Mengen und (ihre) Elemente - in Mückenheims Welt

Post by Moebius
| Was ist die Menge mehr als "alle Elemente"?
| ... sie ist nicht mehr als alle Elemente.
Ah ja.
| Was ist die Menge mehr als "alle ihre Elemente"?
| ... sie ist nicht mehr als alle ihre Elemente.
Hier zu ist zu sagen: Die Menge
{a} ist [in ZF(C)] nicht gleich a
für beliebige/s a.
Die durchaus existierende Menge {} enthält gar kein Element.
Mückenheim verwechselt immer wieder Mengen mit mereologischen "Ganzheiten".
Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/Mereologie
Aber ich glaube, man hat ihm das in den vergangenen 15 Jahren mindestens
schon 50-mal erklärt (natürlich ohne dadurch bei ihm das Geringste zu
bewirken).

Womöglich tue ich ihm hier aber Unrecht, und er will/wollte damit
(diesmal) nur ausdrücken, dass eine Menge durch ihre Elemente "eindeutig
bestimmt" ist. D. h. dass es keine 2 verschiedenen Mengen mit denselben
Elementen gibt (->Extensionalität).

Man sollte das aber nicht so ausdrücken: "Eine Menge ist nicht mehr als
alle Elemente." Denn das geht schon deutlich in Richtung "not even wrong".

Ich weiß z. B. nicht, ob die Menge {a} "mehr" oder "nicht mehr" als ihr
einziges Element a ist. Aber sie ist [in ZF(C)] ETWAS ANDERES als a
(also nicht identisch mit a).

.
.
.

2025-02-26 18:08:33 UTC

Post by Moebius
Man sollte das aber nicht so ausdrücken: "Eine Menge ist nicht mehr als
alle Elemente." Denn das geht schon deutlich in Richtung "not even wrong".

Wenn wir ausd einer abz. unendliche Menge alle Elemente entfernen, was
durch Induktion möglich ist, dann bleibt keines zurück, auch nicht in ZFC.

Gruß WM

joes

2025-02-26 18:28:18 UTC

Post by Moebius
Man sollte das aber nicht so ausdrücken: "Eine Menge ist nicht mehr als
alle Elemente." Denn das geht schon deutlich in Richtung "not even wrong".

Wenn wir ausd einer abz. unendliche Menge alle Elemente entfernen, was
durch Induktion möglich ist, dann bleibt keines zurück, auch nicht in ZFC.

Nein, das ist durch Induktion nicht möglich. Induktion gilt nur für
endliche Zahlen (was unendlich viele sind). "Alle Elemente" bedeutet
aber eine unendliche Zahl. Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer
Elemente) aus einer Menge entfernt, bleibt - Überraschung alles
zurück (wenn sich die Menge nicht selbst enthält). Du verwechselst
wie immer "jedes natürlich nummerierte Element" mit "alle natürlich
nummerierten Elemente".

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-27 08:48:21 UTC

Post by Moebius
Man sollte das aber nicht so ausdrücken: "Eine Menge ist nicht mehr als
alle Elemente." Denn das geht schon deutlich in Richtung "not even wrong".

Wenn wir ausd einer abz. unendliche Menge alle Elemente entfernen, was
durch Induktion möglich ist, dann bleibt keines zurück, auch nicht in ZFC.

Nein, das ist durch Induktion nicht möglich.

Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann. ist es durch
Iduktion möglich, die Existenz einer unendlichen Menge zu garantieren.

Post by joes
Induktion gilt nur für
endliche Zahlen

Dafür braucht man keine Induktion.

Post by joes
(was unendlich viele sind).

Um sie vollständig zu erzeugen oder zu definieren, braucht man Induktion.

Post by joes
"Alle Elemente" bedeutet
aber eine unendliche Zahl.

Natürlich, denn für jede endliche Zahl braucht man keine Induktion.

Post by joes
Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer
Elemente) aus einer Menge entfernt, bleibt - Überraschung alles
zurück (wenn sich die Menge nicht selbst enthält).

Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern die
Dubtraktion.

Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.

Diese Identität behaupte ich.

Gruß, WM

joes

2025-02-27 10:08:03 UTC

Post by Moebius
Man sollte das aber nicht so ausdrücken: "Eine Menge ist nicht mehr
als alle Elemente." Denn das geht schon deutlich in Richtung "not
even wrong".

Wenn wir ausd einer abz. unendliche Menge alle Elemente entfernen, was
durch Induktion möglich ist, dann bleibt keines zurück, auch nicht in ZFC.

Nein, das ist durch Induktion nicht möglich.

Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann. ist es durch
Iduktion möglich, die Existenz einer unendlichen Menge zu garantieren.

Nein, sondern durch das Unendlichkeitsaxiom.

Post by joes
Induktion gilt nur für endliche Zahlen

Dafür braucht man keine Induktion.

Doch, wenn du unendlich viele Sätze beweisen willst (einen für jede
natürliche Zahl). Du meinst: für eine endliche *Anzahl* von Sätzen
braucht man keine Induktion.

Post by joes
(was unendlich viele sind).

Um sie vollständig zu erzeugen oder zu definieren, braucht man Induktion.

Post by joes
"Alle Elemente" bedeutet aber eine unendliche Zahl.

Natürlich, denn für jede endliche Zahl braucht man keine Induktion.

Doch, wenn du etwas für jede natürliche Zahl beweisen willst,
brauchst du Induktion.

Post by joes
Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge nicht
selbst enthält).

Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern die
Dubtraktion.

Ah nein? Was ist der Unterschied?

Post by WM
Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.
Diese Identität behaupte ich.

Es gibt aber keine natürliche Zahl m, sodass N \ {1, ..., m} = {}.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-27 10:22:12 UTC

Post by Moebius
Man sollte das aber nicht so ausdrücken: "Eine Menge ist nicht mehr
als alle Elemente." Denn das geht schon deutlich in Richtung "not
even wrong".

Wenn wir ausd einer abz. unendliche Menge alle Elemente entfernen, was
durch Induktion möglich ist, dann bleibt keines zurück, auch nicht in ZFC.

Nein, das ist durch Induktion nicht möglich.

Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann. ist es durch
Iduktion möglich, die Existenz einer unendlichen Menge zu garantieren.

Nein, sondern durch das Unendlichkeitsaxiom.

Und wie lautet das?

Post by joes
Induktion gilt nur für endliche Zahlen

Dafür braucht man keine Induktion.

Doch, wenn du unendlich viele Sätze beweisen willst (einen für jede
natürliche Zahl).

Dafür braucht man Induktion.

Post by WM
Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.
Diese Identität behaupte ich.

Es gibt aber keine natürliche Zahl m, sodass N \ {1, ..., m} = {}.

Nein? Du kennst keine. Aber wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, dann
ist ℕ weg.

Gruß, WM

joes

2025-02-27 10:45:19 UTC

Post by Moebius
Man sollte das aber nicht so ausdrücken: "Eine Menge ist nicht mehr
als alle Elemente." Denn das geht schon deutlich in Richtung "not
even wrong".

Wenn wir ausd einer abz. unendliche Menge alle Elemente entfernen,
was durch Induktion möglich ist, dann bleibt keines zurück, auch
nicht in ZFC.

Nein, das ist durch Induktion nicht möglich.

Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann. ist es
durch Iduktion möglich, die Existenz einer unendlichen Menge zu
garantieren.

Nein, sondern durch das Unendlichkeitsaxiom.

Und wie lautet das?

Das hast du oft genug zitiert.

Post by joes
Induktion gilt nur für endliche Zahlen

Dafür braucht man keine Induktion.

Doch, wenn du unendlich viele Sätze beweisen willst (einen für jede
natürliche Zahl).

Dafür braucht man Induktion.

Ja, das hab ich doch gesagt!

Post by joes
Du meinst: für eine endliche *Anzahl* von Sätzen braucht man keine
Induktion.

Post by WM
Natürlich, denn für jede endliche Zahl braucht man keine Induktion.

Doch, wenn du etwas für jede natürliche Zahl beweisen willst, brauchst
du Induktion.

Weil das unendlich viele sind.

Post by joes
Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge
nicht selbst enthält).

Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern die
Dubtraktion.

Ah nein? Was ist der Unterschied?

Gibt wohl keinen.

Post by WM
Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.
Diese Identität behaupte ich.

Es gibt aber keine natürliche Zahl m, sodass N \ {1, ..., m} = {}.

Nein? Du kennst keine. Aber wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, dann
ist ℕ weg.

Es *gibt* keine natürliche Zahl, die die Größe von N beschreibt. Wenn
alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-27 11:29:49 UTC

Post by joes
Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge
nicht selbst enthält).

Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern die
Subtraktion.

Ah nein? Was ist der Unterschied?

Gibt wohl keinen.

Genau. Es gibt keinen.

Post by WM
Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.
Diese Identität behaupte ich.

Es gibt aber keine natürliche Zahl m, sodass N \ {1, ..., m} = {}.

Nein? Du kennst keine. Aber wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, dann
ist ℕ weg.

Es *gibt* keine natürliche Zahl, die die Größe von N beschreibt.

Es gibt aber alle natürlichen Zahlen, die per Induktion ℕ erzeugen.

Post by joes
Wenn
alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt werden
und die leere Menge erzeugen.

Gruß, WM

joes

2025-02-27 11:44:57 UTC

Post by WM
Wenn wir ausd einer abz. unendliche Menge alle Elemente entfernen,
was durch Induktion möglich ist, dann bleibt keines zurück, auch
nicht in ZFC.

Nein, das ist durch Induktion nicht möglich.

Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann. ist es
durch Iduktion möglich, die Existenz einer unendlichen Menge zu
garantieren.

Nein, sondern durch das Unendlichkeitsaxiom.

Und wie lautet das?

Das hast du oft genug zitiert.

Irrelevanz eingesehen?

Post by joes
Induktion gilt nur für endliche Zahlen

Dafür braucht man keine Induktion.

Doch, wenn du unendlich viele Sätze beweisen willst (einen für jede
natürliche Zahl).

Dafür braucht man Induktion.

Ja, das hab ich doch gesagt!

Herrlich, diese Gegenüberstellung.

Post by joes
Du meinst: für eine endliche *Anzahl* von Sätzen braucht man keine
Induktion.

Post by WM
Natürlich, denn für jede endliche Zahl braucht man keine Induktion.

Danke für die Zustimmung.

Post by joes
Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge
nicht selbst enthält).

Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern die
Subtraktion.

Es gibt keinen [Unterschied].

Warum hast du dann oben einen Unterschied suggeriert?

Post by WM
Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.
Diese Identität behaupte ich.

Es gibt aber keine natürliche Zahl m, sodass N \ {1, ..., m} = {}.

Nein? Du kennst keine. Aber wenn alle natürlichen Zahlen weg sind,
dann ist ℕ weg.

Es *gibt* keine natürliche Zahl, die die Größe von N beschreibt.

Es gibt aber alle natürlichen Zahlen, die per Induktion ℕ erzeugen.

Das sind nicht natürlich viele.

Post by joes
Wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt werden
und die leere Menge erzeugen.

Nein, die Anzahl natürlicher Zahlen ist nicht natürlich.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-27 12:12:28 UTC

Post by WM
Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.
Diese Identität behaupte ich.

Es gibt aber keine natürliche Zahl m, sodass N \ {1, ..., m} = {}.

Nein? Du kennst keine. Aber wenn alle natürlichen Zahlen weg sind,
dann ist ℕ weg.

Es *gibt* keine natürliche Zahl, die die Größe von N beschreibt.

Es gibt aber alle natürlichen Zahlen, die per Induktion ℕ erzeugen.

Das sind nicht natürlich viele.

Egal. Alle unterliegen der Ineduktion.

Post by joes
Wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt werden
und die leere Menge erzeugen.

Nein, die Anzahl natürlicher Zahlen ist nicht natürlich.

Es geht nur um Zahlen, die der Induktion unterliegen. Das sind alle, aus
denen ℕ besteht, die durch Induktion definiert sind und durch Induktion
subtrahiert werden können.

Gruß, WM

joes

2025-02-27 12:27:16 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern
die Subtraktion.

Warum hast du [...] einen Unterschied suggeriert?

Post by joes
Es gibt aber keine natürliche Zahl m, sodass N \ {1, ..., m} = {}.

Nein? Du kennst keine. Aber wenn alle natürlichen Zahlen weg sind,
dann ist ℕ weg.

Es *gibt* keine natürliche Zahl, die die Größe von N beschreibt.

Es gibt aber alle natürlichen Zahlen, die per Induktion ℕ erzeugen.

Das sind nicht natürlich viele.

Egal. Alle unterliegen der Ineduktion.

Nein, die *Anzahl* natürlicher Zahlen unterliegt nicht der Induktion. Du
raffst es einfach nicht.

Post by joes
Wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt werden
und die leere Menge erzeugen.

Nein, die Anzahl natürlicher Zahlen ist nicht natürlich.

Es geht nur um Zahlen, die der Induktion unterliegen. Das sind alle, aus
denen ℕ besteht, die durch Induktion definiert sind und durch Induktion
subtrahiert werden können.

"Durch Induktion" können nur endliche Anzahlen von AA entfernt werden
(auch wenn das unendliche viele Anzahlen sind).

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-27 14:20:02 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern
die Subtraktion.

Warum hast du [...] einen Unterschied suggeriert?

Du tatest es.

joes: Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge nicht
selbst enthält).

WM: Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern die
Subtraktion.
Hier bleibt nichts zurück: {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Und ebenso {1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { }.

Post by joes
Nein, die *Anzahl* natürlicher Zahlen unterliegt nicht der Induktion.

Alle natürlichen Zahlen werden durch Induktion erzeugt oder entfernt.

Post by joes
Wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt werden
und die leere Menge erzeugen.

Nein, die Anzahl natürlicher Zahlen ist nicht natürlich.

Es geht nur um Zahlen, die der Induktion unterliegen. Das sind alle, aus
denen ℕ besteht, die durch Induktion definiert sind und durch Induktion
subtrahiert werden können.

"Durch Induktion" können nur endliche Anzahlen von AA entfernt werden
(auch wenn das unendliche viele Anzahlen sind).

Falsch. Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen
wir noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind
herrührenden Axioms.
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Gruß, WM

joes

2025-02-27 15:20:45 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern
die Subtraktion.

Warum hast du [...] einen Unterschied suggeriert?

Du tatest es.

Mit der obigen Aussage hast du *offensichtlich* eine Unterscheidung
treffen wollen. Zwischen was?

Post by WM
joes: Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge nicht
selbst enthält).
WM: Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern die
Subtraktion.

Ja, hier. Was ist „die Entfernung aus einer Menge”?

Post by joes
Nein, die *Anzahl* natürlicher Zahlen unterliegt nicht der Induktion.

Alle natürlichen Zahlen werden durch Induktion erzeugt oder entfernt.

Aber nicht die Anzahl!

Post by joes
Wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt
werden und die leere Menge erzeugen.

Nein, die Anzahl natürlicher Zahlen ist nicht natürlich.

Es geht nur um Zahlen, die der Induktion unterliegen. Das sind alle,
aus denen ℕ besteht, die durch Induktion definiert sind und durch
Induktion subtrahiert werden können.

"Durch Induktion" können nur endliche Anzahlen von AA entfernt werden
(auch wenn das unendliche viele Anzahlen sind).

Falsch.

Sag mir, welche natürliche Zahl bezeichnet die Anzahl natürlicher Zahlen?

[appeal to authority entfernt]

Post by WM
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Die alle endlich sind.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-27 16:49:27 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern
die Subtraktion.

Warum hast du [...] einen Unterschied suggeriert?

Du tatest es.

Mit der obigen Aussage hast du *offensichtlich* eine Unterscheidung
treffen wollen. Zwischen was?

Ja, hier. Was ist „die Entfernung aus einer Menge”?

Post by joes
Nein, die *Anzahl* natürlicher Zahlen unterliegt nicht der Induktion.

Alle natürlichen Zahlen werden durch Induktion erzeugt oder entfernt.

Aber nicht die Anzahl!

Post by joes
Wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt
werden und die leere Menge erzeugen.

Nein, die Anzahl natürlicher Zahlen ist nicht natürlich.

Es geht nur um Zahlen, die der Induktion unterliegen. Das sind alle,
aus denen ℕ besteht, die durch Induktion definiert sind und durch
Induktion subtrahiert werden können.

"Durch Induktion" können nur endliche Anzahlen von AA entfernt werden
(auch wenn das unendliche viele Anzahlen sind).

Falsch.

Sag mir, welche natürliche Zahl bezeichnet die Anzahl natürlicher Zahlen?

Keine. Sag lieber, welche natürliche Zahl nicht der Induktion unterliegt?

Post by WM
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Die alle endlich sind.

Und deswegen der Induktion unterliegen. Zahlen die nicht per Induktion
entfernt werden können, können auch nicht per Induktion erzeugt werden.

Gruß, WM

joes

2025-02-27 16:56:29 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge,
sondern die Subtraktion.

Warum hast du [...] einen Unterschied suggeriert?

Du tatest es.

Mit der obigen Aussage hast du *offensichtlich* eine Unterscheidung
treffen wollen. Zwischen was?

Oder ziehst du deinen Einwand zurück?

Post by WM
joes: Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge
nicht selbst enthält).
WM: Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern
die Subtraktion.

Ja, hier. Was ist „die Entfernung aus einer Menge”?

Und was unterscheidet sie von einer „Subtraktion”?

Post by WM
Alle natürlichen Zahlen werden durch Induktion erzeugt oder entfernt.

Aber nicht die Anzahl!

Raffst du’s bald?

Post by joes
Wenn alle natürlichen Zahlen weg sind, ist das keine natürliche Anzahl.

Es sind aber alle natürliche Zahlen, die per Induktion entfernt
werden und die leere Menge erzeugen.

Nein, die Anzahl natürlicher Zahlen ist nicht natürlich.

Es geht nur um Zahlen, die der Induktion unterliegen. Das sind alle,
aus denen ℕ besteht, die durch Induktion definiert sind und durch
Induktion subtrahiert werden können.

"Durch Induktion" können nur endliche Anzahlen von AA entfernt werden
(auch wenn das unendliche viele Anzahlen sind).

Falsch.

Sag mir, welche natürliche Zahl bezeichnet die Anzahl natürlicher Zahlen?

Keine.

Und deshalb kann man mit Induktion nur die Entfernung endlich vieler
AA (auf unendlich viele Arten, jaja) beweisen.

Post by WM
Sag lieber, welche natürliche Zahl nicht der Induktion unterliegt?

Die Anzahl natürlicher Zahlen ist halt keine natürliche Zahl.

Post by WM
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Die alle endlich sind.

Und deswegen der Induktion unterliegen. Zahlen die nicht per Induktion
entfernt werden können, können auch nicht per Induktion erzeugt werden.

Die Zahl Unendlich, oo, ω etwa.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-27 17:07:07 UTC

Post by WM
joes: Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge
nicht selbst enthält).
WM: Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern
die Subtraktion.

Ja, hier. Was ist „die Entfernung aus einer Menge”?

Und was unterscheidet sie von einer „Subtraktion”?

Die Subtraktion einer Menge von einer Menge belässt nichts oder die
leere Menge.
Du sprachst von der Entfernung einer Menge aus einer Menge, womit Du
wohl Dein A \ {A} begründen wolltest.

Post by WM
Alle natürlichen Zahlen werden durch Induktion erzeugt oder entfernt.

Aber nicht die Anzahl!

Raffst du’s bald?

Alle. Mehr ist nicht nötig. Und ich entferne alle.

Post by joes
Sag mir, welche natürliche Zahl bezeichnet die Anzahl natürlicher Zahlen?

Keine.

Und deshalb kann man mit Induktion nur die Entfernung endlich vieler
AA (auf unendlich viele Arten, jaja) beweisen.

Nein. Man erzeugt und entfernt per Induktion alle. Ersteres taten
Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann, letzteres tue
ich.

Post by WM
Sag lieber, welche natürliche Zahl nicht der Induktion unterliegt?

Die Anzahl natürlicher Zahlen ist halt keine natürliche Zahl.

Die interessiert ja auch nicht.

Post by WM
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Die alle endlich sind.

Und deswegen der Induktion unterliegen. Zahlen die nicht per Induktion
entfernt werden können, können auch nicht per Induktion erzeugt werden.

Die Zahl Unendlich, oo, ω etwa.

"um die Existenz unendlicher Mengen zu sichern", hat Zermelo Induktion
benutzt.

Gruß, WM

joes

2025-02-27 20:26:55 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge,
sondern die Subtraktion.

Warum hast du [...] einen Unterschied suggeriert?

Du tatest es.

Mit der obigen Aussage hast du *offensichtlich* eine Unterscheidung
treffen wollen. Zwischen was?

Oder ziehst du deinen Einwand zurück?

Gibt es jetzt einen Unterschied oder nicht?

Post by WM
joes: Wenn man "die Menge" (anstelle ihrer Elemente) aus einer Menge
entfernt, bleibt - Überraschung alles zurück (wenn sich die Menge
nicht selbst enthält).
WM: Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge, sondern
die Subtraktion.

Ja, hier. Was ist „die Entfernung aus einer Menge”?

Und was unterscheidet sie von einer „Subtraktion”?

Die Subtraktion einer Menge von einer Menge belässt nichts oder die
leere Menge.

Nur, wenn die Menge nur sich selbst enthält. Die "Subtraktion" *der
Elemente* einer Menge von dieser Menge ist in der Tat leer. Das ist
aber immer noch keine natürliche Zahl von ihnen.

Post by WM
Du sprachst von der Entfernung einer Menge aus einer Menge, womit Du
wohl Dein A \ {A} begründen wolltest.

Davon sprichst du: von der Entfernung aller Elemente.

Post by WM
Alle natürlichen Zahlen werden durch Induktion erzeugt oder entfernt.

Aber nicht die Anzahl!

Alle. Mehr ist nicht nötig. Und ich entferne alle.

Mehr als was? Wenn man alle AA entfernt, ist das selbstverständlich eine
andere Menge, als wenn man nur eine natürliche Anzahl entfernt. Induktion
beweist auch nicht das Gegenteil, wie du behauptest.

Post by joes
Sag mir, welche natürliche Zahl bezeichnet die Anzahl natürlicher Zahlen?

Keine.

Und deshalb kann man mit Induktion nur die Entfernung endlich vieler AA
(auf unendlich viele Arten, jaja) beweisen.

Nein. Man erzeugt und entfernt per Induktion alle. Ersteres taten
Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann, letzteres tue
ich.

Falsch. Wie beweist Induktion, dass die Vereinigung aller AA leer ist?

Post by WM
Sag lieber, welche natürliche Zahl nicht der Induktion unterliegt?

Die Anzahl natürlicher Zahlen ist halt keine natürliche Zahl.

Die interessiert ja auch nicht.

Doch, wenn du alle entfernen willst, ist das eine nichtnatürliche Anzahl.

Post by WM
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Die alle endlich sind.

Und deswegen der Induktion unterliegen. Zahlen die nicht per Induktion
entfernt werden können, können auch nicht per Induktion erzeugt werden.

Die Zahl Unendlich, oo, ω etwa.

"um die Existenz unendlicher Mengen zu sichern", hat Zermelo Induktion
benutzt.

Irrelevant. Diese Zahl ist nicht in der Menge.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-28 09:01:09 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge,
sondern die Subtraktion.

Warum hast du [...] einen Unterschied suggeriert?

Du tatest es.

Mit der obigen Aussage hast du *offensichtlich* eine Unterscheidung
treffen wollen. Zwischen was?

Oder ziehst du deinen Einwand zurück?

Gibt es jetzt einen Unterschied oder nicht?

Sagte ich das nicht bereits? Die Entfernung von ℕ *aus* einer Menge kann
nur erfolgen, wenn diese Menge ℕ enthält. Das ist hier aber irrelevant.

Post by WM
Man erzeugt und entfernt per Induktion alle. Ersteres taten
Cantor, Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann, letzteres tue
ich.

Falsch. Wie beweist Induktion, dass die Vereinigung aller AA leer ist?

Induktion gilt für alle, weil {1} und mit {1, 2, 3, ..., n} auch {1, 2,
3, ..., n+1} entfernt werden kann, ohne die Prämisse UA = ℕ zu verletzen.

Post by joes
Doch, wenn du alle entfernen willst, ist das eine nichtnatürliche Anzahl.

Alle Zahlen, die entfernt werden, sind natürliche Zahlen mit endlichen
Anfangsabschnitten. ω gehört nicht dazu.

Post by WM
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Die alle endlich sind.

Und deswegen der Induktion unterliegen. Zahlen die nicht per Induktion
entfernt werden können, können auch nicht per Induktion erzeugt werden.

Die Zahl Unendlich, oo, ω etwa.

"um die Existenz unendlicher Mengen zu sichern", hat Zermelo Induktion
benutzt.

Irrelevant. Diese Zahl ist nicht in der Menge.

Die Zahl ω der natürlichen Zahlen mag auch gar nicht existieren. Aber
alle existierenden natürlichen Zahlen unterliegen der Induktion. Wenn ω
existiert, so wird es nicht durch Induktion entfernt und fast alle
Zahlen davor auch nicht. Merke, Induktion betrifft nur Zahlen, die der
Induktion unterliegen, also Endliche Anfangsabschnitte haben. Mein
Beweis zeigt, dass das nicht alle Zahlen einer aktual unendlichen Menge
sind.

Gruß, WM

joes

2025-02-28 10:31:14 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge,
sondern die Subtraktion.

Gibt es jetzt einen Unterschied oder nicht?

Sagte ich das nicht bereits? Die Entfernung von ℕ *aus* einer Menge kann
nur erfolgen, wenn diese Menge ℕ enthält. Das ist hier aber irrelevant.

Das sagte *ich*. Weil N nicht enthalten ist, kann man es auch nicht
entfernen.

Man erzeugt und entfernt per Induktion alle. Ersteres taten Cantor,
Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann, letzteres tue ich.

Falsch. Wie beweist Induktion, dass die Vereinigung aller AA leer ist?

Induktion gilt für alle, weil {1} und mit {1, 2, 3, ..., n} auch {1, 2,
3, ..., n+1} entfernt werden kann, ohne die Prämisse UA = ℕ zu verletzen.

Deswegen gilt Induktion *nicht* für {1, 2, 3, ...} = N, weil das die
Prämisse durchaus verletzt.

Post by joes
Doch, wenn du alle entfernen willst, ist das eine nichtnatürliche Anzahl.

Alle Zahlen, die entfernt werden, sind natürliche Zahlen mit endlichen
Anfangsabschnitten. ω gehört nicht dazu.

Genau, deswegen kann man nicht ω viele AA entfernen, ohne das Ergebnis
zu verändern.

Post by WM
Merke: Unendliche Menge. Die hat eine unendliche Anzahl von Elementen.

Die alle endlich sind.

Und deswegen der Induktion unterliegen. Zahlen die nicht per
Induktion entfernt werden können, können auch nicht per Induktion
erzeugt werden.

Die Zahl Unendlich, oo, ω etwa.

"um die Existenz unendlicher Mengen zu sichern", hat Zermelo Induktion
benutzt.

Irrelevant. Diese Zahl ist nicht in der Menge.

Da ist ja fast jeder Satz falsch...
Die Zahl ω "existiert" (wie auch immer).
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".
Die Menge der AA ist "aktual" unendlich.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-28 11:08:10 UTC

Man erzeugt und entfernt per Induktion alle. Ersteres taten Cantor,
Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann, letzteres tue ich.

Falsch. Wie beweist Induktion, dass die Vereinigung aller AA leer ist?

Induktion gilt für alle, weil {1} und mit {1, 2, 3, ..., n} auch {1, 2,
3, ..., n+1} entfernt werden kann, ohne die Prämisse UA = ℕ zu verletzen.

Deswegen gilt Induktion *nicht* für {1, 2, 3, ...} = N, weil das die
Prämisse durchaus verletzt.

Induktion gilt für alle definierbaren natürlichen Zahlen, also für die
Menge bzw. Kollektion, die Du ℕ nennst, die ich aber ℕ_def nenne:

ℕ = {1, 2, 3, ...}
= {1} U {2} U {3} U ...
= {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ...

Letzteres ist nur potentill unendlich weil UA = ℕ falsch ist.

Post by joes
Doch, wenn du alle entfernen willst, ist das eine nichtnatürliche Anzahl.

Alle Zahlen, die entfernt werden, sind natürliche Zahlen mit endlichen
Anfangsabschnitten. ω gehört nicht dazu.

Genau, deswegen kann man nicht ω viele AA entfernen, ohne das Ergebnis
zu verändern.

Richtig. Aber alle existierenden AA kann man offensichtlich entfernen,
ohne das Ergebnis zu verändern. Das ist ja gerade das Thema meines Beweises.

"um die Existenz unendlicher Mengen zu sichern", hat Zermelo Induktion
benutzt.

Irrelevant. Diese Zahl ist nicht in der Menge.

Da ist ja fast jeder Satz falsch...
Die Zahl ω "existiert" (wie auch immer).

ω existiert möglicherweise, hat aber einen unendlichen Abstand von jeder
definierbaren Zahl:
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Post by joes
Die Menge der AA ist "aktual" unendlich.

Das ist ebenfalls falsch, wie mein Beweis zeigt:
UA = ℕ ==> Ø = ℕ.

Gruß, WM

joes

2025-02-28 11:45:32 UTC

Post by WM
Es geht hier nicht um die Entfernung "aus" einer Menge,
sondern die Subtraktion.

Gibt es jetzt einen Unterschied oder nicht?

Sagte ich das nicht bereits? Die Entfernung von ℕ *aus* einer Menge
kann nur erfolgen, wenn diese Menge ℕ enthält. Das ist hier aber
irrelevant.

Das sagte *ich*. Weil N nicht enthalten ist, kann man es auch nicht
entfernen.

Man erzeugt und entfernt per Induktion alle. Ersteres taten Cantor,
Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo oder v. Neumann, letzteres tue ich.

Falsch. Wie beweist Induktion, dass die Vereinigung aller AA leer ist?

Induktion gilt für alle, weil {1} und mit {1, 2, 3, ..., n} auch {1,
2, 3, ..., n+1} entfernt werden kann, ohne die Prämisse UA = ℕ zu
verletzen.

Deswegen gilt Induktion *nicht* für {1, 2, 3, ...} = N, weil das die
Prämisse durchaus verletzt.

Induktion gilt für alle definierbaren natürlichen Zahlen, also für die

Nein, dein "N_def" ist endlich.

Post by WM
ℕ = {1, 2, 3, ...}
= {1} U {2} U {3} U ...
= {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ...
Letzteres ist nur potentill unendlich weil UA = ℕ falsch ist.

Post by joes
Doch, wenn du alle entfernen willst, ist das eine nichtnatürliche Anzahl.

Alle Zahlen, die entfernt werden, sind natürliche Zahlen mit endlichen
Anfangsabschnitten. ω gehört nicht dazu.

Genau, deswegen kann man nicht ω viele AA entfernen, ohne das Ergebnis
zu verändern.

Richtig. Aber alle existierenden AA kann man offensichtlich entfernen,
ohne das Ergebnis zu verändern.

Offensichtlich kann man das nicht, weil die Menge dann leer ist.

"um die Existenz unendlicher Mengen zu sichern", hat Zermelo
Induktion benutzt.

Irrelevant. Diese Zahl ist nicht in der Menge.

Die Zahl ω der natürlichen Zahlen mag auch gar nicht existieren. Aber
alle existierenden natürlichen Zahlen unterliegen der Induktion. Wenn
ω existiert, so wird es nicht durch Induktion entfernt und fast alle
Zahlen davor auch nicht. Merke, Induktion betrifft nur Zahlen, die der
Induktion unterliegen, also Endliche Anfangsabschnitte haben. Mein
Beweis zeigt, dass das nicht alle Zahlen einer aktual unendlichen
Menge sind.

Da ist ja fast jeder Satz falsch...
Die Zahl ω "existiert" (wie auch immer).

ω existiert möglicherweise, hat aber einen unendlichen Abstand von jeder
definierbaren Zahl.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Doch, Induktion reicht bis "vor" omega.

Post by joes
Die Menge der AA ist "aktual" unendlich.

UA = ℕ ==> Ø = ℕ.

Nein, das zeigt dein "Beweis" nicht. Daraus folgte UA = {}.
In N sind nur Zahlen mit endlichen AA.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-28 14:56:50 UTC

Post by joes
Nein, dein "N_def" ist endlich.

Du musst zu unterscheiden lernen. ℕ_def durchläuft die endlichen Zahlen
ohne Ende.

Post by WM
ℕ = {1, 2, 3, ...}
= {1} U {2} U {3} U ...
= {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ...
Letzteres ist nur potentill unendlich weil UA = ℕ falsch ist.
Richtig. Aber alle existierenden AA kann man offensichtlich entfernen,
ohne das Ergebnis zu verändern.

Offensichtlich kann man das nicht, weil die Menge dann leer ist.

Offensichtlich stürt das nicht, sondern beweist dass UA = ℕ falsch ist.
Um den Beweis zu kippen, genügt es nicht, widersinnig zu behaupten,
nicht alle unterlägen der Induktion.

Post by WM
ω existiert möglicherweise, hat aber einen unendlichen Abstand von jeder
definierbaren Zahl.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Doch, Induktion reicht bis "vor" omega.

Aber nicht bis direkt vor ω. Dazwischen liegen unendlich viele Zahlen.
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Post by joes
Die Menge der AA ist "aktual" unendlich.

UA = ℕ ==> Ø = ℕ.

Nein, das zeigt dein "Beweis" nicht. Daraus folgte UA = {}.

Falsch.

Post by joes
In N sind nur Zahlen mit endlichen AA.

Falsch. Auf alle endlichen AA folgen ℵo Zahlen. Oder glaubst Du Aussagen
mit Allquantor nicht?

Gruß, WM

joes

2025-02-28 15:18:32 UTC

Post by joes
Nein, dein "N_def" ist endlich.

Du musst zu unterscheiden lernen. ℕ_def durchläuft die endlichen Zahlen
ohne Ende.

Post by WM
ℕ = {1, 2, 3, ...}
= {1} U {2} U {3} U ...
= {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ...
Letzteres ist nur (potentill un-)endlich weil UA = ℕ falsch ist.
Richtig. Aber alle existierenden AA kann man offensichtlich entfernen,
ohne das Ergebnis zu verändern.

Offensichtlich kann man das nicht, weil die Menge dann leer ist.

Offensichtlich stürt das nicht, sondern beweist dass UA = ℕ falsch ist.

Doch, es beweist sogar UA = {}.

Post by WM
Um den Beweis zu kippen, genügt es nicht, widersinnig zu behaupten,
nicht alle unterlägen der Induktion.

Tut ja keiner. ω ist ja nicht in N.

Post by WM
ω existiert möglicherweise, hat aber einen unendlichen Abstand von
jeder definierbaren Zahl.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Doch, Induktion reicht bis "vor" omega.

Aber nicht bis direkt vor ω. Dazwischen liegen unendlich viele Zahlen.

Doch, insoweit man bei einer Limeszahl von "direkt" sprechen kann. Alle
natürlichen Zahlen liegen davor.

Post by joes
Die Menge der AA ist "aktual" unendlich.

UA = ℕ ==> Ø = ℕ.

Nein, das zeigt dein "Beweis" nicht. Daraus folgte UA = {}.

Falsch.

Doch. Wenn UA=N und N={} (was laut dir ja folgt), dann UA={}.

Post by joes
In N sind nur Zahlen mit endlichen AA.

Falsch. Auf alle endlichen AA folgen ℵo Zahlen. Oder glaubst Du Aussagen
mit Allquantor nicht?

Nicht, wenn der vertauscht wurde. Auf "alle endlichen AA" (ist das eine
Menge?) folgt gar nichts. Was sollte das auch sein, ein unendlicher AA,
also N selbst?

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-28 16:39:23 UTC

Post by joes
Nein, dein "N_def" ist endlich.

Du musst zu unterscheiden lernen. ℕ_def durchläuft die endlichen Zahlen
ohne Ende.

Nein. ℕ = {1, 2, 3, ...} ist aktual unendlich
UA = {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... ist potentiell unendlich.

Offensichtlich kann man das nicht, weil die Menge dann leer ist.

Offensichtlich stürt das nicht, sondern beweist dass UA = ℕ falsch ist.

Doch, es beweist sogar UA = {}.

Nein. Du hast die Implikation immer noch nicht begriffen.

Post by WM
Um den Beweis zu kippen, genügt es nicht, widersinnig zu behaupten,
nicht alle unterlägen der Induktion.

Tut ja keiner. ω ist ja nicht in N.

ω spielt hier auch keine Rolle,

Post by WM
ω existiert möglicherweise, hat aber einen unendlichen Abstand von
jeder definierbaren Zahl.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Doch, Induktion reicht bis "vor" omega.

Aber nicht bis direkt vor ω. Dazwischen liegen unendlich viele Zahlen.

Doch, insoweit man bei einer Limeszahl von "direkt" sprechen kann. Alle
natürlichen Zahlen liegen davor

Richtig, aber alle definierbaren Zahlen liege weit davor.
ω

Post by joes
Die Menge der AA ist "aktual" unendlich.

UA = ℕ ==> Ø = ℕ.

Nein, das zeigt dein "Beweis" nicht. Daraus folgte UA = {}.

Falsch.

Doch. Wenn UA=N und N={} (was laut dir ja folgt), dann UA={}.

Kannst Du die Bedeutung einer Implikation wirklich nicht begreifen?
Wenn UA = ℕ, dann folgt daraus Ø = ℕ. Also ist UA =/= ℕ.

Post by joes
In N sind nur Zahlen mit endlichen AA.

Falsch. Auf alle endlichen AA folgen ℵo Zahlen. Oder glaubst Du Aussagen
mit Allquantor nicht?

Nicht, wenn der vertauscht wurde.

Für definierbare Elemente gilt:
{1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { },
und das ist gleichbedeutend mit
{1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Da darf vertauscht werden.

Also folgt wegen ∀n ∈ UA: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
ℕ \ A(1) \ A(2) \ A(3) \ ... =/= { }
und das ist gleichbedeutend mit
ℕ \ UA =/= { }.

Gruß, WM

joes

2025-02-28 17:14:07 UTC

Post by joes
Nein, dein "N_def" ist endlich.

Du musst zu unterscheiden lernen. ℕ_def durchläuft die endlichen
Zahlen ohne Ende.

Nein. ℕ = {1, 2, 3, ...} ist aktual unendlich UA = {1} U {1, 2} U {1, 2,
3} U ... ist potentiell unendlich.

Offensichtlich kann man das nicht, weil die Menge dann leer ist.

Offensichtlich stürt das nicht, sondern beweist dass UA = ℕ falsch ist.

Doch, es beweist sogar UA = {}.

Nein. Du hast die Implikation immer noch nicht begriffen.

Siehe unten.

Post by WM
Um den Beweis zu kippen, genügt es nicht, widersinnig zu behaupten,
nicht alle unterlägen der Induktion.

Tut ja keiner. ω ist ja nicht in N.

ω spielt hier auch keine Rolle,

Doch, als Anzahl der zu entfernenden AA.

Post by WM
ω existiert möglicherweise, hat aber einen unendlichen Abstand von
jeder definierbaren Zahl.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Doch, Induktion reicht bis "vor" omega.

Aber nicht bis direkt vor ω. Dazwischen liegen unendlich viele Zahlen.

Doch, insoweit man bei einer Limeszahl von "direkt" sprechen kann. Alle
natürlichen Zahlen liegen davor

Richtig, aber alle definierbaren Zahlen liege weit davor.

Sagte ich ja.

Post by joes
Die Menge der AA ist "aktual" unendlich.

UA = ℕ ==> Ø = ℕ.

Nein, das zeigt dein "Beweis" nicht. Daraus folgte UA = {}.

Falsch.

Doch. Wenn UA=N und N={} (was laut dir ja folgt), dann UA={}.

Wenn UA = ℕ, dann folgt daraus Ø = ℕ. Also ist UA =/= ℕ.

Wenn die Implikation stimmte. Aber nehmen wir das mal an:
Wenn also UA=N -> N={} und UA=N, dann N={}, also UA=N={}.
Oder ist Gleichheit nicht mehr transitiv?

Post by joes
In N sind nur Zahlen mit endlichen AA.

Falsch. Auf alle endlichen AA folgen ℵo Zahlen. Oder glaubst Du
Aussagen mit Allquantor nicht?

Nicht, wenn der vertauscht wurde. Auf "alle endlichen AA" (ist das eine
Menge?) folgt gar nichts. Was sollte das auch sein, ein unendlicher AA,
also N selbst?

{1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { },
und das ist gleichbedeutend mit {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Da darf vertauscht werden.

Das meinte ich zwar nicht, ω ist aber laut dir selbst nicht "definierbar".
Du hast wieder so einen genialen Mückenschluss fabriziert: "weil auf
jeden AA unendlich viele Zahlen folgen, gibt es eine unendliche Menge,
die *auf alle* AA folgt." Aber was ist überhaupt "alle AA", die Menge,
die Vereinigung? Da es unendlich viele AA gibt, *kann* überhaupt nichts
darauf folgen. Das funktioniert nur, wenn selbst die Null nur endlich
viele Nachfolger hätte.

Also folgt wegen ∀n ∈ UA: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
ℕ \ A(1) \ A(2) \ A(3) \ ... =/= { }

Das folgt halt einfach nicht, und schon gar nicht deswegen.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-28 17:28:30 UTC

Post by WM
Um den Beweis zu kippen, genügt es nicht, widersinnig zu behaupten,
nicht alle unterlägen der Induktion.

Tut ja keiner. ω ist ja nicht in N.

ω spielt hier auch keine Rolle,

Doch, als Anzahl der zu entfernenden AA.

Nein, per Induktion kommt man nie auf ω element.

Post by WM
Richtig, aber alle definierbaren Zahlen liegen weit davor.

Sagte ich ja.

Dann stimmen wir ja überein.

Post by WM
Wenn UA = ℕ, dann folgt daraus Ø = ℕ. Also ist UA =/= ℕ.

Wenn also UA=N -> N={} und UA=N, dann N={}

Das ist falsch wegen {1} ∈ ℕ.

Post by WM
{1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { },
und das ist gleichbedeutend mit {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5} = { }.
Da darf vertauscht werden.

Das meinte ich zwar nicht, ω ist aber laut dir selbst nicht "definierbar".
Aber was ist überhaupt "alle AA", die Menge,
die Vereinigung? Da es unendlich viele AA gibt, *kann* überhaupt nichts
darauf folgen.

Falsch. Es gibt nur (potentiell un-) endlich viele AA.

Post by WM
Also folgt wegen ∀n ∈ UA: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
ℕ \ A(1) \ A(2) \ A(3) \ ... =/= { }

Das folgt halt einfach nicht, und schon gar nicht deswegen.

Bis zur 5 folgt es, bis zum A(n) nicht?
Zermelo hat Induktion verwendet, "um die Existenz unendlicher Mengen zu
sichern". Wenn das nicht geht, dann gibt es keine unendlichen Mengen.

Gruß, WM

joes

2025-02-28 17:59:43 UTC

Post by WM
Um den Beweis zu kippen, genügt es nicht, widersinnig zu behaupten,
nicht alle unterlägen der Induktion.

Tut ja keiner. ω ist ja nicht in N.

ω spielt hier auch keine Rolle,

Doch, als Anzahl der zu entfernenden AA.

Nein, per Induktion kommt man nie auf ω element.

Doch, und wie. Sonst bräuchte man ja keine Induktion, sondern
könnte einfach die endliche Anzahl an Sätzen auflisten.
Induktion ist, wenn du keinen unendlich langen Beweis leisten
kannst.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Doch, insoweit man bei einer Limeszahl von "direkt" sprechen kann.

Richtig, aber alle definierbaren Zahlen liege weit davor.

Induktion reicht also bis (ausschließlich) omega.

Post by WM
Wenn UA = ℕ, dann folgt daraus Ø = ℕ. Also ist UA =/= ℕ.

Wenn also UA=N -> N={} und UA=N, dann N={}, also UA=N={}.

Das ist falsch wegen {1} ∈ ℕ.

Deswegen ist die Implikation falsch.

Post by WM
{1, 2, 3, 4, 5} \ {1} \ {2} \ {3} \ {4} \ {5} = { },
und das ist gleichbedeutend mit {1, 2, 3, 4, 5} \ {1, 2, 3, 4, 5}
= {}. Da darf vertauscht werden.

Das meinte ich zwar nicht, ω ist aber laut dir selbst nicht
"definierbar".

Doch, das, was du mit "alle AA" bezeichnest, von denen es nun mal
unendlich viele gibt, deren größte Elemente also unendlich groß
werden.

Post by joes
Du hast wieder so einen genialen Mückenschluss fabriziert: "weil auf
jeden AA unendlich viele Zahlen folgen, gibt es eine unendliche Menge,
die *auf alle* AA folgt."

Rechtfertige das.

Post by joes
Aber was ist überhaupt "alle AA", die Menge,
die Vereinigung? Da es unendlich viele AA gibt, *kann* überhaupt nichts
darauf folgen. Das funktioniert nur, wenn selbst die Null nur endlich
viele Nachfolger hätte.

Falsch. Es gibt nur (potentiell un-)endlich viele AA.

Mit so einem schwammigen Ausdruck kommst du nicht davon. Aber danke für
die Zustimmung.

Post by WM
Also folgt wegen ∀n ∈ UA: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo ℕ \ A(1) \ A(2)
\ A(3) \ ... =/= { }

Das folgt halt einfach nicht, und schon gar nicht deswegen.

Bis zur 5 folgt es, bis zum A(n) nicht?

Bis zum was? A(n) hat eine freie Variable. Da musst du eine natürliche
Zahl einsetzen, also eine endliche = mit AA.

--
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

2025-02-28 18:34:13 UTC

Post by WM
Um den Beweis zu kippen, genügt es nicht, widersinnig zu behaupten,
nicht alle unterlägen der Induktion.

Tut ja keiner. ω ist ja nicht in N.

ω spielt hier auch keine Rolle,

Doch, als Anzahl der zu entfernenden AA.

Nein, per Induktion kommt man nie auf ω element.

Doch, und wie. Sonst bräuchte man ja keine Induktion, sondern
könnte einfach die endliche Anzahl an Sätzen auflisten.

Induktion erfasst potentiell unendliche Mengen.

Post by joes
Induktion ist, wenn du keinen unendlich langen Beweis leisten
kannst.

Zum Beispiel für die Subtraktion aller EAs.

Post by joes
Alle Zahlen davor "werden durch Induktion entfernt".

Nein, das ist falsch, weil Induktion nicht weit genug reicht.

Doch, insoweit man bei einer Limeszahl von "direkt" sprechen kann.

Richtig, aber alle definierbaren Zahlen liege weit davor.

Induktion reicht also bis (ausschließlich) omega.

ω-1? Nein. Wo man durch Induktion rauf kommt, kommt man auch durch
Induktion wieder runter.

Post by WM
Wenn UA = ℕ, dann folgt daraus Ø = ℕ. Also ist UA =/= ℕ.

Wenn also UA=N -> N={} und UA=N, dann N={}, also UA=N={}.

Das ist falsch wegen {1} ∈ ℕ.

Deswegen ist die Implikation falsch.

Nein, die Konklusion ist falsch, die Implikation ist richtig. Also ist
die Prämisse falsch.

Post by WM
Also folgt wegen ∀n ∈ UA: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo ℕ \ A(1) \ A(2)
\ A(3) \ ... =/= { }

Das folgt halt einfach nicht, und schon gar nicht deswegen.

Bis zur 5 folgt es, bis zum A(n) nicht?

Bis zum was? A(n) hat eine freie Variable. Da musst du eine natürliche
Zahl einsetzen, also eine endliche = mit AA.

Nein, da hilft Induktion:

Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir noch
des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind
herrührenden Axioms. ... Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z,
welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, daß
jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht ...
Die Menge Z_0 enthält die Elemente 0, {0}, {{0}}, usw. und möge als
"Zahlenreihe" bezeichnet werden, ... Sie bildet das einfachste Beispiel
einer "abzählbar unendlichen" Menge. [E. Zermelo: Untersuchungen über
die Grundlagen der Mengenlehre I, Mathematische Annalen (1908), S. 266]

Zermelo muss hier keine Zahl einsetzen.

Gruß, WM

2025-02-26 18:03:41 UTC

Aber die Entfernung von a hinterlässt keine Elemente.

Post by Moebius
für beliebige/s a.
Die durchaus existierende Menge {} enthält gar kein Element.

So ist es. Dewegen erlaubt die Anahme UA = ℕ alle EAs zu entsorgen,
ohne eine Änderung im Ergebnis zu befördern: Ø = ℕ

Post by Moebius
Aber ich glaube, man hat ihm das in den vergangenen 15 Jahren mindestens
schon 50-mal erklärt (natürlich ohne dadurch bei ihm das Geringste zu
bewirken).

Wie oft muss man Dir dies noch erklären?

Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir noch
des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind
herrührenden Axioms. ... Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z,
welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, daß
jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht ...
Die Menge Z_0 enthält die Elemente 0, {0}, {{0}}, usw. und möge als
"Zahlenreihe" bezeichnet werden, ... Sie bildet das einfachste Beispiel
einer "abzählbar unendlichen" Menge. [E. Zermelo: Untersuchungen über
die Grundlagen der Mengenlehre I, Mathematische Annalen (1908), S. 266]

Gruß, WM

Moebius

2025-02-26 18:50:15 UTC

Einen Haufen von Kieselsteinen, der nur aus einem Kieselstein besteht
kann man m. E. durchaus mit diesem Kieselstein identifizieren. (Mit
anderen Worten, der Haufen ist dann dieser Kieselstein.) Und einen
Haufen von Kieselsteinen, der aus keinem Kieselstein besteht, gibt es
(wohl) nicht. :-)

Bei Mengen statt "Haufen" sieht die Sache anders aus.

Post by Moebius
Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/Mereologie
Aber ich glaube, man hat ihm das in den vergangenen 15 Jahren mindestens
schon 50-mal erklärt (natürlich ohne dadurch bei ihm das Geringste zu
bewirken).

Moebius

2025-02-26 18:50:50 UTC

Einen Haufen von Kieselsteinen, der nur aus einem Kieselstein besteht,
kann man m. E. durchaus mit diesem Kieselstein identifizieren. (Mit
anderen Worten, der Haufen ist dann dieser Kieselstein.) Und einen
Haufen von Kieselsteinen, der aus keinem Kieselstein besteht, gibt es
(wohl) nicht. :-)

Bei Mengen statt "Haufen" sieht die Sache anders aus.

Moebius

2025-02-26 19:02:09 UTC

Post by Moebius

Im Kontext der Mereologie machen Mückenheims Aussagen u. U. deutlich
mehr Sinn:

Und zwar im Zusammenhang mit der "These der ontologischen Unschuld der
Mereologie von David Lewis":

"Kurz zusammengefasst besagt die Unschuldsthese, dass das Prinzip der
uneingeschränkten Summenbildung keine weiteren ontologischen
Verpflichtungen impliziert. Grundlage dieses Arguments ist die
Überlegung, dass Zusammensetzung mit Identität gleichgesetzt wird. Das
zusammengesetzte Objekt, das aus den Objekten A und B besteht, ist also
identisch mit A und B zusammen – ohne jegliche andere Relation oder
Beziehung der Objekte untereinander. Wird die Existenz von A angenommen
und die Existenz von B angenommen, muss zwingend auch die Existenz von A
und B zusammen angenommen werden. Damit existiert das zusammengesetzte
Objekt aus A und B, __es wird aber keine weitere ontologische
Existenzannahme gemacht, als die Existenz von A allein und von B allein__."

Diese These ist aber selbst im Kontext der Mereologie umstritten:
"Hübner kritisiert die Unschuldsthese und kommt zu dem Schluss, dass sie
nicht vertretbar ist. Andere Autoren, wie David Lewis oder David
Armstrong argumentieren dagegen für die ontologische Unschuld der
Mereologie."

Post by Moebius
Einen Haufen von Kieselsteinen, der nur aus einem Kieselstein besteht,
kann man m. E. durchaus mit diesem Kieselstein identifizieren. (Mit
anderen Worten, der Haufen ist dann dieser Kieselstein.) Und einen
Haufen von Kieselsteinen, der aus keinem Kieselstein besteht, gibt es
(wohl) nicht. :-)
Bei Mengen statt "Haufen" sieht die Sache anders aus.

Post by Moebius
Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/Mereologie
Aber ich glaube, man hat ihm das in den vergangenen 15 Jahren
mindestens schon 50-mal erklärt (natürlich ohne dadurch bei ihm das
Geringste zu bewirken).

Moebius

2025-02-26 20:14:14 UTC

Post by Moebius

Im Kontext der Mereologie machen Mückenheims Aussagen u. U. deutlich
mehr Sinn.

Und zwar im Zusammenhang mit der "These der ontologischen Unschuld der
Mereologie von David Lewis":

"Kurz zusammengefasst besagt die Unschuldsthese, dass das Prinzip der
uneingeschränkten Summenbildung keine weiteren ontologischen
Verpflichtungen impliziert. Grundlage dieses Arguments ist die
Überlegung, dass Zusammensetzung mit Identität gleichgesetzt wird. Das
zusammengesetzte Objekt, das aus den Objekten A und B besteht, ist also
identisch mit A und B zusammen – ohne jegliche andere Relation oder
Beziehung der Objekte untereinander. Wird die Existenz von A angenommen
und die Existenz von B angenommen, muss zwingend auch die Existenz von A
und B zusammen angenommen werden. Damit existiert das zusammengesetzte
Objekt aus A und B, __es wird aber keine weitere ontologische
Existenzannahme gemacht, als die Existenz von A allein und von B allein__."

Diese These ist aber selbst im Kontext der Mereologie umstritten:
"Hübner kritisiert die Unschuldsthese und kommt zu dem Schluss, dass sie
nicht vertretbar ist. Andere Autoren, wie David Lewis oder David
Armstrong argumentieren dagegen für die ontologische Unschuld der
Mereologie."

Post by Moebius
Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/Mereologie
Aber ich glaube, man hat ihm das in den vergangenen 15 Jahren
mindestens schon 50-mal erklärt (natürlich ohne dadurch bei ihm das
Geringste zu bewirken).

Moebius

2025-02-27 06:32:07 UTC

Post by Moebius
Mückenheim verwechselt immer wieder Mengen mit mereologischen "Ganzheiten".
Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/Mereologie
Aber ich glaube, man hat ihm das in den vergangenen 15 Jahren mindestens
schon 50-mal erklärt (natürlich ohne dadurch bei ihm das Geringste zu
bewirken).

Die diversen Proponenten der Mereologie sind sich dieses Unterschieds
aber wohl bewusst:

"Entwickelt wurde die moderne Mereologie im Kontext der Debatte um die
Grundlegung der Mathematik. Dabei stellt sie auch einen alternativen
Ansatz zur heute weitgehend akzeptierten Mengenlehre dar." (Wikipedia)

Moebius

2025-02-27 06:50:08 UTC