Topologie für Anfänger

[Thilo Schmitt]

Hallo an alle,

ich bereite mich gerade auf eine Matheprüfung vor und hab da eine kleine
Frage trotz Recherche nicht endgültig klären können (bzw. ich steh
völlig auf dem Schlauch).

Gibt es kompakte Mengen, die nicht zusammenhängend sind? Was wäre dafür,
falls existent, ein möglichst einfaches Beispiel

Mein Wissensstand der Termini:
* Eine Menge heißt kompakt, falls sie abgeschlossen ist (also Randpunkte
mit zur Menge gehören) und falls sie beschränkt ist (also es eine Kugel
um den Ursprung gibt, die diese Menge vollständig enthält).
* Eine Menge heißt zusammenhängend, falls es für zwei Punkte aus dieser
Menge immer eine Raumkurve gibt, die diese verbindet und die vollständig
in der Menge verläuft.

Vielen Dank im Voraus!

Gruß
Thilo

[Lukas-Fabian Moser]

Hallo,

On Thu, 18 Aug 2005 14:32:35 +0200, Thilo Schmitt

Post by Thilo Schmitt
Gibt es kompakte Mengen, die nicht zusammenhängend sind? Was wäre dafür,
falls existent, ein möglichst einfaches Beispiel

Ja, beispielsweise die Vereinigung der Intervalle [0,1] und [2,3].

Grüße, Lukas

[Thilo Schmitt]

Post by Lukas-Fabian Moser

Post by Thilo Schmitt
Gibt es kompakte Mengen, die nicht zusammenhängend sind? Was wäre dafür,
falls existent, ein möglichst einfaches Beispiel

Ja, beispielsweise die Vereinigung der Intervalle [0,1] und [2,3].

Uffz, peinlich. Das war zu einfach. Danke.

Da habe ich aber gleichmal ne Anschlussfrage:

* Satz über Min/Max (etwas allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
* Zwischenwertsatz (allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
zusammenhängende Menge auf zusammenhägende Mengen ab.

Gibts den Mittelwertsatz, den man so aus der Analysis mit einr
Veränderlichen kennt auch so schön allgemein?

Gruß
Thilo

[BaluderBär]

Post by Thilo Schmitt
* Satz über Min/Max (etwas allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
* Zwischenwertsatz (allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
zusammenhängende Menge auf zusammenhägende Mengen ab.

Beide Aussagen sind richtig.

[fiesh]

Post by Thilo Schmitt
* Satz über Min/Max (etwas allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
* Zwischenwertsatz (allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
zusammenhängende Menge auf zusammenhägende Mengen ab.
Gibts den Mittelwertsatz, den man so aus der Analysis mit einr
Veränderlichen kennt auch so schön allgemein?

Der Mittelwertsatz benoetigt den Ableitungsbegriff, daher kann es ihn
nicht in der Art fuer beliebige topologische Raeume geben.

[Klaus-R. Loeffler]

Post by Thilo Schmitt

Post by Lukas-Fabian Moser

Post by Thilo Schmitt
Gibt es kompakte Mengen, die nicht zusammenhängend sind? Was wäre dafür,
falls existent, ein möglichst einfaches Beispiel

Ja, beispielsweise die Vereinigung der Intervalle [0,1] und [2,3].

Uffz, peinlich. Das war zu einfach. Danke.
* Satz über Min/Max (etwas allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
* Zwischenwertsatz (allgemeiner): Stetige Funktionen bilden
zusammenhängende Menge auf zusammenhägende Mengen ab.
Gibts den Mittelwertsatz, den man so aus der Analysis mit einr
Veränderlichen kennt auch so schön allgemein?

Der Mittelwertsatz gilt allgemeiner für differenzierbare Abbildungen aus
einem normierten Vektorraum in die reellen Zahlen. Er gilt nicht für
differenzierbare Abbildungen aus einem normierten Vektorraum in einen
solchen, - schon beim der Zielmenge R^2 klappt das nicht mehr.
Allerdings gibt es als Ersatz einen Approximationssatz, der bei etlichen
Anwendungen in Beweisen anstelle des Mittelwertsatzes ausreicht.

Klaus-R.

[Ulrich Thiel]

Post by Klaus-R. Loeffler
Der Mittelwertsatz gilt allgemeiner für differenzierbare Abbildungen aus
einem normierten Vektorraum in die reellen Zahlen.

Man braucht einen Banachraum, oder? Nur normiert, reicht glaube ich
nicht...

[Klaus-R. Loeffler]

Post by Ulrich Thiel

Post by Klaus-R. Loeffler
Der Mittelwertsatz gilt allgemeiner für differenzierbare Abbildungen aus
einem normierten Vektorraum in die reellen Zahlen.

Man braucht einen Banachraum, oder? Nur normiert, reicht glaube ich
nicht...

Ich denke schon. Man untersucht ja z.B. eine Strecke ab im Inneren des
Differenzierbarkeitsbereichs der betrachteten Funktion und reduziert
beim erstgenannten Fall den Beweis für reellwertige Funktionen auf den
klassischen Mittelwertsatz durch Betrachtung der Hilfsfunktion g mit
g(t)= a+t(b-a) für t aus [0;1] ; dabei wird nur die Vollständigkeit von
R benötigt.
Und auch beim Approximationssatz reicht es, wenn die Vektorräume
normiert sind.

[Oliver Vogel]

On Thu, 18 Aug 2005 14:32:35 +0200, Thilo Schmitt

Post by Thilo Schmitt
Gibt es kompakte Mengen, die nicht zusammenhängend sind? Was wäre
dafür, falls existent, ein möglichst einfaches Beispiel

Wurde schon beantwortet, ja.

Post by Thilo Schmitt
* Eine Menge heißt kompakt, falls sie abgeschlossen ist (also
Randpunkte mit zur Menge gehören) und falls sie beschränkt ist (also
es eine Kugel um den Ursprung gibt, die diese Menge vollständig
enthält).

In endlichdimensionalen normierten Räumen (über |R oder |C) ist das
äquivalent zur Kompaktheit, ja.
Im allgemeinen definiert man Kompaktheit aber über offene Überdeckungen
(jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung) oder über
Netze (jedes Netz besitzt ein konvergentes Teilnetz).

Post by Thilo Schmitt
* Eine Menge heißt zusammenhängend, falls es für zwei Punkte
aus dieser Menge immer eine Raumkurve gibt, die diese verbindet und
die vollständig in der Menge verläuft.

Das kenne ich (stetige Kurve vorausgesetzt) als wegzusammenhängend.

Zusammenhängend ist, so wie ich das kenne, definiert über zerlegung in
offene Mengen (ein Topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn er
sich nicht disjunkt in nichttriviale, d.h. nichtleere, offene Mengen
zerlegen läßt, eine Menge heißt zusammenhängend wenn sie als TR mit
Relativtopologie zusammenhängend ist).

Viele Grüße,

Oliver.

[BaluderBär]

Post by Thilo Schmitt
* Eine Menge heißt kompakt, falls sie abgeschlossen ist (also Randpunkte
mit zur Menge gehören) und falls sie beschränkt ist (also es eine Kugel
um den Ursprung gibt, die diese Menge vollständig enthält).

Das ist im |R^n richtig bzw. in endlichdimensionalen normierten
Räumen. Im unendlichdimensionalen ist das schon wieder falsch.

Ein durchaus interessante Aussage ist z.B., daß die Kompaktheit der
Einheitskugel äquivalent ist zur Endlichdimensionalität des
normierten Raumes.

Im allgemeinen heißt ein topologischer Raum kompakt, wenn jede offene
Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Post by Thilo Schmitt
* Eine Menge heißt zusammenhängend, falls es für zwei Punkte aus dieser
Menge immer eine Raumkurve gibt, die diese verbindet und die vollständig
in der Menge verläuft.

Das, was Du beschreibst heíßt Wegzusammenhang und ist streng genommen
was anderes als Zusammenhang. In Vektorräumen oder Mannigfaltigkeiten
sind diese Begriffe äquivalent. In allgemeinen topologischen Räumen
besteht da allerdings ein Unterschied.
Im Allgemeinen folgt aus Wegzusammenhang automatisch Zusammenhang, aber
nicht umgekehrt.

Falls Du dies nachlesen möchtest, das steht zum Beispiel in

G.E. Bredon, Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics,
Springer-Verlag

oder ein einfacheres Buch

A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press
Das Buch gibts auch im Internet kostenlos zum Download.