Unendliche Ringe mit Nullteiler

[Stefan Nobis]

Hi.

Ich frage mich gerade, ob es (relevante/interessante) Ringe mit
unendlich vielen Elementen gibt, die Nullteiler besitzen. Im
endlichen Fall ist mir das klar und ich kenne auch etliche
Beispiele. Für unendliche Fälle sind mir bisher aber nur Nullringe
eingefallen, also solche, deren Multiplikation so aussieht: xy=0
für alle x,y des Rings. Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

[David Kastrup]

Post by Stefan Nobis
Ich frage mich gerade, ob es (relevante/interessante) Ringe mit
unendlich vielen Elementen gibt, die Nullteiler besitzen. Im
endlichen Fall ist mir das klar und ich kenne auch etliche
Beispiele. Für unendliche Fälle sind mir bisher aber nur Nullringe
eingefallen, also solche, deren Multiplikation so aussieht: xy=0
für alle x,y des Rings. Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Jede mehrdimensionale Vektorbasis mit Skalarprodukt?

[Marc]

Post by David Kastrup

Post by Stefan Nobis
Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Jede mehrdimensionale Vektorbasis mit Skalarprodukt?

Das verstehe ich nicht, eine n-dimensionale Vektorraumbasis hat ja n
Elemente und nicht unendlich viele. Ich sehe auch nicht wie die Basis
(oder meinetwegen auch der Vektorraum) mit dem Skalarprodukt zu einem
Ring wird, da dieses ja in den Grundkörper abbildet und nicht in die
Basis (bzw. den Vektorraum).

Steh ich jetzt irgendwie auf dem Schlauch?

Gruß, Marc

[David Kastrup]

Post by Marc

Post by David Kastrup

Post by Stefan Nobis
Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Jede mehrdimensionale Vektorbasis mit Skalarprodukt?

Das verstehe ich nicht, eine n-dimensionale Vektorraumbasis hat ja n
Elemente und nicht unendlich viele.

Genauer: jeder von einer mehrdimensionalen Basis aufgespannte
Vektorraum mit Skalarprodukt.

Post by Marc
Ich sehe auch nicht wie die Basis (oder meinetwegen auch der
Vektorraum) mit dem Skalarprodukt zu einem Ring wird, da dieses ja
in den Grundkörper abbildet und nicht in die Basis (bzw. den
Vektorraum).

Äh, ja. Da ist was dran.

[Carsten König]

Post by Marc

Post by David Kastrup

Post by Stefan Nobis
Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Jede mehrdimensionale Vektorbasis mit Skalarprodukt?

Das verstehe ich nicht, eine n-dimensionale Vektorraumbasis hat ja n
Elemente und nicht unendlich viele. Ich sehe auch nicht wie die Basis
(oder meinetwegen auch der Vektorraum) mit dem Skalarprodukt zu einem
Ring wird, da dieses ja in den Grundkörper abbildet und nicht in die
Basis (bzw. den Vektorraum).
Steh ich jetzt irgendwie auf dem Schlauch?

Nein, glaube ich eigentlich nicht.

Aber man kann so etwas Ähnliches machen,
Stichwort freier Modul, wenn man noch irgendeine Sinnvolle weise findet,
die Basiselemente eines freien Moduls in einer "konsistenten" Weise zu
multiplizieren,
kommnt man auf einen Ring (eben wie bei einer Gruppenalgebra :-)

Post by Marc
Gruß, Marc

[David Kastrup]

Post by Carsten König

Post by Marc

Post by David Kastrup

Post by Stefan Nobis
Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Jede mehrdimensionale Vektorbasis mit Skalarprodukt?

Das verstehe ich nicht, eine n-dimensionale Vektorraumbasis hat ja n
Elemente und nicht unendlich viele. Ich sehe auch nicht wie die Basis
(oder meinetwegen auch der Vektorraum) mit dem Skalarprodukt zu einem
Ring wird, da dieses ja in den Grundkörper abbildet und nicht in die
Basis (bzw. den Vektorraum).
Steh ich jetzt irgendwie auf dem Schlauch?

Nein, glaube ich eigentlich nicht.
Aber man kann so etwas Ähnliches machen,
Stichwort freier Modul, wenn man noch irgendeine Sinnvolle weise findet,
die Basiselemente eines freien Moduls in einer "konsistenten" Weise zu
multiplizieren,
kommnt man auf einen Ring (eben wie bei einer Gruppenalgebra :-)

Sowas wie reelle Zahlen Modulo 2: jedes Produkt/Summe, das außerhalb
des Intervalles [0,2) zu liegen kommt, wird durch Addition eines
Vielfachen von 2 wieder reingeholt.

Jede Zahl größer 0.5 ist Nullteiler.

[Roland Franzius]

Post by Stefan Nobis
Hi.
Ich frage mich gerade, ob es (relevante/interessante) Ringe mit
unendlich vielen Elementen gibt, die Nullteiler besitzen. Im
endlichen Fall ist mir das klar und ich kenne auch etliche
Beispiele. Für unendliche Fälle sind mir bisher aber nur Nullringe
eingefallen, also solche, deren Multiplikation so aussieht: xy=0
für alle x,y des Rings. Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Funktionen. Das Produkt zweier Funktionen f,g: D -> K verschwindet auch
dann, wenn je ein Faktor nur auf je einer Teilmenge D_f,g von D
verschwindet und D_f \/ D_g = D.

Eine nichtkommutativer Ring mit Nullteilern bilden zB nxn-Matrizen mit
nilpotenten Elementen wie ((0,x),(0,0)).

[Carsten König]

Post by Stefan Nobis
Hi.
Ich frage mich gerade, ob es (relevante/interessante) Ringe mit
unendlich vielen Elementen gibt, die Nullteiler besitzen.

z.B. alle halbeinfachen Ringe (das sind Ringe R, die als R-Rechts (bzw.
Links-) Modul gesehen
eine direkte Summe einfacher R-Rechtsmoduln sind (einfach heißt, das es
keine Nichttrivialen Untermoduln gibt).
Das relevanteste Beispiel, das ich aus eigener Erfahrung dazu kennen
würde, wäre eine Gruppenalgebra.

Post by Stefan Nobis
Im
endlichen Fall ist mir das klar und ich kenne auch etliche
Beispiele.
Für unendliche Fälle sind mir bisher aber nur Nullringe
eingefallen, also solche, deren Multiplikation so aussieht: xy=0
für alle x,y des Rings. Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Nimm als triviles Beispiel einfach zwei Ringe R,R' und definiere auf dem
kartesischem Produkt
R x R' die Verknüpfungen komponentenweise (also (a,a') + (b,b') =
(a+b,a'+b') ,...)
Dann sind z.B. (1,0) und (0,1) Nullteiler ( (1,0) * (0,1) = (0,0))
Wenn es reicht schon R = R' = IZ um einen "unendlichen" Ring zu
bekommen.

Post by Stefan Nobis
--
Stefan.

[Klaus Loerke]

Post by Stefan Nobis
Ich frage mich gerade, ob es (relevante/interessante) Ringe mit
unendlich vielen Elementen gibt, die Nullteiler besitzen. Im
endlichen Fall ist mir das klar und ich kenne auch etliche
Beispiele. Für unendliche Fälle sind mir bisher aber nur Nullringe
eingefallen, also solche, deren Multiplikation so aussieht: xy=0
für alle x,y des Rings. Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Nimm z. B. den Körper R und betrachte den Ring RxR mit komponentenweiser
Verknüpfung.

Wenn du sogar Nullteiler mit gewissen Eigenschaften haben willst, betrachte
Konstruktionen wie R[X]/(X^2) Dies ist ein unenendlicher Ring, der R
enthält, ein Element X mit X^2=0 und alle Terme der Gestalt a+bX.

klaus

[Jens Voss]

Post by Stefan Nobis
Ich frage mich gerade, ob es (relevante/interessante) Ringe mit
unendlich vielen Elementen gibt, die Nullteiler besitzen.

Nimm als Ring R die Potenzmenge einer beliebigen Menge M; als
Addition nimm die "symmetrische Differenz": A + B := (A\B) u (B\A)
und als Multiplikation den Schnitt: A * B := A n B.
Damit ist dann M die einzige Einheit in R, und alle anderen
Elemente sind Nullteiler.

Gruß,
Jens

[Sebastian Stigler]

Post by Stefan Nobis
Hi.
Ich frage mich gerade, ob es (relevante/interessante) Ringe mit
unendlich vielen Elementen gibt, die Nullteiler besitzen. Im
endlichen Fall ist mir das klar und ich kenne auch etliche
Beispiele. Für unendliche Fälle sind mir bisher aber nur Nullringe
eingefallen, also solche, deren Multiplikation so aussieht: xy=0
für alle x,y des Rings. Gibt es noch andere unendliche Ringe mit
Nullteiler?

Wie währe es mit : sei R:= Z/nZ, n in N und nicht prim und betrachte
dann einfach R[X].

Gruß Sebastian