Häufigkeit der Ziffern 0-9

[Hero Wunders]

Hallo!

Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer innerhalb
aller natürlichen Zahlen vorkommt.

Beispiel zur Verdeutlichung:
Menge: {20...30)
Anzahl 0: 2
Anzahl 1: 1
Anzahl 2: 10
Anzahl 3: 2
Anzahl 4: 1
Anzahl 5: 1
Anzahl 6: 1
Anzahl 7: 1
Anzahl 8: 1
Anzahl 9: 1

Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt, bezogen auf die Menge aller
natürlichen Zahlen.

Vielen Dank schonmal für die Informationen!
herojoker

[Markus Steinborn]

Hi Hero,

Post by Hero Wunders
Hallo!
Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer innerhalb
aller natürlichen Zahlen vorkommt.

Suchst Du

www.zmija.de/ziffernanalyse.htm

?



Gruesse

Markus

[Lukas-Fabian Moser]

Hallo,

Post by Hero Wunders
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt, bezogen auf die Menge aller
natürlichen Zahlen.

Bevor du dieser (witzigen) Frage nachgehst, müßtest du erst einmal
präzisieren, was du mit einem "Prozentsatz aller natürlichen Zahlen"
überhaupt meinst: zwar würden vermutlich die meisten Menschen auf der
Straße dem Satz "50 % aller natürlichen Zahlen sind gerade" zustimmen,
aber was bedeutet das genau? Wieviel Prozent aller natürlichen Zahlen
sind Primzahlen? usw.

Grüße, Lukas

[Helmut Richter]

Post by Lukas-Fabian Moser

Post by Hero Wunders
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt, bezogen auf die Menge aller
natürlichen Zahlen.

Bevor du dieser (witzigen) Frage nachgehst, müßtest du erst einmal
präzisieren, was du mit einem "Prozentsatz aller natürlichen Zahlen"
überhaupt meinst: zwar würden vermutlich die meisten Menschen auf der
Straße dem Satz "50 % aller natürlichen Zahlen sind gerade" zustimmen,
aber was bedeutet das genau?

Was die "meisten Menschen auf der Straße" im Kopf haben, wenn sie das
sagen, ist dies (auch wenn fast alle von ihnen das nicht so ausdrücken
könnten): Man betrachtet die Häufigkeit H_n der geraden Zahlen im Abschnitt
0..n und schaut dann, ob lim H_n für n->oo existiert. Der existiert
und ist 1/2, also 50%.

Man hätte natürlich die natürlichen Zahlen auch so aufzählen können:

0, 1, 2, 3, 5, 4, 7, 9, 11, 6, 13, 15, 17, 19, 8, 21, 23, 25, 27, 29, 10, ...

also zwischen zwei geraden Zahlen erst eine, dann zwei, dann drei
usw. ungerade. Bei dieser Aufzählung kommen ganz genauso alle natürlichen
Zahlen genau einmal vor. Die *Menge* der natürlichen Zahlen ist also
dieselbe, nur die *Reihenfolge* ist eine andere. Hier würde aber der Anteil
gerader Zahlen gegen Null gehen. Dieser Anteil ist also keine Eigenschaft
der Menge der Zahlen, sondern nur ihrer Reihenfolge.

Für manche Anwendungen ist es sinnvoll, von einem Anteil in dem Sinne zu
sprechen, dass die kanonische Reihenfolge vorausgesetzt wird. aber man muss
wissen, was man da tut, und darf nicht etwa den Schluss ziehen, dass dieser
Wert von jeder monoton wachsenden Folge von Teilmengen angenommen wird, auch
dann nicht, wenn jede natürliche Zahl in unendlich vielen dieser Mengen
enthalten ist.

Post by Lukas-Fabian Moser
Wieviel Prozent aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen? usw.

In diesem (und nur in diesem!) Sinne Null.

Ach so, die Ausgangsfrage: die Ziffern sind unter dieser Annahme
gleichverteilt. Selbst die Anfangsziffern sind es, und das steht nicht im
Widerspruch zu den Aussagen des in diesem Thread zitierten Artikels.

Helmut Richter

[Pether Hubert]

Post by Helmut Richter
Ach so, die Ausgangsfrage: die Ziffern sind unter dieser Annahme
gleichverteilt. Selbst die Anfangsziffern sind es, und das steht
nicht im Widerspruch zu den Aussagen des in diesem Thread zitierten
Artikels.

Sicher, daß die 0 nicht ein bißchen seltener vorkommt, weil sie nie am
Anfang steht?

Ciao,

Pether

[Helmut Richter]

Post by Pether Hubert

Post by Helmut Richter
Ach so, die Ausgangsfrage: die Ziffern sind unter dieser Annahme
gleichverteilt. Selbst die Anfangsziffern sind es, und das steht
nicht im Widerspruch zu den Aussagen des in diesem Thread zitierten
Artikels.

Sicher, daß die 0 nicht ein bißchen seltener vorkommt, weil sie nie am
Anfang steht?

Soweit sich das auf die Anfangsziffern bezieht, hast du recht. Soweit
es sich auf alle Ziffern bezieht, ist der Anteil der 0 zwar immer ein
wenig kleiner, aber die Differenz geht gegen 0.

Helmut Richter

[André Goerres]

Post by Helmut Richter

Post by Pether Hubert

Post by Helmut Richter
Ach so, die Ausgangsfrage: die Ziffern sind unter dieser Annahme
gleichverteilt. Selbst die Anfangsziffern sind es, und das steht
nicht im Widerspruch zu den Aussagen des in diesem Thread zitierten
Artikels.

Sicher, daß die 0 nicht ein bißchen seltener vorkommt, weil sie nie am
Anfang steht?

Soweit sich das auf die Anfangsziffern bezieht, hast du recht. Soweit
es sich auf alle Ziffern bezieht, ist der Anteil der 0 zwar immer ein
wenig kleiner, aber die Differenz geht gegen 0.
Helmut Richter

Ist es nicht so, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich groß
ist und somit die Menge der einzelnen Ziffern, die darin vorkommen
ebenso? Denn ein Bruchteil einer unendlichen Menge ist immer noch
unendlich groß.
Daraus würde folgen, dass alle Ziffern gleich oft, nämlich unendlich
oft, verteilt werden.

Bitte korrigiert mich, sollte ich mich irren.

[Helmut Richter]

Post by André Goerres
Ist es nicht so, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich groß
ist und somit die Menge der einzelnen Ziffern, die darin vorkommen
ebenso? Denn ein Bruchteil einer unendlichen Menge ist immer noch
unendlich groß.
Daraus würde folgen, dass alle Ziffern gleich oft, nämlich unendlich
oft, verteilt werden.
Bitte korrigiert mich, sollte ich mich irren.

Dein Irrtum besteht darin, dass nicht definiert ist, wovon du
schreibst. Was ist die Hälfte aller natürlichen Zahlen? Die, in denen
keine 3 vorkommt: das sind unendlich viele, genauso wie die, in denen
mindestens eine 3 vorkommt. In der ersten von beiden sind aber die
Ziffern nicht gleichverteilt. Mit dieser Art zu rechnen kann man alles
zeigen - und damit garnichts.

Man muss vorher die Spielregeln festlegen, und wenn man das getan hat
und immer noch etwas herauskommt, kann man sagen: unter diesen
Spielregeln kommt dieses oder jenes heraus.

In meinem ersten Posting hatte ich als Spielregel eine Reihenfolge
angegeben. Und *nur* auf die kommts an:

Satz: Es sei M eine Teilmenge der Menge N natürlichen Zahlen. Dann gilt:

- Ist M endlich, so ist der Anteil der Elemente von M unter den natürlichen
Zahlen Null, unabhängig von der Reihenfolge.

- Ist N\M endlich, so ist der Anteil der Elemente von M unter den natürlichen
Zahlen Eins, unabhängig von der Reihenfolge.

- Sind N und N\M beide unendlich, so gibt es zu jeder reellen Zahl 0 <= r <= 1
eine Reihenfolge, so dass der Anteil der Elemente von M unter den
natürlichen Zahlen gegen r konvergiert, und es gibt auch eine
Reihenfolge, so dass er divergiert.

D.h. wenn man sich nicht auf eine Reihenfolge vorher festlegt, kann
man jedes Ergebnis erzielen, das man will.

Helmut Richter

[Ingo Thies]

Post by Helmut Richter

Post by Pether Hubert
Sicher, daß die 0 nicht ein bißchen seltener vorkommt, weil sie nie am
Anfang steht?

Soweit sich das auf die Anfangsziffern bezieht, hast du recht.

Für die Anfangsziffern, die von Null verschieden sind, gilt übrigens
nicht unbedingt die Gleichverteilung; sofern es sich um Anfangsziffern
von Mess- etc. Größen handelt, dürfte ihre Verteilung eher den
logarithmierten Intervallen zur jeweils nächsten Ziffer entsprechen.
Demnach sollten Werte mit "1" am Anfang fast siebenmal häufiger
vorkommen also solche mit "9" am Anfang. Denn ln (2/1) / ln (10/9) =
6,5788...

Die "0" als Anfangsziffer mit ein zu beziehen, würde schon von daher
keinen Sinn machen; aber auch, weil man vor eine reelle Zahl in
Dezimaldarstellung beliebig viele Nullen voranstellen kann:

pi = 3,14... = 03,14... = 000003,14... usw.

Gruß
Ingo

[Lukas-Fabian Moser]

Hallo,

On 28 Jun 2004 14:24:45 GMT, Helmut Richter

Post by Helmut Richter

Post by Lukas-Fabian Moser
Bevor du dieser (witzigen) Frage nachgehst, müßtest du erst einmal
präzisieren, was du mit einem "Prozentsatz aller natürlichen Zahlen"
überhaupt meinst: zwar würden vermutlich die meisten Menschen auf der
Straße dem Satz "50 % aller natürlichen Zahlen sind gerade" zustimmen,
aber was bedeutet das genau?

Was die "meisten Menschen auf der Straße" im Kopf haben, wenn sie das
sagen, ist dies (auch wenn fast alle von ihnen das nicht so ausdrücken
könnten): Man betrachtet die Häufigkeit H_n der geraden Zahlen im Abschnitt
0..n und schaut dann, ob lim H_n für n->oo existiert. Der existiert
und ist 1/2, also 50%.

Das weiß ich natürlich - mein Hinweis war bewußt so vage gehalten,
damit der Ursprungsposter ein wenig selber forschen konnte.

Grüße, Lukas

[Peter Heckert]

Post by Hero Wunders
Hallo!
Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer innerhalb
aller natürlichen Zahlen vorkommt.
Menge: {20...30)
Anzahl 0: 2
Anzahl 1: 1
Anzahl 2: 10
Anzahl 3: 2
Anzahl 4: 1
Anzahl 5: 1
Anzahl 6: 1
Anzahl 7: 1
Anzahl 8: 1
Anzahl 9: 1
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt, bezogen auf die Menge aller
natürlichen Zahlen.

10% , wenn man führende Nullen zulässt.

Betrachten wir z.B. alle 20stelligen Zahlen (die auch mit Null beginnen
dürfen)

Dann besteht diese Zahlenmenge aus allen möglichen n-tupeln, die man aus
den Ziffern 0-9 bilden kann.
Es gibt ja nicht nur Zahlen, die mit Nullen beginnen, sondern auch z.B.
solche, die nur mit 5-en aufhören, und zwar gleich viele.
Man kann beliebige Zahlsymbole gegeneinander austauschen, ohne dass die
Menge aller n-tupel sich ändert; nur die Reihenfolge der n-tupel ändert
sich dann.

Und jetzt kommts: Man kann jede natürliche Zahl bilden, indem man
genügend viele 20-stellige n-tupel concateniert (aneinanderhängt).
D.h. die natürlichen Zahlen selber bestehen aus allen möglichen
Permutationen aller möglicher 20-stelliger n-tupel. Daher ist die
Ziffernverteilung gleich.

Das Ganze lässt sich natürlich noch einfacher zeigen, wenn man die
natürlichen Zahlen durch Aneinanderhängen von 1-stelligen n-tupeln
bildet, welche jede beliebige Kombination der Ziffern 0-9 enthalten
dürfen ;-)

Ist das jetzt zu unmathematisch, ist es falsch?

Grüsse,

Peter

[Peter Heckert]

Post by Peter Heckert

Post by Hero Wunders
Hallo!
Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer innerhalb
aller natürlichen Zahlen vorkommt.
Menge: {20...30)
Anzahl 0: 2
Anzahl 1: 1
Anzahl 2: 10
Anzahl 3: 2
Anzahl 4: 1
Anzahl 5: 1
Anzahl 6: 1
Anzahl 7: 1
Anzahl 8: 1
Anzahl 9: 1
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt, bezogen auf die Menge aller
natürlichen Zahlen.

10% , wenn man führende Nullen zulässt.

[snip]

Post by Peter Heckert
Das Ganze lässt sich natürlich noch einfacher zeigen, wenn man die
natürlichen Zahlen durch Aneinanderhängen von 1-stelligen n-tupeln
bildet, welche jede beliebige Kombination der Ziffern 0-9 enthalten
dürfen ;-)
Ist das jetzt zu unmathematisch, ist es falsch?

Kann man das nicht durch Induktion zeigen?

Eine beliebige Ziffer kommt in allen n-stelligen n-tupeln mit der
Häufigkeit 10% vor.
Daraus folgt, dass dieselbe Ziffer in allen n+1-stelligen tupeln
ebenfalls mit der Häufigkeit 10% vorkommt...

;-)

peter

[Hero Wunders]

Post by Peter Heckert

Post by Peter Heckert

Post by Hero Wunders
Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer
innerhalb aller natürlichen Zahlen vorkommt.
...
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt...

10% , wenn man führende Nullen zulässt.
Betrachten wir z.B. alle 20stelligen Zahlen (die auch mit
Null beginnen dürfen)
Dann besteht diese Zahlenmenge aus allen möglichen n-tupeln, die man
aus den Ziffern 0-9 bilden kann.
Es gibt ja nicht nur Zahlen, die mit Nullen beginnen, sondern auch
z.B. solche, die nur mit 5-en aufhören, und zwar gleich viele.
Man kann beliebige Zahlsymbole gegeneinander austauschen, ohne dass
die Menge aller n-tupel sich ändert; nur die Reihenfolge der n-tupel
ändert sich dann.
Und jetzt kommts: Man kann jede natürliche Zahl bilden, indem man
genügend viele 20-stellige n-tupel concateniert (aneinanderhängt).
D.h. die natürlichen Zahlen selber bestehen aus allen möglichen
Permutationen aller möglicher 20-stelliger n-tupel. Daher ist die
Ziffernverteilung gleich.
Das Ganze lässt sich natürlich noch einfacher zeigen, wenn man die
natürlichen Zahlen durch Aneinanderhängen von 1-stelligen n-tupeln
bildet, welche jede beliebige Kombination der Ziffern 0-9 enthalten
dürfen ;-)

Kann man das nicht durch Induktion zeigen?
Eine beliebige Ziffer kommt in allen n-stelligen n-tupeln mit der
Häufigkeit 10% vor.
Daraus folgt, dass dieselbe Ziffer in allen n+1-stelligen tupeln
ebenfalls mit der Häufigkeit 10% vorkommt...

Klingt gut! Leuchtet mir ein.
Danke dafür!

herojoker
P.S.: Redest du eigentlich häufig mit dir selbst?

[Peter Heckert]

Hallo Hero,

Post by Hero Wunders

Post by Peter Heckert

Post by Peter Heckert

Post by Hero Wunders
Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer
innerhalb aller natürlichen Zahlen vorkommt. ...
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt...

10% , wenn man führende Nullen zulässt.

[snip]

Post by Hero Wunders

Post by Peter Heckert
Kann man das nicht durch Induktion zeigen?
Eine beliebige Ziffer kommt in allen n-stelligen n-tupeln mit der
Häufigkeit 10% vor.
Daraus folgt, dass dieselbe Ziffer in allen n+1-stelligen tupeln
ebenfalls mit der Häufigkeit 10% vorkommt...

Klingt gut! Leuchtet mir ein.
Danke dafür!

Vorsicht! Versuche besser nicht vor Fachkreisen oder im Unterricht damit
zu glänzen, Du könntest in Fettnäpfchen treten ;-)

Die Vorstellung einer aktuellen unendlichen Menge von natürlichen
Zahlen, die in Ziffern kodiert ist, ist nämlich zwangsläufig paradox.

Es müsste dann nämlich mehr codetragenden Positionen im Raum, oder in
welchem Medium auch immer geben, als natürliche Zahlen ;-)
Zumindest physikalisch ist die Vorstellung paradox, und wie die
Mathematiker damit fertig werden, war mir schon immer suspekt und
unklar.

Man könnte allenfalls einen Algorithmus bilden, der eine solche Menge
generieren könnte, wenn er mehr Codeschritte ausführen dürfte, als es
natürliche Zahlen gibt ;-)

So, jetzt sind die Mathematiker gefragt, um zu erklären, warum das
Problem lösbar oder unlösbar ist ;-)

;-)

Post by Hero Wunders
herojoker
P.S.: Redest du eigentlich häufig mit dir selbst?

Das ist ein Thema, über das man lebenslange Selbstgespräche führen kann.
Sowas lässt mich nicht ruhen, und spätestens, wenn ich was darüber
gepostet habe, fällt mir ein, dass man dies und das unbedingt noch
dazusagen muss ;-)

Grüsse,

Peter

[Peter Heckert]

Die Vorstellung einer aktuellen unendlichen Menge von natürlichen Zahlen,
die in Ziffern kodiert ist, ist nämlich zwangsläufig paradox.
Es müsste dann nämlich mehr codetragenden Positionen im Raum, oder in
welchem Medium auch immer geben, als natürliche Zahlen ;-) Zumindest
physikalisch ist die Vorstellung paradox, und wie die Mathematiker damit
fertig werden, war mir schon immer suspekt und unklar.

Im Eindimensionalen geht das nicht, man braucht mindestens einen
2-dimensional unendlichen Raum, damit diese unendliche Menge aktuell
existieren kann.

Post by Hero Wunders
herojoker
P.S.: Redest du eigentlich häufig mit dir selbst?

Das ist ein Thema, über das man lebenslange Selbstgespräche führen
kann. Sowas lässt mich nicht ruhen, und spätestens, wenn ich was
darüber gepostet habe, fällt mir ein, dass man dies und das unbedingt
noch dazusagen muss ;-)

Wie schon gesagt ;-)

Grüsse,
Peter

[Thomas Schuermann]

Post by Peter Heckert

Post by Hero Wunders
Hallo!
Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer innerhalb
aller natürlichen Zahlen vorkommt.
...
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt, bezogen auf die Menge aller
natürlichen Zahlen.

10% , wenn man führende Nullen zulässt.
Betrachten wir z.B. alle 20stelligen Zahlen (die auch mit Null beginnen
dürfen)

Hallo Peter,

ich finde Deine Argumentation plausibel. Allerdings finde ich es auch
interessant zu fragen, ob das Zulassen von führenden Nullen einen
Einfluß auf die Häufigkeiten hat. Oder ob diese Restriktion auf ganz
IN vom Maß Null ist, denn solche Zahlen wie z.B. 00000000000xyz...
gibt es ja recht viele und die Null könnte bei deiner Vorgehensweise
in der Häufigkeit möglicherweise sehr stark überbewertet werden.

Die Abzählung des Ereignisraumes (d.h. die Kombinatorik), wenn man
führende Nullen verbietet, dürfte ja nicht zu kompliziert werden.

Gruß,
Thomas

[Matthias Maennich]

Post by Thomas Schuermann

Post by Peter Heckert

Post by Hero Wunders
Hallo!
Mich interessiert, wie häufig, durchschnittlich, jede Ziffer innerhalb
aller natürlichen Zahlen vorkommt.
...
Und das ganze dann in Prozent ausgedrückt, bezogen auf die Menge aller
natürlichen Zahlen.

10% , wenn man führende Nullen zulässt.
Betrachten wir z.B. alle 20stelligen Zahlen (die auch mit Null beginnen
dürfen)

Hallo Peter,
ich finde Deine Argumentation plausibel. Allerdings finde ich es auch
interessant zu fragen, ob das Zulassen von führenden Nullen einen
Einfluß auf die Häufigkeiten hat. Oder ob diese Restriktion auf ganz
IN vom Maß Null ist, denn solche Zahlen wie z.B. 00000000000xyz...
gibt es ja recht viele und die Null könnte bei deiner Vorgehensweise
in der Häufigkeit möglicherweise sehr stark überbewertet werden.
Die Abzählung des Ereignisraumes (d.h. die Kombinatorik), wenn man
führende Nullen verbietet, dürfte ja nicht zu kompliziert werden.
Gruß,
Thomas

Hi,

ich bin der Meinung, dass führende Nullen lediglich eine Darstellungsform sind. Es würde also keinen Sinn ergeben, sie in diese Betrachtung mit hineinzubeziehen.
Andernfalls muss man davon ausgehen, dass die Null dann natürlich dominieren würde. Das kann man sich einfach daran klar machen, dass jede m-stellige Zahl mit mindestens m+1 (besser: unendlich) Nullen davor dargestellt werden kann.

Gruß, Metti

[Thomas Schuermann]

Post by Matthias Maennich
ich bin der Meinung, dass führende Nullen lediglich eine Darstellungsform
sind. Es würde also keinen Sinn ergeben, sie in diese Betrachtung mit
hineinzubeziehen.
Andernfalls muss man davon ausgehen, dass die Null dann natürlich dominieren
würde. Das kann man sich einfach daran klar machen, dass jede m-stellige Zahl
mit mindestens m+1 (besser: unendlich) Nullen davor dargestellt werden kann.

Hallo Matthias,

das mit der Darstellung sehe ich ein. Habe mir daraufhin mal Gedanken
zu der absoluten Haufigkeit von n-stelligen Zahlen mit genau ki-maligem
auftreten der Ziffer i gemacht. Soweit ich das ueberschauen kann bekommt
man fuer diese Haeufigkeit:

h_n(ki) =(n ueber ki) (m-1)^(n-ki)

fuer ki = 0,...,n. Dies muesste auch fuer die Ziffern von n-stelligen
Zahlen aus dem Intervall [0,1[ zutreffen. Dort koennte man uebrigens
die Sache mit den fuehrenden Nullen durch den Dezimalpunkt
umgehen (.000024525).

Durch Summation der obige Terme ueber ki sieht man, dass es
insgesamt m^n Zahlen mit genau n Stellen gibt (klar). Also ergibt sich
fuer die relative Haufigkeit (Normierung)

r_n(ki) = h_n(ki) / m^n.

Nun kann man fragen, wie haeufig die Ziffer i in einer
Zahl mit n Stellen im Durchnitt vorkommt. Es ergibt sich

<ki> = n/m

Und fuer die Varianz habe ich das Ergebnis

Var(ki) = (m-1)n/m^n

Da die Varianz im Grenzwert n-->oo fuer m>1 verschwindet, so ergibt
sich demnach die Behauptung der Gleichverteilung fast sicher, d.h.

ki/n --> 1/m (fast sicher)

fuer alle i aus {0,1,...,m-1}.

Wenn man also zufaellig eine Zahl mit sehr vielen (oo) Stellen n
herausgreift, dann ist es fast sicher eine Zahl zu erwischen deren Ziffern
gleichverteilt sind.

Ciao,
Thomas

[Paul Ebermann]

Post by Peter Heckert
Und jetzt kommts: Man kann jede natürliche Zahl bilden, indem man
genügend viele 20-stellige n-tupel concateniert (aneinanderhängt).
D.h. die natürlichen Zahlen selber bestehen aus allen möglichen
Permutationen aller möglicher 20-stelliger n-tupel. Daher ist die
Ziffernverteilung gleich.

Aufpassen: Nicht jede Verkettung von oo vielen 20-Tupeln
ergibt eine natürliche Zahl - genauer fast keine (nur die,
die irgendwann nur noch aus 0-en bestehen).

Wenn du so herangehst, hat die 0 die Häufigkeit 100%, die
anderen Ziffern eine von 0%.


Paul

[Peter Heckert]

Post by Peter Heckert
Und jetzt kommts: Man kann jede natürliche Zahl bilden, indem man
genügend viele 20-stellige n-tupel concateniert (aneinanderhängt).
D.h. die natürlichen Zahlen selber bestehen aus allen möglichen
Permutationen aller möglicher 20-stelliger n-tupel. Daher ist die
Ziffernverteilung gleich.

Aufpassen: Nicht jede Verkettung von oo vielen 20-Tupeln ergibt eine
natürliche Zahl - genauer fast keine (nur die, die irgendwann nur noch
aus 0-en bestehen).
Wenn du so herangehst, hat die 0 die Häufigkeit 100%, die anderen Ziffern
eine von 0%.

Ich habe mir einen anderen Beweis ausgedacht, ohne führende Nullen:

Wir schreiben alle natürlichen Zahlen bis oo auf, so dass sie
rechtsbündig sind:

(Man kann sie auch rückwärts aufschreiben, falls links davon zuwenig
Platz für unendlich viele Spalten ist:)

......................1
......................2

......................9
.....................10
.....................11

.....................20


usw.

(Ok, ich hab ein paar ausgelassen, die muss man sich dazudenken:)

NUn bestimmen wir die Häufigkeit jeder Ziffer in der letzten Spalte.
Dann in der vorletzen Spalte.
Die vorletzte Spalte ist ja eigentlich nur eine Wiederholung der letzten
Spalte, nur dass jede Ziffer 10-mal hintereinander vorkommt.
In der vorvorletzen Spalte kommt jede Ziffer 100 mal wiederholt vor.

Wenn man das unendlich fortsetzt, wird klar, dass jede Ziffer in jeder
unendlich hohen Spalte mit 10% relativer Häufigkeit vorkommt.

;-)

peter

[Peter Heckert]

Ich schreibe die Zahlen mal rückwärts (least significant digit zuerst) auf:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
01
11
21
31
.
.
02
12
22
32
.
.
03
13
23
.
.
.
89
99
.
.

usw. bis unendlich.
oo


Man sieht, dass jede Ziffer in jeder unendlich tiefen senkrechten Spalte
mit 10% Häufigkeit auftritt.
Auch führende Nullen würden nichts daran ändern.

D.h. die Häufigkeit der Ziffern in der Menge der natürlichen Zahlen ist
unabhängig von den führenden Nullen.

Zahlen sind ein Konstrukt des menschlichen Geistes.
Deshalb sind sie letztlich paradox.

Die Logik der Natur ist anders.

Wenn ich einem Objekt die Ordnungszahl 1 zuordne, dann ist das eine
völlig willkürliche Handlung. Es ist auch willkürlich, wenn ich eine
bestimmte Wahrnehmung als ein getrenntes Objekt betrachte, die Wahrnehmung
wird durch unsere Sinnesorgane bestimmt.

Übrigens ist es unmöglich, Primzahlen zu berechnen, ohne Zahlen voll
auszuschreiben. Daher muss auch die unendliche Menge der Primzahlen
paradoxe Eigenschaften haben.

So gesehen, erscheint die Gödelisierung in einem ganz anderen Licht.

;-)

peter

[Jutta Gut]

Post by Peter Heckert
Wenn ich einem Objekt die Ordnungszahl 1 zuordne, dann ist das eine
völlig willkürliche Handlung.

Ok, wenn du Schafe zählst, sehe ich das ein. Aber was ist z.B. mit dem
1., 2., 3. ... Lebensjahr eines Menschen?

Gruß
Jutta

[Ingo Menger]

Post by Peter Heckert
Übrigens ist es unmöglich, Primzahlen zu berechnen, ohne Zahlen voll
auszuschreiben.

Wie ist das zu verstehen? Ist die Darstellungsweise 2n+1, mit der ich
jede Primzahl außer der 2 darstellen kann, "voll ausgeschrieben"?
Kann man irgendwelche anderen Zahlen berechnen, ohne sie "voll
auszuschreiben"?