Discussion:
Ziege an der Leine
(zu alt für eine Antwort)
Christian Schulz
2020-03-26 18:20:36 UTC
Permalink
Moin.

Aus meiner aktiven Zeit als Mathelehrer erinnere ich mich an eine
Aufgabe, die vor zig Jahren in einer Fernsehshow 'Schüler gegen Lehrer'
mit J. Bublath als Zuschauer-Aufgabe gestellt wurde:

Eine Ziege sei am Rand einer kreisrunden Wiese angepflockt (genannt war
ein Radius von 15m, aber es müsste ja auch allgemein zu lösen sein).
Wie lang muss die Leine sein, damit sie genau die Hälfte der Grasfläche
abfressen kann?

Ich war nicht imstande, eine halbwegs einfache Lösung zu finden,
verschiedentlich hatte ich Referendare, die frisch aus ihren
Mathe-Examina kamen, gefragt und erhielt z.T- hochkomplexe Lösungen
(z.B. mit mehrfachen Iterationen von Näherungsverfahren), die kaum
nachvollziehbar waren.

Zu erwähnen wäre witzigerweise noch, dass diese Zuschaueraufgabe in den
folgenden Sendungen nie wieder erwähnt wurde - offensichtlich war von
den Autoren dieser einfach erscheinenden Aufgabe deren Schwierigkeit
komplett unterschätzt worden.

Kann hier jemand eine Lösung anbieten, die, sagen wir, mit den
Mathekenntnissen eines guten Oberstufenschülers nachzuvollziehen wäre?

Ich entschuldige mich sicherheitshalber dafür, falls ich mit meiner
Frage das Niveau dieser Gruppe unterfordere, denn hier werden z.T.
Themen diskutiert, von denen ich keine Ahnung habe...

Schön' Gruß,
Christian
Carlo XYZ
2020-03-26 18:47:36 UTC
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Post by Christian Schulz
Ich war nicht imstande, eine halbwegs einfache Lösung zu finden,
verschiedentlich hatte ich Referendare, die frisch aus ihren
Mathe-Examina kamen, gefragt und erhielt z.T- hochkomplexe Lösungen
(z.B. mit mehrfachen Iterationen von Näherungsverfahren), die kaum
nachvollziehbar waren.
Englische Ladies des Jahres 1748 konnten das offenbar schon.

<https://en.wikipedia.org/wiki/Goat_problem>
Christian Gollwitzer
2020-03-26 18:52:21 UTC
Permalink
Post by Christian Schulz
Aus meiner aktiven Zeit als Mathelehrer erinnere ich mich an eine
Aufgabe, die vor zig Jahren in einer Fernsehshow 'Schüler gegen Lehrer'
Eine Ziege sei am Rand einer kreisrunden Wiese angepflockt (genannt war
ein Radius von 15m, aber es müsste ja auch allgemein zu lösen sein).
Wie lang muss die Leine sein, damit sie genau die Hälfte der Grasfläche
abfressen kann?
Steht in der FAQ:

http://dsm-faq.wikidot.com/analysis#toc1


Es ist nicht analytisch oder elementargeometrisch lösbar, daher muss am
Ende ein Näherungsverfahren benutzt werden.

Christian
Siegfried Neubert
2020-03-29 12:24:01 UTC
Permalink
Post by Christian Schulz
Moin.
Aus meiner aktiven Zeit als Mathelehrer erinnere ich mich an eine
Aufgabe, die vor zig Jahren in einer Fernsehshow 'Schüler gegen Lehrer'
Eine Ziege sei am Rand einer kreisrunden Wiese angepflockt (genannt war
ein Radius von 15m, aber es müsste ja auch allgemein zu lösen sein).
Wie lang muss die Leine sein, damit sie genau die Hälfte der Grasfläche
abfressen kann?
Ich war nicht imstande, eine halbwegs einfache Lösung zu finden,
verschiedentlich hatte ich Referendare, die frisch aus ihren
Mathe-Examina kamen, gefragt und erhielt z.T- hochkomplexe Lösungen
(z.B. mit mehrfachen Iterationen von Näherungsverfahren), die kaum
nachvollziehbar waren.
Zu erwähnen wäre witzigerweise noch, dass diese Zuschaueraufgabe in den
folgenden Sendungen nie wieder erwähnt wurde - offensichtlich war von
den Autoren dieser einfach erscheinenden Aufgabe deren Schwierigkeit
komplett unterschätzt worden.
Kann hier jemand eine Lösung anbieten, die, sagen wir, mit den
Mathekenntnissen eines guten Oberstufenschülers nachzuvollziehen wäre?
Ich entschuldige mich sicherheitshalber dafür, falls ich mit meiner
Frage das Niveau dieser Gruppe unterfordere, denn hier werden z.T.
Themen diskutiert, von denen ich keine Ahnung habe...
Schön' Gruß,
Christian
Moin moin,
diese Rätsel gab es hier oder in de.rec.denksport vor Jahren schon!

Zeichne ich zwei Kreise
(mit Radius r um Null und L um einen Punkt am "Rand")
in ein rechtwinkliges x-y-Koordinatensystem, so ist:

@ der Winkel zwischen x-Achse und der Geraden durch den Ursprungs
und durch einen Schnittpunk (den "Oberen") der beiden Kreise
und sei Pi = 3,141592653...

Ich finde dann:

Pi - 2[(Pi-@)cos(@) + sin(@)] = 0

Definiert man nun y(@):= Pi - 2[(Pi-@)cos(@) + sin(@)],
so sucht man die Nullstelle von y(@).

Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Man kann es versuchen zu zeichnen!
Ggf. braucht man eine Näherung der Lösung!

Auch eine "Fixpunkt"-Bestimmung ist möglich,
falls die Abbildung "kontrahiert"! Z.B.:
@ = arc sin [ (Pi-@)cos(@) + Pi/2 ] durch umformen von Oben!

Sicher hilfreich sind iterative Verfahren allg. z.B.:
Nach Newton lautet das Iterationsverfahren für @

@:= @ - y(@) / y'(@) mit y'(@) = 2( Pi-@ ) sin(@)

Mit einem Näherungswinkel ? = 75° = 1,3089969... im Bogenmaß
(der - naheliegend - zwischen 90° und 60° liegen muß !!!)
erhält man die Lösung:

@ = 1,308997; = 1,235241; = 1,235897...; = ... und damit
L/r = 1,217523; = 1,158193; = 1,158728... !!!

Ich habe das auch nochmal anders aufgeschrieben, wer will
- na, wenigsten die ersten! ;-) - dem schicke mir seine eMail-Adresse.

P.S.: Du schreibst Du warst Lehre, da ich nicht auf dem Gymnasium war, weiß ich nicht was genau man dort so lernt.
Aber ich denke den Newton kennt man dann schon und die Herleitung dafür ist elementare Geometrie.

Du solltest es hin kriegen!
Siegfried Neubert
2020-03-29 12:30:21 UTC
Permalink
Post by Christian Schulz
Moin.
Aus meiner aktiven Zeit als Mathelehrer erinnere ich mich an eine
Aufgabe, die vor zig Jahren in einer Fernsehshow 'Schüler gegen Lehrer'
Eine Ziege sei am Rand einer kreisrunden Wiese angepflockt (genannt war
ein Radius von 15m, aber es müsste ja auch allgemein zu lösen sein).
Wie lang muss die Leine sein, damit sie genau die Hälfte der Grasfläche
abfressen kann?
Ich war nicht imstande, eine halbwegs einfache Lösung zu finden,
verschiedentlich hatte ich Referendare, die frisch aus ihren
Mathe-Examina kamen, gefragt und erhielt z.T- hochkomplexe Lösungen
(z.B. mit mehrfachen Iterationen von Näherungsverfahren), die kaum
nachvollziehbar waren.
Zu erwähnen wäre witzigerweise noch, dass diese Zuschaueraufgabe in den
folgenden Sendungen nie wieder erwähnt wurde - offensichtlich war von
den Autoren dieser einfach erscheinenden Aufgabe deren Schwierigkeit
komplett unterschätzt worden.
Kann hier jemand eine Lösung anbieten, die, sagen wir, mit den
Mathekenntnissen eines guten Oberstufenschülers nachzuvollziehen wäre?
Ich entschuldige mich sicherheitshalber dafür, falls ich mit meiner
Frage das Niveau dieser Gruppe unterfordere, denn hier werden z.T.
Themen diskutiert, von denen ich keine Ahnung habe...
Schön' Gruß,
Christian
Moin moin Christian,
hallo sonst,
diese Rätsel gab es hier oder in de.rec.denksport vor Jahren schon!

Zeichne ich zwei Kreise
(mit Radius r um Null und L um einen Punkt am "Rand")
in ein rechtwinkliges x-y-Koordinatensystem, so ist:

@ der Winkel zwischen x-Achse und der Geraden durch den Ursprungs
und durch einen Schnittpunk (den "Oberen") der beiden Kreise
und sei Pi = 3,141592653...

Ich finde dann:

Pi - 2[(Pi-@)cos(@) + sin(@)] = 0

Definiert man nun y(@):= Pi - 2[(Pi-@)cos(@) + sin(@)],
so sucht man die Nullstelle von y(@).

Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Man kann es versuchen zu zeichnen!
Ggf. braucht man eine Näherung der Lösung!

Auch eine "Fixpunkt"-Bestimmung ist möglich,
falls die Abbildung "kontrahiert"! Z.B.:
@ = arc sin [ (Pi-@)cos(@) + Pi/2 ] durch umformen von Oben!

Sicher hilfreich sind iterative Verfahren allg. z.B.:
Nach Newton lautet das Iterationsverfahren für @

@:= @ - y(@) / y'(@) mit y'(@) = 2( Pi-@ ) sin(@)

Mit einem Näherungswinkel ? = 75° = 1,3089969... im Bogenmaß
(der - naheliegend - zwischen 90° und 60° liegen muß !!!)
erhält man die Lösung:

@ = 1,308997; = 1,235241; = 1,235897...; = ... und damit
L/r = 1,217523; = 1,158193; = 1,158728... !!!

Ich habe das auch nochmal anders aufgeschrieben, wer will
- na, wenigsten die ersten! ;-) - der/die schicke mir seine eMail-Adresse.

P.S.: Du schreibst Du warst Lehre, da ich nicht auf dem Gymnasium war, weiß ich nicht was genau man dort so lernt.
Aber ich denke den Newton kennt man dann schon und die Herleitung der Gleichung ist elementare Geometrie.

Du solltest es hin kriegen!
Siegfried Neubert
2020-04-03 07:19:14 UTC
Permalink
Post by Siegfried Neubert
Post by Christian Schulz
Moin.
Aus meiner aktiven Zeit als Mathelehrer erinnere ich mich an eine
Aufgabe, die vor zig Jahren in einer Fernsehshow 'Schüler gegen Lehrer'
Eine Ziege sei am Rand einer kreisrunden Wiese angepflockt (genannt war
ein Radius von 15m, aber es müsste ja auch allgemein zu lösen sein).
Wie lang muss die Leine sein, damit sie genau die Hälfte der Grasfläche
abfressen kann?
...
Schön' Gruß,
Christian
Moin moin Christian,
hallo sonst,
diese Rätsel gab es hier oder in de.rec.denksport vor Jahren schon!
...
P.S.: Du schreibst Du warst Lehre, da ich nicht auf dem Gymnasium war, weiß ich nicht was genau man dort so lernt.
Aber ich denke den Newton kennt man dann schon und die Herleitung der Gleichung ist elementare Geometrie.
Du solltest es hin kriegen!
Moin Christian,
leider ist es hier still um Dich geworden.

Ist Dir denn nun geholfen worden, oder sind Fragen noch offen?

VG Siggi N.

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