Zykloide

[Jutta Gut]

Hallo!

Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide und habe dazu noch ein
paar Fragen:

1. Gibt es dafür eigentlich praktische Anwendungen? (Außer dem
Zykloidenpendel von Huygens, das ja nicht so wirklich funktioniert.)

2. Ich habe zwei Stellen in der Literatur gefunden, wo die Zykloide erwähnt
wird: in "Moby Dick" und bei Eco, "Die Insel des vorigen Tages". Kennt
jemand vielleicht noch andere Stellen?

3. Für den Schwerpunkt des Flächenstücks unter einem Zykloidenbogen bekomme
ich heraus: y = 5/6*r. Kann das jemand nachrechnen?

Gegen ein paar schöne Links von Hermann habe ich natürlich auch nichts, aber
die bekannten Seiten (Mathworld, MacTutor und XahLee) habe ich schon selbst
geplündert :-)

Vielen Dank im voraus
Jutta

[Peter Niessen]

Post by Jutta Gut
Hallo!
Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide und habe dazu noch ein
1. Gibt es dafür eigentlich praktische Anwendungen? (Außer dem
Zykloidenpendel von Huygens, das ja nicht so wirklich funktioniert.)

In der Mechanik (Kinematik) stolperst Du auf auf Schritt und Tritt über
Zykloiden in allen Varianten.
Insbesondere die Verzahnungstechnik ist ein Kandidat erster Wahl. Zum
Beispiel ist eine Zykloidenverzahnung (Abrollkurven) theoretisch besser
als Evolventenverzahnung, sie ist allerdings technisch schwieriger zu
fertigen und ich weiss nur von hochwertigen Uhrwerken wo das gemacht
wird.

Mit freundlichen Grüßen:
Peter Nießen

[Thilo K.]

"Jutta Gut" <***@chello.at> schrieb > 1. Gibt es dafür
eigentlich praktische Anwendungen? (Außer dem

Post by Jutta Gut
Zykloidenpendel von Huygens, das ja nicht so wirklich funktioniert.)

Ja, Stichwort "Brachistochrone". Ein Masseteilchen soll von P1 nach P2 im
Schwerefeld. Die Brachistochrone ist die Bahn mit der kürzesten Laufzeit.

HTH
Thilo

[Wolfgang Kirschenhofer]

Post by Jutta Gut
Hallo!
Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide und habe dazu noch ein
1. Gibt es dafür eigentlich praktische Anwendungen? (Außer dem
Zykloidenpendel von Huygens, das ja nicht so wirklich funktioniert.)
2. Ich habe zwei Stellen in der Literatur gefunden, wo die Zykloide erwähnt
wird: in "Moby Dick" und bei Eco, "Die Insel des vorigen Tages". Kennt
jemand vielleicht noch andere Stellen?
3. Für den Schwerpunkt des Flächenstücks unter einem Zykloidenbogen bekomme
ich heraus: y = 5/6*r. Kann das jemand nachrechnen?
Gegen ein paar schöne Links von Hermann habe ich natürlich auch nichts, aber
die bekannten Seiten (Mathworld, MacTutor und XahLee) habe ich schon selbst
geplündert :-)
Vielen Dank im voraus
Jutta

Hallo Jutta !

Ad 1.)
Zunächst eine historische Bemerkung aus W.Greiner:Theoretische
Physik,Mechanik I:
Im Jahre 1839 wurde von dem österreichischen Ingenieur Stampfer für
den Rathausturm in Lemberg eine Uhr konstruiert, die von einem
Zykloidenpendel gesteuert wurde.
Greiner schreibt:
"Diese Uhr zeichnete sich bis zu ihrer Zerstörung durch Blitzschlag
durch eine sehr große Genauigkeit aus."
Sie hat offenbar sehr gut funktioniert.

Zum Brachystochronen-Problem kann ich Dir eine interessante 14-seitige
Arbeit von Ulrich Langenfeld via E-Mail schicken. Ein Abschnitt
betitelt sich "Relevanz für den Unterricht".

Die Bewegung eines Protons in zwei gekreuzten elektrischen und
magnetischen Feldern erfolgt auf einer Zykloiden-Bahn.

Erfolgt die dynamische Entwicklung des ganzen Kosmos nach dem
homogen-isotropen Modell (materiedominiertes Friedman-Modell) mit der
Krümmungskonstanten k=+1, dann erfolgt die Zeitentwicklung der
sogenannten S-Funktion, welche ein Maß für die Ausdehnung des Kosmos
ist, in Form einer Zykloide. S=0 für t=0 ("big bang") bis zum
Endzustand wieder mit S=0 nach einer Zeit t ("big crunch").

ad 3.):Für die y-Koordinate des Schwerpunktes erhalte ich auch den
Wert 5*r/6 (für die gemeine Zykloide mit a=r ).

Grüße,
Wolfgang

[Hendrik van Hees]

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Zum Brachystochronen-Problem kann ich Dir eine interessante 14-seitige
Arbeit von Ulrich Langenfeld via E-Mail schicken. Ein Abschnitt
betitelt sich "Relevanz für den Unterricht".

Hier gibt's auch was dazu:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mech/node37.html
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mech/node38.html

[Jutta Gut]

Hallo Hendrik!

Post by Hendrik van Hees
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mech/node37.html
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mech/node38.html

Das werde ich mir anschauen.
Danke an alle, die geantwortet haben!

Liebe Grüße
Jutta

[Jutta Gut]

Hallo Wolfgang!

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Im Jahre 1839 wurde von dem österreichischen Ingenieur Stampfer für
den Rathausturm in Lemberg eine Uhr konstruiert, die von einem
Zykloidenpendel gesteuert wurde.
"Diese Uhr zeichnete sich bis zu ihrer Zerstörung durch Blitzschlag
durch eine sehr große Genauigkeit aus."
Sie hat offenbar sehr gut funktioniert.

Aha, das ist mir neu. In "Famous Curve Index" steht nur, dass es praktische
Probleme gegeben hat.

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Die Bewegung eines Protons in zwei gekreuzten elektrischen und
magnetischen Feldern erfolgt auf einer Zykloiden-Bahn.
Erfolgt die dynamische Entwicklung des ganzen Kosmos nach dem
homogen-isotropen Modell (materiedominiertes Friedman-Modell) mit der
Krümmungskonstanten k=+1, dann erfolgt die Zeitentwicklung der
sogenannten S-Funktion, welche ein Maß für die Ausdehnung des Kosmos
ist, in Form einer Zykloide. S=0 für t=0 ("big bang") bis zum
Endzustand wieder mit S=0 nach einer Zeit t ("big crunch").

Das ist sehr interessant!

Post by Wolfgang Kirschenhofer
ad 3.):Für die y-Koordinate des Schwerpunktes erhalte ich auch den
Wert 5*r/6 (für die gemeine Zykloide mit a=r ).

Danke für deine Bemühungen!
Jutta

[Hermann Kremer]

Jutta Gut schrieb in Nachricht ...

Post by Jutta Gut
Hallo!
Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide und habe dazu noch ein
1. Gibt es dafür eigentlich praktische Anwendungen? (Außer dem
Zykloidenpendel von Huygens, das ja nicht so wirklich funktioniert.)

http://www.database.com/~lemur/dmh-airy-1826.html

Hmm, es gibt so was bei Zahnrad-Zähnen ...
http://www.schmuckunduhren.de/technik/zykloide.shtml
http://www.hako-didactic.de/deutsch/produkte/prod07/produkte_07_03.html
http://watchmaking.csparks.com/CycloidalGears/

Historisch waren natürlich die Epizykeln von Hipparchos und Ptolemaios
eminent wichtig für die rechnenden Astronomen ... aber Infos dazu
hast Di sicherlich zur Genüge ...

Und hier noch einige historische Zykloiden-Machinchen:
http://193.136.215.76/museu/53ing.HTM
http://193.136.215.76/museu/54ing.HTM
aus dem Physikalischen Museum der Universidade de Coimbra / Portugal:
http://193.136.215.76/museu/listaing.htm
http://www.uc.pt/ihti/

Post by Jutta Gut
2. Ich habe zwei Stellen in der Literatur gefunden, wo die Zykloide erwähnt
wird: in "Moby Dick" und bei Eco, "Die Insel des vorigen Tages". Kennt
jemand vielleicht noch andere Stellen?

Hmm, eine Volltextsuche in http://gutenberg.spiegel.de/ lieferte nichts ...
Für das internationale Project Gutenberg http://www.gutenberg.net/index.shtml
habe ich es nicht gemacht ... ich bin auch nicht sicher, ob Volltextsuche da
überhaupt geht ...

Post by Jutta Gut
3. Für den Schwerpunkt des Flächenstücks unter einem Zykloidenbogen bekomme
ich heraus: y = 5/6*r. Kann das jemand nachrechnen?
Gegen ein paar schöne Links von Hermann habe ich natürlich auch nichts, aber
die bekannten Seiten (Mathworld, MacTutor und XahLee) habe ich schon selbst
geplündert :-)

HTH
Grüße
Hermann
--

Post by Jutta Gut
Vielen Dank im voraus
Jutta

[Jutta Gut]

Hallo Hermann!

Post by Hermann Kremer
Hmm, es gibt so was bei Zahnrad-Zähnen ...
http://www.schmuckunduhren.de/technik/zykloide.shtml
http://www.hako-didactic.de/deutsch/produkte/prod07/produkte_07_03.html
http://watchmaking.csparks.com/CycloidalGears/

Das sieht sehr interessant aus. Ich verstehe die Sache mit den Teilkreisen
und Rollkreisen noch nicht ganz, aber ich werde mich dahinterklemmen :-)

Vielen Dank
Jutta

[Hermann Kremer]

Jutta Gut schrieb in Nachricht ...

Post by Jutta Gut

Post by Hermann Kremer
Hmm, es gibt so was bei Zahnrad-Zähnen ...
http://www.schmuckunduhren.de/technik/zykloide.shtml
http://www.hako-didactic.de/deutsch/produkte/prod07/produkte_07_03.html
http://watchmaking.csparks.com/CycloidalGears/

Das sieht sehr interessant aus. Ich verstehe die Sache mit den Teilkreisen
und Rollkreisen noch nicht ganz, aber ich werde mich dahinterklemmen :-)

Das kann uns Peter Niessen sicherlich ganz genau erklären ... Hallo Peter ...

Noch was bzgl. der Schreibweise der Brach?stochrone ... Wir hatten vor ca.
einem Jahr festgestellt, daß die korrekte Schreibweise "Brachistochrone"
mit "i" und nicht mit "y" ist:
------------------------------------------------------------------
Newsgroups: de.sci.mathematik
Subject: Re: Brachystochrone
Date: Thu, 5 Dec 2002 20:36:47 +0100
Message-ID: <news:aso9qq$kl6$***@news.online.de>
[ ... ]
... Johann Bernoulli ...
http://lautaro.fb10.tu-berlin.de/user/giani/diplom/evo.html
http://www.nas.com/~kunkel/brachistochrone/brachistochrone.htm
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/brachistochrone.html
[ ... ]

Post by Jutta Gut
PS ich hab in der Literatur eigentlich immer BrachYstochrone gefunden
Calculus, Königsberger, etc ...

OK, ich habe mal im etymologischen griechischen Wörterbuch
http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/resolveform
nachgesehen; wie schon Rainer gepostet hatte, gilt

brachys: short
brachistos: Komparativ ("shorter"), Superlativ ("shortest") von brachys,
irreguläre Bildung ...

Die einzigen gefundenen Wörter mit brachysto... sind
brachystomia: "smallness of mouth"
brachystomos: "with narrow mouth" ...

... und die passen ja wohl nicht zur Brachistochrone (aka. Tautochrone,
aka. Isochrone) ;-))

Siehe auch http://www.biblint.de/nachschlagewerke.html
[ ... ]
------------------------------------------------------------------

Grüße
Hermann
--

Post by Jutta Gut
Vielen Dank
Jutta

[Jutta Gut]

Hallo Hermann!

"Hermann Kremer" <***@online.de> > >Das sieht sehr interessant
aus. Ich verstehe die Sache mit den Teilkreisen

Post by Hermann Kremer

Post by Jutta Gut
und Rollkreisen noch nicht ganz, aber ich werde mich dahinterklemmen :-)

Das kann uns Peter Niessen sicherlich ganz genau erklären ... Hallo Peter ...

Nachdem ich gestern nicht einschlafen konnte und dauernd rollende Kreise und
Zahnräder vor mir gesehen habe, habe ichs jetzt, glaube ich, im Prinzip
verstanden :-)

Post by Hermann Kremer
Noch was bzgl. der Schreibweise der Brach?stochrone ... Wir hatten vor ca.
einem Jahr festgestellt, daß die korrekte Schreibweise "Brachistochrone"

Danke für den Hinweis, ich werds ausbessern.

Grüße
Jutta

[Hermann Kremer]

Jutta Gut schrieb in Nachricht ...
... Brachistochrone ... Johann Bernoulli ...
[ ... ]
http://lautaro.fb10.tu-berlin.de/user/giani/diplom/evo.html

Upps, zwei scheintote Links:
http://www.nas.com/~kunkel/brachistochrone/brachistochrone.htm
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/brachistochrone.html

... aber hier sind sie wieder zum Leben erweckt:
http://whistleralley.com/math.htm --> The Brachistochrone
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Brachistochrone.html
[ ... ]

Grüße
Hermann
--

[Jutta Gut]

Hallo Hermann!

Danke!

Post by Hermann Kremer
[ ... ]
http://lautaro.fb10.tu-berlin.de/user/giani/diplom/evo.html

Da steht aber auch "Brachystochrone" ;-)

Grüße
Jutta

[Peter Niessen]

Post by Jutta Gut
Hallo Hermann!

Post by Hermann Kremer
Hmm, es gibt so was bei Zahnrad-Zähnen ...
http://www.schmuckunduhren.de/technik/zykloide.shtml
http://www.hako-didactic.de/deutsch/produkte/prod07/produkte_07_03.html
http://watchmaking.csparks.com/CycloidalGears/

Das sieht sehr interessant aus. Ich verstehe die Sache mit den Teilkreisen
und Rollkreisen noch nicht ganz, aber ich werde mich dahinterklemmen :-)

Wenn Dir ein Mech-ingeneur den "Dubbel" leihen kann, da steht das alles!

Mit freundlichen Grüßen:
Peter Nießen

[Jutta Gut]

Hallo!

Post by Jutta Gut
Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide

Der Artikel ist fertig:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/zykl1.htm

Danke an alle, die mich mit Tipps versorgt haben.

Grüße
Jutta

[Rainer Rosenthal]

Jutta Gut

Post by Jutta Gut

Post by Jutta Gut
Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/zykl1.htm
Danke an alle, die mich mit Tipps versorgt haben.

Und jetzt der Dank eines Lesers, der sich für die hübsche
Lektüre mit einem rausgerupften Unkräutlein bedankt:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Im 96. Kapitel von "Moby Dick" beschreibt
die Kessel zum Trankochen:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ????

Jetzt kann ich mir also auch das Zykloidenpendel vorstellen.
Wie die das wohl in Österreich geschafft haben, den Einfluss
der störenden Reibung genügend klein zu halten?
Sehr hübsch auch die Überlegung zur Flächenberechnung
A = 3 Pi a^2, die ohne Integralrechnung von Roberval durch-
geführt wurde. So recht kapiert habe ich sie leider noch nicht.
Was nicht ist, kann ja noch werden. Da spielt doch sicher dies
Prinzip von Cavalieri rein, oder? Von mir aus dürfte diese
Passage noch etwas mehr für Dummies ausgewaltzt werden :-)

Auf jeden Fall eine feine Arbeit!

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Jutta Gut]

Hallo Rainer!

Post by Rainer Rosenthal
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Im 96. Kapitel von "Moby Dick" beschreibt
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ????

Du hast recht, da fehlt ein "er".

Post by Rainer Rosenthal
Sehr hübsch auch die Überlegung zur Flächenberechnung
A = 3 Pi a^2, die ohne Integralrechnung von Roberval durch-
geführt wurde. So recht kapiert habe ich sie leider noch nicht.
Was nicht ist, kann ja noch werden. Da spielt doch sicher dies
Prinzip von Cavalieri rein, oder? Von mir aus dürfte diese
Passage noch etwas mehr für Dummies ausgewaltzt werden :-)

Ich habs auch nicht auf Anhieb kapiert, aber man kann sich die Idee ungefähr
so vorstellen:
Wenn das Rad sich auf der Stelle drehte, beschriebe der Punkt P einen Kreis
(schöne Konjunktivkonstruktion, oder?). Jetzt musst du aber auch die
horizontale Bewegung berücksichtigen. Also der Punkt Q, die Projektion von P
auf den senkrechten Durchmesser, wandert nach oben und wird gleichzeitig
nach rechts verschoben. Zuerst habe ich gedacht, dass er eine Gerade
beschreibt, aber dann ist mir klargeworden, dass die Bewegung nach oben
nicht immer dieselbe Geschwindigkeit hat. In Wirklichkeit entsteht die Kurve
y = a(1 - cos(x)). Die Fläche unter dieser Kurve bis zum höchsten Punkt ist
a^2*pi.

Jetzt denk dir den Halbkreis in ganz schmale, horizontale Streifen
(Indivisibeln) zerlegt und schiebe diese streifen nach rechts, bis sie an
die Cosinuskurve anschließen. Dann hast du die Gesamtfläche unter der
Zykloide.

Vielleicht führe ich das ja noch etwas genauer aus.

Liebe Grüße
Jutta

[Rainer Rosenthal]

Post by Jutta Gut
(schöne Konjunktivkonstruktion, oder?)

Uff, *bewunder*!

Post by Jutta Gut
... in ganz schmale, horizontale Streifen (Indivisibeln)
zerlegt und schiebe diese streifen nach rechts, bis

Das meinte ich mit dem Stichwort "Cavalieri". Ich entsinne
mich dieses Namens (schöne Genitivkontruktion, gelle?).

Post by Jutta Gut
Vielleicht führe ich das ja noch etwas genauer aus.

Ja, das wäre lieb. Besonders, wenn Herr Cavalieri wirklich
was dazu zu sagen hätte.

Es grüsst
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Hermann Kremer]

Rainer Rosenthal schrieb in Nachricht ...

Post by Thilo K.
Jutta Gut

Post by Jutta Gut

Post by Jutta Gut
Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/zykl1.htm
Danke an alle, die mich mit Tipps versorgt haben.

[ ... ]

Post by Thilo K.
Sehr hübsch auch die Überlegung zur Flächenberechnung
A = 3 Pi a^2, die ohne Integralrechnung von Roberval durch-
geführt wurde. So recht kapiert habe ich sie leider noch nicht.

In
Loading Image...
ist ein kleines, möglicherweise von Monsieur Gilles Personne de
Roberval (1602-1675) eigenhändig gezeichnetes Bildchen dazu ... leider
nur ein kleines Häppchen.
Er betrachtet eine "Trochoide" [Gr. Trochos - Rad, trochoidos - radähnlich],
also eine verkürzte (oder verlängerte) Zykloide [gr. Kyklos - Kreis].

Die "Divers Ouvrages de M. de Roberval" von 1693 gibt es von
http://gallica.bnf.fr/ ... ich habe aber noch näher darin recherchiert.

Post by Thilo K.
Was nicht ist, kann ja noch werden. Da spielt doch sicher dies
Prinzip von Cavalieri rein, oder? Von mir aus dürfte diese
Passage noch etwas mehr für Dummies ausgewaltzt werden :-)
Auf jeden Fall eine feine Arbeit!

Yep, d'accord

Grüße
Hermann
--

Post by Thilo K.
Gruss,
Rainer Rosenthal

[Jutta Gut]

Hallo Rainer und Hermann!

Post by Hermann Kremer
In
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Bookpages/Roberval7.gif
ist ein kleines, möglicherweise von Monsieur Gilles Personne de
Roberval (1602-1675) eigenhändig gezeichnetes Bildchen dazu ... leider
nur ein kleines Häppchen.
Er betrachtet eine "Trochoide" [Gr. Trochos - Rad, trochoidos - radähnlich],
also eine verkürzte (oder verlängerte) Zykloide [gr. Kyklos - Kreis].

Das Bild scheint mir die Konstruktion einer "normalen" Zykloide zu sein, die
man damals wohl auch als Trochoide oder Roulette bezeichnet hat.

Ich glaube, ich muss die verlängerten und verkürzten Zykloiden auch noch
erwähnen. Bis jetzt hat mir nur der deutsche Fachausdruck dafür gefehlt.
(Trochoide ist jedenfalls der Oberbegriff.)

Grüße
Jutta

[Steffen Buehler]

Post by Jutta Gut
Ich glaube, ich muss die verlängerten und verkürzten Zykloiden auch
noch erwähnen. Bis jetzt hat mir nur der deutsche Fachausdruck dafür
gefehlt. (Trochoide ist jedenfalls der Oberbegriff.)

Du erwähnst die Trochoiden schon im Abschnitt "Spirograph" (der übrigens auf Englisch genauso heißt, und nicht "Etch-A-Sketch" - das
ist nämlich der "Zauberzeichner" mit den zwei Rädchen für horizontale und vertikale Stiftbewegung). Der originale Spirograph macht
meines Wissens allerdings nur Hypotrochoiden; an ein Zahnrad, das _auf_ einem anderen abrollt, kann
ich mich nicht erinnern.

Viele Grüße
Steffen, wehmütig an seine ersten Hypotrochoiden-Programmierversuche denkend

[Jutta Gut]

Hallo Steffen!

Post by Steffen Buehler
Der originale Spirograph macht
meines Wissens allerdings nur Hypotrochoiden; an ein Zahnrad, das _auf_

einem anderen abrollt, kann

Post by Steffen Buehler
ich mich nicht erinnern.

Doch, ich hatte so ein Gerät. Die großen Zahnräder (es gab zwei in
verschiedenen Größen) waren Kreisringe, mit Zähnen innen und außen. Ich habe
aber die äußeren Zähne fast nie bemutzt.

Grüße
Jutta

[Hermann Kremer]

Jutta Gut schrieb in Nachricht ...

Hallo Jutta,

Post by Jutta Gut

Post by Jutta Gut
Ich schreibe gerade einen Artikel über die Zykloide

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/zykl1.htm
Danke an alle, die mich mit Tipps versorgt haben.

Schön ... werde ich nachher ganz genüßlich lesen ...

An den Trankessel des Kapitän Ahab erinnere ich mich nicht mehr :-),
wohl aber an den Caspar Wanderdrossel bei Umberto Eco. Beim Lesen
hatte ich spontan an Athanasius Kircher (1602-1680) und sein "Organum
mathematicum" als Vorlage gedacht:

http://www.stefan-etzel.de/HOME/bios/kircher.htm
http://www.bahnhof.se/~rendel/kirlinx.html
http://makeashorterlink.com/?D15B62C47
http://www.stanford.edu/group/shl/Eyes/machines/index.htm
http://www-sul.stanford.edu/depts/hasrg/hdis/kircher.html
http://w1.131.telia.com/~u13101111/kircher/index.html
http://www.precinemahistory.net/1650.htm

es soll sich aber um Kaspar Schott (1608-1666) gehandelt haben,
einen Studenten und späteren Mitarbeiter von A. Kircher:

http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/History/texte/schott.html
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/History/schott.html
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~vollrath/organum/schott.html
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/History/rechner/schott/biogra~l.html
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/History/rechner/schott/geschich.html
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/History/rechner/schott/hello.html
http://wwwmath.uni-muenster.de/math/info/Scripten/geschichte/doc/kap6.doc

Viele Grüße
Hermann
--

Post by Jutta Gut
Grüße
Jutta