Friedel schrieb in Nachricht ...
... sie sieht aus, wie eine Hyperbel (y=1/x),
aber das kann aufgrund der Randpunkte (g1 und g10) wohl nicht sein, oder ??
Nö, es ist auch keine Hyperbel, sondern ein Stück der um -pi/4, d.h.
um 45 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Parabel
v = u^2/(11*sqrt(2)) + 11/(2*sqrt(2)) .
Eigentlich sieht das Problem simpel aus, aber ich hab keine Ahnung wie ich
auf die richtige Funktion der Kurve komme.Vielleicht kann mir einer
helfen...
OK, die Aufgabe ist, die Einhüllende oder Enveloppe einer Kurvenschar zu
bestimmen. Das geht folgendermaßen:
Ist f(x,y,p) = 0 eine von dem Parameter p abhängende Kurvenschar
und besitzt diese eine Enveloppe, so findet man letztere, indem man
f(x,y,p) partiell nach dem Parameter p differenziert und aus den
beiden Gleichungen
f(x,y,p) = 0 , df(x,y,p)/dp = 0
den Parameter p eliminiert.
Anschaulich kann man sich das so vorstellen, daß man bei festgehaltenem x
(oder y) denjenigen Wert des Parameters p bestimmt, bei dem der Wert
von y (oder x) ein Extremum annimmt und der Kurvenpunkt daher am weitesten
"außen" liegt. Die formale Herleitung findet man meistens bei der Behandlung
der singulären Lösungen von Differentialgleichungen ...
Jetzt zu Deinem Problem:
Bezeichnet man den auf der x-Achse liegende Punkt in Deiner Tabelle allgemein
mit (p,0), 0 <= p <= 11, so ist der zugehörige Punkt auf der y-Achse gleich
(0,11-p), und die Kurvenschar f(x,y,p) ist daher die Schar der jeweils durch
die beiden Punkte gehenden Geraden:
f(x,y,p): y = (-(11-p)/p)*(x - p) = x - 11*x/p - p + 11 .
Die zweite Gleichung ergibt sich durch partielle Ableitung nach p zu
f_p(x,y,p): 11*x/p^2 - 1 = 0 .
Daraus erhält man für p den Ausdruck
p = +/- sqrt(11*x) ,
und daraus durch Einsetzung in die Geradengleichung
y = x -/+ 2*sqrt(11*x) + 11 = (sqrt(11) -+ sqrt(x))^2 .
Als Enveloppe kommt nur der Zweig mit dem negativen Vorzeichen infrage, und
daher heißt die Hüllkurve
Y(x) = (sqrt(11) - sqrt(x))^2 , 0 <= x <= 11 .
Sie berührt die x-Achse im Punkt (11,0), die y-Achse im Punkt (0,11), und
ist, wie wir später sehen werden, spiegelsymmetrisch zur Winkelhalbierenden
y = x.
Um zu sehen, daß Y(x) wirklich eine gedrehte Parabel darstellt, wird die
rechte Seite ausmultipliziert und umsortiert:
Y - x - 11 = -2*sqrt(11*x) ,
und durch Quadrieren und Umordnen ergibt sich daraus
Y^2 - 2*x*Y + x^2 - 22*x - 22*Y + 121 = 0 .
Das ist eine sog. quadratische Form, die man auch als Matrizengleichung
[ 1 -1 -11] [x] [0]
[x Y 1] * [ -1 1 -11] * [Y] = [0]
[-11 -11 121] [1] [0]
schreiben kann, und aus der analytischen Geometrie weiß man, daß eine solche
Form immer einen Kegelschnitt beschreibt, dessen Typ und Lage vollständig
durch die Matrix festgelegt ist. Um den Kegelschnitt in der Normalform
A*u^2 + B*v^2 + C*u + D*v + E = 0
zu erhalten, muß man jetzt eine Hauptachsentransformation durchführen, und
man findet dann nach einer kleinen Rechnung, daß die Hauptachsen u, v
gegenüber x, y um -pi/4 gedreht sind und daß die Normalform
2*u^2 - 22*sqrt(2)*v + 121 = 0
heißt, und das ist aber gerade die Gleichung der Parabel
v = u^2/(11*sqrt(2)) + 11/(2*sqrt(2)) .
Die Hüllkurve ist dann das Parabelstück für
-11*sqrt(2)/2 <= u <= 11*sqrt(2)/2 ,
wenn man es um 45 Grad dreht.
Die Aufgabe ist verwandt mit der bekannten Aufgabe, die Enveloppe einer Leiter
der Länge L zu bestimmen, die an einer Hauswand herunterrutscht. Die Lösung
dafür ist die sog. Astroide oder Sternkurve
x^(2/3) + y^(2/3) = L^(2/3) .
Grüße
Hermann
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Gruß Friedel