Satz von Andreas Völler (1833 - 1859)

[Alfred Flaßhaar]

Hallo,

bei der Beschäftigung mit etwas Mathematikgeschichte stieß ich auf o. g.
Satz, der besagt,"daß bei irgend einer Curve das durch eine Sehne und
die Berührungslinien an deren Endpunkten gebildete Dreieck sich zu dem
durch dieselbe Sehne mit der Curve gebildeten Abschnitt um so näher wie
3 zu 2 verhalte, je kleiner die Sehne sei".

Der Satz ist nicht allzu kompliziert, aber heute unter diesem Namen
unbekannt.

Hierfür suche ich eine Quelle mit dem _ursprünglichen_ Beweis. In der
Glaskugel habe ich nichts gefunden und vielleicht kennt jemand der
Mitleser etwas Genaueres und kann helfen.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar
Hallo,
bei der Beschäftigung mit etwas Mathematikgeschichte stieß ich auf o. g.
Satz, der besagt,"daß bei irgend einer Curve das durch eine Sehne und
die Berührungslinien an deren Endpunkten gebildete Dreieck sich zu dem
durch dieselbe Sehne mit der Curve gebildeten Abschnitt um so näher wie
3 zu 2 verhalte, je kleiner die Sehne sei".
Der Satz ist nicht allzu kompliziert, aber heute unter diesem Namen
unbekannt.

Wenn man einige vereinfachende Annahmen macht, die aber größtenteils
"o.B.d.A." sein sollten, z.B.

- Nur Kurven betrachten, die durch eine Funktion f(x) beschrieben werden.
- Der erste Sekantenpunkt ist A(0;0), d.h. f(0)=0.
- f ist konvex.
- f'(0)=0

Allgemeinere Fälle sollten sich darauf zurückführen lassen (vermute ich
jedenfalls).

Post by Alfred Flaßhaar
Hierfür suche ich eine Quelle mit dem _ursprünglichen_ Beweis. In der
Glaskugel habe ich nichts gefunden und vielleicht kennt jemand der
Mitleser etwas Genaueres und kann helfen.

Das zwar nicht, aber:
Sicher, daß der Satz so stimmt? Beispiel: f(x)=x^4, betrachte die
Sekante durch die Punkte A(0;0) und B(u;f(u)) mit variablem Wert u.

Bei mir kommt als Verhältnis der beschriebenen Flächen(*) bei diesem
Beispiel immer konstant 5/4 raus (nicht als Grenzwert) und nicht 3/2.

Es kann aber sein, daß ich entweder die Aufgabe falsch verstanden habe
oder aber irgendeinen dummen Rechenfehler drin habe.


(*) Es steht zwar im Text leider nichts direkt von Flächen, aber der
Formulierung entnehme ich implizit daß es um Flächen geht.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Stephan Gerlach
Sicher, daß der Satz so stimmt?

Den Nebensatz in Anführungszeichen habe ich im Netz gefunden und hier
zitiert. Er soll aus einer alten Biographie stammen. Den Hinweis auf den
Satz fand ich in einer alten Alpha-Zeitschrift.

Es geht in dem Satz offenbar um den Grenzwert des Flächenverhältnisses
von "Dreieck über Sehne zu Kurve über der Sehne", wenn die Sehne immer
kürzer wird. Zur Veranschaulichung vielleicht folgende beispielhafte
Situation (ohne Skizze ist das schwer):

Parabel mit lokalem Maximum (wie z. B. y=-x^2), schräg verlaufende
Gerade schneidet Parabelbogen in den Punkten A und B, Strecke AB der
Länge c ist Sehne, Tangenten an A und B schneiden sich in C und bilden
Dreieck ABC mit Fläche F1, Parabelbogen von A bis B schließt Fläche F2 ein,

Behauptung des Völlerschen Satzes:
lim ((c-->0), F2/F1 = 3/2)

An dem Satz ist für mich interessant, unter welchen Voraussetzungen
wurde er ursprünglich bewiesen?

[Carlo XYZ]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)

Post by Stephan Gerlach
Sicher, daß der Satz so stimmt?

Den Nebensatz in Anführungszeichen habe ich im Netz gefunden und hier
zitiert. Er soll aus einer alten Biographie stammen. Den Hinweis auf den
Satz fand ich in einer alten Alpha-Zeitschrift.
Es geht in dem Satz offenbar um den Grenzwert des Flächenverhältnisses
von "Dreieck über Sehne zu Kurve über der Sehne", wenn die Sehne immer
kürzer wird. Zur Veranschaulichung vielleicht folgende beispielhafte
Parabel mit lokalem Maximum (wie z. B. y=-x^2), schräg verlaufende
Gerade schneidet Parabelbogen in den Punkten A und B, Strecke AB der
Länge c ist Sehne, Tangenten an A und B schneiden sich in C und bilden
Dreieck ABC mit Fläche F1, Parabelbogen von A bis B schließt Fläche F2 ein,
lim ((c-->0), F2/F1 = 3/2)
An dem Satz ist für mich interessant, unter welchen Voraussetzungen
wurde er ursprünglich bewiesen?

Mir kommt der Satz auch ziemlich unglaubwürdig vor.
Nimmt man einen Kreis als "Kurve", bleibt irgendwo
wohl ein \pi übrig, nur so über den Daumen gepeilt,
was mit dem 3:2 nicht so recht zusammen passen will.

Bei solchen Internet-Recherchefragen wäre es nett, wenn du
angeben würdest, wie weit du schon gekommen bist. Zum
Beispiel wäre <https://de.wikisource.org/wiki/ADB:Völler,_Andreas>
zu Herrn Völler zu nennen. Meine erste Recherche hatte mich auf
den Namen "Cantor" gebracht, es handelt sich aber um einen
anderen als den sehr bekannten Gregor, nämlich um Moritz,
Autor bzw. Herausgeber eines monumentalen Werkes über die
Geschichte der Mathematik. Dort recherchierte ich zuerst
in dem Geometrie-Artikel

<https://archive.org/details/vorlesungenber04cantuoft/page/450/mode/2up>

der einige interessante Bemerkungen enthält, nur leider nichts
über den Kurvensatz, so weit ich sehen kann. Über den Namen
Grunert bin ich später auf das hier gestoßen:

<https://archive.org/details/archivdermathem34grungoog/page/n474/mode/2up>

Man sieht auf dieser Seite ganz unten immerhin das Ergebnis
auftauchen, das dir am Herzen liegt. Nur scheint leider die
Digitalisierung teilweise in die Hose gegangen zu sein...
Zurückblätternd kann ich deswegen keine einschränkenden
Satzvoraussetzungen sehen. (Oder es liegt an meinem Browser.)

Vielleicht hilft dir das trotzdem weiter, und du kannst
vom sichtbaren Text vielleicht raten, um was es genau geht.

[Carlo XYZ]

Post by Carlo XYZ
anderen als den sehr bekannten Gregor, nämlich um Moritz,

[corr.:] Georg

[Alfred Flaßhaar]

Bisher konnte ich mich nur grob erinnern, schon mal etwas dazu gelesen
zu haben, aber im Alpha-Heft 2 vom April 1992, S. 11, fand ich nun (nach
Abstauben einer Papierladung) einen Beweis für den Kreis. Geprüft habe
ich die Korrektheit noch nicht, aber ich unterstelle zunächst, daß in
einer Schülerzeitschrift von der Redaktion gut aufgepaßt wurde. In dem
Artikel wird auf Grunerts ArchivXXXI, 1858, S. 449, hingewiesen. Mich
interessiert, ob der Satz ursprünglich für allgemeinere Kurven und unter
welchen Voraussetzungen bewiesen wurde. Interessant ist auch die
Entwicklung der math. Fachsprache (z. B. Berührlinien - Tangenten).

Bei Interesse sende ich Kopie gern als Anhang einer pm.

[Alfred Flaßhaar]

.

Danke für die links. Anscheinend ist die Digitalisierung dort
schiefgegangen, am Browser liegt es nicht.

Der mir nun vorliegende Beweis ist zwar schülergerecht aufbereitet, aber
er ist korrekt und weist 3/2 nach. Damit ist (mal so als Konzept) der
Beweis für (stetig differenzierbare) Konkav- oder Konvexbögen mit Hilfe
des im Grenzpunkt befindlichen Krümungskreis möglich, wenn man es für
den Kreis bewiesen hat.

Leider hat auch der Verfasser des Alpha-Artikels keine weiteren Quellen.

[Carlo XYZ]

Post by Alfred Flaßhaar
Danke für die links. Anscheinend ist die Digitalisierung dort
schiefgegangen, am Browser liegt es nicht.

Damit kann ich dir jetzt weiterhelfen: lade die .pdf-Datei
herunter, die im Link rechts unten unter "Download Options"
und dann "PDF" angegeben ist (circa 30MB mit dem Namen
"archivdermathem34grungoog.pdf"). Dort sind die im Browser
fehlenden Seiten zu finden.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Carlo XYZ
Damit kann ich dir jetzt weiterhelfen: lade die .pdf-Datei
herunter, die im Link rechts unten unter "Download Options"
und dann "PDF" angegeben ist (circa 30MB mit dem Namen
"archivdermathem34grungoog.pdf"). Dort sind die im Browser
fehlenden Seiten zu finden.

Danke, hat funktioniert. Leider fehlen aber auch dort die Buchseiten 454
- 457. Es sind stattdessen Fremdseiten vorhanden. Werde jetzt auf Suche
im pdf gehen.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

p. s.
Den Digitalisierern ist anscheinend beim Scannen das Buch
auseinandergefallen. Jede Menge Seitenmischung und Lücken sind vorhanden.

[Carlo XYZ]

Post by Alfred Flaßhaar
Danke, hat funktioniert. Leider fehlen aber auch dort die Buchseiten 454
- 457. Es sind stattdessen Fremdseiten vorhanden. Werde jetzt auf Suche
im pdf gehen.

Genügen nicht 449 bis 453? Am Anfang dieses Abschnitts
steht die Behauptung, die du auch zuerst erwähnt hast,
und am Ende "... also 3:2". Dazwischen geht es bis zur
4. Ableitung (Voraussetzung müsste also sein, dass sie
existiert).

Für die folgenden Seiten: Vielleicht lässt sich über
Fernleihe etwas machen? Das ist aber inzwischen teuer
geworden, so weit ich weiß.

[Alfred Flaßhaar]

Den ursprünglichen Beweis, soweit er in liederlicher und unvollständiger
Digitalisierung vorliegt (auch die Tafeln mit Skizzen fehlen), in

<https://archive.org/details/archivdermathem34grungoog/page/n474/mode/2up>

habe ich mir genauer angesehen. Er erfolgt als cartesische fleißige
Koordinatenrechnung und der entscheidende Schluß wird nach viermalig
angewendeter Differentiationsregel nach de L’Hospital erreicht. Leider
werden die Voraussetzungen des Völlerschen Satzes aus heutiger Sicht
nicht klar formuliert, was mich speziell interessierte. Möglicherweise
gehörte zum damaligen Verständnis z. B. des Wortes "Curve"
stillschweigend die Eigenschaft "differenzierbar". Mit Hilfe CAS und
symbolischer Rechnung sollte der Beweis leicht zu aktualisieren sein.

[Carlo XYZ]

Post by Alfred Flaßhaar
Den ursprünglichen Beweis, soweit er in liederlicher und unvollständiger
Digitalisierung vorliegt (auch die Tafeln mit Skizzen fehlen), in
<https://archive.org/details/archivdermathem34grungoog/page/n474/mode/2up>
habe ich mir genauer angesehen. Er erfolgt als cartesische fleißige
Koordinatenrechnung und der entscheidende Schluß wird nach viermalig
angewendeter Differentiationsregel nach de L’Hospital erreicht. Leider
werden die Voraussetzungen des Völlerschen Satzes aus heutiger Sicht
nicht klar formuliert, was mich speziell interessierte. Möglicherweise
gehörte zum damaligen Verständnis z. B. des Wortes "Curve"
stillschweigend die Eigenschaft "differenzierbar". Mit Hilfe CAS und
symbolischer Rechnung sollte der Beweis leicht zu aktualisieren sein.

Genau so sehe ich das auch.

Auf diese "cartesische fleißige Koordinatenrechnung" habe ich kein
bisschen Lust, wohl aber oft darauf, virtuell in alten Büchern zu
"blättern"...

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Carlo XYZ
Auf diese "cartesische fleißige Koordinatenrechnung" habe ich kein
bisschen Lust, wohl aber oft darauf, virtuell in alten Büchern zu
"blättern"...

Geht mir genauso. Und ohne Deine Hilfe hätte ich mich mit der digitalen
Quelle nicht beschäftigen können. Nochmals meinen Dank.

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)

Post by Stephan Gerlach
Sicher, daß der Satz so stimmt?

Den Nebensatz in Anführungszeichen habe ich im Netz gefunden und hier
zitiert. Er soll aus einer alten Biographie stammen. Den Hinweis auf den
Satz fand ich in einer alten Alpha-Zeitschrift.
Es geht in dem Satz offenbar um den Grenzwert des Flächenverhältnisses
von "Dreieck über Sehne zu Kurve über der Sehne", wenn die Sehne immer
kürzer wird. Zur Veranschaulichung vielleicht folgende beispielhafte
Parabel mit lokalem Maximum (wie z. B. y=-x^2), schräg verlaufende
Gerade schneidet Parabelbogen in den Punkten A und B, Strecke AB der
Länge c ist Sehne, Tangenten an A und B schneiden sich in C und bilden
Dreieck ABC mit Fläche F1,

Bis hierhin habe ich das i.W. genauso verstanden.

Post by Alfred Flaßhaar
Parabelbogen von A bis B schließt Fläche F2 ein,

Schließt eine Fläche womit ein? Mit der Sekante bzw. Sehne durch die
Punkte A und B?

Post by Alfred Flaßhaar
lim ((c-->0), F2/F1 = 3/2)

Hier ist möglicherweise die Problematik, wie dieser Grenzwert zu
verstehen ist. In deiner Beschreibung hast du ja 2 variable Punkte; c
hängt von A und B ab.
Daher meine Idee, einen der beiden Punkte fix zu lassen.
Ich hatte (zur Vereinfachung) sogar zunächst angenommen, daß dieser fixe
Punkt A(0;0) ist. B(u;f(u)) hatte ich als zweiten Punkt variabel angenommen.

Dann sollte der Grenzübergang c-->0 äquivalent zum (einfacheren)
Grenzübergang u-->0 sein?!

Anschaulich: Wenn die x-Koordinate u des Punktes B gegen 0 geht, dann
wird auch die Sehnenlänge c immer kürzer.

Post by Alfred Flaßhaar
An dem Satz ist für mich interessant, unter welchen Voraussetzungen
wurde er ursprünglich bewiesen?

Wie gesagt weiß ich das leider nicht.

Allerdings, wenn du einen Beweis gefunden hast:

Kannst du diesen Beweis am Beispiel nachvollziehen:
- Kurve f(x)=x^4
- Sehne durch A(0;0) und B(u;f(u)).
Besonderheit: Einer der beiden Punkte ist fest, und die Tangente in
diesem Punkt A ist einfach die x-Achse.

Hier sollte sich der genannte Limes relativ direkt ausrechnen lassen.
Wenn der Satz bzw. der Beweis dazu stimmt, sollte auch für dieses
Beispiel 3/2 rauskommen.

Wie schon gesagt, sollte das auch über den Limes u-->0 statt c-->0
funktionieren, da (anschaulich) gilt:
"wenn u sehr klein ist, dann ist auch c sehr klein".

[Alfred Flaßhaar]

Post by Stephan Gerlach

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Parabelbogen von A bis B schließt Fläche F2 ein,

Schließt eine Fläche womit ein? Mit der Sekante bzw. Sehne durch die
Punkte A und B?

Ja. Folgende Erläuterung:

Gegeben sei der Konvex- oder Konkavbogen einer ebenen reellen Kurve, der
stetig differenzierbar sei (Satz von Rademacher über konvexe Funktionen
lasse ich hier weg). Eine Gerade schneide den Kurvenbogen in den Punkten
A und B. Auf dem Kurvenbogen sei P ein zwischen A und B fest gewählter
innerer Punkt. Die Punkte A und B seien Endpunkte der Strecke c. Die
Tangenten in A und B an den Kurvenbogen mögen sich im Punkt C schneiden.

Behauptung des Völlerschen Satzes:

Ist F1 die Fläche des Dreiecks ABC und F2 die Fläche zwischen dem
Bogenabschnitt AB und der Strecke c, dann ist
lim (c-->0, F1/F2) = 3/2

(Anstelle c-->0 kann auch A,B-->P betrachtet werden. P bleibt also beim
Grenzübergang innerer Punkt des Kurvenbogens.)

Für den Kreis als Kurve ist der Beweis einfach. Interessant wird er für
Konkav-/Konvexbögen von "Nichtkreisen".

Gruß, Alfred

[Martin Vaeth]

Post by Alfred Flaßhaar
Eine Gerade schneide den Kurvenbogen in den Punkten
A und B. Auf dem Kurvenbogen sei P ein zwischen A und B fest gewählter
innerer Punkt. Die Punkte A und B seien Endpunkte der Strecke c. Die
Tangenten in A und B an den Kurvenbogen mögen sich im Punkt C schneiden.
Ist F1 die Fläche des Dreiecks ABC und F2 die Fläche zwischen dem
Bogenabschnitt AB und der Strecke c, dann ist
lim (c-->0, F1/F2) = 3/2
(Anstelle c-->0 kann auch A,B-->P betrachtet werden. P bleibt also beim
Grenzübergang innerer Punkt des Kurvenbogens.)
Für den Kreis als Kurve ist der Beweis einfach. Interessant wird er für
Konkav-/Konvexbögen von "Nichtkreisen".

Ich vermute, die "richtige" Voraussetzung ist C^2 mit Krümmung ungleich 0
in P. Vielleicht reicht sogar zweimal differenzierbar in P aus.
Beweisidee: Lege einen Kreis durch A, B, P. Für c->0 konvergiert "dieser"
gegen den Krümmungskreis (in dem Sinne, dass die Tangenten und
entsprechenden Flächenverhältnisse konvergieren). Damit kann man dann
vermutlich den Beweis für den Fall eines Kreises als Kurve zurückführen.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Martin Vaeth
Beweisidee: Lege einen Kreis durch A, B, P. Für c->0 konvergiert "dieser"
gegen den Krümmungskreis (in dem Sinne, dass die Tangenten und
entsprechenden Flächenverhältnisse konvergieren). Damit kann man dann
vermutlich den Beweis für den Fall eines Kreises als Kurve zurückführen.

Genauso war auch mein Konzeptgedanke im posting am 3.1., 11.30. Unter
der Voraussetzung überall (nicht nur fast überall, "Rademacher")
stetiger 1. Ableitung im offenen Bogen APB sollte der Konvergenznachweis
klappen.

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Parabelbogen von A bis B schließt Fläche F2 ein,

Schließt eine Fläche womit ein? Mit der Sekante bzw. Sehne durch die
Punkte A und B?

Gegeben sei der Konvex- oder Konkavbogen einer ebenen reellen Kurve, der
stetig differenzierbar sei (Satz von Rademacher über konvexe Funktionen
lasse ich hier weg).

Da sollte f(x)=x^4 eine "zulässige" Kurve sein bzw. jeder Kurvenbogen davon.

Post by Alfred Flaßhaar
Eine Gerade schneide den Kurvenbogen in den Punkten
A und B.

Ja. Hier ist jetzt allerdings (noch) nicht klar, wie später die Punkte A
und B beim Grenzübergang c-->0 auf dem Kurvenbogen "wandern".
Können/müssen beide Punkte "wandern"? Oder kann man einen der beiden
fest lassen, und nur der andere Punkt "wandert"?
Letztere Variante hatte ich ja in meinem Gegenbeispiel benutzt, wo quasi
im Grenzübergang B-->A geht und damit c-->0.

Da kam ich aber immer auf einen Grenzwert von 5/4 (das Flächenverhältnis
ist BTW sogar konstant, womit der Grenzwert trivialerweise 5/4 ist).

Post by Alfred Flaßhaar
Auf dem Kurvenbogen sei P ein zwischen A und B fest gewählter
innerer Punkt.

OK, das ist jetzt neu. Ich muß mir erstmal überlegen, welche Relevanz
dieser Punkt P in Bezug auf die "Aufgabenstellung" hat.

Post by Alfred Flaßhaar
Die Punkte A und B seien Endpunkte der Strecke c.

Ja, das ist klar.

Post by Alfred Flaßhaar
Die
Tangenten in A und B an den Kurvenbogen mögen sich im Punkt C schneiden.

Soweit klar. Bei meinem Beispiel liegt C immer auf der x-Achse.
Genauer: C(x;0), wobei x die Nullstelle der Tangente in B ist.

Post by Alfred Flaßhaar
Ist F1 die Fläche des Dreiecks ABC und F2 die Fläche zwischen dem
Bogenabschnitt AB und der Strecke c, dann ist
lim (c-->0, F1/F2) = 3/2

Hier ist mir (immer noch nicht) klar, ob und wieso hier mein
Gegenbeispiel nicht gelten sollte.
Wenn ich A fest lasse und "B gegen A" gehen lasse, dann geht auch c gegen 0.

Der Punkt P findet in der Behauptung keine weitere Erwähnung.

Post by Alfred Flaßhaar
(Anstelle c-->0 kann auch A,B-->P betrachtet werden. P bleibt also beim
Grenzübergang innerer Punkt des Kurvenbogens.)

Jetzt scheint der Punkt P doch wieder eine Rolle zu spielen.

Das harmlos erscheinende "anstelle" ist mir nicht ganz so klar.
c-->0 kann auch wie gesagt B-->A bedeuten. Für diesen Fall gibt es aber
offenbar einfache Gegenbeispiele, daß im Grenzwert nicht 3/2 rauskommt.
Daß A und B beide(?) gegen P gehen führt zwar auch zu c-->0, aber nicht
äquivalent.

Anders gesagt:
Wenn A und B beide gegen P gehen, dann geht zwar c gegen 0. Aber
umgekehrt ist das überhaupt nicht klar.

Noch anders gesagt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie der Grenzübergang c gegen 0
auszuführen ist.

Gewagte Vermutung:
Ist der Grenzübergang c-->0 etwa so zu führen, daß die Sekanten parallel
in den Punkt P verschoben werden?

Auch wenn das in der exakten Formulierung des Satzes so möglicherweise
nicht steht, kann man das vielleicht aus dem Beweis herauslesen(?).

Post by Alfred Flaßhaar
Für den Kreis als Kurve ist der Beweis einfach.

Wenn man den Grenzübergang so ausführt, daß die "immer kürzer werdenden
Sehnen" alle parallel sind, vermute ich?!
D.h. (anschaulich) man verschiebt die Sehne durch A und B mittels
Parallelverschiebung immer mehr in Richtung Kreisrand.

Post by Alfred Flaßhaar
Interessant wird er für
Konkav-/Konvexbögen von "Nichtkreisen".

Das sicher.

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Parabelbogen von A bis B schließt Fläche F2 ein,

Schließt eine Fläche womit ein? Mit der Sekante bzw. Sehne durch die
Punkte A und B?

Gegeben sei der Konvex- oder Konkavbogen einer ebenen reellen Kurve, der
stetig differenzierbar sei (Satz von Rademacher über konvexe Funktionen
lasse ich hier weg).

Da sollte f(x)=x^4 eine "zulässige" Kurve sein bzw. jeder Kurvenbogen davon.

Post by Alfred Flaßhaar
Eine Gerade schneide den Kurvenbogen in den Punkten
A und B.

Ja. Hier ist jetzt allerdings (noch) nicht klar, wie später die Punkte A
und B beim Grenzübergang c-->0 auf dem Kurvenbogen "wandern".
Können/müssen beide Punkte "wandern"? Oder kann man einen der beiden
fest lassen, und nur der andere Punkt "wandert"?
Letztere Variante hatte ich ja in meinem Gegenbeispiel benutzt, wo quasi
im Grenzübergang B-->A geht und damit c-->0.

Da kam ich aber immer auf einen Grenzwert von 5/4 (das Flächenverhältnis
ist BTW sogar konstant, womit der Grenzwert trivialerweise 5/4 ist).

Post by Alfred Flaßhaar
Auf dem Kurvenbogen sei P ein zwischen A und B fest gewählter
innerer Punkt.

OK, das ist jetzt neu. Ich muß mir erstmal überlegen, welche Relevanz
dieser Punkt P in Bezug auf die "Aufgabenstellung" hat.

Post by Alfred Flaßhaar
Die Punkte A und B seien Endpunkte der Strecke c.

Ja, das ist klar.

Post by Alfred Flaßhaar
Die
Tangenten in A und B an den Kurvenbogen mögen sich im Punkt C schneiden.

Soweit klar. Bei meinem Beispiel liegt C immer auf der x-Achse.
Genauer: C(x;0), wobei x die Nullstelle der Tangente in B ist.

Post by Alfred Flaßhaar
Ist F1 die Fläche des Dreiecks ABC und F2 die Fläche zwischen dem
Bogenabschnitt AB und der Strecke c, dann ist
lim (c-->0, F1/F2) = 3/2

Hier ist mir (immer noch nicht) klar, ob und wieso hier mein
Gegenbeispiel nicht gelten sollte.
Wenn ich A fest lasse und "B gegen A" gehen lasse, dann geht auch c gegen 0.

Der Punkt P findet in der Behauptung keine weitere Erwähnung.

Post by Alfred Flaßhaar
(Anstelle c-->0 kann auch A,B-->P betrachtet werden. P bleibt also beim
Grenzübergang innerer Punkt des Kurvenbogens.)

Jetzt scheint der Punkt P doch wieder eine Rolle zu spielen.

Das harmlos erscheinende "anstelle" ist mir nicht ganz so klar.
c-->0 kann auch wie gesagt B-->A bedeuten. Für diesen Fall gibt es aber
offenbar einfache Gegenbeispiele, daß im Grenzwert nicht 3/2 rauskommt.
Daß A und B beide(?) gegen P gehen führt zwar auch zu c-->0, aber nicht
äquivalent.

Anders gesagt:
Wenn A und B beide gegen P gehen, dann geht zwar c gegen 0. Aber
umgekehrt ist das überhaupt nicht klar.

Noch anders gesagt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie der Grenzübergang c gegen 0
auszuführen ist.

Gewagte Vermutung:
Ist der Grenzübergang c-->0 etwa so zu führen, daß die Sekanten parallel
in den Punkt P verschoben werden?

Auch wenn das in der exakten Formulierung des Satzes so möglicherweise
nicht steht, kann man das vielleicht aus dem Beweis herauslesen(?).

Im Übrigen scheint eine wichtige Zusatzvoraussetzung zu sein, daß P
innerer Punkt ist (was du in Klammern geschrieben hast).

Mit dieser Zusatzvoraussetzung funktioniert mein Gegenbeispiel nämlich
nicht mehr so einfach.

Post by Alfred Flaßhaar
Für den Kreis als Kurve ist der Beweis einfach.

Wenn man den Grenzübergang so ausführt, daß die "immer kürzer werdenden
Sehnen" alle parallel sind, vermute ich?!
D.h. (anschaulich) man verschiebt die Sehne durch A und B mittels
Parallelverschiebung immer mehr in Richtung Kreisrand.

Post by Alfred Flaßhaar
Interessant wird er für
Konkav-/Konvexbögen von "Nichtkreisen".

Das sicher.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Stephan Gerlach

(...)

Da sollte f(x)=x^4 eine "zulässige" Kurve sein bzw. jeder Kurvenbogen davon.

Ja.

Post by Stephan Gerlach

Eine Gerade schneide den Kurvenbogen in den Punkten A und B.

Ja. Hier ist jetzt allerdings (noch) nicht klar, wie später die Punkte A
und B beim Grenzübergang c-->0 auf dem Kurvenbogen "wandern".
Können/müssen beide Punkte "wandern"? Oder kann man einen der beiden
fest lassen, und nur der andere Punkt "wandert"?

Nein, A und B sind beide beweglich.
Punkt P liegt auf dem offenen Bogen, der von A und B begrenzt wird. P
liegt daher im Inneren des Bogens und Festhalten von A oder B ist
ausgeschlossen. (*)

Post by Stephan Gerlach
Letztere Variante hatte ich ja in meinem Gegenbeispiel benutzt, wo quasi
 im Grenzübergang B-->A geht und damit c-->0.

(...)

Post by Stephan Gerlach
Der Punkt P findet in der Behauptung keine weitere Erwähnung.

... aber in seinen Voraussetzungen.
(...)

Post by Stephan Gerlach
Das harmlos erscheinende "anstelle" ist mir nicht ganz so klar.
c-->0 kann auch wie gesagt B-->A bedeuten.

Da (*) vorausgesetzt wird, gilt A, B---> gdw. c-->0 gdw. A, B-->P.
(...)

Post by Stephan Gerlach
Ist der Grenzübergang c-->0 etwa so zu führen, daß die Sekanten parallel
in den Punkt P verschoben werden?

Ist nicht notwendig.

Post by Stephan Gerlach
Auch wenn das in der exakten Formulierung des Satzes so möglicherweise
nicht steht, kann man das vielleicht aus dem Beweis herauslesen(?).

Der ursprüngliche Beweis von "Doctor Völler" liegt mir noch nicht vor.
Im schülergerechten "Kreisnachweis ist das nicht erforderlich. Und auch
der allgemeinere Ansatz von Martin setzt das nicht voraus.

Post by Stephan Gerlach
Im Übrigen scheint eine wichtige Zusatzvoraussetzung zu sein, daß P
innerer Punkt ist (was du in Klammern geschrieben hast).

Ja.

Post by Stephan Gerlach

Interessant wird er für Konkav-/Konvexbögen von "Nichtkreisen".

Das sicher.

... etwas aus der üblichen Einführung zur Differentialgeometrie.

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach

Eine Gerade schneide den Kurvenbogen in den Punkten A und B.

Ja. Hier ist jetzt allerdings (noch) nicht klar, wie später die Punkte A
und B beim Grenzübergang c-->0 auf dem Kurvenbogen "wandern".
Können/müssen beide Punkte "wandern"? Oder kann man einen der beiden
fest lassen, und nur der andere Punkt "wandert"?

Nein, A und B sind beide beweglich.
Punkt P liegt auf dem offenen Bogen, der von A und B begrenzt wird. P
liegt daher im Inneren des Bogens und Festhalten von A oder B ist
ausgeschlossen. (*)

OK, d.h. man genaugenommen sogar zwei Grenzübergänge:
A-->P und B-->P.

Genaugenommen bezieht sich ein Operator wie
lim(c-->0)
(im ursprünglichen Sinne) ja erstmal auf eine Funktion g(c) in *einer*
Variable c. Wenn ich aber A und B beide variiere, habe ich schonmal 2
Parameter (z.B. die x-Koordinaten der beiden Punkte oder zwei
Kurvenparameter, wenn die Kurve als Parameterdarstellung gegeben ist),
mit denen der Grenzübergang durchzuführen ist.

Bzw. anders gesagt das fragliche Flächenverhältnis F1/F2 hängt dann
nicht nur von der Sehnenlänge c ab, sondern auch davon, wo auf der Kurve
diese Sehne "angelegt" wird. Insofern ist F1/F2 erstmal nicht eine
wohldefinierte Funktion g(c) von nur einer Variable c, sondern hängt
zusätzlich (mindestens) von A (oder B) ab.

Möglicherweise ist das aber auch bei "hinreichender Regularität" der
Kurve bzw. geeigneter Definition des lim(c-->0) egal, wie nun genau c
gegen 0 geht.

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach
Letztere Variante hatte ich ja in meinem Gegenbeispiel benutzt, wo quasi
im Grenzübergang B-->A geht und damit c-->0.

(...)

Post by Stephan Gerlach
Der Punkt P findet in der Behauptung keine weitere Erwähnung.

... aber in seinen Voraussetzungen.
(...)

Post by Stephan Gerlach
Das harmlos erscheinende "anstelle" ist mir nicht ganz so klar.
c-->0 kann auch wie gesagt B-->A bedeuten.

Da (*) vorausgesetzt wird, gilt A, B---> gdw. c-->0 gdw. A, B-->P.
(...)

Bei A, B---> fehlt vielleicht etwas nach dem Pfeil?!

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Stephan Gerlach
Ist der Grenzübergang c-->0 etwa so zu führen, daß die Sekanten parallel
in den Punkt P verschoben werden?

Ist nicht notwendig.

Ich habe mir nun ein weiteres Beispiel überlegt, wo die Sekanten
parallel in P verschoben werden; es ist sogar einfacher als mein erstes
Beispiel.
Diesmal gibt's ein Bild dazu: <Loading Image...>

Es geht um die Kurve/Funktion f(x)=x^4.
Die Punkte sind A(-u|f(-u)), B(u|f(u)) und P(0|0), die Sehne c verläuft
zwischen A und B.
Die Tangente t in B lautet t(x) = 4u³ x - 3u^4;
die Tangente s in A lautet s(x) = -4u³ x - 3u^4.
Der Punkt C ergibt sich als C(0|-3u^4).

Wenn ich richtig verstehe, sollte es um das Verhältnis der gelben Fläche
F1 (Dreieck ABC) zur magentafarbenen Fläche F2 (Flächen zwischen c und
f) gehen?!

Den Grenzübergang c-->0 führe ich jetzt so, daß die Sekante bzw. Sehne c
parallel nach unten verschoben wird. Dabei ist P wie verlangt immer ein
innerer Punkt; A und B wandern "gleichmäßig von beiden Seiten" gegen P.
Hier ist offensichtlich c-->0 äquivalent zu u-->0, weil hier einfach
c=2u gilt.

Evtl. habe ich mich ja verrechnet, oder ich habe einfach das falsche
Flächenverhältnis betrachtet, aber ich komme mit diesem Beispiel
(wieder) auf ein konstantes Flächenverhältnis, welches nicht 3/2 ist,
womit auch der Grenzwert für c-->0 nicht 3/2 ist.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Stephan Gerlach
Wenn ich richtig verstehe, sollte es um das Verhältnis der gelben Fläche
F1 (Dreieck ABC) zur magentafarbenen Fläche F2 (Flächen zwischen c und
f) gehen?!

Ja. Dein Beispiel habe ich nachgerechnet und komme auf konstantes 2,5
als Flächenverhältnis. Da der Völlersche Satz für den Kreis zweifelsfrei
korrekt ist, muß in den "verdeckten" nicht weiter aufgeführten
Voraussetzungen des ursprünglichen Beweises für "beliebige Curven" noch
eine Forderung/Voraussetzung stecken, die evtl. aus den nicht digital
vorhandenen Skizzen zu folgern sind. Also werde ich danach suchen.
Möglicherweise hängt das mit der Krümmung und daher mit dem "unendlich"
großen Krümmungsradius beim Parabelscheitel im Koordinatenursprung
zusammen. Das klingt merkwürdig, denn das Flächenverhältnis ist eine
rein geometrische Angelegenheit und sollte vom Koordinatensystem
unabhängig sein. Vielleicht klärt eine verschobene Parabel etwas.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Den Völler-Beweis habe ich mir nochmal gründlich vorgenommen. In den
elend großen Koordinatenbandwürmer stecken verheimlichte
Voraussetzungen. "Beliebige Curven", für die der Satz gilt, müssen in
der offenen Berechnungsumgebung des Ziel-/Konvergenzpunktes eine erste
und zweite stetige Ableitung besitzen. Im Zielpunkt der
Konvergenzuntersuchung muß die zweite Ableitung von Null verschieden
sein, wie im Term am Beweisende erkennbar wird. Aussagen im Beweis
fehlen dazu. Ebenfalls fehlt der Monotonienachweis (sh. Beweis der Regel
nach L´Hospital) für die rationalen Bandwürmer, auf die die
L´Hospitalregel angewendet wird. Das zu untersuchen habe ich mir nicht
zumuten wollen. Daher ist es hinreichend vorauszusetzen, daß f(x) in der
offenen Umgebung des Zielpunktes streng monoton ist.

Mit Deinem Beispiel/Gegenbeispiel (hier ist f´´(0) = 0 und f nicht
streng monoton) hast Du diese Beweisschwäche aufgedeckt.

Es ist immer wieder interessant, mit welcher Fachsprache und Denkweise
damals Dinge als selbstverständlich unbenannt vorausgesetzt wurden.
Vermutlich war dies zu der Zeit üblich, Dinge über die wir heutzutage in
unserer Pingeligkeit stolpern, stillschweigend vorauszusetzen. Es ist
eine interessante Aussage und ich werde nun versuchen, die
Voraussetzungen mit Hilfe der Jensen-Ungleichung zu fassen. Vielleicht
fällt dabei auch etwas für die Zahl Pi ab.

Freundliche Wochenendgrüße, Alfred

[Jens Kallup]

Hallo Alfred,

ich habe das folgende zusammen getragen.
Vielleicht nützlich.
Bild ist aber sehr dunkel - Aufgenommen in meinen
kleinen Arbeitszimmer:

http://www.kallup.net/

Gruß, Jens

[Alfred Flaßhaar]

Am 06.02.2021 um 17:44 schrieb Jens Kallup:

(...)

Hallo Jens,

es wäre hilfreich, wenn Du das Beispiel kurz erläutern würdest. Das
Beispiel und sein Ergebnis verstehe ich nicht.

Gruß, Alfred

[Jens Kallup]

Hallo Alfred,

in Bezug auf Stephan Gerlach's Posting und die beiliegende
Grafik, hab ich ersteinmal das Dreieck mit Deinen 2.5 Einheiten
berechnet.
Die 2.5 resultieren ja als Tiefpunkt oder wie sagt man?
Sie schneiden sich bei -2.5 Einheiten in der graphen-Achse
f(x) bzw y bei -2.5 Einheiten.
Da der Winkel gamma 90 Grad hat, am oberen Ende der y-Achse (0)
habe ich ersteinmal die beiden Dreiecke ausgrechnet.
Vorher habe ich die Ausdehnung (b1 und b2) berechnet die sich
and den Punkt (-1;1) sowie Punkt (1;1) ergeben (auf Grundlage
der f(x) = x^4

b1 und b2 betragen jeweils "eine" (1 Einheit).
daraus ergibt sich für das untere Dreieck:

Winkel alpha = 68.199 Grad,
Winkel beta = 21.801 Grad, und
Winkel gamma = 90.000 Grad.

Die beiden Dreieck-Seiten c1 und c2 betragen jeweils 2.693 Einheiten.

Die Fläche des Dreiecks ergibt sich aus den beiden Dreiecken
(links und rechts)
mit jeweils: 1.25 Einheiten (2 mal 1.25 = 2.5 Einheiten)
zur Probe:
die Höhe a:

ha = b1 * sinus(gamma)
ha = 1 * sinue(90)
ha = 1 * 1
ha = 1

a * ha 2.5 * 1
A = -------- = --------- = 1.25
2 2

Nun zur Funktion: f(x) = x^4

Stammfunktion ist: F(x) = 1/5 * x^5

Integral (da habe ich ein Schranke 0 und 1 vorausgesetzt,
also untere Schreanke 0 und obere Schranke 1 (so wie in Stephan's
Grafik)

1
_
_/ x^4 * dx

0

= F(1) - F(0)

= 1/5 * 1^5 - (1/5 * 0^5)
= 1/5

Diese 1/5 habe ich gespiegelt, 2x genommen =

1 2 2
--- * --- = --- = 0,4
5 1 5

Wieder zurück zum Dreieck im unteren Bereich des Graphen:

A = 1.25 * 2 (sind ja 2 Seiten)
A = 2.50

A mit Integral multipliziert ergibt:
2.50 * 0,4 = 1

Jetzt habe ich das Verhältnis 3/2 zu 1/2 gesetzt und
erhalte: 3/4 = 0.75

Da aber 1/2 tja wie soll ich sagen, nur die Hälfte der
Fläche ist, muss man diese 0.75 nochmal mit 2 multiplizieren
oder mit sich selbst addieren.

Also:

3 2 6
--- * --- = --- =
4 1 5


0.75
+ 0.75
-------
= 1,50


und 3/2 sind 1,50, was dann schließlich zu einem

1 zu 1 oder
1 : 1 Abbildung führt.

Schlussendlich kann ich sagen, das die Flächen gleich sind.
Oder hab ich mich da irgendwo verrechnet?

Gruß, Jens

[Alfred Flaßhaar]

Am 06.02.2021 um 18:43 schrieb Jens Kallup:

(...)

Hallo Jens,

irgendwie besteht ein Mißverständnis. Die 2,5 sind das Ergebnis aus der
Berechnung des Flächenverhältnisses bei Stephan´s Ansatz der Situation
y=x^4 symmetrisch zum Ursprung und nicht der "Startwert". In folgenden
Schritten ist die 2,5 erreichbar:

Darstellung von y=x^4 im Koordinatensystem in der Umgebung des Ursprungs
im 1. unds 2. Quadranten

Wahl zweier symmetrisch zur y-Achse liegender Kurvenpunkte A und B und
Berechnung der Tangentengleichungen mit Hilfe Punkt-
Richtungsgleichung

Berechnung des Tangentenschnittpunktes C

Berechnung der Dreiecksfläche ABC: A1

Zeichnen der Geraden durch A und B und Berechnung der Fläche A2, die von
Gerade AB und der Kurve y=x^4 eingeschlossen wird (aus "Rechteck minus
best. Integral")

Berechnung A1/A2 und Feststellung der Constanz 2,5 bei symmetrischer
Bewegung von A und B auf der Kurve in Richtung Ursprung

Aus diesem Ergebnis ist zum Völlerschen Satz zu schlußfolgern, daß
damals versäumt wurde, weitere einschränkende Voraussetzungen für den
Beweis zu benennen.

Gruß, Alfred

[Jens Kallup]

Post by Alfred Flaßhaar
irgendwie besteht ein Mißverständnis. Die 2,5 sind das Ergebnis aus der
Berechnung des Flächenverhältnisses bei Stephan´s Ansatz der Situation
y=x^4 symmetrisch zum Ursprung und nicht der "Startwert".

nun gut. Ich hatte die 2.5 auch als Ergebnis angesehen.
Bin aber mit meinen Ausführungen dahingehend die 3/2 zu betrachten.
Also die Flächen.
Weil im Posting was mit Flächen stand.
Den oberen Graphen,

also die f(x) = x^4

habe ich mit eingeschlossen und habe das Integral dieses berechnet.
Ich bin dann auch bei den beiden Punkten auf 1 gekommen.
Also

-X := 1; +Y := 1, sowie
+X := 1; +Y := 1.

auf dieser Basis habe ich dann das untere Dreieck berechnet, indem ich
den Winkel an der Y-Achse und der X-Achse (gamma) fest auf 90 Grad
belassen habe und die Seite c für beide Dreiecks-Hälften (ist im Grunde
nur eine Spiegelung) berechnet habe, und bin dann auf die 2.5 Einheiten
gekommen.

Dann habe ich noch die Fläche A des Dreiecks mit den Integral betrachtet
und bin davon ausgegangen das die Flächen gleich sind.

Das aber nicht die Flächen gesucht waren, hatte ich überlesen.
Ich Bitte hiermit um Entschuldigung

Jens

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar

(...)

Den Völler-Beweis habe ich mir nochmal gründlich vorgenommen. In den
elend großen Koordinatenbandwürmer stecken verheimlichte
Voraussetzungen. "Beliebige Curven", für die der Satz gilt, müssen in
der offenen Berechnungsumgebung des Ziel-/Konvergenzpunktes eine erste
und zweite stetige Ableitung besitzen. Im Zielpunkt der
Konvergenzuntersuchung muß die zweite Ableitung von Null verschieden
sein, wie im Term am Beweisende erkennbar wird. Aussagen im Beweis
fehlen dazu. Ebenfalls fehlt der Monotonienachweis (sh. Beweis der Regel
nach L´Hospital) für die rationalen Bandwürmer, auf die die
L´Hospitalregel angewendet wird. Das zu untersuchen habe ich mir nicht
zumuten wollen. Daher ist es hinreichend vorauszusetzen, daß f(x) in der
offenen Umgebung des Zielpunktes streng monoton ist.
Mit Deinem Beispiel/Gegenbeispiel (hier ist f´´(0) = 0 und f nicht
streng monoton) hast Du diese Beweisschwäche aufgedeckt.

Ich vermute, daß f´´(0)=0 in diesem Fall die entscheidende Voraussetzung
ist.

Bezüglich Monotonie:
- Beim Kreis kann ich ja den Punkt P an den untersten (oder obersten)
Punkt auf der Kreislinie legen. Wenn man dann die Kreislinie in ein
Koordinatensystem einbettet und als Funktion betrachtet, ist die in P
nicht streng monoton fallend oder steigend; trotzdem funktioniert der
Beweis bzw. gilt der Satz hier sicher trotzdem.
- Ich kann ja den Graph von f(x)=x^4 mitsamt den 3 Punkten A, B, P, der
Sehne c und den beiden Tangenten gedanklich ein wenig um den
Koordinatenursprung P(0|0) "drehen".
Die so entstehende neue Kurve ist zumindest lokal eine Funktion
g(x)=Drehung(f(x))
(Global nicht, da ist die neue Kurve nur mit Parameterdarstellung
darstellbar: Drehung(f(x))=(x(t);y(t)).)
g(x) ist nun streng monoton steigend in einer Umgebung von P(0|0), aber
trotzdem sollte für den Limes weiterhin 3/2 rauskommen (ohne Beweis).
Allerdings vermute ich (ebenfalls ohne Beweis), daß g´´(0)=0 gilt.

[Stephan Gerlach]

Post by Alfred Flaßhaar
Dein Beispiel habe ich nachgerechnet und komme auf konstantes 2,5
als Flächenverhältnis. Da der Völlersche Satz für den Kreis zweifelsfrei
korrekt ist,

Ich habe mir selbst für den Kreisfall einen Beweis überlegt
(wahrscheinlich nicht der eleganteste) und komme dort tatsächlich auf
den Grenzwert 3/2.
Beim Kreis ist es übrigens egal, wo auf der Kurve sich die Punkte A, B
und P befinden.

Post by Alfred Flaßhaar
muß in den "verdeckten" nicht weiter aufgeführten
Voraussetzungen des ursprünglichen Beweises für "beliebige Curven" noch
eine Forderung/Voraussetzung stecken, die evtl. aus den nicht digital
vorhandenen Skizzen zu folgern sind. Also werde ich danach suchen.
Möglicherweise hängt das mit der Krümmung und daher mit dem "unendlich"
großen Krümmungsradius beim Parabelscheitel im Koordinatenursprung
zusammen. Das klingt merkwürdig, denn das Flächenverhältnis ist eine
rein geometrische Angelegenheit und sollte vom Koordinatensystem
unabhängig sein.

Ja, auf jeden Fall.

Post by Alfred Flaßhaar
Vielleicht klärt eine verschobene Parabel etwas.

Das dürfte IMHO nicht viel ändern, zumindest wenn man dann das
Flächenverhältnis am verschobenen Scheitelpunkt betrachtet.
Für die betreffenden Integrale wird das lediglich auf eine lineare
Transformation hinauslaufen.

Wenn ich f(x)=x^4 übrigens verallgemeinere auf f(x)=x^n, komme ich mit
meinem Beispiel auf ein Flächenverhältnis
lim(c-->0) F1/F2 = (n+1)/2.

Witzigerweise kommt genau dann(!?) 3/2 heraus, wenn n=2 ist, also für
eine quadratische Funktion.