Eckard Blumschein schrieb
[...]
Hier sind einige bemerkenswerte Begriffsbestimmungen,
die abgeschrieben sind aus dem Skript von Norbert Dragon
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/qm.pdf
Grundgleichung der QM
Wenn der Zustand Psi mit dem Meßapparat A vermessen wird, so ist
w(i,A,Psi) = |<Lambda_i|Psi>|^2
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der i-te Meßwert a_i angezeigt wird.
Zu jedem Meßwert a_i gehört zunächst genau ein Eigenzustand
Lambda_i von A zum Eigenwert a_i.
Man nennt das Skalarprodukt <Lambda_i|Psi> die
Wahrscheinlichkeitsamplitude für den i-ten Meßwert a_i.
Falls der Eigenzustand Lambda_j von A vermessen wird, tritt
(mit Sicherheit) der Meßwert a_j auf,
w(i,A,Psi) = |<Lambda_i|Lambda_j>|^2
Ordnet man physikalischen Zuständen Strahlen in H zu,
ist die obige Grundgleichung für die Wahrscheinlichkeit
von Meßwerten a_i so abzuändern, daß sie unabhängig von
der Normierung der Vektoren Lambda_i != 0 und Psi_i != 0 wird,
die man als Repräsentanten ihrer Strahlen wählt.
w(i,A,Psi) = |<Lambda|Psi>|^2 / <Lambda_i|Lambda_i> <Psi_i|Psi_i>
Statt einen Vektor Lambda_i oder Psi als Repräsentanten eines
Strahls in H zu verwenden, kann man Strahlen durch die
zugehörigen Projektoren
P_i,A = <Psi|Lambda_i> <Lambda_i|Psi> / <Lambda_i|Lambda_i>
und
Rho = <Lambda_i|Psi> <Psi|Lambda_i> / <Psi|Psi>
darstellen.
Die Spur oder englisch trace eines Operators A ist gegeben
für Vektoren, die eine Basis bilden, z.B. Eta_j, als
tr A = Summe_j <Eta_j|A Eta_j> und ist unabhängig von der
Basis und zyklisch.
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des i_ten
Meßwertes a_i ist dann durch die Spur oder englisch trace
von Rho mal P_i,A gegeben:
w(i,A,Rho) = tr Rho P_i,A
Diese Form der Grundgleichung kann leicht für den Fall
verallgemeinert werden, in dem der Meßwert a entartet ist
und mehrerere, durch feine Meßapparate unterscheidbare
(und daher orthogonale) Zustände, zum Meßwerte a gehören.
Der Projektor P_i,A ist dann zum Projektor P_a,A auf den
Unterraum derjenigen Zustände zu verallgemeinern, bei denen
der Meßwert a mit Sicherheit auftritt:
w(a,A,Rho) = tr Rho P_a,A
Dichtematrix
Die durch die Grundgleichung gegebenen Wahrscheinlichkeit kann
mit der Häufigkeit, mit der in Versuchsreihen die Meßwerte
auftreten, erst dann sicher (exakt) verglichen werden, wenn
in der Quelle wiederholt derselbe Zustand Psi präparert wird.
Dies ist bei vielen Quellen, z.B. bei Öfen, nicht der Fall.
Wenn die Quelle mit der Wahrscheinlichkeit p_1 den Zustand
Psi_1 präpariert, mit der Wahrscheinlichkeit p_2 den Zustand
Psi_2 und so weiter, dann tritt mit Wahrscheinlichkeit
p_1 w(i,A,Psi_1) der Fall auf, daß der Zustand Psi_1
präpariert und der i_te Meßwert gemessen wird, mit
Wahrscheinlichkeit p_2 w(i,A,Psi_2) daß der Zustand Psi_2
präpariert und der i_te Meßwert gemessen wird und so weiter.
Berücksichtigt man alle Möglichkeiten, so erhält man den
i_ten Meßwert a_o mit Wahrscheinlichkeit
w(i,A,Rho) = Summe_n p_n w(i,A,Psi_n)
= Summe_n p_n <Lambda_i|Psi_n> <Psi_n|Lambda_i>
w(i,A,Rho) = <Lambda_i|Rho Lambda_i>
wobei die Dichtematrix Rho
Rho = Summe_n p_n |Psi_n> <Psi_n| (in Bracketschreibweise)
das Gemisch in allen meßbaren Eigenschaften charakterisiert.
Beim Mischen von zwei Gemischen erhalten wir
Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die zur Dichtematrix
Rho(Lambda) = Lambda Rho_Dach + (1 - Lambda) Rho_Tilde
gehört.
Wir werden sehen, daß beim Mischen die Unkenntnis über
die zugrunde liegenden Zustände, die Entropie, und die
Streuung von Meßwerten zunimmt.
Operatoren
Die Formel w(i,A,Rho) = tr Rho P_i,A
gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Meßwerte an.
Sie enthält damit die vollständige Information über den
Ausgang von Meßreihen. Oft ist man an weniger Information
interessiert, zum Beispiel am Mittelwert der Meßwerte.
Bei vielen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist der wahrscheinlichste
Meßwerte nahe beim Mittelwerte und der Mittelwerte daher der
Meßwert, den man erwartet. Deshalb nennen ihn die Physiker
Erwartungswert
<A> = tr Rho A
wobei A jetzt nicht nur den Meßapparat sondern auch den
Operator A bezeichnet. Die Notation <A> für den
Mittelwert tr Rho A stammt vom reinen Zustand
In diesem Fall gilt spezieller, wenn wir wieder ein
normiertes Psi verwenden,
<A> = <Psi|A Psi> bzw. <A> = <Psi|A|Psi>
Da der sich der Begriff der Observablen im o.a. Skript von
Norbert Dragon nicht findet ist folgende Zuordnung entnommen aus
http://pauli.uni-muenster.de/menu/Lehre/quant-skript/node23.html
Observable <---> selbstadjungierte Operatoren
Meßwerte <---> Eigenwerte
Erwartungswert von A im Zustand |Psi> = <Psi|A|Psi>
Zurück zum Zitieren aus dem Skript von Norbert Dragon:
Entropie
Fehlende Polarisation oder Größen wie 1-(tr Rho^2)
können als Maß dafür verwendet werden, wie sehr der
präparierte Zustand von einem reinen Zustand abweicht.
Ein günstigeres Maß für die Unkenntnis über den präparierten
Zustand ist die Entropie S. Sie addiert sich beim
unabhängigen Zusammensetzen zweier Systeme, ändert sich
nicht während der Schrödingerschen Zeitentwicklung und
nimmt beim Mischen und bei zufälligen Störungen zu.
Die Unkenntnis oder Entropie ist als Funktion der
Eigenwerte Rho_i der Dichtematrix definiert:
S = - Summe_i Rho_i ln Rho_i
= - tr Rho ln Rho
Gruss
hoffentlich ist nicht zuviel falsch abgeschrieben oder falsch gekürzt ...