Harmonische Reihe, und Abwandlungen ...

[Walter H.]

Hallo,

von der harmonischen Reihe - die Summe aller Stammbrüche - ist
unweigerlich bekannt, dass diese divergiert;

wenn ich jetzt nach einem Muster die Vorzeichen ändere ...
z.B. die mit geraden Zahlen im Nenner mit -
und die mit ungeraden Zahlen im Nenner mit +
und siehe da die alternierdende harmonisch Reihe ist konvergent,
wurde vor langer Zeit bereits bewiesen
https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a1/0607/vorl07_ana.pdf

jetzt der AHA effekt

(die Summe aller natürlichen Zahlen hat einen Wert: -1/12,
aus was fehlerhaften kann man alles folgern, 1-1+1-1+1-1... ist divergent)

Walter

[WM]

Post by Walter H.
von der harmonischen Reihe - die Summe aller Stammbrüche - ist
unweigerlich bekannt, dass diese divergiert;

Die Divergenz ist sehr schwach. Wenn man alle Terme, die eine 9
enthalten, streicht, konvergiert der Rest gegen ungefähr 23.
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02.PPT

Post by Walter H.
wenn ich jetzt nach einem Muster die Vorzeichen ändere ...
z.B. die mit geraden Zahlen im Nenner mit -
und die mit ungeraden Zahlen im Nenner mit +
und siehe da die alternierdende harmonisch Reihe ist konvergent,
wurde vor langer Zeit bereits bewiesen
https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a1/0607/vorl07_ana.pdf
jetzt der AHA effekt
http://youtu.be/w-I6XTVZXww
(die Summe aller natürlichen Zahlen hat einen Wert: -1/12,

Das ist falsch, denn die Summe der ersten n Zahlen ist positiv, und es
besteht keine Möglichkeit des Abnehmens. Dieser Unsinn wird oft Euler
zugeschrieben, wobei ich aber nicht sicher bin, dass der ihn wirklich
verzapft hat. Der Fehler wird hier erklärt:
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02.PPT, Folie 29

Jedenfalls ist klar, dass die Stringtheorie, die ihn anwendet,
ausgemachter Unsinn ist.

Gruß, WM

[Walter H.]

Post by WM

Post by Walter H.
von der harmonischen Reihe - die Summe aller Stammbrüche - ist
unweigerlich bekannt, dass diese divergiert;

Die Divergenz ist sehr schwach. Wenn man alle Terme, die eine 9
enthalten, streicht, konvergiert der Rest gegen ungefähr 23.
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02.PPT

dann teilen wir mal die natürlichen Zahlen etwas auf

IN ... das sind alle natürlichen Zahlen (ohne der Zahl 0 versteht sich)
IN_<k> ... sind genau die natürlichen Zahlen, welche alle die Ziffer k
enthalten, mit k von 1 bis 9
IN_<0> ... das sind die natürlichen Zahlen, welche eine 0 enthalten

IN_x ... ist einfach die Schnittmenge aller Mengen darüber

f. die ersten n natürlichen Zahlen kleiner als 110

IN_<1> = { 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51,
61, 71, 81, 91, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, ... }
IN_<2> = { 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52,
62, 72, 82, 92, 102, ... }
IN_<3> = { 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53,
63, 73, 83, 93, 103, ... }
IN_<4> = { 4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 54,
64, 74, 84, 94, 104, ... }
IN_<5> = { 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59,
65, 75, 85, 95, 105, ... }
IN_<6> = { 6, 16, 26, 36, 46, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68,
69, 76, 86, 96, 106, ... }
IN_<7> = { 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77,
78, 79, 87, 97, 107, ... }
IN_<8> = { 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86,
87, 88, 89, 98, 108, ... }
IN_<9> = { 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96,
97, 98, 99, 109, ... }

IN_<0> = { 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 101, 102, 103, 104,
105, 106, 107, 108, 109, ... }

das "wenn man alle Terme, die eine 9 enthalten streicht, konvergiert der
Rest ..."

heißt nichts anderes, dass die Summe aller Stammbrüche aus IN \ IN_<9>
konvergiert, demnach konvergiert jeweils auch die Summe aller
Stammbrüche aus
A_<k> = IN \ IN_<k> mit k aus {0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
was aber aus folgendem
sind 2 Reihen konvergiert, ist auch deren Summe konvergent,
ein kompletter Quatsch ist,
weil die Vereinigung aller dieser Mengen A_<k> ergibt die gesamten
natürlichen Zahlen aus IN und das divergiert;

alleine schon folgende Überlegung zeigt, dass

Post by WM
Die Divergenz ist sehr schwach. Wenn man alle Terme, die eine 9
enthalten, streicht, konvergiert der Rest gegen ungefähr 23.
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02.PPT

ein Quatsch ist:

es ist bekannt, dass die Summe aller Stammbrüche der Primzahlen
divergent ist;

die einzelnden Teilmengen sind nicht paarweise disjunkt, aber wie sieht
die Menge IN_x wirklich aus, ist diese leer, oder hat diese doch Elemente?
nur bei dieser Menge kann man - wenn überhaupt - eine Konvergenz
feststellen;

man überlegt sich einfach mal folgendes:

welchen Anteil aller natürlichen Zahlen enthalten eine bestimmte Ziffer?
ich würde hier einfach mal ins blaue rund 1/10 schätzen;

das mit der 0 muss man hier etwas spezieller betrachten, denn
nimmt man z.B. nur die 3ziffrigen natürlichen Zahlen,
sind das die Zahlen von 100 bis 999, dann hat man zwar die natürlichen
Zahlen, welche jeweils mit einer Ziffer 1 bis 9 beginnen, aber keine die
mit 0 beginnt ...

[Ralf Bader]

Post by Walter H.
alleine schon folgende Überlegung zeigt, dass

Post by WM
Die Divergenz ist sehr schwach. Wenn man alle Terme, die eine 9
enthalten, streicht, konvergiert der Rest gegen ungefähr 23.
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02.PPT

es ist bekannt, dass die Summe aller Stammbrüche der Primzahlen
divergent ist;
die einzelnden Teilmengen sind nicht paarweise disjunkt, aber wie sieht
die Menge IN_x wirklich aus, ist diese leer, oder hat diese doch Elemente?
nur bei dieser Menge kann man - wenn überhaupt - eine Konvergenz
feststellen;
welchen Anteil aller natürlichen Zahlen enthalten eine bestimmte Ziffer?
ich würde hier einfach mal ins blaue rund 1/10 schätzen;

Es gibt 8*9^k (k+1)-stellige Zahlen (8 Möglichkeiten für die erste
Ziffer, die weder 9 noch 0 sein darf, 9 Möglichkeiten für jede
folgende). Entsprechend gibt es insgesamt 9*10^k (k+1)-stellige Zahlen,
und für hinlänglich großes k ist das Verhältnis dieser Anzahlen beliebig
nahe bei 0. Die kleinste (k+1)-stellige Zahl, also die mit dem größten
Kehrwert, ist 10^k. Und es ist 8*9^k*10^(-k) = 8*(9/10)^k eine
konvergente geometrische Reihe in k.

Post by Walter H.
das mit der 0 muss man hier etwas spezieller betrachten, denn
nimmt man z.B. nur die 3ziffrigen natürlichen Zahlen,
sind das die Zahlen von 100 bis 999, dann hat man zwar die natürlichen
Zahlen, welche jeweils mit einer Ziffer 1 bis 9 beginnen, aber keine die
mit 0 beginnt ...

[Martin Vaeth]

Post by Ralf Bader
Es gibt 8*9^k (k+1)-stellige Zahlen (8 Möglichkeiten für die erste
Ziffer, die weder 9 noch 0 sein darf, 9 Möglichkeiten für jede
folgende). Entsprechend gibt es insgesamt 9*10^k (k+1)-stellige Zahlen,
und für hinlänglich großes k ist das Verhältnis dieser Anzahlen beliebig
nahe bei 0.

Danke für den schönen Beweis (dessen Hauptargument ich abgeschnitten
habe, weil es mir im Folgenden nicht darum geht).

Mir geht es um Deinen letzten Nebensatz oben, aus dem sich eine
interessante Knobelaufgabe ergibt, nämlich die Frage, ob die
Beobachtung dieses Nebensatzes schon für einen Beweis ausreichen würde.

Genauer:

Gegeben sei eine unendliche Teilmenge M natürlicher Zahlen mit der
Eigenschaft, dass für die Anzahl m_k bzw. n_k der (k+1)-stelligen
Zahlen von M bzw. \N gilt: m_k/n_k -> 0 für k -> unendlich.
(Wie Du oben erwähnt hast, ist n_k = 9 * 10^k.)

Knobelaufgabe: Folgt hieraus die Konvergenz der Reihe der Kehrwerteder
Elemente aus M?

Spoiler
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Die Idee eines Gegenbeispiel geht so:
M bestehe für jedes k aus den ersten
m_k = 10^k/k (k+1)-stelligen Zahlen
(beispielsweise aufgerundet), also insbesondere
m_k / n_k ~ 1/k -> 0.

Dann ist jede der (k+1)-stelligen Zahlen aus M höchstens
10^k + m_k, die Summe ihrer Kehrwerte also mindestens
m_k / (10^k + m_k) ~ 10^k / (k * 10^k(1 + 1/k)) >= 1 / k.

Für einen präzisen Beweis muss man nun zeigen, dass
man jeweils ~ durch eine enstprechende Abschätzung mit
maximal einem konstanten Faktor als Fehler ersetzen darf.

[Walter H.]

Post by Ralf Bader

Post by Walter H.
alleine schon folgende Überlegung zeigt, dass
 > Die Divergenz ist sehr schwach. Wenn man alle Terme, die eine 9
 > enthalten, streicht, konvergiert der Rest gegen ungefähr 23.
 > https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02.PPT
es ist bekannt, dass die Summe aller Stammbrüche der Primzahlen
divergent ist;
die einzelnden Teilmengen sind nicht paarweise disjunkt, aber wie sieht
die Menge IN_x wirklich aus, ist diese leer, oder hat diese doch Elemente?
nur bei dieser Menge kann man - wenn überhaupt - eine Konvergenz
feststellen;
welchen Anteil aller natürlichen Zahlen enthalten eine bestimmte Ziffer?
ich würde hier einfach mal ins blaue rund 1/10 schätzen;

Es gibt 8*9^k (k+1)-stellige Zahlen (8 Möglichkeiten für die erste
Ziffer, die weder 9 noch 0 sein darf, 9 Möglichkeiten für jede
folgende).

das ist allgemein so, gilt auch f. die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 od. 8
d.h. man hat jeweils 8*9^k (k+1)-stellige Zahlen, quasi die Mengen IN_<k>

Post by Ralf Bader
Entsprechend gibt es insgesamt 9*10^k (k+1)-stellige Zahlen,
und für hinlänglich großes k ist das Verhältnis dieser Anzahlen beliebig
nahe bei 0.

stimmt; die Folge der Stammbrüche ergibt auch eine Nullfolge beliebig
nahe bei 0

Post by Ralf Bader
Die kleinste (k+1)-stellige Zahl, also die mit dem größten
Kehrwert, ist 10^k. Und es ist 8*9^k*10^(-k) = 8*(9/10)^k eine
konvergente geometrische Reihe in k.

du willst mir jeweils die Folge aller natürlichen Zahlen welche die
Ziffer k, mit k aus {1,2,3,4,5,6,7,8,9} enthalten als geometrische Folge
verkaufen?
würden die Summe aller Stammbrüche aus den Mengen IN_<k> tatsächlich
konvergieren
dann konvergiert auch die Summe aller Stammbrüche aus der Vereinigung
aller Mengen IN_<k> mit k aus {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

dann nehmen wir jetzt folgende Menge
X = IN \ ( IN_<1> u IN_<2> u IN_<3> u IN_<4> u IN_<5> u IN_<6> u IN_<7>
u IN_<8> u IN_<9> ) also alle natürlichen Zahlen ohne der Zahlen, welche
irgendwo eine 1 haben, ohne der Zahlen die irgendwo eine 2 haben, ohne
der Zahlen die irgendwo eine 3 haben, ... und auch ohne der Zahlen die
irgendwo eine 9 haben;

die Summe aller Stammbrüche aus X wär jetzt divergent, sehr komisch,
meinst nicht?

die harmonische Reihe ist divergent.

[Martin Vaeth]

Post by Walter H.

Post by Ralf Bader
Die kleinste (k+1)-stellige Zahl, also die mit dem größten
Kehrwert, ist 10^k. Und es ist 8*9^k*10^(-k) = 8*(9/10)^k eine
konvergente geometrische Reihe in k.

du willst mir jeweils die Folge aller natürlichen Zahlen welche die
Ziffer k, mit k aus {1,2,3,4,5,6,7,8,9} enthalten als geometrische Folge
verkaufen?

Hier fehlt das entscheidende Wort "nicht": Die die Ziffer k *nicht*
enthalten.

Und für das Argument nicht relevant, aber trotzdem irreführend:
Das Argument besagt nicht, dass die Reihe selbst geometrisch ist,
sondern lediglich, dass sich eine gewisse Teilfolge der Partialsummen
durch eine Teilfolge der Partialsummen der geometrischen Reihe abschätzen
lässt. Daraus folgt natürlich die Konvergenz (weil alle Terme nichtnegativ
sind), aber es folgt daraus nicht, dass eine geometrische Reihe selbst
eine konvergente Majorante sein muss.

Post by Walter H.
dann nehmen wir jetzt folgende Menge
X = IN \ ( IN_<1> u IN_<2> u IN_<3> u IN_<4> u IN_<5> u IN_<6> u IN_<7>
u IN_<8> u IN_<9> ) also alle natürlichen Zahlen ohne der Zahlen, welche
irgendwo eine 1 haben, ohne der Zahlen die irgendwo eine 2 haben, ohne
der Zahlen die irgendwo eine 3 haben, ... und auch ohne der Zahlen die
irgendwo eine 9 haben;

Der Fehler mit dem "nicht" zieht sich jetzt weiter durch:
X ist in Wirklichkeit die Menge aller natürlichen Zahlen, ohne die
natürlichen Zahlen, die *nirgendwo* eine 1 haben, oder *nirgendwo*
eine 2 haben, ...
Mit anderen Worten: X enthält alle natürlichen Zahlen, deren
Dezimaldarstellung *mindestens* jede der Ziffern 1-9 enhält.

Post by Walter H.
die Summe aller Stammbrüche aus X wär jetzt divergent, sehr komisch,
meinst nicht?

Nein. Bei korrekter Definition ist die Menge X ist sehr groß.

[WM]

Post by Walter H.
dann nehmen wir jetzt folgende Menge
X = IN \ ( IN_<1> u IN_<2> u IN_<3> u IN_<4> u IN_<5> u IN_<6> u IN_<7>
u IN_<8> u IN_<9> ) also alle natürlichen Zahlen ohne der Zahlen, welche
irgendwo eine 1 haben, ohne der Zahlen die irgendwo eine 2 haben, ohne
der Zahlen die irgendwo eine 3 haben, ... und auch ohne der Zahlen die
irgendwo eine 9 haben;
die Summe aller Stammbrüche aus X wär jetzt divergent, sehr komisch,
meinst nicht?
die harmonische Reihe ist divergent.

Ich gebe zu, Dein Argument hat mich verblüfft. Gut, dass mich niemals
ein Student darauf angesprochen hat. Die Lösung liegt darin, dass die
Divergenz äußerst schwach ist. Außer Konstrukten wie Weglassen der
ersten n Glieder oder Weglassen jedes zweiten Gliedes kenne ich keine
schwächer divergierende Reihe. Deshalb konvergiert schon die Reihe, der
alle Terme mit 4711 fehlen. Und bei Deinen Reihen, das ist der Punkt!,
fehlen alle Nenner, die 1234567890 enthalten. Das genügt, um die
unendliche Summe endlich zu machen.

Gruß, WM

[Walter H.]

Post by WM

Post by Walter H.
dann nehmen wir jetzt folgende Menge
X = IN \ ( IN_<1> u IN_<2> u IN_<3> u IN_<4> u IN_<5> u IN_<6> u
IN_<7> u IN_<8> u IN_<9> ) also alle natürlichen Zahlen ohne der
Zahlen, welche
irgendwo eine 1 haben, ohne der Zahlen die irgendwo eine 2 haben, ohne
der Zahlen die irgendwo eine 3 haben, ... und auch ohne der Zahlen die
irgendwo eine 9 haben;
die Summe aller Stammbrüche aus X wär jetzt divergent, sehr komisch,
meinst nicht?
die harmonische Reihe ist divergent.

Ich gebe zu, Dein Argument hat mich verblüfft. Gut, dass mich niemals
ein Student darauf angesprochen hat. Die Lösung liegt darin, dass die
Divergenz äußerst schwach ist. Außer Konstrukten wie Weglassen der
ersten n Glieder oder Weglassen jedes zweiten Gliedes kenne ich keine
schwächer divergierende Reihe. Deshalb konvergiert schon die Reihe, der
alle Terme mit 4711 fehlen. Und bei Deinen Reihen, das ist der Punkt!,
fehlen alle Nenner, die 1234567890 enthalten. Das genügt, um die
unendliche Summe endlich zu machen.

dann ist doch die Frage die,

kann man ein 'System' von endlich vielen konvergenten Reihen basteln,
dereren Summanden ausschließlich solche sind, welche in der kompletten
divergenten harmonischen Reihe vorkommen, aber glztg. es keinen
Summanden der divergenten harmonischen Reihe gibt, welcher nicht in
einer dieser konvergenten Reihen existiert?

der Witz der alternierenden, welche als Grenzwert ln(2) hat, ist ja auch
der dass man hier eigentlich einen unbestimmten Ausdruck hat

jedes 2te Glied beginnend beim 1ten Glied ist positiv und jedes 2te
Glied beginnend beim 2ten Glied ist negativ
nun sind die negativen Glieder alle gerade

1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 -+ ...

1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...
-1/2 - 1/4 -1/6 - ....

die positiven Glieder sind nur ungerade
die negativen Glieder interessanterweise sind die Hälfte von allen
Gliedern der harmonischen Reihe
soll heißen
die Summe der ungeraden Glieder der harmonischen Reihe ist großer als
die halbe Summe aller Glieder der harmonischen Reihe ...

schaut irgendwie komisch aus ;-)

[Martin Vaeth]

Post by Walter H.
dann ist doch die Frage die,

Wieso „doch“? Hast Du mein Posting nicht gelesen, in der ich
auf Deinen Flüchtigkeitsfehler mit dem fehlenden „nicht“
hingewiesen habe?
Nach dieser Korrektur sollte doch ganz klar sein, weshalb die
Reihe über die Menge der restlichen Summanden X (nachdem man
die Summanden der 9 konvergenten Reihen entfernt hat) divergiert,
weil X eben extrem groß ist. Ein formaler Beweis, weshalb das
so sein muss, folgt aus dem sog. kleinen Umordnungssatz über
absolutkonvergente Reihen (von Riemann).

Post by Walter H.
kann man ein 'System' von endlich vielen konvergenten Reihen basteln,
dereren Summanden ausschließlich solche sind, welche in der kompletten
divergenten harmonischen Reihe vorkommen, aber glztg. es keinen
Summanden der divergenten harmonischen Reihe gibt, welcher nicht in
einer dieser konvergenten Reihen existiert?

Nein, nicht einmal für ein unendliches System.
Der Grund ist, dass die Summanden der harmonischen Reihe
nichtnegativ sind. Dahinter steckt der sog. große Umordungssatz
für absolutkonvergente Reihen.

Post by Walter H.
der Witz der alternierenden, welche als Grenzwert ln(2) hat,
ist ja auch der dass man hier eigentlich einen unbestimmten Ausdruck
hat

Nein, hat man nicht. Du willst aber anscheinend darauf heraus,
dass sich das nach Umordnung ändern kann. Das ist natürlich
ebenfalls richtig. Diese Aussage wird in der Regel ebenfalls
Riemannscher Umordnungssatz (für konvergente aber nicht
absolut konvergente Reihen) genannt.

[Walter H.]

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
kann man ein 'System' von endlich vielen konvergenten Reihen basteln,
dereren Summanden ausschließlich solche sind, welche in der kompletten
divergenten harmonischen Reihe vorkommen, aber glztg. es keinen
Summanden der divergenten harmonischen Reihe gibt, welcher nicht in
einer dieser konvergenten Reihen existiert?

Nein, nicht einmal für ein unendliches System.
Der Grund ist, dass die Summanden der harmonischen Reihe
nichtnegativ sind.

was soll dann der Begriff den WM eingeworfen hat
"die Divergenz ist nur sehr schwach..."

nimmt man nur die Primzahlen hat man eine divergente Reihe;
und die Primzahlen sind deutlich weniger ...

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
der Witz der alternierenden, welche als Grenzwert ln(2) hat,
ist ja auch der dass man hier eigentlich einen unbestimmten Ausdruck
hat

Nein, hat man nicht.

ich weiß, auch andere Varianten sind konvergent;

z.B. man hat eine arithmetische Folge 1ter Ordnung positiver natürlicher
Zahlen,
und man nimmt jedes Folgenglied jeweils als Anzahl von Reihenglieder
gleichen Vorzeichens;
<1, 2, 3, 4, 5, ...>
1 Glied positiv, dann 2 Glieder negativ, dann 3 Glieder positiv, dann 4
Glieder negativ, ...

ob es allgemein auch f. arithmetische Folgen 2ter, 3ter, ... und höherer
Ordnung gilt, ist unbekannt;
und auch ob es allgemein f. arithm. Folgen 0ter Ordnung gilt;
f. die konstante Folge <1, 1, 1, 1, 1, ...> (eine arithm. Folge 0ter
Ordnung) gilt es jedenfalls -> ergibt die klassische alternierende
harmonische Reihe ;-)

[Martin Vaeth]

Post by Walter H.

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
kann man ein 'System' von endlich vielen konvergenten Reihen basteln,
dereren Summanden ausschließlich solche sind, welche in der kompletten
divergenten harmonischen Reihe vorkommen, aber glztg. es keinen
Summanden der divergenten harmonischen Reihe gibt, welcher nicht in
einer dieser konvergenten Reihen existiert?

Nein, nicht einmal für ein unendliches System.
Der Grund ist, dass die Summanden der harmonischen Reihe
nichtnegativ sind.

was soll dann der Begriff den WM eingeworfen hat
"die Divergenz ist nur sehr schwach..."

Das ist nur Gefasel.
Die Divergenz ist etwa langsamer als beispielsweise
die der Reihe über 1/n^alpha (für festes 0<alpha<1),
aber sie ist schneller als die der ebenfalls divergenten
Reihe über 1/(n log n) oder sogar über
1/(n log n (log log n)) oder ...
Allgemein kann man zeigen, dass es keine "am langsamsten"
divergente Reihe positiver Zahlen gibt.
Absolute Einordnungen der Divergenzgeschwindigkeit sind
also sinnlos.
Die Beobachtung, dass die „Herausnahme” einer Teilmenge
der Summanden zu einer konvergenten Folge führt, hat auch
i.W. nur damit zu tun, wie schnell deren relativer Anteil
wächst. Ich habe es jetzt nicht im Detail nachgerechnet,
aber wenn ich mich nicht täusche, erhält man für die
vorher betrachteten Teilmengen mit einem analogen Argument
ebenfalls Konvergenz, wenn man sie aus der viel schneller
divergierenden Reihe über (log n)/n herausnimmt.

Post by Walter H.
nimmt man nur die Primzahlen hat man eine divergente Reihe;
und die Primzahlen sind deutlich weniger ...

Mit dem Begriff "deutlich" wäre ich da vorsichtig: Sicher,
ihr Anteil nimmt nach dem Primzahlsatz mit wachsendem n ab,
aber eben nur logarithmisch in n. Für die vorher betrachteten
Folge hat man hingegen, wenn ich das richtig überschlagen habe,
eine lineare Abnahme des Anteils der verbleibenden Summanden.

[Walter H.]

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
nimmt man nur die Primzahlen hat man eine divergente Reihe;
und die Primzahlen sind deutlich weniger ...

Mit dem Begriff "deutlich" wäre ich da vorsichtig: Sicher,
ihr Anteil nimmt nach dem Primzahlsatz mit wachsendem n ab,
aber eben nur logarithmisch in n. Für die vorher betrachteten
Folge hat man hingegen, wenn ich das richtig überschlagen habe,
eine lineare Abnahme des Anteils der verbleibenden Summanden.

horcht sich jetzt aber doch seltsam an,
wenn wir auf der einen Seite nur die natürlichen Zahlen nehmen, welche
z.B. die Ziffer 7 nicht enthalten
und auf der anderen Seite eben die Primzahlen;
das muss mir jetzt jemand plausibel erklären wieso die Reihe mit den
Primzahlen divergent ist ... und die andere aber doch konvergent ...

habe ich z.B. zwei große Primzahlen p1 und p2 mit p2 > p1,
klar es kann sein dass p2 - p1 = 2 gilt, ist aber auch genausogut
möglich, dass p2 - p1 > p1 gilt

wenn ich ein beliebiges sehr großes n nehme, dann
hat man doch wenn man 2 Stellen anhängt garantiert 81 Möglichkeiten,
um Zahlen zu erhalten welche die Ziffer 7 nicht enthalten;

also im Bereich von 100 * n bis 100 * ( n + 1 ) - 1 habe ich 81 Zahlen,
welche keine 7 enthalten; und im besten Fall sind in diesem Bereich
wieviele Primzahlen?
wenn n nicht gerade auf einer 6 endet, dann habe ich im Bereich
von 100 * ( n + 1 ) bis 100 * ( n + 2 ) - 1 wieder 81 Zahlen, welche die
Ziffer 7 nicht enthalten, und wieviele Primzahlen sind darunter?

klar bei der Reihe mit den Primzahlen gibt es diese Einschränkung, dass
nur Zahlen genommen werden, welche die Ziffer 7 nicht enthalten, nicht;

oder anders gefragt: gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

[Carlo XYZ]

Post by Walter H.
oder anders gefragt: gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

ohne *die* Ziffer 7

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, wird die Anzahl der natürlichen
Zahlen ohne 7 vor $n\in N$ approximiert (bzw. dominiert) durch

9^{log(n)}, wobei log(.) der Zehnerlogarithmus ist,

und laut Primzahlsatz ist die Anzahl der Primzahlen vor n ungefähr

n/ln(n) \approx n/(2.3*log(n))

Wir vergleichen die beiden Größen (Logarithmieren beider Seiten):

LS = log(n)*log(9) und RS = log(n) - (log(2.3) + log(log(n)))

Da aber log(9) < 1 gilt, dominiert für große n
die rechte Seite RS die linke Seite LS. D.h.:

"In the long run" gibt es mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffer 7.

[Martin Vaeth]

Post by Carlo XYZ

Post by Walter H.
oder anders gefragt: gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

ohne *die* Ziffer 7
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, wird die Anzahl der natürlichen
Zahlen ohne 7 vor $n\in N$ approximiert (bzw. dominiert) durch
9^{log(n)}, wobei log(.) der Zehnerlogarithmus ist,
und laut Primzahlsatz ist die Anzahl der Primzahlen vor n ungefähr
n/ln(n) \approx n/(2.3*log(n))
LS = log(n)*log(9) und RS = log(n) - (log(2.3) + log(log(n)))
Da aber log(9) < 1 gilt, dominiert für große n
"In the long run" gibt es mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffer 7.

Noch als Zusatzerklärung: Nehmen wir noch 10^{log(n)} als die Anzahl
aller Zahlen vor n hinzu. Dann erhält man neben LS und RS noch
A = log(n) (A “alle natürlichen ZHahlen Zahlen”).
Es ist LS = A * log(9) (also multipliziert mit einer Konstante <1)
und RS = A - log(A) - log e (also wird nur log A subtrahiert).
Das meinte ich damit, dass im ersten Fall der Anteil linear abnimmt,
im zweiten dagegen nur logarithmisch. Ist nicht ganz exakt, denn
wir haben logarithmiert und dafür in den Formeln aber log n statt
n eingesetzt, aber so grob stimmt es schon.

[WM]

Post by Carlo XYZ
"In the long run" gibt es mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffer 7.

Nicht zu vergessen, dass viele Primzahlen auch eine Ziffer 7 enthalten.

Gruß, WM

[WM]

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Post by WM

 gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.
Könntest Du es beweisen?

Ich helfe Dir:
Die Primzahlen ohne Ziffernfolge 4711 bilden eine Teilmenge aller
Primzahlen.
Den Rest schaffst Du alleine. Notfalls schaust Du in Dein Anfängerbuch,
denn manches darin ist ja nicht falsch. (Seite 37 müsstest Du allerdings
überarbeiten, weil dort eine zirkuläre Definition steht.)

Gruß,
RR

[WM]

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

 gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.
Könntest Du es beweisen?

Natürlich.

Post by Rainer Rosenthal
Die Primzahlen ohne Ziffernfolge 4711 bilden eine Teilmenge aller
Primzahlen.

Das beweist nichts. Die Primzahlen ohne 3 bilden auch eine Teilmenge
aller Primzahlen.

Post by Rainer Rosenthal
Den Rest schaffst Du alleine. Notfalls schaust Du in Dein Anfängerbuch,

Das steht dort nicht. Aber es ist einfach. Der Beweis für eine Ziffer
wurde von Kempner gegeben. Wählen wir ein Zahlensystem mit Basis 10000,
dann ist 4711 eine Ziffer. QED.

Gruß, WM

[Martin Vaeth]

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.

Nein, überhaupt nicht konkret, sondern nur Geschwafel:
Beide Mengen sind (abzählbar) unendlich, also gleichmächtig.
Sogar: Jede der beiden Mengen enthält unendlich viele Elemente,
die nicht in der anderen liegen.
Alle naheliegenden Interpretationen von „mehr“ sind also nicht
anwendbar.

Zwar *kann* man in diesem Fall „mehr” so definieren, dass die
Aussage richtig ist: Was WM im Auge hat, ist der Vergleich
der Grenzwerte der Reihe \sum_{n\in M}1/n über beide Mengen,
aber das ist schon eine sehr spezielle Definition von „mehr“.

Naheliegender für eine Definition wäre etwa die Heranziehung
von liminf bzw. limsup über
M_1 \cap {1,...,n}|/|M_2 \cap {1,...,n}|.
Auch bei dieser Definition ist die Aussage noch richtig
(Grenzwert 0 bzw. infinity), aber da braucht man für den
Beweis schon härtere Geschütze (Primzahlsatz), wie wir
gesehen haben.

Andererseits kann man die Definition beispielsweise durch
Ersetzen von {1,...,n} durch {f(1),...,f(n)} mit einer
geeigneten Bijektion f von \N so umändern, dass man -
je nach Wahl von f - auch das Gegenteil erhalten kann oder
sogar auch jeden gewünschten Wert für liminf bzw. limsup.

[Rainer Rosenthal]

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.

Beide Mengen sind (abzählbar) unendlich, also gleichmächtig.
Sogar: Jede der beiden Mengen enthält unendlich viele Elemente,
die nicht in der anderen liegen.
Alle naheliegenden Interpretationen von „mehr“ sind also nicht
anwendbar.

Bitte nicht aufregen! Ich hatte den Zusatz in Klammern gemeint.
Und da gibt es eine naheliegende Interpretation von "mehr".

Sorry dafür, dass ich vergessen hatte, zu spezifizieren, worauf sich
mein Kommentar bezogen hatte. Habe das aber inzwischen bereits gepostet.

Gruß,
Rainer

[Martin Vaeth]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.

Nein, überhaupt nicht konkret, sondern nur Geschwafel: [...]

Bitte nicht aufregen! Ich hatte den Zusatz in Klammern gemeint.

OK. Ich hatte gedacht, Du beziehst Dich auf das ganze Zitat.
Meine Aufregung galt natürlich ohnehin nicht Dir, sondern WMs
Geschwafel von „mehr“.

[WM]

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.

Beide Mengen sind (abzählbar) unendlich, also gleichmächtig.

Viele Mengen mit sehr verschiedenen Anzahlen sind gleichmächtig. Daher
ist "gleichmächtig" kein Maß, mit dem man unendliche Mengen messen kann.

Post by Martin Vaeth
Sogar: Jede der beiden Mengen enthält unendlich viele Elemente,
die nicht in der anderen liegen.

Falsch. Primzahlen ohne Wohlgeruch sind eine Untermenge der Zahlen ohne
Wohlgeruch. Durch Mengensubtraktion kann man die Ungleichzahligkeit
beweisen. Mächtigkeit beruht nur auf potentieller Unendlichkeit und
besagt so gut wie nichts.

Gruß, WM

[Martin Vaeth]

Post by WM

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.

Beide Mengen sind (abzählbar) unendlich, also gleichmächtig.

Viele Mengen mit sehr verschiedenen Anzahlen sind gleichmächtig.

Ihr blödsinniges Geschwafel von „mehr“ wird keineswegs sinnvoll,
indem Sie dieses Wort durch „sehr verschiedene Anzahlen“ austauschen.
Ich hatte anhand des gerade diskutierten Beispiels gezeigt,
dass man je nach (sinnvoller) Präzisierung dieses Geschwafels mal
die eine, mal die andere Menge als “mehr” erhalten kann, oder auch
keine von beiden.

Post by WM
Daher ist "gleichmächtig" kein Maß, mit dem man unendliche Mengen
messen kann.

Es ist eine sinnvolle Präzisierung von „mehr“ wie viele andere.
Im Gegensatz zu Ihrem unpräzisierten Geschwafel von „mehr“.

Post by WM

Post by Martin Vaeth
Sogar: Jede der beiden Mengen enthält unendlich viele Elemente,
die nicht in der anderen liegen.

Falsch.

Mal wieder konkret und falsch. RR wird sich freuen.

Wenn man davon absieht, dass Sie offensichtlich ganz bewusst den
Kontext der beiden Mengen weggeschnitten haben, der da lautete

Post by WM

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal
Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Primzahlen ohne Wohlgeruch

Dabei hatten Sie selbst in der Klammer klugscheißerish betont,
dass es bei der einen der beiden Menge um alle Primzahlen geht.

Ende der Trollfütterung.

[WM]

Post by Martin Vaeth

Post by WM

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.

Beide Mengen sind (abzählbar) unendlich, also gleichmächtig.

Viele Mengen mit sehr verschiedenen Anzahlen sind gleichmächtig.

Ihr blödsinniges Geschwafel von „mehr“ wird keineswegs sinnvoll,

Hast Du Dir Bader oder Trump zum Vorbild genommen? Ernsthafte Akademiker
sollten sich nicht so gehen lassen.

Post by Martin Vaeth
indem Sie dieses Wort durch „sehr verschiedene Anzahlen“ austauschen.

Ich kann es beweisen. Alle Primzahlen ohne Ziffernfolge 4711 sind eine
Untermenge aller natürlichen Zahlen ohne Ziffernfolge 4711. Nach
Subtraktion bleiben also Zahlen übrig, was beweist, dass die zweite
Menge mehr Elemente enthält. Das ist eine sinnvolle Definition von
"mehr" und keineswegs Geschwafel.

Post by Martin Vaeth
Es ist eine sinnvolle Präzisierung von „mehr“ wie viele andere.

Nein, sie ist sinnlos, weil unendliche Mengen mit beweisbar
unterschiedlich vielen Elementen "gleichmächtig" sind.

Post by Martin Vaeth

Post by WM

Post by Martin Vaeth
Sogar: Jede der beiden Mengen enthält unendlich viele Elemente,
die nicht in der anderen liegen.

Falsch.

Wenn man davon absieht, dass Sie offensichtlich ganz bewusst den
Kontext der beiden Mengen weggeschnitten haben, der da lautete

Post by WM

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal
Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Der Kontext ist nicht weggeschnitten, sondern stand und steht oben.

Gruß, WM

[Martin Vaeth]

Post by WM

Post by WM
Viele Mengen mit sehr verschiedenen Anzahlen sind gleichmächtig.

Ihr blödsinniges Geschwafel von „mehr“ wird keineswegs sinnvoll, [...]
indem Sie dieses Wort durch „sehr verschiedene Anzahlen“ austauschen.

Hast Du Dir Bader oder Trump zum Vorbild genommen? Ernsthafte Akademiker
sollten sich nicht so gehen lassen.

Weil ich Geschwafel als solches bezeichne, sind Sie schon wieder auf einer
persönlichen Ebene. Ihr Verhalten ist bodenlos. Ende der Trollfütterung.

Nur Ihren hinterhältigen rhetorischen Trick möchte ich noch bloßstellen,
den Sie sogar unverschämterweise aus Ihrem vorherigen Posting

Post by WM
Alle Primzahlen ohne Ziffernfolge 4711 sind eine
Untermenge aller natürlichen Zahlen ohne Ziffernfolge 4711. Nach
Subtraktion bleiben also Zahlen übrig, was beweist, dass die zweite
Menge mehr Elemente enthält. Das ist eine sinnvolle Definition von
"mehr" und keineswegs Geschwafel.

Hier wird umständlich erklärt, dass eine echte Obermenge per
Definition „mehr“ Elemente enthalten soll als die Teilmenge.

Das ist reine Ablenkung:

Mit dem Thema - dem folgenden Geschwafel - hat das natürlich absolut

Post by WM

Post by WM

Post by WM
Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Um Missverständnisse zu vermeiden: Natürlich *kann* man auch mal
schwafeln wollen und von „mehr“ sprechen, um das Interesse zu wecken.
Aber wenn man nicht schwafeln will, muss man das „mehr“ präzisieren
und sollte auch erklären, dass die Aussage empfindlich von der gewählten
Präzisierung abhängt.

[WM]

Post by Martin Vaeth

Post by WM

Post by WM
Viele Mengen mit sehr verschiedenen Anzahlen sind gleichmächtig.

Ihr blödsinniges Geschwafel von „mehr“ wird keineswegs sinnvoll, [...]
indem Sie dieses Wort durch „sehr verschiedene Anzahlen“ austauschen.

Hast Du Dir Bader oder Trump zum Vorbild genommen? Ernsthafte Akademiker
sollten sich nicht so gehen lassen.

Weil ich Geschwafel als solches bezeichne, sind Sie schon wieder auf einer
persönlichen Ebene.

Du solltest Dich wirklich mehr an akademische Umgangsformen halten. Es
gibt schon ohne Dich genügend Rüpel und Großmäuler hier.

Post by Martin Vaeth

Post by WM
Alle Primzahlen ohne Ziffernfolge 4711 sind eine
Untermenge aller natürlichen Zahlen ohne Ziffernfolge 4711. Nach
Subtraktion bleiben also Zahlen übrig, was beweist, dass die zweite
Menge mehr Elemente enthält. Das ist eine sinnvolle Definition von
"mehr" und keineswegs Geschwafel.

Hier wird umständlich erklärt, dass eine echte Obermenge per
Definition „mehr“ Elemente enthalten soll als die Teilmenge.

Nicht per Definition, sondern per Realität und Vernunft.

Post by Martin Vaeth
Aber wenn man nicht schwafeln will, muss man das „mehr“ präzisieren
und sollte auch erklären, dass die Aussage empfindlich von der gewählten
Präzisierung abhängt.

Vernunftbasierte Aussagen sind daran erkennbar, dass sie nicht von der
Präzisierung abhängen. Echte Obermengen haben mehr Elemente als ihre
Untermengen. Wer das bestreitet, gibt die Vernunft auf, egal wie präzise
er definiert.

Gruß, WM

[Walter H.]

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

Post by Walter H.
gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Konkret und ... richtig.

Beide Mengen sind (abzählbar) unendlich, also gleichmächtig.

es gilt bereits die Menge ALLER natürlichen Zahlen als abzählbar
unendlich, und damit auch sämtliche Teilmengen davon wie

alle nat. Zahlen bis auf die welche die Ziffer k mit k aus
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} nicht enthalten

und wie ja bereits festgestellt wurde sind die harmonischen Reihen
basierend auf diesen Teilmengen alle konvergent;

die harmonische Reihe basierend auf den Primzahlen ist divergent;

die harmonische Reihe basierend auf der Teilmenge von IN welche nur die
Zahlen enthält, welche alle Ziffern enthalten ist divergent;
(kleinstes Element dieser Menge lautet 1023456789)

wie sieht es mit der harmonischen Reihe basierend auf der Teilmenge der
Primzahlen, welche nur die Primzahlen enthält, welche jede Ziffer
zumindest einmal enthält, aus?

eine Primzahl, welche diesem Kriterium entspricht lautet z.B. 101213456987

klarerweise, wenn die harmonische Reihe basierend auf z.B. alle nat.
Zahlen welche die Ziffer 7 nicht enthalten konvergiert;
konvergiert jede harmonische Reihe, welche auf einer Teilmenge von IN,
welche nur Zahlen enthält, welche die Ziffer 7 nicht enthält;
also z.B. die Primzahlen, welche keine 7 enthalten;

[Rainer Rosenthal]

Post by Walter H.
es gilt bereits die Menge ALLER natürlichen Zahlen als abzählbar
unendlich, und damit auch sämtliche Teilmengen davon wie

z.B. {1,2,3}.

Tatsächlich?

Gruß,
RR

[Walter H.]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Walter H.
es gilt bereits die Menge ALLER natürlichen Zahlen als abzählbar
unendlich, und damit auch sämtliche Teilmengen davon wie

z.B. {1,2,3}.
Tatsächlich?
Gruß,
RR

ok, manche sind endlich;
diese sind aber sowieso abzählbar;

[Martin Vaeth]

Post by Walter H.
wie sieht es mit der harmonischen Reihe basierend auf der Teilmenge der
Primzahlen, welche nur die Primzahlen enthält, welche jede Ziffer
zumindest einmal enthält, aus?

Hier kann man Deine vorherige Überlegung anwenden, die ja vollkommen
richtig war:

Sei P die Menge der Primzahlen und N_k die Menge der natürlichen Zahlen,
die die Ziffer k nicht enthält. Dann ist

A := P \setminus \bigcup_k N_k

die uns interessierende Menge der Primzahlen, die mindestens jede der
Ziffern mindestens einmal enthält. Es folgt

(*) P \subseteq A \cup \bigcup_k N_k

Notationen: S(M) := \sum_{n \in M} 1/n.

Es ist also S einfach das gewichtete Maß auf den natürlichen Zahlen
(jede Teilmenge ist meßbar) mit Gewicht 1/n im Punkt n.
(Ich benutze also der Einfachheit halber Maßtheorie, statt mich mit
den Details des Umordnungssatzes herumzuschlagen.)

Nach Monotonie und Subadditivität des Maßes S folgt aus (*)

S(P) <= S(A) + \sum_k S(N_k).

Wir wissen bereits, dass alle S(N_k) endlich sind. Wäre S(A)
endlich, so wäre also die rechte Seite endlich und somit auch
S(P). Wir wissen aber ebenfalls, dass S(P) unendlich ist.
Foglich muss auch S(A) unendlich sein.

Dass der Beweis so einfach geht, ist schon etwas überraschend,
denn alleine aus der Definition ist ja nicht einmal
offensichtlich, dass A eine unendliche Menge ist.

[Walter H.]

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
wie sieht es mit der harmonischen Reihe basierend auf der Teilmenge der
Primzahlen, welche nur die Primzahlen enthält, welche jede Ziffer
zumindest einmal enthält, aus?

Hier kann man Deine vorherige Überlegung anwenden, die ja vollkommen
Sei P die Menge der Primzahlen und N_k die Menge der natürlichen Zahlen,
die die Ziffer k nicht enthält. Dann ist
A := P \setminus \bigcup_k N_k
die uns interessierende Menge der Primzahlen, die mindestens jede der
Ziffern mindestens einmal enthält. Es folgt
(*) P \subseteq A \cup \bigcup_k N_k
Notationen: S(M) := \sum_{n \in M} 1/n.
Es ist also S einfach das gewichtete Maß auf den natürlichen Zahlen
(jede Teilmenge ist meßbar) mit Gewicht 1/n im Punkt n.
(Ich benutze also der Einfachheit halber Maßtheorie, statt mich mit
den Details des Umordnungssatzes herumzuschlagen.)
Nach Monotonie und Subadditivität des Maßes S folgt aus (*)
S(P) <= S(A) + \sum_k S(N_k).
Wir wissen bereits, dass alle S(N_k) endlich sind. Wäre S(A)
endlich, so wäre also die rechte Seite endlich und somit auch
S(P). Wir wissen aber ebenfalls, dass S(P) unendlich ist.
Foglich muss auch S(A) unendlich sein.
Dass der Beweis so einfach geht, ist schon etwas überraschend,

dass dieser denn richtig ist, ist aber nicht unbedingt gegeben;

wissen wir denn überhaupt - Du nanntest oben die Menge A - dass diese
Menge eine unendliche ist;
dass es unendlich viele Primzahlen gibt ist klar, aber gibt es auch
unendlich viele welche jede Ziffer zumindest einmal enthält?

(*)

Post by Martin Vaeth
denn alleine aus der Definition ist ja nicht einmal
offensichtlich, dass A eine unendliche Menge ist.

eben, ist die Menge A eine endliche Menge, dann ergibt sich eine
konvergente Reihe;

ich weiß es nicht; es wäre aber nicht ausgeschlossen, dass A endlich ist;
abzählbar ist sie auf jeden Fall; das sind alle Teilmengen von IN


(*) bei den natürlichen Zahlen haben wir ja festgestellt, dass die
Teilmengen von IN, welche nur die Zahlen enthalten, welche frei von
eioner bestimmte Ziffer sind, zwar ebenfalls unendliche Mengen
darstellen, aber erheblich kleiner Mengen sind, und damit eine
konvergente Reihe 'erzeugen';
bei den Primzahlen wären dies ebenfalls konvergente Reihen;
aber die oben gefragte basierend auf A ...

[Martin Vaeth]

Post by Walter H.

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
wie sieht es mit der harmonischen Reihe basierend auf der Teilmenge der
Primzahlen, welche nur die Primzahlen enthält, welche jede Ziffer
zumindest einmal enthält, aus?

Hier kann man Deine vorherige Überlegung anwenden, die ja vollkommen
Sei P die Menge der Primzahlen und N_k die Menge der natürlichen Zahlen,
die die Ziffer k nicht enthält. Dann ist
A := P \setminus \bigcup_k N_k
die uns interessierende Menge der Primzahlen, die mindestens jede der
Ziffern mindestens einmal enthält. Es folgt
(*) P \subseteq A \cup \bigcup_k N_k
Notationen: S(M) := \sum_{n \in M} 1/n.
Es ist also S einfach das gewichtete Maß auf den natürlichen Zahlen
(jede Teilmenge ist meßbar) mit Gewicht 1/n im Punkt n.
(Ich benutze also der Einfachheit halber Maßtheorie, statt mich mit
den Details des Umordnungssatzes herumzuschlagen.)
Nach Monotonie und Subadditivität des Maßes S folgt aus (*)
S(P) <= S(A) + \sum_k S(N_k).
Wir wissen bereits, dass alle S(N_k) endlich sind. Wäre S(A)
endlich, so wäre also die rechte Seite endlich und somit auch
S(P). Wir wissen aber ebenfalls, dass S(P) unendlich ist.
Foglich muss auch S(A) unendlich sein.
Dass der Beweis so einfach geht, ist schon etwas überraschend,

dass dieser denn richtig ist, ist aber nicht unbedingt gegeben;

Der Beweis ist ziemlich detailliert. Siehst Du einen Fehler?

Post by Walter H.
wissen wir denn überhaupt - Du nanntest oben die Menge A - dass diese
Menge eine unendliche ist;

Der Beweis zeigt, dass S(A) unendlich ist. Also muss A unendlich sein.

Post by Walter H.
dass es unendlich viele Primzahlen gibt ist klar, aber gibt es auch
unendlich viele welche jede Ziffer zumindest einmal enthält?

Wie gesagt, ist das nicht offensichtlich, aber es folgt aus obigem
Beweis. Es ist in der Mathematik oft so, dass sich eine sehr viel
stärkere Aussage (hier: Die Divergenz von S(A)) leichter beweisen
lässt als ein einfacher Spezialfall (hier: Dass A unendlich ist).

Post by Walter H.

Post by Martin Vaeth
denn alleine aus der Definition ist ja nicht einmal
offensichtlich, dass A eine unendliche Menge ist.

eben, ist die Menge A eine endliche Menge, dann ergibt sich eine
konvergente Reihe;

Da wir aber gezeigt haben, dass die Reihe divergiert, können
wir *folgern*, dass A unendlich ist. Wir haben diese Sache als
„gratis” mitbewiesen.

Post by Walter H.
ich weiß es nicht; es wäre aber nicht ausgeschlossen, dass A endlich ist;

Wie gesagt, es ist nicht offensichtlich. Ich wüsste auf Anhieb nicht,
wie ich das ohne das vorherige Argument beweisen sollt.

[Walter H.]

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
wie sieht es mit der harmonischen Reihe basierend auf der Teilmenge der
Primzahlen, welche nur die Primzahlen enthält, welche jede Ziffer
zumindest einmal enthält, aus?

Hier kann man Deine vorherige Überlegung anwenden, die ja vollkommen
Sei P die Menge der Primzahlen und N_k die Menge der natürlichen Zahlen,
die die Ziffer k nicht enthält. Dann ist
A := P \setminus \bigcup_k N_k
die uns interessierende Menge der Primzahlen, die mindestens jede der
Ziffern mindestens einmal enthält. Es folgt
(*) P \subseteq A \cup \bigcup_k N_k
Notationen: S(M) := \sum_{n \in M} 1/n.
Es ist also S einfach das gewichtete Maß auf den natürlichen Zahlen
(jede Teilmenge ist meßbar) mit Gewicht 1/n im Punkt n.
(Ich benutze also der Einfachheit halber Maßtheorie, statt mich mit
den Details des Umordnungssatzes herumzuschlagen.)
Nach Monotonie und Subadditivität des Maßes S folgt aus (*)
S(P) <= S(A) + \sum_k S(N_k).
Wir wissen bereits, dass alle S(N_k) endlich sind. Wäre S(A)
endlich, so wäre also die rechte Seite endlich und somit auch
S(P). Wir wissen aber ebenfalls, dass S(P) unendlich ist.
Foglich muss auch S(A) unendlich sein.
Dass der Beweis so einfach geht, ist schon etwas überraschend,

dass dieser denn richtig ist, ist aber nicht unbedingt gegeben;

Der Beweis ist ziemlich detailliert. Siehst Du einen Fehler?

Du beweist hier genau was?

und der Fehler liegt bereits hier

"Sei P die Menge der Primzahlen und N_k die Menge der natürlichen
Zahlen, die die Ziffer k nicht enthält. "

heißt korrekt

"Sei P die Menge der Primzahlen und P_k die Menge der Primzahlen, die
die Ziffer k nicht enthält."

und jetzt beweise

S(P) <= S(A) + \sum_k S(P_k).

...

[Martin Vaeth]

Post by Walter H.

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.

Post by Martin Vaeth
Nach Monotonie und Subadditivität des Maßes S folgt aus (*)
S(P) <= S(A) + \sum_k S(N_k).
Wir wissen bereits, dass alle S(N_k) endlich sind. Wäre S(A)
endlich, so wäre also die rechte Seite endlich und somit auch
S(P). Wir wissen aber ebenfalls, dass S(P) unendlich ist.
Foglich muss auch S(A) unendlich sein.
Dass der Beweis so einfach geht, ist schon etwas überraschend,

dass dieser denn richtig ist, ist aber nicht unbedingt gegeben;

Der Beweis ist ziemlich detailliert. Siehst Du einen Fehler?

Du beweist hier genau was?

Dass S(A) unendlich ist, denn aus der Annahme, dass S(A) endlich
ist, ergibt sich der Widerspruch dass auch S(P) endlich ist.

Post by Walter H.
und der Fehler liegt bereits hier
"Sei P die Menge der Primzahlen und N_k die Menge der natürlichen
Zahlen, die die Ziffer k nicht enthält. "
heißt korrekt
"Sei P die Menge der Primzahlen und P_k die Menge der Primzahlen, die
die Ziffer k nicht enthält."

Nein. Ich habe N_k genau so gemeint, wie ich es geschrieben habe.
Man *kann* alternativ auch mit den Mengen P_k arbeiten, aber das
ist nicht nötig.

Post by Walter H.
und jetzt beweise
S(P) <= S(A) + \sum_k S(P_k).
...

Kann man tun, benötigt aber im Gegensatz zu meinem Argument mit

(*) S(P) <= S(A) + \sum_k S(N_k)

noch ein paar (einfache) zusätzliche Überlegungen. Ich wollte
halt den Beweis so einfach wie möglich halten.
Die Ungleichung (*) hat gegenüber der Ungleichung mit S(P_k)
den Vorteil, dass sie (minimal) leichter herzuleiten ist, und
dass wir die Endlichkeit von S(N_k) bereits kennen (daraus
folgt natürlich die Endlichkeit von S(P_k) ebenfalls, aber
das Argument braucht man eben gar nicht).

[WM]

Post by Walter H.
und jetzt beweise
S(P) <= S(A) + \sum_k S(P_k).

Das ist schon richtig. Und noch viel mehr! Man kann nicht nur die
Primzahlen mit Ziffern k = 0, 1, 2, ..., 9 weglassen, sondern alle, die
bekannte Primzahlen p enthalten. Alle Reihen S(P_p) konvergieren. Denn
man kann die größte bekannte Primzahl als Basis des Zahlensystems
wählen, womit sich der Beweis automatisch ergibt: Alle Folgen von
Primzahlkehrwerten, die eine der bekannten Primzahlen nicht enthalten,
sind konvergent. Also sind die bisher unbekannten (dunklen) Primzahlen,
die alle diese Zahlen enthalten, so viel mehr, dass ihre Kehrwerte
divergieren, wenn auch sehr schwach.

Und noch mehr: Alle Stammbrüche der harmonischen Reihe, die irgendeine
bekannte Ziffernkombination z nicht enthalten, bilden eine konvergente
Reihe S(P_z). Die Reihe der Stammbrüche, die alle diese
Ziffernkombinationen enthalten, divergiert. Für die später einmal
bekannt werdenden Ziffernkombinationen gilt das ebenfalls. Das ist ein
Beweis für die überwältigende Anzahl von permanent dunklen, also niemals
angegbbaren Zahlen.

Gruß, WM

[Carlo XYZ]

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
ich weiß es nicht; es wäre aber nicht ausgeschlossen, dass A endlich ist;

Wie gesagt, es ist nicht offensichtlich. Ich wüsste auf Anhieb nicht,
wie ich das ohne das vorherige Argument beweisen sollt.

Ich hab deine Argumentkette nicht im Detail verfolgt,
aber hast du möglicherweise gerade das Papier

<https://arxiv.org/pdf/1604.01041>

vereinfacht?

[WM]

Post by Carlo XYZ

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
ich weiß es nicht; es wäre aber nicht ausgeschlossen, dass A endlich ist;

Wie gesagt, es ist nicht offensichtlich. Ich wüsste auf Anhieb nicht,
wie ich das ohne das vorherige Argument beweisen sollt.

Ich hab deine Argumentkette nicht im Detail verfolgt,
aber hast du möglicherweise gerade das Papier
<https://arxiv.org/pdf/1604.01041>
vereinfacht?

Nein, Kempner hat ja festgestellt, dass Stammbrüche und also erst recht
Primzahlkehrwerte ohne Ziffer k eine endlich Reihensumme haben.

Gruß, WM

[Martin Vaeth]

Post by Carlo XYZ

Post by Martin Vaeth

Post by Walter H.
ich weiß es nicht; es wäre aber nicht ausgeschlossen, dass A endlich ist;

Wie gesagt, es ist nicht offensichtlich. Ich wüsste auf Anhieb nicht,
wie ich das ohne das vorherige Argument beweisen sollt.

Ich hab deine Argumentkette nicht im Detail verfolgt,
aber hast du möglicherweise gerade das Papier
<https://arxiv.org/pdf/1604.01041>
vereinfacht?

Nein. In der vorherigen Terminologie besagt dieses Paper,
dass jede der Mengen P_k unendlich ist. Was bei uns
gezeigt wurde, ist nur, dass das *Komplement* in der Menge
der Primzahlen (also die Primzahlen, die zu *keinem* der
P_k gehören) unendlich ist. Diese Aussage ist von etwas
anderer Art und offensichtlich sehr viel schwächer.

[WM]

Post by Martin Vaeth
Was bei uns
gezeigt wurde, ist nur, dass das *Komplement* in der Menge
der Primzahlen (also die Primzahlen, die zu *keinem* der
P_k gehören) unendlich ist. Diese Aussage ist von etwas
anderer Art und offensichtlich sehr viel schwächer.

Dass allerdings k alle Ziffernfolgen aller bekannten (Prim-) Zahlen
umfassen darf und die komplementäre Reihe immer noch konvergiert, ist
doch erstaunlich. Denn es geht ja nicht allein darum, dass man jeden
endlichen Abschnitt der harmonischen Reihe kappen darf, ohne die
Divergenz des Restes zu beeinträchtigen. Das ist jedem Erstsemester
klar. Es geht darum, dass auch im weiteren Verlauf alle diese Glieder
entfallen und die Divergenz trotzdem bestehen bleibt.

Gruß, WM

[WM]

Post by WM

Post by Martin Vaeth
Was bei uns
gezeigt wurde, ist nur, dass das *Komplement* in der Menge
der Primzahlen (also die Primzahlen, die zu *keinem* der
P_k gehören) unendlich ist. Diese Aussage ist von etwas
anderer Art und offensichtlich sehr viel schwächer.

Dass allerdings k alle Ziffernfolgen aller bekannten (Prim-) Zahlen
umfassen darf und die komplementäre Reihe immer noch konvergiert,

divergiert

Post by WM
ist
doch erstaunlich. Denn es geht ja nicht allein darum, dass man jeden
endlichen Abschnitt der harmonischen Reihe kappen darf, ohne die
Divergenz des Restes zu beeinträchtigen. Das ist jedem Erstsemester
klar. Es geht darum, dass auch im weiteren Verlauf alle diese Glieder
entfallen und die Divergenz trotzdem bestehen bleibt.
Gruß, WM

[Carlo XYZ]

Post by Carlo XYZ
Ich hab deine Argumentkette nicht im Detail verfolgt,
aber hast du möglicherweise gerade das Papier
<https://arxiv.org/pdf/1604.01041>
vereinfacht?

Nein.

Oops. Der hat ja sogar die Fields-Medaille bekommen ..:)

[Rainer Rosenthal]

Post by WM

 gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Der Zusatz
"Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen"

ist genau Dein Niveau: schlaumeierisch und trivial.

Die Primzahlen ohne Ziffernfolge 4711 bilden ja eine echte Teilmenge der
Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.

Gruß,
RR

[WM]

Post by Rainer Rosenthal

Post by WM

 gibt es mehr Primzahlen, als Zahlen ohne der Ziffer 7?

Es gibt sogar mehr Primzahlen als Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.
(Bei den Primzahlen muss man die Ziffernfolge aber drin lassen.)

Die Primzahlen ohne Ziffernfolge 4711 bilden ja eine echte Teilmenge der
Zahlen ohne die Ziffernfolge 4711.

Gut erkannt! Wie man an dieser einfachen Ausgabe sieht, kann man
unendliche Summen auch als Abschätzung für Anzahlen in unendlichen
Mengen heranziehen. Das hatte ich bisher nicht berücksichtigt. Aber ist
es überhaupt richtig?

Die Brüche ohne die wohlriechenden ergeben eine endliche Summe. Die
Primzahlbrüche ergeben eine unendliche Summe. Also existiren mehr
Primzahlbrüche? Oder bedarf es dazu noch einer Zusatzbedingung über die
Verteilung?

Gruß, WM

[WM]

Post by WM
Die Brüche ohne die wohlriechenden ergeben eine endliche Summe. Die
Primzahlbrüche ergeben eine unendliche Summe. Also existieren mehr
Primzahlbrüche? Oder bedarf es dazu noch einer Zusatzbedingung über die
Verteilung?

Unterschiedliche endliche Summen beweisen jedenfalls keine
unterschiedlichen Anzahlen. Die Mengen der Stammbrüche ohne 3 und ohne 9
besitzen aufgrund ihrere Konstruktion sicher identische Anzahlen aber
verschiedene Summen.

Um meine Idee zu widerlegen müsste man eine unendliche Summe finden
deren Summanden eine geringere Anzahl als die einer endlichen Summe
besitzen. Aber vermutlich ist es leichter, allgemein zu beweisen, dass
es sowas nicht gibt.

Gruß, WM

[WM]

Post by Walter H.

Post by WM
Deshalb konvergiert schon die Reihe,
der alle Terme mit 4711 fehlen. Und bei Deinen Reihen, das ist der
Punkt!, fehlen alle Nenner, die 1234567890 enthalten. Das genügt, um
die unendliche Summe endlich zu machen.

dann ist doch die Frage die,
kann man ein 'System' von endlich vielen konvergenten Reihen basteln,
dereren Summanden ausschließlich solche sind, welche in der kompletten
divergenten harmonischen Reihe vorkommen, aber glztg. es keinen
Summanden der divergenten harmonischen Reihe gibt, welcher nicht in
einer dieser konvergenten Reihen existiert?

Nein. Jede endliche Ziffernkombination wie 1234567890 in beliebiger
Reihenfolge oder in der vorgegebenen kann man weglassen - und die
restliche Reihe konvergiert. Damit kann man endlich viele konvergente
Reihen bauen. Wenn man aber das Produkt aller weggelassenen
Ziffernkombinatonen betrachtet, z.B. 1*2*3*4711*1234567890, dann kommt
das zwar in der harmonischen Reihe, aber in keiner der konvergenten
Reihen vor.

Gruß, WM

[WM]

Post by Walter H.

Deshalb konvergiert schon die Reihe, der alle Terme mit 4711 fehlen.

Und bei Deinen Reihen, das ist der Punkt!, fehlen alle Nenner, die
1234567890 enthalten. Das genügt, um die unendliche Summe endlich zu machen.

Post by Walter H.
dann ist doch die Frage die,
kann man ein 'System' von endlich vielen konvergenten Reihen basteln,

dereren Summanden ausschließlich solche sind, welche in der kompletten
divergenten harmonischen Reihe vorkommen, aber glztg. es keinen
Summanden der divergenten harmonischen Reihe gibt, welcher nicht in
einer dieser konvergenten Reihen existiert?

Nein. Jede endliche Ziffernkombination wie 1234567890 in beliebiger
Reihenfolge oder in der vorgegebenen kann man weglassen - und die
restliche Reihe konvergiert. Damit kann man endlich viele konvergente
Reihen bauen. Wenn man aber die Aneinanderreihung aller weggelassenen
Ziffernkombinatonen betrachtet, z.B. 123...947111234567890, dann kommt
die zwar in der harmonischen Reihe, aber in keiner der konvergenten
Reihen vor.

Gruß, WM

[Walter H.]

Post by Ralf Bader

Post by Walter H.
welchen Anteil aller natürlichen Zahlen enthalten eine bestimmte Ziffer?
ich würde hier einfach mal ins blaue rund 1/10 schätzen;

Es gibt 8*9^k (k+1)-stellige Zahlen (8 Möglichkeiten für die erste
Ziffer, die weder 9 noch 0 sein darf, 9 Möglichkeiten für jede
folgende).

das gilt allgemin auch f. die anderen Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 od. 8

das sind quasi die Mengen IN \ IN_<k> mit k aus {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Post by Ralf Bader
Entsprechend gibt es insgesamt 9*10^k (k+1)-stellige Zahlen,
und für hinlänglich großes k ist das Verhältnis dieser Anzahlen beliebig
nahe bei 0. Die kleinste (k+1)-stellige Zahl, also die mit dem größten
Kehrwert, ist 10^k. Und es ist 8*9^k*10^(-k) = 8*(9/10)^k eine
konvergente geometrische Reihe in k.

damit wären aber alle diese Reihen konvergent;

wie sieht es mit folgender Menge aus:

alle natürlichen Zahlen ohne derer welche die Ziffer 1 nicht enthalten,
ohne derer welche die Ziffer 2 nicht enthalten,
ohne derer welche die Ziffer 3 nicht enthalten,
...
und ohne derer welche die Ziffer 9 nicht enthalten;

diese Reihe wär jetzt divergent, oder wie?

[WM]

Post by Walter H.

Post by Ralf Bader

Post by Walter H.
welchen Anteil aller natürlichen Zahlen enthalten eine bestimmte Ziffer?
ich würde hier einfach mal ins blaue rund 1/10 schätzen;

Es gibt 8*9^k (k+1)-stellige Zahlen (8 Möglichkeiten für die erste
Ziffer, die weder 9 noch 0 sein darf, 9 Möglichkeiten für jede folgende).

das gilt allgemin auch f. die anderen Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 od. 8

Auch für andere natürlich. Hier findest Du etwas mehr dazu und den
Mathematiker, der es bewiesen hat, allerdings in Englisch:
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/HI/HI02.PPT Folie 15.

Gruß, WM