spiegelung an ursprungsgeraden, spiegelungsmatrix

[filou]

hi all,

ich tue mich grad sehr schwer eine spiegelungsmatrix zu berechnen.
gegeben sind zwei vektoren und eine gerade durch den ursprung.
ich möchte eine spieglungsmatrix finden, die vektoren an dieser
geraden spiegelt.
wie gehe ich da am besten vor. es gibt ja folgende 2x2 matrix für
spiegelungen an ursprungsgeraden: (a = winkel)
cos(2a) sin(2a)
sin(2a) -cos(2a)

allerdings möchte ich auf andere weise zu meiner matrix gelangen, am
besten unter ausnutzen der orthogonalitätseigenschaften der
rotationsmatrix
cos(a) -sin(a)
sin(a) cos(a)

möcht da irgendwie über das skalarprodukt vektoren zu der matrix
gelangen.
hier ein bild zur aufgabe:
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die längen und winkelverhältnisse ändern sich bei solch einer
orthogonalen abbildung ja nicht, deswegen hab ich mir überlegt müsste
es doch sein
<v,w2> = <Rv,Rw2>
genauso <v,w1> = <Rv,Rw1>

mit R = rotationsmatrix
damit hatte ich versucht auf zwei gleichungen zu kommen, bei denen ich
am ende meinen winkel isolieren kann, bekomme am ende allerdings nur
gleichungen mit so aussagen wie sin² + cos² = 1 also immer wahr,
solche aussagen helfen mir ja nicht weiter. ich brauch nen konkreten
winkel, damit ich ihn in meine Rotationsmatrix einsetzen kann.
mit <x,y> = ||x|| * || y || * cos(eingeschl. winkel) und dann den
winkel isolieren geht zwar aber damit bekomme ich nur immer nen
winkel, der eingesetzt in die rotationsmatrix, den fall bzw problem
nur für einen vektor löst. brauche halt ne matrix, die jeden vektor an
der geraden spiegelt.
wenn es noch ne andere konkrete form für die spiegelungsmatrix gibt,
also ohne cos, sin und ne möglichkeit dahinzukommen würde das auch
helfen.

danke schonmal
filou

[Almut Eisentraeger]

Hallo filou,

ich wüsste nicht, wieso du eine Rotationsmatrix als Spiegelungsmatrix
erhalten solltest.

Wie gehst du denn bei der Spiegelung eines Punktes A an einer
Ursprungs-Geraden(!) vor?
Du fällst das Lot auf die Gerade, bestimmst den Fußpunkt B (Stichwort:
Projektion von A auf einen Unterraum) und verdoppelst die Strecke AB
zu AA'.
In Ortsvektoren ausgedrückt: a'=b+(b-a)=2b-a
Wenn du jetzt dein b geschickt durch v und a ausdrückst, erhälst du
etwas in der Form: a'=(Matrix(v)-I)a

Liebe Grüße,
Almut

[Peter Niessen]

Post by filou
wie gehe ich da am besten vor. es gibt ja folgende 2x2 matrix für
spiegelungen an ursprungsgeraden: (a = winkel)
cos(2a) sin(2a)
sin(2a) -cos(2a)

Tipp:
Multipliziere mal die zugehörige Determinante mit -1
Fällt der Groschen?

[filou]

Post by Almut Eisentraeger
Wenn du jetzt dein b geschickt durch v und a ausdrückst, erhälst du
etwas in der Form: a'=(Matrix(v)-I)a

das ist genau die stelle, bei der ich mich so schwer tu. ich komm
einfach nicht auf die matrix.
ich hab z.b. nen vektor a und weiß auch wie er gespiegelt aussieht,
also a' ist auch bekannt.

Post by Almut Eisentraeger
a'=(Matrix(v)-I)a

meinst mit matrix(v) sowas wie
| a_11 a_12 |
| a_21 a_22 | * (v1,v2) =

| v1a_11 v2a_12 |
| v1a_21 v2a_22 |

? und wie gehts dann weiter. Matrix(v) - I <--- was ist I ?
Identität? Einheitsmatrix? bei Matrix(v) kommt doch nen vektor raus
und den kann ich doch nicht von einer matrix abziehen. und am ende
nochmal * vektor a?
bin ja nur an der matrix interessiert, könntest vllt noch ein zwei
sätze zu deiner formel sagen? wie bekomm ich die konkrete matrix.

Post by Almut Eisentraeger
Multipliziere mal die zugehörige Determinante mit -1
Fällt der Groschen?

ähm nein ^^ rotationsmatrix = spiegelungsmatrix, nur andere
orientierung? klingelt nichts bei mir.

gruß
filou

[filou]

| a_11 a_12 |
| a_21 a_22 | * (v1,v2) =

| v1a_11 + v2a_12 |
| v1a_21 + v2a_22 |

muss der entstehende vektor natürlich heißen, sry.

[kilian heckrodt]

Post by filou
hi all,
ich tue mich grad sehr schwer eine spiegelungsmatrix zu berechnen.
gegeben sind zwei vektoren und eine gerade durch den ursprung.
ich möchte eine spieglungsmatrix finden, die vektoren an dieser
geraden spiegelt.
wie gehe ich da am besten vor. es gibt ja folgende 2x2 matrix für
spiegelungen an ursprungsgeraden: (a = winkel)
cos(2a) sin(2a)
sin(2a) -cos(2a)
allerdings möchte ich auf andere weise zu meiner matrix gelangen, am
besten unter ausnutzen der orthogonalitätseigenschaften der
rotationsmatrix
cos(a) -sin(a)
sin(a) cos(a)
möcht da irgendwie über das skalarprodukt vektoren zu der matrix
gelangen.
http://img339.imageshack.us/my.php?image=spiegelungjx3.jpg
die längen und winkelverhältnisse ändern sich bei solch einer
orthogonalen abbildung ja nicht, deswegen hab ich mir überlegt müsste
es doch sein
<v,w2> = <Rv,Rw2>
genauso <v,w1> = <Rv,Rw1>
mit R = rotationsmatrix
damit hatte ich versucht auf zwei gleichungen zu kommen, bei denen ich
am ende meinen winkel isolieren kann, bekomme am ende allerdings nur
gleichungen mit so aussagen wie sin² + cos² = 1 also immer wahr,
solche aussagen helfen mir ja nicht weiter. ich brauch nen konkreten
winkel, damit ich ihn in meine Rotationsmatrix einsetzen kann.
mit <x,y> = ||x|| * || y || * cos(eingeschl. winkel) und dann den
winkel isolieren geht zwar aber damit bekomme ich nur immer nen
winkel, der eingesetzt in die rotationsmatrix, den fall bzw problem
nur für einen vektor löst. brauche halt ne matrix, die jeden vektor an
der geraden spiegelt.
wenn es noch ne andere konkrete form für die spiegelungsmatrix gibt,
also ohne cos, sin und ne möglichkeit dahinzukommen würde das auch
helfen.
danke schonmal
filou

Also wenn ich das richtig sehe, verwechselt du eventuell nur die
Winkel ?
(siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelungsmatrix )

Der Winkel a in deiner Matrix A ist der Steigungswinkel der Geraden die
durch v erzeugt und _nicht_ der Winkel der von v mit w1 oder von v mit
w2 gebildet wird.
Und wie haengt nun der Steingungswinkel der Geraden mit der Spiegelung
zussammen ? Nun die Spiegelung ist eine lineare Abbildung, diese ist
vollstaendig definiert, wenn man die Bilder der Basisvektoren kennt (die
Spalten von A sind die Bilder der Basisvektoren). Die (ueblichen)
Basisvektoren fuer den R^2 sind (1,0) und (0,1), also musst du nur deren
Bilder berechnen und deren Winkel mit der Geraden kennt man schon, wenn
man den den Steigungswinkel a kennt. (1,0) bildet mit der Geraden den
Winkel a (dies ist der Steigungswinkel) und (0,1) bildet mit der Geraden
den Winkel 90-a.
Die beiden Bildvektoren erhaelt man nun, indem man (1,0) um 2a rotiert
(um den Ursprung) und (0,1) um -2*(90-a) rotiert. Mit den Bildvektoren
kennt man auch die Spiegelungsmatrix und diese gilt natuerlich fuer alle
Vektoren (beachte (a,b) = a*(1,0)+b*(0,1)).




http://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelungsmatrix

[Joachim Mohr]

Post by filou
hi all,
ich tue mich grad sehr schwer eine spiegelungsmatrix zu berechnen.

Die Matrix
a c
( ) der Abbildung f erhälst Du durch:
b d

die Bilder der Einheitsvektoren:
1 a
f( ) = ( )
0 b

0 c
f( ) = ( )
1 d

Siehe: http://delphi.zsg-rottenburg.de/faqmath5.html#affinitaeten2


MFG
Joachim

[filou]

ahh danke kilian, das von dir hat mir sehr geholfen.
und natürlich auch danke joachim, hab mir grad deine homepage kurz
angeguckt, wow da steht ja wirklich eine menge, sofort gebookmarked,
das was ich bisher gesehen hab war echt super anschaulich erklärt.
genau solche seiten lassen mich in mathe nicht verzweifeln^^.

gruß
filou