Homogene Funktionen => Polynome?

[Martin Lehl]

Hallo,

Polynome sind Standardbeispiele für homogene Funktionen. Gibt es
homogene Funktionen (einer Variablen), die keine Polynome sind bzw. sich
aus solchen zusammensetzen. Weiß jemand, welche Literatur es dazu gibt?

MfG
Martin Lehl

[Christopher Creutzig]

Post by Martin Lehl
Polynome sind Standardbeispiele für homogene Funktionen. Gibt es
homogene Funktionen (einer Variablen), die keine Polynome sind bzw. sich
aus solchen zusammensetzen. Weiß jemand, welche Literatur es dazu gibt?

Laut mathworld.com sind die elliptischen Funktionen homogen.
Mittelwerte und “triangle center functions” auch, aber Du wolltest ja
nur eine Variable.

[Peter Niessen]

Post by Christopher Creutzig

Post by Martin Lehl
Polynome sind Standardbeispiele für homogene Funktionen. Gibt es
homogene Funktionen (einer Variablen), die keine Polynome sind bzw. sich
aus solchen zusammensetzen. Weiß jemand, welche Literatur es dazu gibt?

Laut mathworld.com sind die elliptischen Funktionen homogen.
Mittelwerte und “triangle center functions” auch, aber Du wolltest ja
nur eine Variable.

Wieso werden Polynome mit dem Begriff "Homogen" belegt?
Bislang waren es für mich ganz schlicht recht simple und gutmütige
Funktionen. (falls man vom numerischen mal absieht)

[Christopher Creutzig]

Post by Peter Niessen
Wieso werden Polynome mit dem Begriff "Homogen" belegt?

Nicht alle Polynome sind homogen, aber homogene Polynome (also
Polynome, bei denen jedes Monom den gleichen Gesamtgrad hat) sind auch
als Funktionen betrachtet homogen. Homogene Polynome sind bspw. im
Bereich der Gröbnerbasen nicht uninteressant. Eine Zeitlang haben ein
paar Leute Varianten des Buchberger-Algorithmus sogar dadurch
beschleunigt, dass sie eine neue Variable eingeführt haben, um die
Polynome homogen zu machen. Ich habe die Details nicht aufmerksam
verfolgt, aber inzwischen ist die Forschung wohl witer.

Post by Peter Niessen
Bislang waren es für mich ganz schlicht recht simple und gutmütige
Funktionen. (falls man vom numerischen mal absieht)

Man kann Polynome als Funktionen verwenden, aber es sind keine. Bspw.
über F2, dem Körper mit zwei Elementen, sind die Polynome x und x^2, als
Funktion betrachtet, identisch, aber sie sind trotzdem verschiedene
Polynome.

[roland franzius]

Post by Martin Lehl
Hallo,
Polynome sind Standardbeispiele für homogene Funktionen. Gibt es
homogene Funktionen (einer Variablen), die keine Polynome sind bzw. sich
aus solchen zusammensetzen. Weiß jemand, welche Literatur es dazu gibt?

Eine Polynom ist homogen von Grad n, wenn

P(a x,a y,.. ) = a^n P(x,y,...).

Es handelt sich also im wesentlichen um Vektorräume aufgespannt von den
Monomen mit Gesamtgrad n unter der homogenen Dilatationsgruppe x-> ax,
für die sie ebenso wie für die Drehgruppe endlichdimensionale
Darstellungsräume generieren.

Verallgemeinerungen sind Summen von Produkten von reellen Potenzen,
rationale Funktionen darüber mit konstanten Gesamtpotenzen in Nenner und
Zähler, Summen und Grenzwerte, Integrale, Differentiale davon bei
konstantem Homogenitätsgrad (s. zB Gaußsche Integrale, Eulerformel).

In der Physik, in der die Variablen und die Funktionen immer
meßtechnische Skalierungsfaktoren tragen, muss jede nicht rein
numerische Gesetzmäßigkeit homogen sein und der Homogenitätsgrad legt
die zugrundliegende Tensorraumstruktur der Variablen typischerweise über
dem Tangentialraum offen. Der Homogenitätsvektor wird im Quotienten der
Einheiten jeder homogenen Gesetzmäßigkeit in den Potenzen der vier
irreduziblen Maßeinheiten für Länge, Zeit, Masse und Ladung codiert.

[Jan Fricke]

Post by Martin Lehl
Hallo,
Polynome sind Standardbeispiele für homogene Funktionen. Gibt es
homogene Funktionen (einer Variablen), die keine Polynome sind bzw. sich
aus solchen zusammensetzen. Weiß jemand, welche Literatur es dazu gibt?

Es gibt eine einfache Abbildung zwischen den Funktionen in n Variablen
und den k-homogenen Funktionen in (n+1) Variablen, die auch oft
"Homogenisierung" genannt wird:

F(t, x_1, ..., x_n) = t^k * f(x_1/t, ..., x_n/t).

(Für t=0 können Singularitäten entstehen.) Wenn man also ein homogenes
Nicht-Polynom haben will, fängt man einfach mit irgendeiner Funktion an
und homogenisiert sie.
Bei homogenen Polynomen in einer Variablen bleiben tatsächlich nur die
Potenzfunktionen übrig, da die konstanten Funktionen die einzigen
Funktionen mit 0 Argumenten sind.


Viele Grüße Jan

[Martin Lehl]

Post by Jan Fricke
Bei homogenen Polynomen in einer Variablen bleiben tatsächlich nur die
Potenzfunktionen übrig, da die konstanten Funktionen die einzigen
Funktionen mit 0 Argumenten sind.

gut, das klingt nicht schlecht, gibt es dafür etwas "handfesteres" in
der literatur dazu? - wie verhält es sich mit den elliptischen funktionen?

mfg martin

[Jan Fricke]

Post by Martin Lehl

Post by Jan Fricke
Bei homogenen Polynomen in einer Variablen bleiben tatsächlich nur die
Potenzfunktionen übrig, da die konstanten Funktionen die einzigen
Funktionen mit 0 Argumenten sind.

gut, das klingt nicht schlecht, gibt es dafür etwas "handfesteres" in
der literatur dazu? - wie verhält es sich mit den elliptischen funktionen?

Im Prinzip ist die Theorie der projektiven Räume die Theorie der
homogenen Funktionen.
Die Weierstraß-Funktion p(z) ist nicht homogen. Erst wenn man die beiden
Parameter w_1 und w_2 dazu nimmt, dann ist sie homogen vom Grad -2:
p(a*z; a*w_1, a*w_2) = a^(-2) * p(z; w_1, w_2).


Viele Grüße Jan