Discussion:
Äquivalenzklassen, Nebenklassen, Fakorgruppen, Normalteiler
(zu alt für eine Antwort)
Alexander Schmidt
2004-02-14 10:36:10 UTC
Permalink
Hi,

ich hab momentan noch arge Probleme mir unte den o.g. 4 Begriffen etwas
vorzustellen.
In der ganzen Literatur findet man wieder nur die Definitionen aber keine
einfachen Beispiele.

Ich hab das jetzt so verstanden:

(1) Äquivalenzklasse:
Damit gruppieren wir Elemente einer Menge nach eine gewissen Eigenschaft
bestimmt durch die Relation.
Z.b. können wir nach der Restklssse modulo 5, 5 Klassen bilden:

[0] = {0,5,10,15,...}
[1] = {1,6,...}
[2]....
[3]....
[4]....

Alle Elemente der jeweiligen Klassen erfüllen die Bedingung x~a, deswegen
kommt hier die Äquivalenzrelation ins Spiel:

Reflexiv: 5~5 (paßt)
Symmetrie: 5~10 und 10~5 (paßt)
Transitiv: 5~10 und 10~15 -> 5~15 (paßt)

Nehmen wir Elemente aus verschienden Klassen paßt das halt nicht mehr:
Symmetrie: 5~6 und 6~5 (nö)

Habt Ihr noch was hinzuzufügen, dass ich mir das besser vorstellen kann ?
Bzw. stimmt das so überhaupt ?


(2) Faktormenge

So, die Faktormenge ist die Menge aller Äquivalenzklassen auf einer solchen
Ä.relation.
Also in dem Fall oben [0]...[4]

Die bilden dann wohl auch eine Partition, oder ?


(3) Untergruppe

Eine Untergruppe U zu G haben wir wenn U selbst eine Gruppe (in Bezug auf
die gleiche Operation °) ist und alle Elemente von U in G liegenn (also U
nicht-leere Teilmenge von G darstellt).
Kann man das so sagen ?

Beispiel:
Restklassen modulo 2 (:=a) ist Untergruppe zu Restklasse modulo 4 (:=b),
weil alle Elemente von a in b liegen und a auf die Operation ° auch eine
Gruppe ist (das sei jetzt mal so).
Ok ?


(4) Links/Rechtsnebenklassen

So, hier verläßt mich meine Vorstellung:
Wir bruachen auf jeden Fall wieder eine Gruppe und eine Untergruppe um das
zu veranschaulichen:
Nehmen wir a und b aus (3).

Und jetzt ?
Hilfe !


(5) Normalteiler

Wie (4) -> keine Ahnung wie ich es veranschaulichen kann ;-(


(6) Faktorgruppen

Auch wie (4) -> k/A


(7) Homormophismus, Kern und Bild

Was Kern und Bild sind habe ich verstanden, aber was der Homom. selbst ist -
mhhhh.
Ich würd hier auch gerne mal ein einfaches Beispiel sehen.

Vielen lieben Dank.


V.a. frage ich mich was in einer Mathe f. Informatiker Klausur zu diesen
Dingen gefragt werden kann ;-(


MfG
Holger Walliser
2004-02-14 12:44:01 UTC
Permalink
Hallo Alexander,

vorab: es ist immer außerordentlich gefährlich die Beispiele als "Definition" zu
betrachten und für jeden Deiner unten stehenden Schritte sollte man zur
Darstellung möglichst einfache Beispiele nehmen!
Post by Alexander Schmidt
Hi,
ich hab momentan noch arge Probleme mir unte den o.g. 4 Begriffen etwas
vorzustellen.
In der ganzen Literatur findet man wieder nur die Definitionen aber keine
einfachen Beispiele.
Damit gruppieren wir Elemente einer Menge nach eine gewissen Eigenschaft
bestimmt durch die Relation.
ab hier fängst Du schon an zu vermischen! Wir definieren hier nun eine
_Äquvalenzrelation_ a~b durch die Eigenschaft a steht in Relation zu b wenn a-b
durch 5 teilbar ist. Dann ist erst mal zu zeigen, daß diese Relation die drei
notwendigen Eigenschaften hat und wenn man dies gezeigt hat kann man
offensichtlich die Äquivalenzklassen dazu angeben.
Post by Alexander Schmidt
[0] = {0,5,10,15,...}
[1] = {1,6,...}
[2]....
[3]....
[4]....
Alle Elemente der jeweiligen Klassen erfüllen die Bedingung x~a,
Ich nehme an mit a stellst Du Dir nun vor einen Repräsentanten der Klasse
gewählt zu haben und x sei ein beliebiges Element der Klasse.
Post by Alexander Schmidt
deswegen
Reflexiv: 5~5 (paßt)
Symmetrie: 5~10 und 10~5 (paßt)
Transitiv: 5~10 und 10~15 -> 5~15 (paßt)
Symmetrie: 5~6 und 6~5 (nö)
Was soll das jetzt bedeuten? Natürlich ist die Relation auch für nicht
äquivalente Elemente symmetrisch - aber die Elemente stehen eben nicht in
Relation zueinander.
Post by Alexander Schmidt
Habt Ihr noch was hinzuzufügen, dass ich mir das besser vorstellen kann ?
Nein. Aber Deinen letzten Abschnitt würde ich weglassen.
Post by Alexander Schmidt
Bzw. stimmt das so überhaupt ?
(2) Faktormenge
So, die Faktormenge ist die Menge aller Äquivalenzklassen auf einer solchen
Ä.relation.
Also in dem Fall oben [0]...[4]
Die bilden dann wohl auch eine Partition, oder ?
Ja.
Post by Alexander Schmidt
(3) Untergruppe
Eine Untergruppe U zu G haben wir wenn U selbst eine Gruppe (in Bezug auf
die gleiche Operation °) ist und alle Elemente von U in G liegenn (also U
nicht-leere Teilmenge von G darstellt).
Kann man das so sagen ?
Ja.
Post by Alexander Schmidt
Restklassen modulo 2 (:=a) ist Untergruppe zu Restklasse modulo 4 (:=b),
weil alle Elemente von a in b liegen und a auf die Operation ° auch eine
Gruppe ist (das sei jetzt mal so).
Ok ?
Nein! Du verwendest zwei unterschiedliche Gruppen - soll heißen die eine ist
nicht Teilmenge der anderen. Ein Beispiel wären die ganzen Zahlen als additive
Gruppe und die haben als Untergruppe alle durch 5 teilbaren Zahlen.
Post by Alexander Schmidt
(4) Links/Rechtsnebenklassen
Wir bruachen auf jeden Fall wieder eine Gruppe
die nennen wir (G,°)
Post by Alexander Schmidt
und eine Untergruppe
die nennen wir (H,°)
Post by Alexander Schmidt
um das
Nehmen wir a und b aus (3).
Nein!! s.o. Wir nehmen wie von mir vorgeschlagen Z und 5Z und dann sind die
Nebnklassen die Elemente aus Z/5Z - also die Äquivalenzklassen aus (1).
Allgemein sind die Linksnebenklassen die Teilmengen von G die sich als
Äquivalenzklassen zu ff. Äquivalenzrelation ergeben:
2 Elemente a und b aus G heißen äquivalent wenn es ein h in H gibt mit a = h
° b
Nun muß man natürlich zeigen, daß das eine Äq.rel. ist. Bei Rechtsnebenklassen
ist die Äq.rel. a = b ° h.
Das läßt sich auch auf unser Beispiel anwenden: Es gilt a~b falls a-b durch 5
teilbar ist. Das kann man natürlich auch ausdrücken a~b falls es ein durch 5
teilbares h gibt mit a=h+b
Post by Alexander Schmidt
Und jetzt ?
Hilfe !
(5) Normalteiler
Wie (4) -> keine Ahnung wie ich es veranschaulichen kann ;-(
Die Def.: eine Untergruppe ist Normalteiler wenn die Linksnebenklassen und die
Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Wesentlich hierbei ist das Verständnis dafür,
daß das nicht immer so sein muß. Unser Beispiel ist aber eine abelsche Gruppe
und da ist das offenbar immer so (schließlich ist hier immer h+b=b+h)
Post by Alexander Schmidt
(6) Faktorgruppen
Auch wie (4) -> k/A
Ist H ein Normalteiler, so kann man auf ganz natürliche Art und Weise die
Gruppenoperation von G verwenden um eine Operation auf der Menge der
Äquivalenzklassen zu definieren, so daß diese Menge zusammen mit dieser
Operation wiedr eine Gruppe wird. Die so entstandene Gruppe nennt man
Faktorgruppe. Ein Beispiel sei wieder Z/5Z. Die Addition erhältst Du ja indem Du
sagst ich addiere die Repräsentanten so wie ich es in Z auch machen würde und
betrachte danach zu welcher Äquivalenzklase(Restklasse dieses Element von Z
gehört.
Bsp.: [2]+[3] = [2+3] = [5] = [0]
Post by Alexander Schmidt
(7) Homormophismus, Kern und Bild
Was Kern und Bild sind habe ich verstanden, aber was der Homom. selbst ist -
mhhhh.
Das ist einfach die Funktion die Elemente aus der einen Gruppe in die andere
Gruppe abbildet - und zwar so, daß die Abbildung die Gruppenoperationen
respektiert.
Post by Alexander Schmidt
Ich würd hier auch gerne mal ein einfaches Beispiel sehen.
Vielen lieben Dank.
V.a. frage ich mich was in einer Mathe f. Informatiker Klausur zu diesen
Dingen gefragt werden kann ;-(
Das weiß ich natürlich auch nicht, aber ich würde sagen so ziemlich alles
Post by Alexander Schmidt
MfG
HTH und viele Grüße von
Holger
Alexander Schmidt
2004-02-14 13:11:16 UTC
Permalink
Post by Holger Walliser
Hallo Alexander,
[...]
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
Restklassen modulo 2 (:=a) ist Untergruppe zu Restklasse modulo 4 (:=b),
weil alle Elemente von a in b liegen und a auf die Operation ° auch eine
Gruppe ist (das sei jetzt mal so).
Ok ?
Nein! Du verwendest zwei unterschiedliche Gruppen - soll heißen die eine ist
nicht Teilmenge der anderen.
Wieso ?
Restklassen modulo 4 sind [0], [1], [2], [3]
Restklassen modulo 2 sind [0], [1]

Und [0] und [1] sind doch auch in [0],[1],[2],[3] enthalten ???

Oder ist es eher so:

Für Restklassen modulo 4 gilt:

[0] = {0,4,8,...}
[1] = {1,5,0,...}
[2] ...

Für Restklassen modulo 2 gilt:

[0] = {0,2,4,6,8,...}
[1] = {1,3,5,...}

Und leider sind z.B. die Elemente 2,6 aus der Klasse [0] hier nicht in der
Klasse [0] der Restklasse modulo 4 und deswegen funktioniert das nicht ?
Post by Holger Walliser
Ein Beispiel wären die ganzen Zahlen als additive
Gruppe und die haben als Untergruppe alle durch 5 teilbaren Zahlen.
Also G=(Z,+) und H=(5Z,+).
Das seh ich ein...
Weil H ist definitiv eie Gruppe auf + (wie auch G) und jedes Element von H
ist auch in G.
Und das ist bei meinem Beispiel oben u.U. nicht der Fall.
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
(4) Links/Rechtsnebenklassen
Wir bruachen auf jeden Fall wieder eine Gruppe
die nennen wir (G,°)
Post by Alexander Schmidt
und eine Untergruppe
die nennen wir (H,°)
[...]
Post by Holger Walliser
Nein!! s.o. Wir nehmen wie von mir vorgeschlagen Z und 5Z und dann sind die
Nebnklassen die Elemente aus Z/5Z - also die Äquivalenzklassen aus (1).
Allgemein sind die Linksnebenklassen die Teilmengen von G die sich als
2 Elemente a und b aus G heißen äquivalent wenn es ein h in H gibt mit a = h
° b
Nun muß man natürlich zeigen, daß das eine Äq.rel. ist. Bei Rechtsnebenklassen
ist die Äq.rel. a = b ° h.
Das läßt sich auch auf unser Beispiel anwenden: Es gilt a~b falls a-b durch 5
teilbar ist. Das kann man natürlich auch ausdrücken a~b falls es ein durch 5
teilbares h gibt mit a=h+b
Mh... das versteh ich leider immer noch ncih ;-(
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
(5) Normalteiler
Wie (4) -> keine Ahnung wie ich es veranschaulichen kann ;-(
Die Def.: eine Untergruppe ist Normalteiler wenn die Linksnebenklassen und die
Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Wesentlich hierbei ist das Verständnis dafür,
daß das nicht immer so sein muß. Unser Beispiel ist aber eine abelsche Gruppe
und da ist das offenbar immer so (schließlich ist hier immer h+b=b+h)
Ok...
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
(6) Faktorgruppen
Auch wie (4) -> k/A
Ist H ein Normalteiler, so kann man auf ganz natürliche Art und Weise die
Gruppenoperation von G verwenden um eine Operation auf der Menge der
Äquivalenzklassen zu definieren, so daß diese Menge zusammen mit dieser
Operation wiedr eine Gruppe wird. Die so entstandene Gruppe nennt man
Faktorgruppe. Ein Beispiel sei wieder Z/5Z. Die Addition erhältst Du ja indem Du
sagst ich addiere die Repräsentanten so wie ich es in Z auch machen würde und
betrachte danach zu welcher Äquivalenzklase(Restklasse dieses Element von Z
gehört.
Bsp.: [2]+[3] = [2+3] = [5] = [0]
Ok... das scheint einfach...
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
(7) Homormophismus, Kern und Bild
Was Kern und Bild sind habe ich verstanden, aber was der Homom. selbst ist -
mhhhh.
Das ist einfach die Funktion die Elemente aus der einen Gruppe in die andere
Gruppe abbildet - und zwar so, daß die Abbildung die Gruppenoperationen
respektiert.
Ok...
Wie sieht so eine Funktion denn an einem Beispiel aus ?
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
Ich würd hier auch gerne mal ein einfaches Beispiel sehen.
Vielen lieben Dank.
V.a. frage ich mich was in einer Mathe f. Informatiker Klausur zu diesen
Dingen gefragt werden kann ;-(
Ohje...
Holger Walliser
2004-02-14 21:32:25 UTC
Permalink
Hallo Alexander

Alexander Schmidt schrieb:
[...]
Post by Alexander Schmidt
[0] = {0,4,8,...}
[1] = {1,5,0,...}
[2] ...
[0] = {0,2,4,6,8,...}
[1] = {1,3,5,...}
Und leider sind z.B. die Elemente 2,6 aus der Klasse [0] hier nicht in der
Klasse [0] der Restklasse modulo 4 und deswegen funktioniert das nicht ?
genau!
Post by Alexander Schmidt
Post by Holger Walliser
Ein Beispiel wären die ganzen Zahlen als additive
Gruppe und die haben als Untergruppe alle durch 5 teilbaren Zahlen.
Also G=(Z,+) und H=(5Z,+).
Das seh ich ein...
Weil H ist definitiv eie Gruppe auf + (wie auch G) und jedes Element von H
ist auch in G.
Und das ist bei meinem Beispiel oben u.U. nicht der Fall.
ja.
Post by Alexander Schmidt
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
(4) Links/Rechtsnebenklassen
Wir bruachen auf jeden Fall wieder eine Gruppe
die nennen wir (G,°)
Post by Alexander Schmidt
und eine Untergruppe
die nennen wir (H,°)
[...]
Post by Holger Walliser
Nein!! s.o. Wir nehmen wie von mir vorgeschlagen Z und 5Z und dann sind
die
Post by Holger Walliser
Nebnklassen die Elemente aus Z/5Z - also die Äquivalenzklassen aus (1).
Allgemein sind die Linksnebenklassen die Teilmengen von G die sich als
2 Elemente a und b aus G heißen äquivalent wenn es ein h in H gibt mit
a = h
Post by Holger Walliser
° b
Nun muß man natürlich zeigen, daß das eine Äq.rel. ist. Bei
Rechtsnebenklassen
Post by Holger Walliser
ist die Äq.rel. a = b ° h.
Das läßt sich auch auf unser Beispiel anwenden: Es gilt a~b falls a-b
durch 5
Post by Holger Walliser
teilbar ist. Das kann man natürlich auch ausdrücken a~b falls es ein durch
5
Post by Holger Walliser
teilbares h gibt mit a=h+b
Mh... das versteh ich leider immer noch ncih ;-(
also ganz elementar:
Deine Äquvalenzrelation heißt: a~b wenn a-b durch 5 teibar ist
Bsp.: 16~1, denn 16-1=15 ist teilbar durch 5
Meine Äq.rel. heißt a~b wenn es ein h aus 5Z gibt, so daß a = h + b
Bsp.: 16~1, denn 15 liegt in 5Z und 16 = 15 + 1
Offenbar sind die beiden Äquivalenzrelationen dieselben. Nur ist meine eben
verallgemeinerbar, so daß man sie für jede Gruppe verwenden kann und man
Linksnebenklassen erhält.
[...]
Post by Alexander Schmidt
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
(7) Homormophismus, Kern und Bild
Was Kern und Bild sind habe ich verstanden, aber was der Homom. selbst
ist -
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
mhhhh.
Das ist einfach die Funktion die Elemente aus der einen Gruppe in die
andere
Post by Holger Walliser
Gruppe abbildet - und zwar so, daß die Abbildung die Gruppenoperationen
respektiert.
Ok...
Wie sieht so eine Funktion denn an einem Beispiel aus ?
Sei G die Gruppe Z/4Z und H die Gruppe Z/2Z jeweils bezüglich der Addition und
f:G->H die Abbildung mit
f([0]) = f([2]) = [0]
f([1]) = f([3]) = [1]
dann ist diese Abbildung ein Homomorphismus wie Du leicht nachrechnen kannst.
Post by Alexander Schmidt
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
Ich würd hier auch gerne mal ein einfaches Beispiel sehen.
ist es das oben nun??
[...]

HTH und viele Grüße von
Holger
Paul Ebermann
2004-02-15 20:16:46 UTC
Permalink
Post by Alexander Schmidt
Post by Holger Walliser
Hallo Alexander,
[...]
Post by Holger Walliser
Post by Alexander Schmidt
Restklassen modulo 2 (:=a) ist Untergruppe zu Restklasse modulo 4 (:=b),
weil alle Elemente von a in b liegen und a auf die Operation ° auch eine
Gruppe ist (das sei jetzt mal so).
Ok ?
Nein! Du verwendest zwei unterschiedliche Gruppen - soll heißen
die eine ist nicht Teilmenge der anderen.
Wieso ?
Restklassen modulo 4 sind [0], [1], [2], [3]
Restklassen modulo 2 sind [0], [1]
Und [0] und [1] sind doch auch in [0],[1],[2],[3] enthalten ???
Das ist ein Notationsproblem, dass gleiche Symbole für
verschiedene Objekte benutzt werden.
Post by Alexander Schmidt
[0] = {0,4,8,...}
[1] = {1,5,0,...}
[2] ...
[0] = {0,2,4,6,8,...}
[1] = {1,3,5,...}
Ja.
Post by Alexander Schmidt
Und leider sind z.B. die Elemente 2,6 aus der Klasse [0] hier nicht in der
Klasse [0] der Restklasse modulo 4 und deswegen funktioniert das nicht ?
Genau - die Menge [0] modulo 4 ist eine andere als
[0] modulo 2.

Deswegen sollte man, solange nicht klar ist, worum es
geht, irgendwie markieren, bezüglich was man gerade
Restklassen betrachtet.
Eine Variante ist es, den Divisor als Index an die
Klammer zu schreiben (_ heißt "tiefgestellt"):

[0]_2 = {0, 2, 4, 6, 8, ... }

[0]_4 = {0, 4, 8, ...}


Paul
Rainer Rosenthal
2004-02-14 14:05:46 UTC
Permalink
Post by Alexander Schmidt
Transitiv: 5~10 und 10~15 -> 5~15 (paßt)
Seid doch nicht so sparsam mit den Quantoren.
Transitivität der Relation ~ bedeutet:
"Für alle x und y gilt: x ~ y und y ~ z --> x ~ z"

Wenn man das an einem Beispiel prüfen will, dann sucht
man sich x, y und z, die die Voraussetzung erfüllen, und
prüft, ob die Folgerung ebenfalls gilt. Was Du oben
geschrieben hast, könnte man als Kurzform für dies
Verfahren durchgehen lassen. Du hast ja x,y,z = 5,10,15
gewählt, womit die Voraussetzung erfüllt ist für die
Relation, die gegeben ist durch x ~ y <--> x = y (mod 5).

Das "passt" bezieht sich darauf, dass tatsächlich 5 ~ 15
gilt.
Post by Alexander Schmidt
Nehmen wir Elemente aus verschienden Klassen paßt das
Symmetrie: 5~6 und 6~5 (nö)
Was soll denn das? Willst Du damit die Symmetrie widerlegen?

Die Symmetrie der Relation ~ bedeutet:
"Für alle x und y gilt: x ~ y --> y ~ x".

Um dafür ein Beispiel zu bilden, musst Du solche x und y
wählen, die in Relation ~ stehen, d.h. also solche aus
der gleichen Klasse.
Wählst Du solche, die nicht zur gleichen Klasse gehören,
dann ist die Voraussetzung falsch und die Folgerung muss
dann auch nicht eintreten (sie dürfte es aber! Das ist das
berühmte "aus was Falschem kann alles folgen.")

Diese Formulierung "Symmetrie: 5~6 und 6~5 (nö)" ist Mist.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Paul Ebermann
2004-02-15 20:20:02 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Alexander Schmidt
Transitiv: 5~10 und 10~15 -> 5~15 (paßt)
Seid doch nicht so sparsam mit den Quantoren.
"Für alle x und y gilt: x ~ y und y ~ z --> x ~ z"
^^^^^^^ x, y und z

SCNR
Paul
Rainer Rosenthal
2004-02-15 22:19:44 UTC
Permalink
Paul Ebermann
Post by Paul Ebermann
Post by Rainer Rosenthal
"Für alle x und y gilt: x ~ y und y ~ z --> x ~ z"
^^^^^^^ x, y und z
SCNR
SC hon wieder
N icht aufgepasst, Herr
R osenthal

Jan-Hinnerk Reichert
2004-02-15 05:33:07 UTC
Permalink
Post by Alexander Schmidt
ich hab momentan noch arge Probleme mir unte den o.g. 4 Begriffen
etwas vorzustellen.
In der ganzen Literatur findet man wieder nur die Definitionen aber
keine einfachen Beispiele.
[...]
Post by Alexander Schmidt
(4) Links/Rechtsnebenklassen
Wir bruachen auf jeden Fall wieder eine Gruppe und eine Untergruppe
Die Nebenklassen kann man sich als Verschiebungen der Untergruppe
vorstellen.
Nimm Dir z.B R^2 mit der Vektoraddition als Gruppe. Die
nicht-trivialen Untergruppen sind dann, genau die Geraden durch den
Ursprung. Die Nebenklassen alle dazu parallelen Geraden.

Einen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnebenklassen gibt es
natürlich erst bei nicht-abelschen Gruppen. Einfach mal mit der S_3
ausprobieren ;-)

Die Linksnebenklassen (bzw. Rechtsnebenklassen) sind übrigens wieder
eine Partition der Gruppe.
Post by Alexander Schmidt
(5) Normalteiler
Wie (4) -> keine Ahnung wie ich es veranschaulichen kann ;-(
Ich auch nicht so wirklich. Ich würde sagen, daß Normalteiler genau
die Mengen sind, die Kern eines Homomorphismus sein können ;-)
Post by Alexander Schmidt
(6) Faktorgruppen
Auch wie (4) -> k/A
Das ist irgendwie eine Beschränkung auf einen Teilaspekt der Gruppe.
Mal zwei Beispiele:
a) Die ganzen Zahlen modulo die geraden Zahlen: Z/2Z
In Z/2Z betrachtet man einfach nur noch, ob Zahlen gerade oder
ungerade sind.
b) Die Ebene modulo der y-Achse: R^2/({0}xR)
Man betrachtet einfach nur noch die x-Koordinate.
Post by Alexander Schmidt
(7) Homormophismus, Kern und Bild
Was Kern und Bild sind habe ich verstanden, aber was der Homom.
selbst ist - mhhhh.
Ich würd hier auch gerne mal ein einfaches Beispiel sehen.
Ich weiß nicht, ob das hilft, aber trotzdem:
Ein Homomorphismus ist das für Gruppen, was eine stetige Abbildung in
der Analysis (Topologie) ist.

Noch ein paar Beispiele:
a) für beliebiges k\in Z: Z->Z, z->k*z
b) für beliebiges a\in R^2: R->R^2, x-> x*a
c) für beliebiges a\in R^2: R^2->R, x-> <a,x> (Skalarprodukt)
d) für beliebige Gruppe G und beliebiges a\in G
Z->G, k->k*a (mit k*a:=\sum_i=1^k, naja und für negative k halt
das Inverse ;-)
e) für beliebiges n: S_n->{-1,1}, x->sgn(x)
(Vorzeichen einer Permutation)

Besonders d) find' ich ganz süß ;-)
Post by Alexander Schmidt
V.a. frage ich mich was in einer Mathe f. Informatiker Klausur zu
diesen Dingen gefragt werden kann ;-(
In der Regel bietet es sich an, ältere Studierende desselben
Fachbereichs zu fragen; am besten natürlich welche, die den selben
Prof. hatten.

Eine übliche Aufgabe zu diesem Thema, wäre wie folgt
1) Sei G:=[blabla}. Zeige, daß G eine Gruppe ist. (Besonders gerne
werden hier Teilmengen der 2x2 Matrizen; oder auch Tupel von Zahlen
mit obskuren Multiplikationen, die aber eigentlich auf eine
Matrixmultiplikation zurückgehen (Verschleierung ist alles ;-))
2) Sei \phi:[blabla]. Zeige, daß \phi ein Homomorphismus ist.
3) Bestimme den Kern und das Bild von \phi

Das kommt aber natürlich auch sehr auf das Niveau und, vor allem, auf
die Länge der Klasur an ;-)

Viel Erfolg
Jan-Hinnerk
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