konkave Mengen

[Sven Kämof]

Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave Mengen gibt,
weil:

Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen 2
beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte (ausser
der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen ?

[Michael Lange]

Hallo Sven,

Post by Sven Kämof
Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave Mengen gibt,
Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen 2
beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte (ausser
der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen ?

Denke an Singletons!

Mfg Michael

[Sven Kämof]

Post by Michael Lange
Denke an Singletons!

... sorry, aber damit kann ich leider gar nichts anfangen.

Singletons kenn ich nur in Zusammenhang mit Softwareentwicklung....

Könntest du mir bitte noch nen bissi helfen ?

MfG Sven

[Michael Lange]

Hallo Sven,

Sven Kämof schrieb:

[...]

Post by Sven Kämof
Singletons kenn ich nur in Zusammenhang mit Softwareentwicklung....
Könntest du mir bitte noch nen bissi helfen ?

[...]

Mengen, die nur ein Element enthalten.
Diese sind aber auch zugleich konvex.

Mfg Michael

PS: Damit war gemeint, dass Du bei solchen Aussagen auch immer en die Exoten
denken musst.

Mfg Michael

[Pether Hubert]

Post by Sven Kämof
Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave Mengen
Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen 2
beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte
(ausser der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen
?

M = {(0,0), (1,1)}

HTH,

Pether

[Johannes Kloos]

Post by Sven Kämof
Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave Mengen gibt,
Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen 2
beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte (ausser
der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen ?

Wenn du eine Parabel (also die Menge aller Punkte in R^2, für die y = x^2
gilt) als Fläche akzeptierst, hast du ein Beispiel für eine konkave Menge,
die nicht nur aus isolierten Punkten besteht.

[David Kastrup]

Post by Johannes Kloos

Post by Sven Kämof
Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave Mengen gibt,
Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen
2 beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte
(ausser der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche
liegen ?

Wenn du eine Parabel (also die Menge aller Punkte in R^2, für die y
= x^2 gilt) als Fläche akzeptierst, hast du ein Beispiel für eine
konkave Menge, die nicht nur aus isolierten Punkten besteht.

Ein Kreisrand tut es auch. Und sogar eine Hyperbel...

[Sven Kämof]

aus euren Aussagen schließe ich mal, dass es keine Definition für
konkave Mengen gibt, richtig?

[David Kastrup]

Post by Sven Kämof
aus euren Aussagen schließe ich mal, dass es keine Definition für
konkave Mengen gibt, richtig?

Ein Schluß, abenteuerlicher als so manche Mückenheimpistole. Nein,
das kann man nicht daraus schließen. Ebensowenig wie das Gegenteil.

[Carsten König]

Post by David Kastrup

Post by Sven Kämof
aus euren Aussagen schließe ich mal, dass es keine Definition für
konkave Mengen gibt, richtig?

Ein Schluß, abenteuerlicher als so manche Mückenheimpistole. Nein,
das kann man nicht daraus schließen. Ebensowenig wie das Gegenteil.

Wirklich super Aussage, die wird Ihm sicher weiterhelfen ...

Besser ist vielleicht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Konkave_Menge

Gruß,
Carsten

[Wolfgang Kirschenhofer]

"Sven K�mof" <***@stud.tu-ilmenau.de> schrieb im Newsbeitrag news:ec76i7$d8q$***@newsserver.rz.tu-ilmenau.de...
| Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave Mengen
gibt,
| weil:
|
| Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen 2
| beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte
(ausser
| der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen ?

Hallo Sven!

Ich weiß nicht, was du unter einer konkaven Menge verstehst.
Ich kenne nur die folgende, die K. Leichtweiß in seinem Buch
über "Konvexe Mengen" angibt:

Definition: Eine Untermenge X des n-dimensionalen euklidischen Raumes
R_n
heißt konkav genau dann, wenn ihr Komplement R_n\X konvex ist.

Beispiele: 1.)Ist K eine Kreisscheibe des R_2,d.h. K={(x,y)aus R_2 |
x^2+y^2<=r^2}, dann ist R_2\K eine konkave Menge.
2.)Ist jedoch k der Rand von K, d.h. k ist Kreislinie, dann ist k nicht
konkav im Sinne der obigen Definition, denn R_2\k ist nicht konvex.

Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

[David Kastrup]

Post by Wolfgang Kirschenhofer
| Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave Mengen
gibt,
|
| Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen 2
| beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte
(ausser
| der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen ?
Hallo Sven!
Ich weiß nicht, was du unter einer konkaven Menge verstehst.
Ich kenne nur die folgende, die K. Leichtweiß in seinem Buch
Definition: Eine Untermenge X des n-dimensionalen euklidischen Raumes
R_n
heißt konkav genau dann, wenn ihr Komplement R_n\X konvex ist.

Das ist ziemlich skurril, alldieweil dann etwa eine Halbebene sowohl
konkav als auch konvex ist.

Es widerspricht auch dem Sprachgefühl für "konkav" wenn dies
gleichbedeutend mit konvexen Ausstanzungen ist. Wie man in Wikipedia
nachlesen kann, ist dieser Gebrauch von "konkav" eher unüblich.

[Wolfgang Kirschenhofer]

"David Kastrup" <***@gnu.org> schrieb im Newsbeitrag news:***@lola.goethe.zz...
| "Wolfgang Kirschenhofer" <***@kstp.at> writes:
|
| > "Sven Kämof" <***@stud.tu-ilmenau.de> schrieb im
Newsbeitrag
| > news:ec76i7$d8q$***@newsserver.rz.tu-ilmenau.de...
| > | Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es keine konkave
Mengen
| > gibt,
| > | weil:
| > |
| > | Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade)
zwischen 2
| > | beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte
| > (ausser
| > | der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen ?
| >
| > Hallo Sven!
| >
| > Ich weiß nicht, was du unter einer konkaven Menge verstehst.
| > Ich kenne nur die folgende, die K. Leichtweiß in seinem Buch
| > über "Konvexe Mengen" angibt:
| >
| > Definition: Eine Untermenge X des n-dimensionalen euklidischen
Raumes
| > R_n
| > heißt konkav genau dann, wenn ihr Komplement R_n\X konvex ist.
|
| Das ist ziemlich skurril, alldieweil dann etwa eine Halbebene sowohl
| konkav als auch konvex ist.
|
| Es widerspricht auch dem Sprachgefühl für "konkav" wenn dies
| gleichbedeutend mit konvexen Ausstanzungen ist. Wie man in Wikipedia
| nachlesen kann, ist dieser Gebrauch von "konkav" eher unüblich.
|
| --
| David Kastrup, Kriemhildstr. 15, 44793 Bochum

Hallo David!

In Wikipedia konnte ich nicht nachlesen, daß die von mir angegebene
Definition unüblich sei.
Warum sie skurril ist, ist mir auch nicht klar.
Ein Vergleich:
In der Topologie definiert man beispielsweise die abgeschlossenen
Mengen als die Komplemente der offenen. Ist X ein topologischer Raum,
dann sind X und die leere Menge sowohl offen als auch abgeschlossen. In
einem Raum X mit diskreter Toplogie ist jede Teilmenge sowohl offen als
auch abgeschlossen. Ist das auch skurril ?

Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

[David Kastrup]

Post by Wolfgang Kirschenhofer
| >
| > Definition: Eine Untermenge X des n-dimensionalen euklidischen
| > Raumes R_n heißt konkav genau dann, wenn ihr Komplement R_n\X
| > konvex ist.
|
| Das ist ziemlich skurril, alldieweil dann etwa eine Halbebene sowohl
| konkav als auch konvex ist.
|
| Es widerspricht auch dem Sprachgefühl für "konkav" wenn dies
| gleichbedeutend mit konvexen Ausstanzungen ist. Wie man in
| Wikipedia nachlesen kann, ist dieser Gebrauch von "konkav" eher
| unüblich.
In Wikipedia konnte ich nicht nachlesen, daß die von mir angegebene
Definition unüblich sei.

Dann lies mal unter "konkave Menge", dem angegebenen Link.

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Warum sie skurril ist, ist mir auch nicht klar.
Ein Vergleich: In der Topologie definiert man beispielsweise die
abgeschlossenen Mengen als die Komplemente der offenen. Ist X ein
topologischer Raum, dann sind X und die leere Menge sowohl offen als
auch abgeschlossen. In einem Raum X mit diskreter Toplogie ist jede
Teilmenge sowohl offen als auch abgeschlossen. Ist das auch skurril
?

"konkav" ist ein stehender Begriff, der sich zuerst einmal auf
Krümmungen bezieht, ebenso wie konvex. Bei der Erweiterung des
Begriffes "konvex" auf Punktmengen bleibt diese Eigenschaft im
wesentlichen erhalten und intuitiv. Das komplement einer konvexen
Menge hat aber mit dem normalen Konkavitätsbegriff nichts, aber auch
gar nichts zu tun.

[Joachim Pense]

Post by David Kastrup

Post by Wolfgang Kirschenhofer
| >
| > Definition: Eine Untermenge X des n-dimensionalen euklidischen
| > Raumes R_n heißt konkav genau dann, wenn ihr Komplement R_n\X
| > konvex ist.
|
| Das ist ziemlich skurril, alldieweil dann etwa eine Halbebene sowohl
| konkav als auch konvex ist.
|

...

Post by David Kastrup
"konkav" ist ein stehender Begriff, der sich zuerst einmal auf
Krümmungen bezieht, ebenso wie konvex. Bei der Erweiterung des
Begriffes "konvex" auf Punktmengen bleibt diese Eigenschaft im
wesentlichen erhalten und intuitiv. Das komplement einer konvexen
Menge hat aber mit dem normalen Konkavitätsbegriff nichts, aber auch
gar nichts zu tun.

Die alltägliche Vorstellung von "konvex" und "konkav" ist m.E.
durchaus mit dem Komplementbegriff verbunden: Schaut man sich diese
Figur an:

+--------+------+
| / |
| / |
| | |
| 1 | 2 |
| \ |
| \ |
+--------+------+

dann ist die linke Teilfläche (1) intuitiv konkav, die rechte konvex.
Und - bezogen auf das Rechteck, das beide Flächen zusammen bilden -
sind sie komplementär; und ich denke, diese spezielle Situation
beschreibt unsere Intuition von "konvex" und "konkav" ganz gut.

Unintuitiv ist lediglich die Verallgemeinerung der Definition einer
konkaven Menge als Komplement auf allgemeinere einschließende Räume.
Ich würde "konkav" auch nicht so definieren, aber "nichts, aber auch
gar nichts" trifft's auch nicht.

Was ist daran auszusetzen, "konkav" einfach als "nicht konvex" zu
definieren?

Joachim

[David Kastrup]

Post by Joachim Pense
Was ist daran auszusetzen, "konkav" einfach als "nicht konvex" zu
definieren?

Leuts, lest doch einfach den Wikipedia-Artikel, es macht doch keinen
Sinn, jedes Wort daraus hier zu wiederholen. Eine Verschmelzung von
zwei Kugeln ist nicht konvex, sie aber als konkav zu bezeichnen, ist
unsinnig.

Warum bezeichnen wir nicht alle Farben, die nicht Rot sind, als Grün?

[Rainer Rosenthal]

Post by David Kastrup
Warum bezeichnen wir nicht alle Farben, die nicht Rot sind, als Grün?

Warum gefallen mir so pfiffige Gegenfragen?

Gruss,
RR

[Tjark Weber]

Post by David Kastrup

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Definition: Eine Untermenge X des n-dimensionalen euklidischen Raumes
R_n heißt konkav genau dann, wenn ihr Komplement R_n\X konvex ist.

Das ist ziemlich skurril, alldieweil dann etwa eine Halbebene sowohl
konkav als auch konvex ist.
Es widerspricht auch dem Sprachgefühl für "konkav" wenn dies
gleichbedeutend mit konvexen Ausstanzungen ist. Wie man in Wikipedia
nachlesen kann, ist dieser Gebrauch von "konkav" eher unüblich.

In der (deutschen) Wikipedia lese ich unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Nichtkonvexe_Menge zwar relativ ausführlich,
warum es ungeschickt wäre, "konkav" als "nicht konvex" zu definieren.

Über die von Wolfgang zitierte Definition (nach der es Mengen gibt, die
weder konvex noch konkav sind) finde ich dort allerdings nichts.

Vielleicht mag jemand den Wikipedia-Artikel entsprechend ergänzen.

Freundliche Grüße,

Tjark

[David Kastrup]

Post by Tjark Weber

Post by David Kastrup

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Definition: Eine Untermenge X des n-dimensionalen euklidischen Raumes
R_n heißt konkav genau dann, wenn ihr Komplement R_n\X konvex ist.

Das ist ziemlich skurril, alldieweil dann etwa eine Halbebene sowohl
konkav als auch konvex ist.
Es widerspricht auch dem Sprachgefühl für "konkav" wenn dies
gleichbedeutend mit konvexen Ausstanzungen ist. Wie man in Wikipedia
nachlesen kann, ist dieser Gebrauch von "konkav" eher unüblich.

In der (deutschen) Wikipedia lese ich unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Nichtkonvexe_Menge zwar relativ ausführlich,
warum es ungeschickt wäre, "konkav" als "nicht konvex" zu definieren.
Über die von Wolfgang zitierte Definition (nach der es Mengen gibt, die
weder konvex noch konkav sind) finde ich dort allerdings nichts.
Vielleicht mag jemand den Wikipedia-Artikel entsprechend ergänzen.

Herrschaftszeiten, Hirn einschalten. Das folgende Traktat gilt doch
ebenso für Wolfgangs Definition:

Eine Fläche (oder Kurve) ist lokal (d.h., in der Nähe eines Punktes)

* konvex gekrümmt, wenn sie nach "außen" gewölbt ist,

und sie ist

* konkav gekrümmt, wenn sie nach "innen" gewölbt ist.

Dabei hängt "außen" und "innen" von der Position des Betrachters
ab. Die mathematische Präzisierung lautet:
Wenn eine Fläche (Kurve) in einer Umgebung eines Punktes auf
derselben Seite der Tangentialebene (Tangente) liegt wie der
Beobachter, dann ist sie dort konkav gekrümmt, liegt sie auf der
anderen Seite, so ist sie dort konvex gekrümmt.
Es kann vorkommen, daß keine dieser beiden Bedingungen erfüllt ist
(Sattelpunkt, Wendepunkt), und die Fläche oder Kurve bei diesem
Punkt daher weder konvex noch konkav gekrümmt ist.

In der Mathematik betrachtet man bei Funktionen deren Darstellung
als Fläche im Raum (oder als Kurve in der Ebene) (also ihren
Graphen) und geht von einem Betrachter aus, der sich "unten" (bei
-\infty) befindet. Die Funktion wird konvex bzw. konkav genannt,
wenn der Graph überall (bei jedem Punkt) konvex bzw. konkav
gekrümmt ist.

Ein Körper (oder eine Figur) wird immer von außen betrachtet. Er
wird konvex genannt,

* wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konvex gekrümmt ist.

In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen,

* wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt ist.

Einen solchen Körper gibt es jedoch nicht!

[Tjark Weber]

Post by David Kastrup

Post by Tjark Weber
Über die von Wolfgang zitierte Definition (nach der es Mengen gibt, die
weder konvex noch konkav sind) finde ich dort allerdings nichts.
Vielleicht mag jemand den Wikipedia-Artikel entsprechend ergänzen.

Herrschaftszeiten, Hirn einschalten. Das folgende Traktat gilt doch
[...]
In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen,
* wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt ist.
Einen solchen Körper gibt es jedoch nicht!

Komplemente konvexer Mengen gibt es offenbar schon.

Freundliche Grüße,

Tjark

[David Kastrup]

Post by Tjark Weber

Post by David Kastrup

Post by Tjark Weber
Über die von Wolfgang zitierte Definition (nach der es Mengen gibt, die
weder konvex noch konkav sind) finde ich dort allerdings nichts.
Vielleicht mag jemand den Wikipedia-Artikel entsprechend ergänzen.

Herrschaftszeiten, Hirn einschalten. Das folgende Traktat gilt doch
[...]
In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen,
* wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt ist.
Einen solchen Körper gibt es jedoch nicht!

Komplemente konvexer Mengen gibt es offenbar schon.

Hirn einschalten und sich daran erinnern, worum es geht. Die reine
Existenz derselben macht Komplemente konvexer Mengen nicht konkav,
weswegen "konkav", ein schon belegter Begriff, dafür ungeeignet ist.

Ebensowenig wie es Sinn macht, nichtrote Farben grün zu nennen.

[Tjark Weber]

Post by Tjark Weber

Post by David Kastrup

Post by Tjark Weber
Über die von Wolfgang zitierte Definition (nach der es Mengen gibt, die
weder konvex noch konkav sind) finde ich dort allerdings nichts.
Vielleicht mag jemand den Wikipedia-Artikel entsprechend ergänzen.

Herrschaftszeiten, Hirn einschalten. Das folgende Traktat gilt doch
[...]
In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen,
* wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt ist.
Einen solchen Körper gibt es jedoch nicht!

Komplemente konvexer Mengen gibt es offenbar schon.

Die reine Existenz derselben macht Komplemente konvexer Mengen nicht
konkav, weswegen "konkav", ein schon belegter Begriff, dafür ungeeignet
ist.

Ansichtssache (anderer Ansicht eben z.B. Kurt Leichtweiß a.a.O.) - aber wo
genau steht das jetzt in dem zitierten Wikipedia-Artikel? Die mögliche
Definition von konkav als "nicht konvex" wird im Wikipedia-Artikel
diskutiert, die mögliche Definition als Komplement einer konvexen Menge
nicht.

Was bei mir im Übrigen gleich zwei Fragen aufwirft: 1. Welche Mengen man
denn nun sinnvollerweise konkav nennen sollte (denn den Begriff "konkave
Menge" für etwas zu reservieren, was es nicht gibt, ist nicht besonders
nützlich), und 2. was genau der Unterschied ist zwischen einem "Körper,
dessen Oberfläche überall konkav gekrümmt ist", und einer Menge, deren
Komplement konvex ist.

Freundliche Grüße,

Tjark

[David Kastrup]

Post by Tjark Weber

Die reine Existenz derselben macht Komplemente konvexer Mengen
nicht konkav, weswegen "konkav", ein schon belegter Begriff, dafür
ungeeignet ist.

Ansichtssache (anderer Ansicht eben z.B. Kurt Leichtweiß a.a.O.) -
aber wo genau steht das jetzt in dem zitierten Wikipedia-Artikel?
Die mögliche Definition von konkav als "nicht konvex" wird im
Wikipedia-Artikel diskutiert, die mögliche Definition als Komplement
einer konvexen Menge nicht.

Nochmal: dieselbe Argumentation trifft auch da. Hirn einschalten.

Post by Tjark Weber
Was bei mir im Übrigen gleich zwei Fragen aufwirft: 1. Welche Mengen
man denn nun sinnvollerweise konkav nennen sollte (denn den Begriff
"konkave Menge" für etwas zu reservieren, was es nicht gibt, ist
nicht besonders nützlich),

Welche Mengen sollte man denn Deiner Meinung nach "kariert" nennen?
Denn den Begriff "karierte Menge" für etwas zu reservieren, was es
nicht gibt, ist nicht besonders nützlich.

Post by Tjark Weber
und 2. was genau der Unterschied ist zwischen einem "Körper, dessen
Oberfläche überall konkav gekrümmt ist",

Gibt's nicht.

Post by Tjark Weber
und einer Menge, deren Komplement konvex ist.

Gibt es.

[Hendrik van Hees]

Post by David Kastrup
Welche Mengen sollte man denn Deiner Meinung nach "kariert" nennen?
Denn den Begriff "karierte Menge" für etwas zu reservieren, was es
nicht gibt, ist nicht besonders nützlich.

Wieso? Man kann doch einen Begriff vergeben für etwas, was es nicht
gibt. Das kann man dann zur verkürzten Sprechweise verwenden. Man kann
etwa den Begriff der "Quadratur des Kreises" definieren um dann zu
zeigen, daß sie nicht existiert. Der Ruhm gebührt wohl Lindemann,
dessen kläffender Köter dann einige Jahrzehnte später Heisenberg von
der Mathematik abgebracht und damit der Physik zugeführt hat, was man
wohl als größtes Verdienst Lindemanns, abgesehen von dem Nachweis der
Transzendenz von pi, ansehen mag :-).

Post by David Kastrup

Post by Tjark Weber
und 2. was genau der Unterschied ist zwischen einem "Körper, dessen
Oberfläche überall konkav gekrümmt ist",

Gibt's nicht.

Post by Tjark Weber
und einer Menge, deren Komplement konvex ist.

Gibt es.

Hm, soweit ich mich erinnere, ist das Gegenteil von konvex nicht konkav.
Während nämlich "konvex" global definiert werden kann als die Teilmenge
einer euklidischen affinen Mannigfaltigkeit, für die für zwei in ihr
gelegene Punkte stets auch deren gerade Verbindungslinie vollständig in
ihr enthalten ist, ist das für "konkave" Mengen wohl nicht möglich.

Um diesen unsinnigen Thread vielleicht noch in eine mathematisch
interessante Richtung zu lenken, noch eine kleine Frage an die
Geometrieexperten: Kann man die globale Definition für konvexe Mengen
auf allgemeine nichteuklidische affine Mannigfaltigkeiten ausdehnen, so
etwa in der Art: Zu zwei Punkten in einer konvexen Teilmenge der M.
existiert stets eine geodätische Verbindung, die vollständig in ihr
liegt. Ergibt das Sinn?

Gibt es evtl. konkave Mengen in allgemeineren affinen
Mannigfaltigkeiten, sprich Mengen, für die zu zwei beliebigen Punkten
stets geodätische Verbindungslinien existieren, die mit der Menge exakt
nur diese zwei Punkte gemein haben?

[Ralf Muschall]

Post by Hendrik van Hees
Um diesen unsinnigen Thread vielleicht noch in eine mathematisch
interessante Richtung zu lenken, noch eine kleine Frage an die
Geometrieexperten: Kann man die globale Definition für konvexe Mengen
auf allgemeine nichteuklidische affine Mannigfaltigkeiten ausdehnen, so
etwa in der Art: Zu zwei Punkten in einer konvexen Teilmenge der M.
existiert stets eine geodätische Verbindung, die vollständig in ihr
liegt. Ergibt das Sinn?

Wie verhalten sich raumartige Geodäten in der Schwarzschildlösung
knapp überm Horizont? In derartigen oder ähnlichen Situationen könnte
ich mir Kugeln mit nach dieser efinition nichtkonvexer Oberfläche
vorstellen (wenn nicht Schwarzschild, dann lässt sich sicher etwas
anderes konstruieren, wobei die Geodäten zwischen Oberflächenpunkten
erstmal einen Bogen nach außen machen).

Ralf

[Tjark Weber]

Post by David Kastrup

Post by Tjark Weber
Die mögliche Definition von konkav als "nicht konvex" wird im
Wikipedia-Artikel diskutiert, die mögliche Definition als Komplement
einer konvexen Menge nicht.

Nochmal: dieselbe Argumentation trifft auch da.

Offenbar nicht, denn schon auf der zugehörigen Wikipedia-Diskussionseite
steht:

| "In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen, wenn seine
| Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt ist."
|
| Die Loesung ist ganz einfach: Die in diesem Sinne konkaven Mengen sind
| genau die Komplemente der konxeven Mengen (modulo Rand). Das sind nur
| vermutlich keine "Koerper" im geometrischen Sinne.
| --SirJective 15:32, 11. Jan 2005 (CET)

Um "Körper im geometrischen Sinne" geht es hier aber ja auch gar nicht -
sowohl dieser Thread als auch die Wikipedia-Seite (laut deren Titel)
befassen sich primär mit *Mengen*. Schließlich ist "konvex" auch für Mengen
definiert, und nicht (nur) für "geometrische Körper".

Post by David Kastrup

Post by Tjark Weber
Was bei mir im Übrigen gleich zwei Fragen aufwirft: 1. Welche Mengen
man denn nun sinnvollerweise konkav nennen sollte (denn den Begriff
"konkave Menge" für etwas zu reservieren, was es nicht gibt, ist
nicht besonders nützlich),

Welche Mengen sollte man denn Deiner Meinung nach "kariert" nennen?
Denn den Begriff "karierte Menge" für etwas zu reservieren, was es
nicht gibt, ist nicht besonders nützlich.

Es gibt konkave Kurven und Funktionen. Es gibt konvexe Kurven, Funktionen
und Mengen. Da liegt es nahe, nach einer (nützlichen, analogen) Definition
von konkaven Mengen zu fragen. Karierte Kurven oder Funktionen gibt es
bislang wohl nicht.

Freundliche Grüße,

Tjark

[Hero]

Post by Tjark Weber
Es gibt konkave Kurven und Funktionen. Es gibt konvexe Kurven, Funktionen
und Mengen. Da liegt es nahe, nach einer (nützlichen, analogen) Definition
von konkaven Mengen zu fragen.

Man kann es vielleicht auch zunächst geometrisch definieren, um es
dann zu erweitern.

Post by Tjark Weber
Was ist daran auszusetzen, "konkav" einfach als "nicht konvex" zu definieren?

Da ist etwas dran, genau wie an Deinem Bild. Es ist nur zu generell.
Man hätte dann auch nicht zusammenhängende Mengen als konkav
definiert. Man muss also einen Rahmen abstecken, in dem dann konkav und
konvex sich gegenüberstehen.
Dies gilt ebenso für die Definition von K. Leichtweiß, die Wolfgang
anführt. Konvex und konkav sind schon irgendwie komplementär, aber
beides zusammen deckt schon den Bereich der Krümmungen bei weitem
nicht ab.
Die wiki-Definition setzt einen Beobachter voraus. Damit würde eine
konkav-konkave Linse diese Eigenschaft doch nur in den Augen des
Beobachters haben.
Freundliche Grüsse
Hero

[Hero]

Post by Tjark Weber
Was bei mir im Übrigen gleich zwei Fragen aufwirft: 1. Welche Mengen man
denn nun sinnvollerweise konkav nennen sollte (denn den Begriff "konkave
Menge" für etwas zu reservieren, was es nicht gibt, ist nicht besonders
nützlich), und 2. was genau der Unterschied ist zwischen einem "Körper,
dessen Oberfläche überall konkav gekrümmt ist", und einer Menge, deren
Komplement konvex ist.

Zweite Frage zuerst:
Eine Fläche teilt ggf den gesamten Raum, etwa eine Ebene in zwei
Teile/Bereiche. Eine Kugeloberfläche trennt Kugelinneres von der
äusseren Umgebung. Wenn man die Kugeloberfläche auch als Oberfläche
der äusseren Umgebung ansieht, so wie eine Luftblase im umgebenden
Wasser, kann man das Wasser als Menge ansehen, "deren Komplement konvex
ist".

Zur ersten Frage sollte man bei Archimedes anfangen.
Er stellt in "Kugel und Zylinder" Überlegungen zur Bestimmung der
Länge (!) von Kurven an und beginnt :
(Definition 2):"Nach einer Seite konkav nenne ich ein Kurvenstück
von der Eigenschaft, daß, wenn man zwei beliebige Punkte des
Kurvenstücks geradlinig verbindet, die zwischen diesen beiden
Punkten liegenden Kurvenpunkte alle auf dieser Seite der Geraden
liegen oder allenfalls auf der Geraden selbst, keinesfalls aber
auf der anderen Seite."
(Postulat 1):"Von allen Linienstücken, die gleiche Endpunkte haben,
ist die gerade Linie die kürzeste."
(Postulat 2): "Die übrigen Linien aber, die in ein und derselben
Ebene liegen und dieselben Endpunkte haben, sind einander ungleich,
wenn sie nach der gleichen Seite konkav sind und die eine ganz von
der anderen und der geraden Verbindungslinie der Endpunkte umfaßt
wird oder teilweise umfaßt wird, teilweise mit einer der beiden Linien
identisch ist. Und zwar ist diejenige, der umfaßt wird, die kleinere."
(Nach Helmut Gericke, "Mathematik in Antike..")
Erst mal soweit.
Freundliche Grüsse
Hero

Post by Tjark Weber
Es gibt keine Möglichkeit, eine Verbindungslinie (Gerade) zwischen 2
beliebigen Punkten einer Fläche zu ziehen, bei der alle Punkte (ausser
der 2 Eckpunkte der Geraden) ausserhalb dieser Fläche liegen ?

antworte ich:
Doch, jede einfach gekrümmte Fläche hat doch diese Eigenschaft.
Spielt hier "Flatland-Denken" uns einen Streich, dass wir dies nicht
auf Anhieb sehen?

[Roland Franzius]

Post by Tjark Weber

Post by Tjark Weber

Post by David Kastrup

Post by Tjark Weber
Über die von Wolfgang zitierte Definition (nach der es Mengen gibt, die
weder konvex noch konkav sind) finde ich dort allerdings nichts.
Vielleicht mag jemand den Wikipedia-Artikel entsprechend ergänzen.

Herrschaftszeiten, Hirn einschalten. Das folgende Traktat gilt doch
[...]
In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen,
* wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt ist.
Einen solchen Körper gibt es jedoch nicht!

Komplemente konvexer Mengen gibt es offenbar schon.

Die reine Existenz derselben macht Komplemente konvexer Mengen nicht
konkav, weswegen "konkav", ein schon belegter Begriff, dafür ungeeignet
ist.

Ansichtssache (anderer Ansicht eben z.B. Kurt Leichtweiß a.a.O.) - aber wo
genau steht das jetzt in dem zitierten Wikipedia-Artikel? Die mögliche
Definition von konkav als "nicht konvex" wird im Wikipedia-Artikel
diskutiert, die mögliche Definition als Komplement einer konvexen Menge
nicht.
Was bei mir im Übrigen gleich zwei Fragen aufwirft: 1. Welche Mengen man
denn nun sinnvollerweise konkav nennen sollte (denn den Begriff "konkave
Menge" für etwas zu reservieren, was es nicht gibt, ist nicht besonders
nützlich), und 2. was genau der Unterschied ist zwischen einem "Körper,
dessen Oberfläche überall konkav gekrümmt ist", und einer Menge, deren
Komplement konvex ist.

Konvex heißt eine Menge eines Vektorraums oder eines affinen Raums, die
zu je zwei Vektoren/Punkten a,b alle sogenannten "Konvexkombinationen"
x= lambda a + (1-lambda b), 1<lambda<1, also die Verbindungsgeraden,
enthält. Sie enthält dann zu je n Punkten a_k auch alle ihre
Konvexkombinationen

x= sum lambda_k a_k mit sum lambda_k = 1, alle lambda_k >= 0

Der Begriff ist besonders ergiebig für Wahrscheinlichkeiten lambda_k.
Konvexkombination der Werte von Zufallsvariablen A_k mit Werten a_k und
Wahrscheinlichkeiten lambda_k entspricht einer Mischung der Verteilungen
der A_k in dem Sinn, dass bei jeder Ziehung zufällig mit gegebenen
Gewichten eine Zufallsvariable aus der Gruppe ausgewählt wird. Umgekehrt
ist die Bestimmung der Extremalpunkte einer konvexen Mischung die
Reduktion der Mischung auf ihre generierenden Bestandteile.

Funktionsgraphen positiver Funktionen heißen konvex, wenn jede Sekante
oberhalb des Graphen liegt, bei negativen Funktionen darunter. Konvexe
Funktionsgraphen sind also von der x-Achse weggekrümmt. Das Gebiet
ober/unterhalb des Graphen ist dann konvex. Konkav heißt ein Graph, bei
dem die Menge zwischen Graph und x-Achse konvex ist.

[Hero]

Post by Roland Franzius
Konkav heißt ein Graph, bei
dem die Menge zwischen Graph und x-Achse konvex ist.

So mein Vorschlag:
Schneidet man einem konvexen Körper einen konvexen Körper so heraus,
dass er nicht mehr konvex ist, ist der Körper dort konkav und der
ausgeschnitte Bereich eine Konkavitaet. Die neu geschaffene Oberfläche
hat die Eigenschaft, dass die Verbindung je zweier seiner Punkte nicht
zum Körper gehört. Umgekehrt: kann man einen nichtkonvexen Körper
durch Einfügen eines konvexen Körpers zu einem konvexen Körper
machen, war er dort konkav.
(Anmerkung: man kann einem konvexen Körper auch einen konvexen Bereich
gerade/mit einer Schnittebene abschneiden, dann bleibt er noch konvex.)
Dies kann man entsprechend für Flächen/Figuren der Ebene und ihren
Rand formulieren.

Freundliche Grüsse
Hero

[Hero]

So mein Vorschlag:....

Konkav und konvex ist nicht mit linker und rechter Schraube zu
vergleichen, eher mit Schraube und Mutter, Schlüsssel und Schloss,...
kurz:
Konkav hat ein konvexes Loch.
Da ein konvexer Körper auch Geraden bzw ebene Flächen auf der
Oberfläche haben kann, tritt dies natürlich auch bei seinem negativen

Schneidet man einem konvexen Körper einen konvexen Körper so heraus,
dass er nicht mehr konvex ist, ist der Körper dort konkav und der
ausgeschnitte Bereich eine Konkavitaet. Die neu geschaffene Oberfläche
hat die Eigenschaft, dass die Verbindung je zweier seiner Punkte nicht
zum Körper gehört

oder eine Gerade auf dieser Oberfläche ist.

Umgekehrt: kann man einen nichtkonvexen Körper
durch Einfügen eines konvexen Körpers zu einem konvexen Körper
machen, war er dort konkav.
(Anmerkung: man kann einem konvexen Körper auch einen konvexen Bereich
gerade/mit einer Schnittebene abschneiden, dann bleibt er noch konvex.)
Dies kann man entsprechend für Flächen/Figuren der Ebene und ihren
Rand formulieren.

Freundliche Grüsse
Hero

[Wolfgang Kirschenhofer]

"Tjark Weber" <***@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag news:ec9uv5$u0k$02$***@news.t-online.com...
| David Kastrup schrieb:
| > Tjark Weber <***@gmx.de> writes:
| >> Über die von Wolfgang zitierte Definition (nach der es Mengen
gibt, die
| >> weder konvex noch konkav sind) finde ich dort allerdings nichts.
| >>
| >> Vielleicht mag jemand den Wikipedia-Artikel entsprechend ergänzen.
| >
| > Herrschaftszeiten, Hirn einschalten. Das folgende Traktat gilt
doch
| > ebenso für Wolfgangs Definition:
| > [...]
| > In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen,
| >
| > * wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt
ist.
| >
| > Einen solchen Körper gibt es jedoch nicht!
|
| Komplemente konvexer Mengen gibt es offenbar schon.
|
| Freundliche Grüße,
|
| Tjark

Hallo Tjark!

Danke, daß Du dies mit Wikipedia geklärt hast.
Ursprünglich wollte ich zu diesem Thread keinen Beitrag mehr schreiben,
weil mir dies nicht so wichtig ist, wie anscheinend David.
Klar ist natürlich, daß die Begriffe "Konvexe Funktion" und "Konkave
Funktion" für die Konvexgeometrie bzw. Konvexität sehr wichtig sind.
Aber das war ja nicht das Thema.
Ich wollte nur auf die Frage von Sven eingehen und habe daher aus dem
Buch "Konvexe Mengen" von K.Leichtweiß die dort angegebene Definition
zitiert.
Leichtweiß verwendet die Begriffe "konkave Menge" und im Zusammenhang
damit die Begriffe "Konvexraum" und "Konkavraum" zunächst einmal im
Satz 13.2 auf Seite 135.
Wie wichtig das für die Fortführung der Theorie ist, weiß ich nicht, da
ich auf dem Gebiet der Konvexität ein Laie bin. Vielleicht kennt sich
da David gut aus.
Der Vergleich mit den Farben "nichtrot"="grün" erinnert mich an die
Argumentationsweise
eines populistischen Politikers. Mir fällt dies jetzt nur deshalb ein,
weil wir derzeit in Österreich
Wahlkampf haben.

Freundliche Grüße,
Wolfgang

[Lukas-Fabian Moser]

Hallo,

Post by David Kastrup
Herrschaftszeiten, Hirn einschalten. Das folgende Traktat gilt doch

Muß dieser Ton sein?

Grüße, Lukas

[Christopher Creutzig]

Post by David Kastrup
In analoger Weise würde man einen Körper konkav nennen,
* wenn seine Oberfläche (ihr Rand) überall konkav gekrümmt ist.
Einen solchen Körper gibt es jedoch nicht!

Physikalisch nicht. Mathematisch schon, bspw. das Komplement einer
Kugel. Solche Körper sind nur (zumindest in euklidischen Räumen)
notwendigerweise unbeschränkt.

Außerdem ging es doch nicht um konkave Körper, sondern um konkave
Mengen, und bis zum Beweis des Gegenteils behaupte ich, dass es dort zu
jeder sinnvollen Definition, die einem so in den Sinn kommt, Beispiele gibt.


Gruß,
Christopher