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Regelmäßiges Achteck // TH34 Doppelgitter
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Rainer Rosenthal
2025-03-25 18:47:36 UTC
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Mir ist am regelmäßigen Achteck etwas aufgefallen, worüber ich etwas
nachdenken musste, um es mit meinen Geometrie-Kenntnissen verstehen zu
können. Vielleicht findet das hier in dsm jemand interessant.
====================
Betrachte ein regelmäßiges Achteck mit Ecke Q0 und Mittelpunkt P0.
Sei Q3 eine Ecke, die Q0 fast gegenüber liegt, so dass der Winkel
Q0-P0-Q3 möglichst groß ist.
Dann gilt: Q0, P0, Q3 sind aufeinander folgende Ecken eines regelmäßigen
Achtecks.
Bild dazu: Loading Image...
====================

Ich habe dafür einen einfachen Grund sowie eine Verallgemeinerung finden
können. Der einfache Grund ist übrigens mein Lieblingssatz der
Elementargeometrie :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Rainer Rosenthal
2025-03-25 19:41:48 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Betrachte ein regelmäßiges Achteck mit Ecke Q0 und Mittelpunkt P0.
Sei Q3 eine Ecke, die Q0 fast gegenüber liegt, so dass der Winkel
Q0-P0-Q3 möglichst groß ist.
Deutlicher:

Sei Q3 eine Nachbar-Ecke des Eckpunkts, der Q0 gegenüber liegt.

Gruß,
RR
Blacky Cat
2025-03-26 08:20:09 UTC
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Hallo,
... sehr schön versteckt, dieser weise Kreis im Achteck...
Aber ver ist Anhaltspunkt, wo ich weiter rechnen würde:

- P0 und Q0 bilden dann den Radius
- zwischen Q0 und Q3_0; also der gegenüberliegende Punkt von Q3 ist dann
der Punkt, den man erhält, wenn man den Punkt einzeichnet und dann Q0
und Q3_0 die Hälfte der Länge des kleinen Quadrats ausmacht.

- dann hat man also die Gegenkathete: GK(P0, Q0)
- dann hat man also die Hypothenuse : HT(P0, Q0_a)

- dann könnte man den Umfang des Quadrats berechnen:
mit Länge = ((Q0_a * 2) * 4)

- dann könnte man die Fläche des Quadrats berechnen:
mit A = (Länge = (Q0_a * 2)) ^2.

- die GK entspricht ja 0.541196 Einheiten
- die HT entspricht ja 0.541196 Einheiten
=> was einen Spitzen-Winkel ausmacht, der 45 Grad beträgt, da die An-
kathete (bei den Einheiten der Hypothenuse und Gegenkathete gleich
sind) dann einen Winkel von 90 Grad aufweißt und die Ankathete den
Wert 0.765367 Einheiten einnimmt.
____ ____
=> die Länge Q0_0 + Q0_1 beträgt dann:
0.765367 Einheiten.

=> der Umfang beträgt dann:
U = (0.765367 * 4)
U = 3.061468

=> die Fläche beträgt dann:
A = (U div 4) ^2
A = 0.765367 ^2
A = 0.765367 ^2
A = 0.585787

- dann könnte man eine Linie von P0 zu den oberen blauen mittleren Punkt
zeichnen und hat dann wieder eine Hypothenuse und eine Ankathete.

=> die Hypothenuse wäre dann P0 zu Blau_oben_mitte
=> die Ankathete wäre dann Pß zu Q0
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Ralf Goertz
2025-03-26 11:02:17 UTC
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Am Tue, 25 Mar 2025 20:41:48 +0100
Post by Rainer Rosenthal
Post by Rainer Rosenthal
Betrachte ein regelmäßiges Achteck mit Ecke Q0 und Mittelpunkt P0.
Sei Q3 eine Ecke, die Q0 fast gegenüber liegt, so dass der Winkel
Q0-P0-Q3 möglichst groß ist.
Sei Q3 eine Nachbar-Ecke des Eckpunkts, der Q0 gegenüber liegt.
Hi Rainer,

ist das wirklich so überraschend? Dass P0Q0 und P0Q3 gleiche Längen
haben, ist doch trivial, weil P0 der *Mittelpunkt* der Ecken ist. Und
der Winkel α=Q3P0Q0 ist gleich 3* 1/8 von 360° (3 Schritte über Q7 und
Q6). Jedes regelmäßige Achteck lässt sich in die acht Dreiecke (deren
Winkelsumme jeweils 180° ist) P0_Q_i_Q_((i+1) mod 8) zerlegen. Die Summe
dieser Winkel ist 8*180°, von denen ich die acht Winkel in P0, die
zusammen 360° ergeben, abgezogen werden müssen. Das Ergebnis muss durch
8 dividiert werden, um die Größe des Winkels an einer Ecke des
Achtecks zu erhalten. Also (8*180°-360°)/8=(4*360°-360°)/8= 3/8 *360°,
derselbe Winkel wie α.
Rainer Rosenthal
2025-03-26 18:57:51 UTC
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ist das wirklich so überraschend? ...
Achtecks zu erhalten. Also (8*180°-360°)/8=(4*360°-360°)/8= 3/8 *360°,
derselbe Winkel wie α.
Hallo Ralf,

es freut mich sehr, dass Du auf meine Beobachtung eingegangen bist(*).
Ich hatte sie am 8-Eck gemacht, aber mir war etwas aufgefallen, worauf
ich im ersten Posting hingewiesen hatte:
"Ich habe dafür einen einfachen Grund sowie eine Verallgemeinerung
finden können. Der einfache Grund ist übrigens mein Lieblingssatz der
Elementargeometrie 🙂 ".

Ich kann mit diesem einfachen Grund nicht nur /ohne jede Rechnung/ das
Ergebnis für das 8-Eck finden, sondern es sogar für jedes regelmäßige
Polygon mit gerader Eckenzahl "mit einem Blick" zeigen:
==================
Betrachte ein regelmäßiges (2*n)-Eck mit Ecke Q0 und Mittelpunkt P0.
Sei Q3 eine Nachbar-Ecke des Eckpunkts, der Q0 gegenüber liegt.
Dann gilt: Q0, P0, Q3 sind aufeinander folgende Ecken eines regelmäßigen
(2*n)-Ecks.
==================

Herzlich grüßend,
Rainer Rosenthal
***@web.de


(*) Die Aufgabe zur Fano-Ebene sah interessant aus, aber ich bin mit
meinem Doppelgitter "zugedröhnt" :-)
Blacky Cat
2025-03-27 06:35:11 UTC
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schau mal:

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Blacky Cat
2025-03-28 07:12:37 UTC
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Aus Bildern mach Worte...

Hallo Rainer,
jetzt weiß ich was Du zum Ausdruck bringen wolltest mit den Kneul hier.
Mein Interpretation geht dahin, das Du vorzeigen wolltest, das man sich
auch mal dezent zurückhalten sollte, wenn man von einen Gebiet, wie bei
Dir die Geometrie nicht auskennt.
Deshalb hast Du sicherlich den weisen Kreis eingezeichnet und dann auch
noch das kleine Quadrat, welches immer im Mittelpunkt liegt oder zumin-
dest sich konsturhieren läßt...
Und dann noch die gleichen Werte; was für mich dahingehend bedeutet, da
immer die gleichen Laiern kommen.
Das ganze trifft dann auf die Personen Feldhase und WM zu. Feldhase der
immer im Gokkel-Stil die Texte kopiert und daher schreibt - und WM, dem
seine Kompetenzen ausgehen - zumindest die Ansicht von Feldhase und Co.

Fazit:
- Legt Dich nicht mit Profis an...
- ich kann nur immer sagen bzw. schreiben: "Jeder auf seinen Gebiet !".
- und: auch mal zwischen den Zeilen lesen.

Ich bin natürlich mit meinen ersten Kneul-Post als Foolpfosten wieder
mal reingefallen.
Okay. Punkt bzw. der Wille hat gezählt - ich darf jetzt wieder abtreten.

Einen wunderschönen Morgen aber trotzdem
Blacky
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Rainer Rosenthal
2025-03-28 10:23:54 UTC
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Post by Blacky Cat
- und: auch mal zwischen den Zeilen lesen.
Guter Tipp, danke. Das habe ich auch alles verstanden. Nur was auf den
Zeilen stand, war wieder mal schwer zu verstehen.
Post by Blacky Cat
Ich bin natürlich mit meinen ersten Kneul-Post als Foolpfosten wieder
mal reingefallen.
Okay. Punkt bzw. der Wille hat gezählt - ich darf jetzt wieder abtreten.
Nö, es freut mich doch, wenn das Bild zum Nachdenken anregt.
Ich habe mich zwar gewundert, was Du darin alles messen und ausrechnen
wolltest, aber warum nicht, wenn's Spaß macht.

Falls Du meinen Beitrag noch einmal liest, eventuell zusammen mit dem
anderen neuen Beitrag "Peripheriewinkelsatz und (2n)-Eck", dann freust
Du Dich bestimmt, dass der Knickwinkel beim Mittelpunkt P0 gleich groß
ist wie der Knickwinkel außen zwischen den Seiten des 8-Ecks.
Reicht der Wille dazu noch aus?

Gruß,
Rainer
Blacky Cat
2025-03-28 12:46:50 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Guter Tipp, danke. Das habe ich auch alles verstanden. Nur was auf den
Zeilen stand, war wieder mal schwer zu verstehen.
naja... haste dodhc mitbekommen wie WM oder Gokkel Feldhase aka Moebius
sich in die Augen kratzen... wegen Kompetenz und so.

Was mich dann doch stutzig macht, das Feldhase und WM ein und die selbe
Personen sind.

Anders kann ich mir die Artikel nicht erklären...

Blacky
--
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