Jeder R-Vektorraum vollständig?

[Thomas Peters]

Ist jeder normierte R-Vektorraum vollständig ?(also ein Banchraum)

Nein. Vollständigkeit heißt ja, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
Vollständigkeit ist also eine Eigenschaft der Norm. Und es gibt natürlich
Normen, bei denen dies nicht erfüllt ist. Mehr oder weniger triviale
Gegenbeispiele findest du in jedem Analysis-Buch unter dem Stichpunkt
"Folgen von Funktionen" oder ähnlichem.

[Thomas Flaig]

Hallo

Post by Thomas Peters

Ist jeder normierte R-Vektorraum vollständig ?(also ein Banchraum)

Nein. Vollständigkeit heißt ja, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
Vollständigkeit ist also eine Eigenschaft der Norm. Und es gibt natürlich
Normen, bei denen dies nicht erfüllt ist. Mehr oder weniger triviale
Gegenbeispiele findest du in jedem Analysis-Buch unter dem Stichpunkt
"Folgen von Funktionen" oder ähnlichem.

Dann sollte das aber im endlichdimensinalen Fall stimmen:
1.) Im IR^n sind alle Normen äquivalent.
2.) Jeder n-dimensionale IR-VR ist isomorph zum IR^n
3.) IR ist vollständig (z.B. bzgl. euklidischer...), damit auch der IR^n
komponentenweise.
Oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?
ciao
thomas

[Paul Ebermann]

Post by Thomas Flaig

Post by Thomas Peters

Ist jeder normierte R-Vektorraum vollständig ?(also ein Banchraum)

Nein. Vollständigkeit heißt ja, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
Vollständigkeit ist also eine Eigenschaft der Norm. Und es gibt natürlich
Normen, bei denen dies nicht erfüllt ist. Mehr oder weniger triviale
Gegenbeispiele findest du in jedem Analysis-Buch unter dem Stichpunkt
"Folgen von Funktionen" oder ähnlichem.

1.) Im IR^n sind alle Normen äquivalent.
2.) Jeder n-dimensionale IR-VR ist isomorph zum IR^n
3.) IR ist vollständig (z.B. bzgl. euklidischer...), damit auch der IR^n
komponentenweise.
Oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?

Nein. Jeder endlichdimensionale reelle
Vektorraum ist vollständig. (Achtung: bei
2. musst du nicht nur Vektorraumisomorphie
zeigen, sondern auch noch zeigen, dass die
Norm des VR eine Norm auf R^n induziert.)

Dagegen ist bei unendlichdimensionalen
Vektorräumen dies nicht gegeben - manche sind
vollständig (d.h. Banachräume), andere nicht.


Paul

[Greiff]

Hallo zusammen,
Ist jeder normierte R-Vektorraum vollständig ?(also ein Banchraum)
Das R^n für n>=1 vollständig ist ist klar. Aber es gibt ja noch jede Menge
andere (zum Teil unendlich dimensionale R-Vektorräume). Wie schaut es mit
denen aus? Gibt es dafür einen allgemeinen Beweis?
Weil R^1 gilt ja nach Axiom, R^n folgt daraus, wegen der komponentenweisen
Konvergenz. Aber wie zeigt man das allgemein?
wär schön wenn dem so wäre (da könnte ich den Banach'schen Fixpunktsatz
benutzen)

Wie schon erwähnt wurde sind endlichdimensionale normierte
R-Vektorräume stets vollständig.

Unendlichdimensionale normierte R-Vektorräume müssen
nicht vollständig sein, können aber stets vervollständigt
werden, d.h. sind isometrisch isomorph zu einem dichten
Unterraum eines Banachraums.

[Jakob Creutzig]

Hallo zusammen,
Ist jeder normierte R-Vektorraum vollständig ?(also ein Banchraum)

Noch ein Gegenbeispiel, weil bisher keins kam:

Die Menge der reellwertigen stetigen Funktionen auf [0,1],
versehen mit der Norm

||f||_1 := \int_0^1 |f(x)| dx,

ist kein Banachraum, dies sieht man leicht ein, wenn man Funktionen
der Art

/------ 1
/
-----/ 0


betrachtet, wobei man die Steigung immer steiler macht. Das sollte in
der 1-Norm konvergieren, und zwar gegen die Sprungfunktion


------- 1

------ 0

, aber natuerlich ist diese Funktion nicht stetig.

Best,
Jakob

[Florian Wittke]

Dankeschön an alle. Wie ich es mir aber dann auch fast gedacht habe fehlte
auf dem Aufgabenblatt das nette Wort "vollständig" :-)

ciao

florian