Existenz unendlicher Primzahlen kongrunt +/-3 modulo 8

[thomas]

Hallo :-)

Ich versuche mich schon eine ganze Weile an dem Beweis, dass es
unendlich viele Primzahlen kongruent +/-3 modulo 8 gibt, aber ohne
Erfolg.

Hat jemand eine Idee?

Viele Grüße, Thomas

[Ralf Goertz]

Post by thomas
Hallo :-)
Ich versuche mich schon eine ganze Weile an dem Beweis, dass es
unendlich viele Primzahlen kongruent +/-3 modulo 8 gibt, aber ohne
Erfolg.
Hat jemand eine Idee?

Dirichlet hatte eine:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichletscher_Primzahlsatz

[thomas]

Hallo Ralf, danke für deinen Hinweis.
Ich habe mir heute in der UB weitere Spezialfälle des Dirichletschen
Primzahlsatzes angeguckt und habe ein N gefunden, mit dem man obige
Aussage beweisen kann.
Viele Grüße, Thomas

[guenter]

Post by thomas
Hallo :-)
Ich versuche mich schon eine ganze Weile an dem Beweis, dass es
unendlich viele Primzahlen kongruent +/-3 modulo 8 gibt, aber ohne
Erfolg.
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße, Thomas

Ich denke, das man das aehnlich dem euklidischen Beweis durchfuehren
kann (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid).
Gibt es nur n verschiedenen viele Primzahlen p_i der Form 8*k+/-3, und
is m das produkt dieser n Primzahlen, dann ist m mod 8 gleich
1,3,5,oder 7., und damit m+a modulo 8 gleich 3 fuer a gleich 0,2,4
oder 6. Haette m+a nur Primfaktoren der Form 8*k+/-1, dann waere m+a
von der Form 8*k+/-1. Alos hat m+a eine Primfaktor p der Form 8*k+/-3
und p ist dann auch ein Teiler von m und damit von a. Das waere der
Widerspruch.
mfg guenter

[Jan Fricke]

Post by guenter

Post by thomas
Hallo :-)
Ich versuche mich schon eine ganze Weile an dem Beweis, dass es
unendlich viele Primzahlen kongruent +/-3 modulo 8 gibt, aber ohne
Erfolg.
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße, Thomas

Ich denke, das man das aehnlich dem euklidischen Beweis durchfuehren
kann (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid).
Gibt es nur n verschiedenen viele Primzahlen p_i der Form 8*k+/-3, und
is m das produkt dieser n Primzahlen, dann ist m mod 8 gleich
1,3,5,oder 7., und damit m+a modulo 8 gleich 3 fuer a gleich 0,2,4

Oder einfacher: m = 8 * p_1*...*p_n + 3.

Post by guenter
oder 6. Haette m+a nur Primfaktoren der Form 8*k+/-1, dann waere m+a
von der Form 8*k+/-1. Alos hat m+a eine Primfaktor p der Form 8*k+/-3
und p ist dann auch ein Teiler von m und damit von a. Das waere der
Widerspruch.
mfg guenter

Viele Grüße Jan

[Wolfgang Kirschenhofer]

Post by Jan Fricke

Post by guenter

Post by thomas
Hallo :-)
Ich versuche mich schon eine ganze Weile an dem Beweis, dass es
unendlich viele Primzahlen kongruent +/-3 modulo 8 gibt, aber ohne
Erfolg.
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße, Thomas

Ich denke, das man das aehnlich dem euklidischen Beweis durchfuehren
kann (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid).
Gibt es nur n verschiedenen viele Primzahlen p_i der Form 8*k+/-3, und
is m das produkt dieser n Primzahlen, dann ist m mod 8 gleich
1,3,5,oder 7., und damit m+a modulo 8 gleich 3 fuer a gleich 0,2,4

Oder einfacher: m = 8 * p_1*...*p_n + 3.

Post by guenter
oder 6. Haette m+a nur Primfaktoren der Form 8*k+/-1, dann waere m+a
von der Form 8*k+/-1. Alos hat m+a eine Primfaktor p der Form 8*k+/-3
und p ist dann auch ein Teiler von m und damit von a. Das waere der
Widerspruch.
mfg guenter

Viele Grüße Jan

Hallo!

Nur eine Ergänzung und ein Hinweis auf meine Lösung von
[Matx]#568 in der NG drd. Dort habe ich ergänzend bewiesen, daß es
auch unendlich viele Primzahlen der Form 6*k+1 gibt.

Viele Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

[thomas]

Ich habe mit N=(p1*p2*-...*pr)^2+2 gearbeitet, wobei die p1,....pr
kongruent +/-3 modulo 8 endlich viele nach Annahme. Da die pi's alle
ungerade, ist (p1*p2*-...*pr)^2 kongruent 1 modulo 8, also N kongruent
3 modulo 8. Da die Primteiler q1,...,qs von N kongruent +/-1 modulo 8
(einfach alle Restklassen durchgehen und beachten, dass die pi's >2, N
ungerade) erhält man den gewünschten Wid.. A. war falsch, es ex.
unendlich...... :-)

Viele Grüße, Thomas

[Jens Voß]

Post by thomas
Hallo :-)
Ich versuche mich schon eine ganze Weile an dem Beweis, dass es
unendlich viele Primzahlen kongruent +/-3 modulo 8 gibt, aber ohne
Erfolg.
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße, Thomas

Hallo,

mehrere sehr schöne Beweise für diesen Sachverhalt sind ja
schon präsentiert worden.
In allen Fällen folgt jedoch lediglich, dass die Menge der
PZen kongruent +3 oder -3 modulo 8 unendlich ist.

Kann man einen der Beweise noch dahingehend verschärfen,
dass sowohl die Menge der PZen kongruent +3 modulo 8 als
auch die der PZen kongruent -3 modulo 8 als unendlich
nachgewiesen wird?

Schönen Gruß,
Jens