Am Tue, 11 Feb 2025 12:25:07 +0100
Post by WMPost by Ralf GoertzAm Sun, 9 Feb 2025 19:51:44 +0100
Post by WMPost by Ralf GoertzAm Sun, 9 Feb 2025 16:02:30 +0100
Post by WMNein, die Menge aller hinreichenden ist leer.
Was ist die Menge aller hinreichenden? Kannst du das definieren?
Es steht oben. Sie ist leer.
Ist das eine Definition? „Eine Menge heißt hinreichend, wenn sie
leer ist” (Häh?)
Das ist Induktion: Wenn die Vereinigung aller EA ℕ ist, dann ist auch
die leere Menge ℕ.
Nein.
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMPost by Ralf GoertzDer Einfachheit halber am Beispiel der drei Mengen.
Dort kann man Cantors Theorem B nur anwenden, wenn man indiziert.
Die Wahl der Indizes steht im Belieben des Indizators. Dann kann
man die Menge der notwendigen und hinreichenden angeben.
Eine Menge ist notwendig oder nicht notwendig, egal welchen Index
Nein.
Und du meinst, mit einem Nein ist es getan? An welcher Stelle habe ich
falsch gelegen? Ich kopiere es nochmal hier rein (warum hast du das
gelöscht?) und du zeigst mit bitte, was falsch ist:
M1={ab}, M2{ac}, M3={bc}: {ab} ist nicht notwendig, weil M2∪M3={abc}
M1={ab}, M2{bc}, M3={ac}: {ab} ist nicht notwendig, weil M2∪M3={abc}
M1={ac}, M2{ab}, M3={bc}: {ab} ist nicht notwendig, weil M1∪M3={abc}
M1={ac}, M2{bc}, M3={ab}: {ab} ist nicht notwendig, weil M1∪M2={abc}
M1={bc}, M2{ab}, M3={ac}: {ab} ist nicht notwendig, weil M1∪M3={abc}
M1={bc}, M2{ac}, M3={ab}: {ab} ist nicht notwendig, weil M1∪M2={abc}
M1={ab}, M2{ac}, M3={bc}: {ac} ist nicht notwendig, weil M1∪M3={abc}
M1={ab}, M2{bc}, M3={ac}: {ac} ist nicht notwendig, weil M1∪M2={abc}
M1={ac}, M2{ab}, M3={bc}: {ac} ist nicht notwendig, weil M2∪M3={abc}
M1={ac}, M2{bc}, M3={ab}: {ac} ist nicht notwendig, weil M1∪M2={abc}
M1={bc}, M2{ab}, M3={ac}: {ac} ist nicht notwendig, weil M1∪M2={abc}
M1={bc}, M2{ac}, M3={ab}: {ac} ist nicht notwendig, weil M1∪M3={abc}
M1={ab}, M2{ac}, M3={bc}: {bc} ist nicht notwendig, weil M1∪M2={abc}
M1={ab}, M2{bc}, M3={ac}: {bc} ist nicht notwendig, weil M1∪M3={abc}
M1={ac}, M2{ab}, M3={bc}: {bc} ist nicht notwendig, weil M1∪M2={abc}
M1={ac}, M2{bc}, M3={ab}: {bc} ist nicht notwendig, weil M1∪M3={abc}
M1={bc}, M2{ab}, M3={ac}: {bc} ist nicht notwendig, weil M2∪M3={abc}
M1={bc}, M2{ac}, M3={ab}: {bc} ist nicht notwendig, weil M2∪M3={abc}
Eine Menge von Mengen ist hinreichend, egal wie ihre Elemente indiziert
sind:
M1={ab}, M2{ac}, M3={bc}: {{ab},{bc}} ist hinreichend, weil M1∪M3={abc}
M1={ab}, M2{bc}, M3={bc}: {{ab},{bc}} ist hinreichend, weil M1∪M3={abc}
M1={ac}, M2{ab}, M3={bc}: {{ab},{bc}} ist hinreichend, weil M2∪M3={abc}
…
(vollständige Aufzählung der hinreichenden Mengen mit allen möglichen
Reihenfolgen als Übungsaufgabe, Hinweis: es sind 24 Zeilen).
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMPost by Ralf GoertzUnd nun beweise du, dass die Menge H_ℕ der hinreichenden Mengen
von Anfangsabschnitten leer
Durch Indiktion beweist man, dass jeder weder notwendig
Das geht auch ohne Induktion.
Richtig. Aber mit Induktion erzeugt oder definiert man eine
(potentiell un-) endliche Menge, so wie Zermelo das getan hat.
Entweder sind beide Fälle zu akzeptieren, oder keiner.
Post by Ralf GoertzPost by WMnoch hinreichend ist.
Hinreichend ist eine Eigenschaft einer Menge von Anfangsabschnitten
(nicht eines einzelnen).
Tatsächlich?
Ja, das versuche ich dir seit mehreren Posts zu verklickern. Siehe die drei Mengen:
{{ab},{bc}} ist hinreichend, weil {ab}∪{bc} ={abc}
{{ab},{ac}} ist hinreichend, weil {ab}∪{ac} ={abc}
{{ac},{bc}} ist hinreichend, weil {ac}∪{bc} ={abc}
{{ac},{bc},{ac}} ist hinreichend, weil {ac}∪{bc}∪{ac}={abc}
Post by WMAber jede hinreichende Menge, bestehe sie nun aus einem oder mehreren
Elementen, hat nach Cantors Theorem B ein erstes Element.
Ja und das kann man angeben, nachdem man eine Ordnung festgelegt hat.
Wozu man das allerdings tun sollte, erschließt sich mir nicht. Denn
hinreichend zu sein ist unabhängig von der Ordnung. Aber im Falle der
Anfangsabschnitte kann ich folgende Ordnung der Elemente definieren:
Weise einer Menge H von Anfangsabschnitten folgende Zahl zu:
f(H) := ∑ (1/(2^k) | A(k) ∈ H)
sprich, ist der Anfangsabschnitt A(k) ein Element der Menge H, dann ist
1/(2^k) ein Summand, andernfalls nicht. f(h) ist damit eine reelle Zahl
aus [0,1]. Für die leere Menge (die natürlich nicht hinreichend ist)
gilt f(∅)=0, für die Menge aller Anfangsabschnitte
A:={{1},{1,2},{1,2,3},…} gilt f(A)=1. Mit dieser Zuweisung gilt
f(M1)=f(M2) ⇒ M1=M2. Ich definiere M1<M2:=f(M1)>f(M2). Damit ist die
Menge A aller Anfangsabschnitte die kleinste Menge.
Post by WMGib eine solche Menge an, und ich werde von jedem Element
ausschließen, dass es die Hinreichendheit verändert.
Ja, das ist ja auch richtig. Denn jede hinreichende Menge hat unendlich
viele Elemente (Anfangsabschnitte). Und wenn du einen beliebigen
entfernst (oder auch eine beliebige endliche oder unendliche Menge von
ihnen, solange noch unendlich viele verbleiben) ist die Menge immer noch
hinreichend. Und mit Induktion kannst du dann wieder nur zeigen, dass
das Entfernen einer endlichen Menge nichts an der „Hinreichendheit“
ändert.
Post by WMDa dann alle EA ausgeschlossen sind
Nein sind sie nicht, siehe oben.
Post by WMbleibt keiner mehr übrig und Deine Behauptung wird als falsch
entlarvt.
Es bleiben immer unendlich viele übrig.
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMInduktion erfasst alle. Oder sollte Peano nur endlich viele
natürliche Zahlen definieren?
Du glaubst also, du hättest bewiesen, dass die Vereinigung der
Anfangsabschnitte A(n) nicht ℕ ergibt.
Nein, ich glaube das nicht nur, sondern ich weiß es. Die Menge der
unzureichenden A(n) sind alle A(n),
Ja, einzeln sind sie nicht hinreichend. Das hatten wir doch nun oft
genug: Hinreichend betrifft eine Menge von Anfangsabschnitten.
Post by WMgenau so wie Zermelo die Menge aller definierbaren natürlichen Zahlen
mit Induktion erzeugt oder beschreibt.
Genauso wie jede natürliche Zahl endlich ist, nicht aber die Menge
aller.
Post by WMPost by Ralf GoertzAlso ist die Vereinung der Singletons gleich ℕ?
Natürlich. Die kann man ja kollektiv erfassen.
Man kann sie auch strawunzen. Das ist genauso definiert wie „kollektiv
erfassen“.
Post by WMPost by Ralf GoertzVA:=∪{A(n)}? Gilt VS⊂VA oder VA⊂VS oder weder das eine noch das
andere?
VA ist ein (potentiell un-) endlicher Anfangsabschnitt der Menge ℕ,
also VA⊂VS.
Wie kann das sein? Wenn ich die Singletons vereinige, bekomme ich ℕ,
aber wenn ich die Anfangsabschnitte A(k) vereinige, dann erhalte ich
nicht ℕ, obwohl S(k) ⊂ A(k) ist? Wie kann die Vereinigung von Obermengen
von S(k) kleiner sein als die Vereinigung der S(k)?
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMAlle bezeichnen die potentielle Unendlichkeit.
Die gibt es nicht.
Sie wurde gerade bewiesen.
Nein.
Post by WMPost by Ralf GoertzEine Menge ist entweder endlich oder unendlich.
Laut Mengenlehre.
Die die Grundlage der Mathematik ist.
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMDie aktuale Uendlichkeit ist Cantor zu Ehren mit aleph oder
|ℕ|angegeben werden.
Wenn das richtig ist und du angeblich mit Induktion etwas für ℕ
beweisen kannst,
Man kann mit Induktion nur die potentiell unendliche Menge der
definierbaren Zahlen erfassen, eben definiert durch die
Anfangsabschnitte. Auf jede und jeden folgen noch unendlich viele
nicht individuell definierbare Zahlen.
Mit Induktion beweist man etwas für alle unendlich vielen (endlichen)
natürlichen Zahlen. Nicht mehr und nicht weniger. Undefinierte Dinge
ändern daran nichts.
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMDer Induktionsbeweis zeigt, dass jedes A(n) weder nötig noch
hinreichend ist.
Ein einzelner Anfangsabschnitt kann niemals hinreichend sein, weil
er endlich, ℕ aber unendlich ist.
Genau deswegen können auch alle nicht hinreichend sein, weil alle
viel kleiner als ℕ sind.
Wiederholung:
Eine Menge mit einem einzelnen Anfangsabschnitt als Element kann niemals
hinreichend sein, weil er endlich, ℕ aber unendlich ist. Hinreichend
sind nur Mengen von Anfangsabschnitten, die unendlich viele
Anfangsabschnitte enthalten.
Post by WMPost by Ralf GoertzHinreichend können nur Mengen von unendlich vielen Anfangsabschnitten
sein.
Siehst da stand's auch schon.
Post by WMUnendlich viele Versager enthalten ein Genie? Matheologie.
Schöner Spruch, hat aber nichts mit Mathematik zu tun.
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMPost by Ralf GoertzPost by WMEbenfalls falscher Schluss: ℕ ist aktual unendlich. (*)
Wie viele Elemente hat ℕ also?
Damit meinet ich, dass der Schluss von Peanos Axiomen auf Cantors
|ℕ| falsch ist. Cantors ℕ hat |ℕ|, also aktual unendlich viele
Elemente,
Wie passt das mit dem „ebenfalls falschen Schluss“ (*) zusammen?
Beweisen kann man nur die Existenz definierbarer Zahlen. Die aktuale
Unendlichkeit ist eine unbeweisbare Annahme.
Sie ist ein Axiom. Deshalb ist deine ganze Beweiserei nichts wert, da du
nicht auf dem Boden der Mathematik stehst, wenn du dieses Axiom
ablehnst.
Post by WMPost by Ralf GoertzPost by WMPeanos nur potentiell unendlich viele.
Eine Menge ist entweder endlich oder unendlich. Tertium non datur.
Nein. Das ist eine falsche Behauptung orthodoxer Matheologen.
Und das ist eine ad hominem Aussage.