((A-l_i*I)^0)-Rg((A-l_i*I)^1)=a_1
Rg((A-l_i*I)^1)-Rg((A-l_i*I)^2)=a_2

usw. solange bis die Summe der a_i gleich der algebraischen Vielfachheit
von l_i ist. (I ist die Einheitsmatrix). Nun bildest du das Inverse
(q*_i) der Rangpartition (q_i).

Das geht am besten an einem Beispiel: Sei q=(2,3) die Rangpartition,
dann ist q*=(2,2,1) das Inverse.

###
##

Wie man an dieser kleinen Illustration sehen kann :) zählt man für q die
Kästchen pro Zeile und für q* die Kästchen der Spalte.

q* sind nun die Kästchengrößen für den jeweiligen Eigenwert. Die
Kästchen für alle Eigenwerte zusammen ist dei JNF.

Bsp: l_1=2 , l_2=1, q_1=(3,2), q_2=(1), dann ist
q*_1=(2,2,1) und q*_2=(1) und die, besser eine, JNF ist:

21
02
21
02
2
1

Rest Nullen versteht sich. Dabei kann man die Blöcke der Eigenwerte
vertauschen.


MfG
Michael

PS: Komplizierter wird es, wenn du eine Matrix S finden sollst, für die
S^(-1)S=JNF gilt.