Strahlensätze im Trapez ...

[Brigitte]

(Sorry, wenn die Frage zu simpel ist - aber das SchuleMathe-Forum ist tot.)

Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.

Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.

Ich wollte das über die Strahlensätze mal "schnell" zeigen, übersehe aber
dabei irgendetwas - ich krieg's irgendwie nicht hin.

Habe versucht, einen Link zu finden, wo das erklärt wird, habe aber
nichts Erleuchtendes gefunden.

Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen? (Gerne auch mit einem Link).

Danke und Grüße
Brigitte

[Carlo XYZ]

Post by Brigitte
Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen? (Gerne auch mit einem Link).

Idee: Wende den Strahlensatz sowohl bei F als auch bei S an.
(Mit den Teilstrecken der parallelen Seiten des Trapezes.)

[Carlo XYZ]

Post by Carlo XYZ
Idee: Wende den Strahlensatz sowohl bei F als auch bei S an.
(Mit den Teilstrecken der parallelen Seiten des Trapezes.)

Falls dir das zu kurz war: Nenne die beiden Teilstrecken auf AB x und x',
die beiden Teilstrecken auf DC y und y' (definiert durch den Schnitt
der Geraden SF auf AB bzw. DC).
Von S aus: x/y=x'/y', von F aus: x/y'=x'/y, dann kriegst du
durch Ausrechnen wahlweise x'x' = xx oder y'y'=yy, und qed.

(Quergelesen: ich meine, das wäre ähnlich zur RR-Herleitung.)

[Brigitte]

Hallo Carlo,

ganz herzlichen Dank für Deine Erklärung - jetzt hab ich's vollständig
verstanden. Es fehlte wirklich nur ein kleiner Schritt (ich hatte die
richtige Strahlensatzfigur bei F, aber die falschen Seiten angeschaut).
Mir ging's wie Rainer, ich war etwas eingerostet, hab's im Gegensatz
zu ihm aber einfach nicht gesehen ... zwei Tage lang :-((
Also - vielen Dank und
Grüße
Brigitte

[Andreas Leitgeb]

Post by Brigitte
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.

"Obda" nehme ich mal an, dass AB und CD die parallelen Seiten sind,
und dass S aus Sicht von A hinter D, und aus Sicht von B hinter D
liegt. Durch den Diagonalenschnittpunkt F lege ich eine weitere Gerade,
die zu AB und CD parallel ist, und die die Strecke AD in E schneidet,
und die Strecke BC in G (warum hiess der Diagonalenschnittpunkt eigent-
lich F?)

wenn man nun von A aus CD ansieht, dann liegt davor auf der Parallelen
die Strecke FE, wenn man von B aus CD ansieht, liegt GF davor. Daraus
ergibt sich, dass länge(FE) = länge(GF), und somit, dass F die Strecke
EG halbiert.

Der Rest ist dann vermutlich eh schon klar.

Post by Brigitte
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.

[Andreas Leitgeb]

Post by Andreas Leitgeb

Post by Brigitte
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.

"Obda" nehme ich mal an, dass AB und CD die parallelen Seiten sind,
und dass S aus Sicht von A hinter D, und aus Sicht von B hinter D

Es geht nicht ohne Vertipper...
also: ... aus Sicht von B hinter *C* ...

Post by Andreas Leitgeb
liegt. Durch den Diagonalenschnittpunkt F lege ich eine weitere Gerade,
die zu AB und CD parallel ist, und die die Strecke AD in E schneidet,
und die Strecke BC in G (warum hiess der Diagonalenschnittpunkt eigent-
lich F?)
wenn man nun von A aus CD ansieht, dann liegt davor auf der Parallelen
die Strecke FE, wenn man von B aus CD ansieht, liegt GF davor. Daraus
ergibt sich, dass länge(FE) = länge(GF), und somit, dass F die Strecke
EG halbiert.
Der Rest ist dann vermutlich eh schon klar.

Post by Brigitte
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.

[Brigitte]

Post by Andreas Leitgeb
...
wenn man nun von A aus CD ansieht, dann liegt davor auf der Parallelen
die Strecke FE, wenn man von B aus CD ansieht, liegt GF davor.

OK. Soweit verstanden.

Post by Andreas Leitgeb
Daraus ergibt sich, dass länge(FE) = länge(GF), und somit, dass F die Strecke
EG halbiert.

Wieso? Genau an diesem Schritt scheitere ich. Ich hatte auch schon die Idee, mit der parallelen Zusatzgeraden, bin aber hier dann wieder abgebogen.
Woraus ergibt sich, dass länge(FE) = länge(GF) ist? Ich seh das nicht. Sorry.


Gruß Brigitte

[Rainer Rosenthal]

Post by Brigitte
Wieso? Genau an diesem Schritt scheitere ich. Ich hatte auch schon die Idee, mit der parallelen Zusatzgeraden, bin aber hier dann wieder abgebogen.
Woraus ergibt sich, dass länge(FE) = länge(GF) ist? Ich seh das nicht. Sorry.

Mir hat das Argument gefallen, weil der Strahlensatz pfiffig
zweimal verwendet wird.
Die Punkte A und B haben gleichen Abstand von CD und EG!
Ich sag mal nicht mehr, weil Du ja gerne knobelst.

Gruß,
Rainer

[Andreas Leitgeb]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Brigitte
Wieso? Genau an diesem Schritt scheitere ich. Ich hatte auch schon
die Idee, mit der parallelen Zusatzgeraden, bin aber hier dann wieder
abgebogen. Woraus ergibt sich, dass länge(FE) = länge(GF) ist?
Ich seh das nicht. Sorry.

Mir hat das Argument gefallen, weil der Strahlensatz pfiffig
zweimal verwendet wird.

Danke für das Kompliment ;)

Post by Rainer Rosenthal
Die Punkte A und B haben gleichen Abstand von CD und

A und B haben auch gleichen Abstand von

Post by Rainer Rosenthal
EG!

(die Abstände A zu CD und A zu EG sind natürlich nicht gleich;
um da mal eine potentielle Missdeutung vorweg auszuschliessen)

Post by Rainer Rosenthal
Ich sag mal nicht mehr, weil Du ja gerne knobelst.

Ok, dann halt ich da mal vorerst auch noch den Mund :)

[Brigitte]

Post by Andreas Leitgeb

Post by Rainer Rosenthal
Mir hat das Argument gefallen, weil der Strahlensatz pfiffig
zweimal verwendet wird.

Danke für das Kompliment ;)

Post by Rainer Rosenthal
Die Punkte A und B haben gleichen Abstand von CD und

A und B haben auch gleichen Abstand von

Post by Rainer Rosenthal
EG!

(die Abstände A zu CD und A zu EG sind natürlich nicht gleich;
um da mal eine potentielle Missdeutung vorweg auszuschliessen)

Post by Rainer Rosenthal
Ich sag mal nicht mehr, weil Du ja gerne knobelst.

Ok, dann halt ich da mal vorerst auch noch den Mund :)

Hallo Rainer,
Hallo Andreas,

leider hab ich Euren Lösungsweg im Gegensatz zu dem von Carlo noch immer nicht
verstanden.
Wenn ich die parallele Zusatzgerade EG einzeichne, erkenne ich zwei neue Strahlensatzfiguren

(1) mit Scheitel A und Parallelen DC und EF : Notation A (DC, EF)
(2) mit Scheitel B und Parallelen DC und FG : Notation B (DC, FG)

Aus (1) ergibt sich DC/EF = AD/AE
Aus (2) ergibt sich DC/FG = BC/BG

Bin ich jetzt blöd? Wieso ergibt sich hieraus länge(EF)=länge(FG)?
Dass ich denn Zusammenhang nicht sehe, nagt jetzt doch ziemlich an mir :)

Grüße
Brigitte
(am Verzweifeln)

[Andreas Leitgeb]

Post by Brigitte

Post by Andreas Leitgeb

Post by Rainer Rosenthal
Mir hat das Argument gefallen, weil der Strahlensatz pfiffig
zweimal verwendet wird.
Die Punkte A und B haben gleichen Abstand von CD und

A und B haben auch gleichen Abstand von

Post by Rainer Rosenthal
EG!
Ich sag mal nicht mehr, weil Du ja gerne knobelst.

Ok, dann halt ich da mal vorerst auch noch den Mund :)

Hallo Rainer,
Hallo Andreas,
leider hab ich Euren Lösungsweg im Gegensatz zu dem von Carlo noch
immer nicht verstanden. Wenn ich die parallele Zusatzgerade EG
einzeichne, erkenne ich zwei neue Strahlensatzfiguren
(1) mit Scheitel A und Parallelen DC und EF : Notation A (DC, EF)
(2) mit Scheitel B und Parallelen DC und FG : Notation B (DC, FG)
Aus (1) ergibt sich DC/EF = AD/AE
Aus (2) ergibt sich DC/FG = BC/BG

Man kann aus dem Strahlensatz erkennen, dass für jede - die 3 parallelen
Linien kreuzende - Linie mit Schnittpunkten X (entlang AB), Y (entlang EG)
und Z (entlang CD) gilt, dass alle sich aus XY XZ und YZ ergebenden Ver-
hältnisse jeweils konstant - also nur von den parallelen Geraden, nicht
aber von Lage oder Winkel der kreuzenden Linie abhängig sind.

Daraus ergibt sich, dass AD/AE = BC/BG und daraus (zusammen mit deinen
schon erkannten Gleichheiten) wiederum: DC/EF = DC/FG

Letzteres hat Carlo (wenn ich ihn richtig gelesen habe) explizit verwendet,
während ich das als Teil des Strahlensatzes aufgefasst hatte.

PS: Verweiflung zu verursachen war nicht meine Absicht ;-)

[Carlo XYZ]

Post by Andreas Leitgeb
Daraus ergibt sich, dass AD/AE = BC/BG und daraus (zusammen mit deinen
schon erkannten Gleichheiten) wiederum: DC/EF = DC/FG
Letzteres hat Carlo (wenn ich ihn richtig gelesen habe) explizit verwendet,

Hast du nicht, weil die Punkte E und G
bei meinem Argument gar nicht vorkommen.

[Rainer Rosenthal]

Post by Brigitte
Wenn ich die parallele Zusatzgerade EG einzeichne, erkenne ich zwei neue Strahlensatzfiguren
(1) mit Scheitel A und Parallelen DC und EF : Notation A (DC, EF)
(2) mit Scheitel B und Parallelen DC und FG : Notation B (DC, FG)
Aus (1) ergibt sich DC/EF = AD/AE
Aus (2) ergibt sich DC/FG = BC/BG
Bin ich jetzt blöd? Wieso ergibt sich hieraus länge(EF)=länge(FG)?
Dass ich denn Zusammenhang nicht sehe, nagt jetzt doch ziemlich an mir :)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

+ D C
|
+ E F G
|
|
+ A B
____________________________________________________
Diagramm 2
(btte mit Schriftart fester Breite betrachten)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ich habe es so gesehen und nejme an, dass es mit Andreas' Gedanken
übereinstimmt:

Schau Dir die Längenverhältnisse an und vergleiche sie mit dem auf
der absichtlich senkrecht zu den Parallelen gezeichneten "Messlatte"
links vor dem Trapez.

Klingeling?

Gruß,
Rainer

[Stephan Gerlach]

Post by Brigitte

Post by Andreas Leitgeb

Post by Rainer Rosenthal
Mir hat das Argument gefallen, weil der Strahlensatz pfiffig
zweimal verwendet wird.

Danke für das Kompliment ;)

Post by Rainer Rosenthal
Die Punkte A und B haben gleichen Abstand von CD und

A und B haben auch gleichen Abstand von

Post by Rainer Rosenthal
EG!

(die Abstände A zu CD und A zu EG sind natürlich nicht gleich;
um da mal eine potentielle Missdeutung vorweg auszuschliessen)

Post by Rainer Rosenthal
Ich sag mal nicht mehr, weil Du ja gerne knobelst.

Ok, dann halt ich da mal vorerst auch noch den Mund :)

Hallo Rainer,
Hallo Andreas,
leider hab ich Euren Lösungsweg im Gegensatz zu dem von Carlo noch immer nicht
verstanden.
Wenn ich die parallele Zusatzgerade EG einzeichne, erkenne ich zwei neue Strahlensatzfiguren
(1) mit Scheitel A und Parallelen DC und EF : Notation A (DC, EF)
(2) mit Scheitel B und Parallelen DC und FG : Notation B (DC, FG)
Aus (1) ergibt sich DC/EF = AD/AE
Aus (2) ergibt sich DC/FG = BC/BG

Auf fast dieselbe Lösung bin ich (ohne hier vorher nachzugucken) auch
gekommen; ich hatte lediglich AB statt DC verwendet.

Deine beiden Gleichungen nach DC umstellen und gleichsetzen ergibt

DC = EF*AD/AE
DC = FG*BC/BG

=> EF*AD/AE = FG*BC/BG (3)

Hierbei gilt nun (ebenfalls nach Strahlensatz)
AD/AE = BC/BG

Das in (3) eingesetzt ergibt, daß sich diese Längenverhältnisse
rauskürzen, und dann folgt aus (3)

EF = FG.

Post by Brigitte
Bin ich jetzt blöd? Wieso ergibt sich hieraus länge(EF)=länge(FG)?

Siehe oben. Man muß DC umstellen, gleichsetzen und auf die entstehende
Gleichung (3) nochmal den Strahlensatz (aus anderer Perspektive) anwenden.

Aus EF = FG ergibt sich der Rest (wie schon geschrieben wurde) relativ
einfach (Strahlensatz von S aus anwenden auf die 3 Parallelen).

Die Herleitung von Carlo ist BTW auch sehr hübsch, da sie ohne die
Punkte F und G auskommt und lediglich auf einem Wechsel des
"Strahlensatz-Zentrums" beruht, wobei aber jeweils die gleichen Strecken
x, x', y, y' betrachtet werden.

[Carlo XYZ]

Post by Brigitte
(1) mit Scheitel A und Parallelen DC und EF : Notation A (DC, EF)
(2) mit Scheitel B und Parallelen DC und FG : Notation B (DC, FG)
Aus (1) ergibt sich DC/EF = AD/AE
Aus (2) ergibt sich DC/FG = BC/BG
Bin ich jetzt blöd? Wieso ergibt sich hieraus länge(EF)=länge(FG)?

Es geht auch ganz einfach: Deine beiden rechten Seiten sind gleich
(Strahlensatz von S aus), also auch die beiden linken, viz. EF=FG.

[Brigitte]

Hallo an alle,

dank Eurer ausführlichen Erklärungen hab ich jetzt alle Lösungswege
verstanden (!).
Ganz herzlichen Dank dafür. Die Aufgabe mag zwar als Schulmathematik belächelt
werden, aber für mich war das eine sehr wertvolle (Lern-)Erfahrung.

Wenn man etwas spontan nicht sieht, wie bei der Lösung von Rainer und Andreas,
hilft ständiges wiederkäuen des Problems nicht, die Neurone sind erst mal
"eingerastet", bestimmte Ketten aktiviert und ohne Hilfe von außen wird es
schwierig, andere Synapsen zu aktivieren. Das Gehirn arbeitet da
ziemlich reaktiv-automatisch.

(Dieser Effekt ist als "Langzeitpotenzierung" (LTP) aus den Neurowissenschaften
bekannt und kann leider sehr hinderlich sein.
Abhilfe schafft paradoxerweise nur eine längere Pause, damit die corticalen
Engramme wieder verblassen können).

Ich finde den Thread trotz Schulmathematik interessant, weil er das weite
Spektrum der Kreativität zeigt, mit dem Menschen Probleme analysieren und
versuchen zu lösen.
Der - wiederum etwas andere Ansatz von Stefan - der meinen ersten (erfolglosen)
Versuchen ähnelt, ist - wie ich finde - ebenfalls sehr erleuchtend.

Wenn in meiner Schulzeit Mathematik so unterrichtet worden wäre,
wie es hier gerade geschehen ist, wäre ich mutiger gewesen und hätte
das Fach studiert :)

Danke und Grüße
Brigitte

[Rainer Rosenthal]

Post by Brigitte
Wenn in meiner Schulzeit Mathematik so unterrichtet worden wäre,
wie es hier gerade geschehen ist, wäre ich mutiger gewesen und hätte
das Fach studiert :)

Schönes Kompliment, danke.

Die Synapsen-Knüpferei scheint Dir zu gefallen, also sagst Du
vielleicht demnächst: "Hätte ich früher gewusst, wie toll Go ist,
dann hätte ich mich damit sicher intensiver beschäftigt".
:-)

Lieben Gruß,
Rainer
www.rwro.de

[Udo]

Post by Brigitte
...
Wenn man etwas spontan nicht sieht, wie bei der Lösung von Rainer und Andreas,
hilft ständiges wiederkäuen des Problems nicht, die Neurone sind erst mal
"eingerastet", bestimmte Ketten aktiviert und ohne Hilfe von außen wird es
schwierig, andere Synapsen zu aktivieren. Das Gehirn arbeitet da
ziemlich reaktiv-automatisch.
(Dieser Effekt ist als "Langzeitpotenzierung" (LTP) aus den Neurowissenschaften
bekannt und kann leider sehr hinderlich sein.
Abhilfe schafft paradoxerweise nur eine längere Pause, damit die corticalen
Engramme wieder verblassen können).
...

Ich bitte um Nachsicht, wenn ich etwas vom Thema abweiche und dazu keinen neuen
Thread aufmache, da wir im Bereich der Schulmathematik bleiben. Aber zum Thema Denkblockade hier eine kleine Anmerkung:

Einem Bekannten (Philosophiedozent) versuche ich zur Zeit auf seine Bitte hin,
einige Grundlagen der Mathematik nahezubringen, weil er sich mit einigen
Aspekten der modernen Physik (!) näher vertraut machen will. Zur Zeit sind wir
gerade bei den trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.


Interessant ist, wie mein Bekannter die Grundlagen der Schulmathematik
fast stur verinnerlicht hat und sich in seiner Denkblockade als ziemlich
"therapierefraktär" erweist.

Ich habe ihn gebeten, kurz herzuleiten, weshalb gilt: sin(-x) = -sin(x)

Jetzt passiert folgendes:
Der Einheitskreis wird in ein x-y-Koordinatensystem eingezeichnet und ein Punkt
z.B. P(0.8|0.6) auf dem Kreis markiert.
Der y-Achsenabschnitt des Punktes wird korrekt als Sinus und der x-Abschnitt
als Cosinus identifiziert. Dann kommt folgende Argumentation, die zeigt,
wie sehr das kartesische x-y-Koordinatensystem in Fleisch und Blut übergegangen
ist:

"Also: Bei x = 0.8 ist der Y-Wert, also der Sinus positiv mit Wert 0.6.
Wenn ich jetzt auf der x-Achse den Wert x=-0.8 nehme, also nach links gehe,
sehe ich, dass der zugehörige y-Wert ebenfalls positiv (nach oben) geht
und 0.6 beträgt.
Also ist sin(x=0.8) = sin(x=-0.8) bzw. sin(+x) = sin(-x), beide Male positiv."

Ich habe versucht, ihm klarzumachen, dass das, was er da auf der x-Achse
abliest, nicht das Argument ist, das man in die Sinusfunktion sin(x) einsetzt,
sondern den Wert der Cosinus-Funktion darstellt, wenn man die zum Winkel
gehörende Bogenlänge des Kreises in die Sinusfunktion einsetzt.

Durchgedrungen bin ich damit nicht wirklich.
Die x-y-Fixierung ist so stark ausgeprägt, dass sie das Denken nahezu blockiert.
(Ich bin sicher, dass man mit dieser "Argumentation" auch etliche Gymnasialschüler verwirren könnte.)

Wie kann ich einen Philosophen von seiner x-y-Philie oder einen Schüler von seiner kartesischen Zwangsfixierung befreien?
Wie würdet ihr das machen?

mfG
Udo

[Helmut Richter]

Post by Brigitte
dank Eurer ausführlichen Erklärungen hab ich jetzt alle Lösungswege
verstanden (!).
Ganz herzlichen Dank dafür. Die Aufgabe mag zwar als Schulmathematik belächelt
werden, aber für mich war das eine sehr wertvolle (Lern-)Erfahrung.
Wenn man etwas spontan nicht sieht, wie bei der Lösung von Rainer und Andreas,
hilft ständiges wiederkäuen des Problems nicht, die Neurone sind erst mal
"eingerastet", bestimmte Ketten aktiviert und ohne Hilfe von außen wird es
schwierig, andere Synapsen zu aktivieren. Das Gehirn arbeitet da
ziemlich reaktiv-automatisch.
(Dieser Effekt ist als "Langzeitpotenzierung" (LTP) aus den Neurowissenschaften
bekannt und kann leider sehr hinderlich sein.
Abhilfe schafft paradoxerweise nur eine längere Pause, damit die corticalen
Engramme wieder verblassen können).

Ein schönes Beispiel dafür, mit dem man auch Mathematiker verblüffen
kann, ist folgende Aufgabe. Gegeben ein L-förmiges Polygon, und zwar ein
Quadrat, aus dem ein in der Ecke liegendes Quadrat mit halber
Kantenlänge herausgeschnitten ist (muss ich eine Zeichnung dazu
machen?). Man zerlege diese Figur in vier kongruente Teile. Ist nicht
umwerfend schwierig.

Unmittelbar nach der Lösung (aber erst dann!) stellt man die nächste
Aufgabe: Man zerlege ein vollständiges Quadrat in sieben kongruente Teile.

[Andreas Leitgeb]

Post by Helmut Richter
Ein schönes Beispiel dafür, mit dem man auch Mathematiker verblüffen
kann, ist folgende Aufgabe. Gegeben ein L-förmiges Polygon, und zwar ein
Quadrat, aus dem ein in der Ecke liegendes Quadrat mit halber
Kantenlänge herausgeschnitten ist (muss ich eine Zeichnung dazu
machen?). Man zerlege diese Figur in vier kongruente Teile. Ist nicht
umwerfend schwierig.
Unmittelbar nach der Lösung (aber erst dann!) stellt man die nächste
Aufgabe: Man zerlege ein vollständiges Quadrat in sieben kongruente Teile.

Der Schmäh ist hier wohl, dass man bei "kongruente Teile" aufgrund des
Kontextes der vorigen Aufgabe meinen könnte, dass (abgesehen von der
Skalierung) die Kongruenz auch die gesamte Figur inkludieren soll, oder
alternativ, dass die Figuren des neuen Beispiels gar mit denen des vorigen
Beispiels kongruent sein müssten. Man erwartet dann also, dass die Teile
für die Aufgabe entweder quadratisch oder wieder L-förmig sein müssten...

Die Antwort könnte aber schon "recht eckig" sein. ;-)

[Jens Kallup]

Post by Brigitte
(Sorry, wenn die Frage zu simpel ist - aber das SchuleMathe-Forum ist tot.)
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.
Ich wollte das über die Strahlensätze mal "schnell" zeigen, übersehe aber
dabei irgendetwas - ich krieg's irgendwie nicht hin.
Habe versucht, einen Link zu finden, wo das erklärt wird, habe aber
nichts Erleuchtendes gefunden.
Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen? (Gerne auch mit einem Link).
Danke und Grüße
Brigitte

1. In einen Trapez müssen mindestens zwei Seiten parallel zueinander
sein.


1. Satz:
Werden 2 Geraden, die sich schneiden, von zwei Parallelen geschnitten
dann verhalten sich beliebige Abschnitte auf der einen Geraden wie
die entsprechendne Abschnitte auf der anderen Geraden.

Seiten im Trapez:
a (Grundlinie von AB) ist parallel zu c (Grundline von CD)

a||c oder:
b||d

D_____c_____C
/ | \
d /______|______\ b __ __
/ | \ AB AD
/________|________\ ____ = a||c ____ = b||d
A a B __ __
CD BC

Beispiel:

a 4
--- = --- a = 4*4 = 16 / 2 = 8
4 2

2. Satz:
Werden 2 Geraden, die sich schneiden, von zwei Parallelen geschnitten
dann verhalten sich die Parallelabschnitte zwischen den Geraden
zueinander wie die Abschnitte der vom Scheitelpunkt aus gemessenen
Geradenstücke.


Beispiel:
Ja ich weiss, meine künstlerischen Begabungnen sind nicht die Wucht,
aber da unten das Bild sollen zwei Bäume sein (1x 2m, und 1x x Meter)
x kann ausgerechnet werden mittels Dreisatz...

_ <___________________
/| |
/ | |
/ | |
/ | |
/---------->|<------ 2m Hoch |--| = x Meter hoch
/ | | |
/ | | |
/ | | |
/___________|___________| <___________________|

|<--------->|
4m lang
|<--------------------->|
20m lang


x 20 40 20 10
--- = ---- = ---- = ---- = -- x = 10 Meter
2 4 4 2 1

Na mal sehen, was die anderen noch zusteuern können.
Hope this helps!

Jens

[Rainer Rosenthal]

Post by Brigitte
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

D H C

F


A K B
____________________________________________________
Diagramm 1
(btte mit Schriftart fester Breite betrachten)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ich betrachte eine beliebige Gerade durch den Schnittpunkt F
der Trapez-Diagonalen AC und BD, die den Schnittpunkt H mit DC
und den Schnittpunkt K mit AB bildet (s. Diagramm 1).

Nach Strahlensatz gilt, weil AB und DC parallel sind:

[HC]/[AK] = [HD]/[KB] = [FH]/[FK].

Wenn [HD] = [HC] ist, muss also auch [AK] = [KB] sein.

Das bedeutet: Die Mittelpunkte H von [DC] und K von [AB] liegen
auf einer Geraden durch F.

Seien im Folgenden H und K diese Mittelpunkte.
Ich werde zeigen, dass die Gerade HK nicht nur durch F geht,
sondern auch durch den Schnittpunkt S der Trapezschenkel
AD und BC.

Dazu betrachte ich die Gerade SH, mit L bezeichne ich den Schnitt
von SH mit AB.
Wieder wende ich den Strahlensatz an und erkenne, dass [DH]/[HC]
gleich [AL]/[LB] ist. Weil H die Strecke [CD] halbiert, sind diese
beiden Verhältnisse gleich 1, d.h. L halbiert [AB].
Folglich ist L = K.
Damit ist gezeigt, dass K auf der Geraden SH liegt.

Damit ist bewiesen, dass die Punkte S und F auf einer Geraden liegen
mit den Halbierungspunkten H und K. Oder anders ausgedrückt:
Die Gerade SF halbiert die Strecken [AB] und [CD].

Q.E.D.

Mir hat die Aufgabe Spaß gemacht. Ich war eingerostet, habe aber die
Stelle blank scheuern und den Rost wegpusten können.

Mit freundlichem Gruß
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Brigitte]

Post by Rainer Rosenthal
...
Mir hat die Aufgabe Spaß gemacht. Ich war eingerostet, habe aber die
Stelle blank scheuern und den Rost wegpusten können.

Vielen Dank für diese ausführliche Herleitung - So gänzlich anders, als
meine Herangehensweise.
Mir gefallen solche Geometrie-Aufgaben, auch wenn sie Schulstoff sind.
Das "Trapezproblem" ist Teil eines Treitz-Rätsels,

http://www.spektrum.de/raetsel/strecke-halbieren-ohne-zirkel-aber-mit-parallele/1336583

das ich sehr schön fand.

(Übrigens: Benoit Mandelbrot berichtet in einem Vorwort zu einem Buch, dass er im Studium Probleme mit der Analysis hatte und viele Aufgaben erst lösen konnte, nachdem er sie in ein geometrisches Problem verwandeln konnte) :-))

Vielen Dank
Brigitte

Post by Rainer Rosenthal
Mit freundlichem Gruß
Rainer Rosenthal

[Rainer Rosenthal]

Post by Brigitte
Vielen Dank
Brigitte

Dir auch herzlichen Dank für die Info zum Aufgaben-Hintergrund.

Viele Vergnügen mit Mathe weiterhin,
Rainer

P.S. Mich hat der Go-Spiel-Virus erwischt und ich stecke gerne
Leute an. Kannst mich gerne dazu interviewen per Mail.

[Stephan Gerlach]

Post by Brigitte
(Sorry, wenn die Frage zu simpel ist - aber das SchuleMathe-Forum ist tot.)
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.
Ich wollte das über die Strahlensätze mal "schnell" zeigen, übersehe aber
dabei irgendetwas - ich krieg's irgendwie nicht hin.

Es wurden ja nun genug Lösungen mit Erklärungen aufgezeigt.

JFTR: Man kann natürlich auch eine "Brute-Force"-Methode versuchen,
indem man die ganze Figur in ein x-y-Koordinatensystem "einbettet",
dabei meinetwegen o.B.d.A den Punkt A als Koordinatenursprung und B auf
der x-Achse annimmt.
Dann kann mit die gewünschte Aussage mittels Berechnung von Geraden und
deren Schnittpunkten usw. zeigen.
Dies ist natürlich keine besonders elegante Methode, sondern dürfte in
ziemlichen Rechenaufwand ausarten.

[Rainer Rosenthal]

Post by Stephan Gerlach
Dies ist natürlich keine besonders elegante Methode, sondern dürfte in
ziemlichen Rechenaufwand ausarten.

Hmm, wenn man es mit dem nötigen Spaß in Angriff nimmt, kann es auch
eine hübsche Übung sein.

Wenn ich aber etwas mache, um aus der hübschen Aufgabe noch was für
mich zu machen, dann ist es, das "Doppelverhältnis" verstehen zu wollen,
das in der Projektiven Geometrie eine wichtige Rolle spielt.

Damit meine ich Folgendes: wenn wir das Trapez ABCD etwas verzerren,
indem wir AB und CD sich nicht mehr "im Unendlichen schneiden" zu
lassen, sondern in einem Punkt wie Du und ich ... was bleibt dann
Interessantes Zu der Figur zu sagen?

Gruß,
Rainer

[Stephan Gerlach]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Stephan Gerlach
Dies ist natürlich keine besonders elegante Methode, sondern dürfte in
ziemlichen Rechenaufwand ausarten.

Hmm, wenn man es mit dem nötigen Spaß in Angriff nimmt, kann es auch
eine hübsche Übung sein.
Wenn ich aber etwas mache, um aus der hübschen Aufgabe noch was für
mich zu machen, dann ist es, das "Doppelverhältnis" verstehen zu wollen,
das in der Projektiven Geometrie eine wichtige Rolle spielt.
Damit meine ich Folgendes: wenn wir das Trapez ABCD etwas verzerren,
indem wir AB und CD sich nicht mehr "im Unendlichen schneiden" zu
lassen, sondern in einem Punkt wie Du und ich ... was bleibt dann
Interessantes Zu der Figur zu sagen?

Dann hat man erstmal einfach ein Dreieck mit "eingebettetem" Viereck mit
den Diagonalen (des Vierecks).

Alles in dieser Figur ist "unregelmäßig". Nichts ist gleich lang,
orthogonal oder parallel.

[Brigitte]

Post by Rainer Rosenthal
...
Wenn ich aber etwas mache, um aus der hübschen Aufgabe noch was für
mich zu machen, dann ist es, das "Doppelverhältnis" verstehen zu wollen,
das in der Projektiven Geometrie eine wichtige Rolle spielt.
Damit meine ich Folgendes: wenn wir das Trapez ABCD etwas verzerren,
indem wir AB und CD sich nicht mehr "im Unendlichen schneiden" zu
lassen, sondern in einem Punkt wie Du und ich ... was bleibt dann
Interessantes Zu der Figur zu sagen?

Ich grüble hier auch schon, was es bei dieser unregelmäßigen Figur
Interessantes zu entdecken gibt.
Könntest Du uns ein bischen auf die Sprünge helfen, was Du meinst?

Grüße
Brigitte

[Rainer Rosenthal]

Post by Brigitte
Ich grüble hier auch schon, was es bei dieser unregelmäßigen Figur
Interessantes zu entdecken gibt.
Könntest Du uns ein bischen auf die Sprünge helfen, was Du meinst?

Danke fürs Erinnern. Bin noch nicht dazu gekommen, mich zum Thema
"Doppelverhältnis" schlau zu machen, das mir hier zu passen scheint.

Ich stelle mir die Situation bildlich wie folgt vor:
Tisch mit quadratischer Tischplatte mit den Ecken A, B, C, D.
Ich stehe so vor dem Tisch, dass ich senkrecht zur vorderen Tischkante
[AB] oder ihrer Verlängerung AB schaue. Damit schaue ich auch senkrecht
zur hinteren Tischkante CD.
Der Mittelpunkt F der Tischplatte ist der Kreuzungspunkt der Geraden
AC und BD.
Die parallelen Tischkanten [AD] und [BC] erscheinen mir nicht parallel,
sondern die Geraden AD und BC erscheinen mir perspektivisch verzerrt
als Geraden, die im Fluchtpunkt S zusammenlaufen.

So gesehen ist es eine Binsenweisheit, dass die Gerade SF die vordere
und die hintere Tischkante halbiert. Die Streckenverhältnisse auf allen
zur Sehrichtung senkrechten Geraden sind bei der Betrachtungsweise ja
unverändert.

Mit dieser Interpretation begebe ich mich in das Gebiet der projektiven
Geometrie. Im allgemeinen Fall gehen bei perspektivischer Verzerrung
alle Längenverhältnisse zum Teufel, aber es bleibt das sogenannte
Doppelverhältnis. So sagt es jedenfalls mein Hinterkopf. Und da gibt es
nun also was zu entdecken an diesem schönen einfachen Beispiel.

Hoffe, dass es als Sprunghilfe geignet war, und dass ich bei Gelegenheit
mit auf die Hüpfburg kommen werde.

Gruß und "Gut Hupf!",
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Post by Rainer Rosenthal
Mit dieser Interpretation begebe ich mich in das Gebiet der projektiven
Geometrie. Im allgemeinen Fall gehen bei perspektivischer Verzerrung
alle Längenverhältnisse zum Teufel, aber es bleibt das sogenannte
Doppelverhältnis. So sagt es jedenfalls mein Hinterkopf. Und da gibt es
nun also was zu entdecken an diesem schönen einfachen Beispiel.
Hoffe, dass es als Sprunghilfe geignet war, und dass ich bei Gelegenheit
mit auf die Hüpfburg kommen werde.

Na also, mein Hinterkopf hat gut funktioniert, wie ein Blick in die
englische Wikipedia-Seite zum Doppelverhältnis (cross-ratio) zeigt:
https://en.wikipedia.org/wiki/Cross-ratio#Projective_geometry

Unsere "Tischplatte" ABCD heißt dort ABNM.
Der Fluchtpunkt S heißt dort L.
Der "Tischmittelpunkt" F heißt dort K.

Die "Tischkanten vorne und hinten" sind nicht parallel wie in der
Ursprungsaufgabe. Die Verlängerungsgeraden schneiden sich in einem
Punkt V. In der Ursprungsaufgabe ist V unendlich weit entfernt, in
der Wikipedia-Zeichnung ist der Punkt mit C bezeichnet.

Und die gesuchte Besonderheit habe ich gefunden:
Der zwischen A und B konstruierte Punkt ist der Mittelpunkt, wenn V
unendlich weit entfernt ist.
Andernfalls ist er der zu V harmonisch konjugierte Teilungspunkt.

Gruß,
Rainer

[Roland Franzius]

Post by Brigitte
(Sorry, wenn die Frage zu simpel ist - aber das SchuleMathe-Forum ist tot.)
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.

Wenn ich zB ein ziemlich schräges Trapez mit zwei rechten Winkel
zeichne, sieht das aber keineswegs so aus.

[Andreas Leitgeb]

Post by Roland Franzius

Post by Brigitte
(Sorry, wenn die Frage zu simpel ist - aber das SchuleMathe-Forum ist tot.)
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.

Wenn ich zB ein ziemlich schräges Trapez mit zwei rechten Winkel
zeichne, sieht das aber keineswegs so aus.

Selbst wenn man sich den Spezialfall ansieht, wo BC und AD ebenfalls
zueinander parallel sind, und es keinen Punkt S mehr in der Ebene
gibt, dann kann man immernoch durch F eine zu BC und AD parallele
Gerade ziehen, und siehe da: die halbiert die Strecken AB und CD.

Alle anderen Fälle (also jene, in denen es den Punkt S eben doch
gibt) wurden ja schon per Beweis abgekaspert.

Wenn du einen Widerspruch gefunden zu haben glaubst, solltest du den
schon mit einem konkreten Beispiel untermauern, weil er dir sonst
einfach nicht geglaubt werden wird.

[Roland Franzius]

Post by Andreas Leitgeb

Post by Roland Franzius

Post by Brigitte
(Sorry, wenn die Frage zu simpel ist - aber das SchuleMathe-Forum ist tot.)
Gegeben sei ein Trapez mit den Punkten A, B, C, und D.
Verlängert man die beiden Außenkanten (Schenkel) des Trapezes,
so erhält man einen Schnittpunkt S.
Der Schnittpunkt der Diagonalen sei F.
Zieht man nun eine Gerade von S durch F, so werden die beiden
parallelen Seiten des Trapezes (Grundlinien) gerade halbiert.

Wenn ich zB ein ziemlich schräges Trapez mit zwei rechten Winkel
zeichne, sieht das aber keineswegs so aus.

Selbst wenn man sich den Spezialfall ansieht, wo BC und AD ebenfalls
zueinander parallel sind, und es keinen Punkt S mehr in der Ebene
gibt, dann kann man immernoch durch F eine zu BC und AD parallele
Gerade ziehen, und siehe da: die halbiert die Strecken AB und CD.
Alle anderen Fälle (also jene, in denen es den Punkt S eben doch
gibt) wurden ja schon per Beweis abgekaspert.
Wenn du einen Widerspruch gefunden zu haben glaubst, solltest du den
schon mit einem konkreten Beispiel untermauern, weil er dir sonst
einfach nicht geglaubt werden wird.

Vermutlich bin ich entweder ein schlechter Zeichner oder anfällig für
optische Täuschungen.

[Rainer Rosenthal]

Post by Roland Franzius
Vermutlich bin ich entweder ein schlechter Zeichner oder anfällig für
optische Täuschungen.

Elementargeometrie muss ja auch nicht jedem Spaß machen.

Gruß,
Rainer

[Detlef Müller]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Roland Franzius
Vermutlich bin ich entweder ein schlechter Zeichner oder anfällig für
optische Täuschungen.

Elementargeometrie muss ja auch nicht jedem Spaß machen.

Von "kein Spaß" war ja nicht die rede ...

Ich hatte auch erst mal eine Skizze gemacht, in
der das mit der Halbierung nie und nimmer gestimmt
hat ...
mit dem Hintergedanken nun ein Gegenbeispiel
mit Koordinaten zu basteln hatte ich Geogebra
angeworfen und siehe da: dort wurden die Seiten
stets präzise halbiert, wie kurios man auch die
freien Punkte verschiebt.

Die "Fähigkeit" schlechte Skizzen zu machen, ist
nicht zu unterschätzen - das verhindert, mehr in
die Zeichnung herein zu interpretieren, als man
wirklich beweisen kann :)
(Natürlich hilft umgekehrt eine gute Skizze um
nützliche Zusammenhänge als Zwischenaussagen zu
vermuten).

Gruß,
Detlef

[Rainer Rosenthal]

Post by Detlef Müller

Post by Rainer Rosenthal

Post by Roland Franzius
Vermutlich bin ich entweder ein schlechter Zeichner oder anfällig für
optische Täuschungen.

Elementargeometrie muss ja auch nicht jedem Spaß machen.

Von "kein Spaß" war ja nicht die rede ...

In gewisser Weise doch: wenn ich Spaß an solchen einfach
scheinenden Geometrie-Problemen habe, dann mache ich nicht
einfach eine Zeichnung und schreibe dann, dass das wohl
Unsinn sei. Ich gehe dann neugierig etwas näher und versuche
herauszufinden, wie sich die Diskrepanz zwischen geometrischer
Behauptung und zeichnerischer Evidenz erklären lässt.

Gruß,
Rainer

[Andreas Leitgeb]

Post by Detlef Müller
Ich hatte auch erst mal eine Skizze gemacht, in
der das mit der Halbierung nie und nimmer gestimmt
hat ...

Bei einem hinreichend bizarren Trapez wird der Schnitt der Diagonalen
mitunter ein ziemlich schleifender - da sind dann solche "Ergebnisse"
nicht weiter überraschend...