Imaginaeres Fundamentalsystem -> Reelles Fundamentalsystem

Post by Marc Mueller
Als Loesung eines homogenen DGL-Systems hab ich das folgende komplexe
y_1 = e^x * (0,1,1)^T
y_2 = e^ix * (1-i,-i,1)^T
y_3 = e^-ix * (1+i,i,1)^T
Wie kann ich hieraus ein reelles Fundamentalsystem bestimmen?

Wenn du genau hinschaust, siehst du, das y_3 das komplex Konjugierte von y_2
ist. Also betrachte y_2' := y_2 + y_3 und y_3' := i * (y_2 - y_3). Mit
y_1' := y_1 ist dann (y_i')_i ein neues, diesmal rein reelles
Fundamentalsystem.

HTH
Felix

PS: Beachte, dass
e^(ix) + e^(-ix) = 2 cos x
und
e^(ix) - e^(-ix) = 2 i sin x
ist (Eulersche Formel).

Marc Mueller

2004-09-11 12:45:47 UTC

Hallo Felix,
danke fuer den Tipp. Klappt das mit den Formeln 2 angegebenen Formeln immer
oder gilt das nur fuer dieses Beispiel?

Felix Fontein

2004-09-11 14:17:00 UTC

Hallo Marc,

Hallo Felix,
danke fuer den Tipp. Klappt das mit den Formeln 2 angegebenen Formeln
immer oder gilt das nur fuer dieses Beispiel?

Eine gute Frage, so genau weiss ich das nicht. Ich kann mir vorstellen, das
es bei einem rein reellen DGL-System immer klappt. Zumindest bei den
Aufgaben, die wir gerechnet haben, war das immer so :) Und ob es dazu einen
Satz gab oder so, weiss ich nicht mehr...

Felix

Marc Mueller

2004-09-11 14:31:51 UTC

Hab das eben mal nachgerechnet. y_2' = y_2 + y_3 ergibt eine reelle
Loesungsfunktion. Aber y_3' = i*(y_2 - y_3) wird leider nicht reell.
Hattest du dich verschrieben?

Paul Ebermann

2004-09-11 17:42:24 UTC

Hab das eben mal nachgerechnet. y_2' = y_2 + y_3 ergibt eine reelle
Loesungsfunktion. Aber y_3' = i*(y_2 - y_3) wird leider nicht reell.
Hattest du dich verschrieben?

Nein, du hast dich verrechnet. (Oder nicht weit genug ausgerechnet,
um die Reellheit zu sehen.)

Es muss am Ende ein Vektor aus sin und cos dastehen.

Paul

Marc Mueller

2004-09-11 22:21:37 UTC

Hab das eben mal nachgerechnet. y_2' = y_2 + y_3 ergibt eine reelle
Loesungsfunktion. Aber y_3' = i*(y_2 - y_3) wird leider nicht reell.
Hattest du dich verschrieben?

Nein, du hast dich verrechnet. (Oder nicht weit genug ausgerechnet,
um die Reellheit zu sehen.)
Es muss am Ende ein Vektor aus sin und cos dastehen.

So, mal schauen ob ich richtig gerechnet habe:
y_2' = y_2 + y_3 = (e^ix + e^-ix)*(2,0,2)^T = 2*cos x (2,0,2)^T
y_3' = i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix)*(-2i,-2i,0)^T = 2*sin x (4,4,0)^T

Da scheint irgendwas faul zu sein, laut Musterloesung muesste sich folgendes
ergeben:
y_2' = (cos x + sin x, sin x, cos x)
y_3' = (sin x - cos x, - cos x, sin x)

Wo liegt mein Fehler?

Paul Ebermann

2004-09-11 23:05:18 UTC

Post by Marc Mueller
y_1 = e^x * (0,1,1)^T
y_2 = e^ix * (1-i,-i,1)^T
y_3 = e^-ix * (1+i,i,1)^T
Wie kann ich hieraus ein reelles Fundamentalsystem bestimmen?

[...] Also betrachte y_2' := y_2 + y_3 und
y_3' := i * (y_2 - y_3).

Hab das eben mal nachgerechnet. y_2' = y_2 + y_3 ergibt eine reelle
Loesungsfunktion. Aber y_3' = i*(y_2 - y_3) wird leider nicht reell.
Hattest du dich verschrieben?

Nein, du hast dich verrechnet. (Oder nicht weit genug ausgerechnet,
um die Reellheit zu sehen.)
Es muss am Ende ein Vektor aus sin und cos dastehen.

y_2' = y_2 + y_3 = (e^ix + e^-ix)*(2,0,2)^T = 2*cos x (2,0,2)^T
y_3' = i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix)*(-2i,-2i,0)^T = 2*sin x (4,4,0)^T

Zumindest für y_3' nicht (da habe ich es nachgerechnet).

Rechne es doch mal komponentenweise aus. Du wendest
Distributivgesetze an, die es nicht gibt.
Hier für y_2 + y_3:

(Achtung, breit.)

y_2 = ( 1 * e^(ix) - i * e^(ix) , -i * e^(ix) , e^(ix) )
y_3 = ( 1 * e^(-ix) + i * e^(-ix) , i * e^(-ix) , e^(-ix) )
-----------------------------------------------------------------------------------
y_2 + y_3 = ( 1 *(e^(ix) + e^(-ix)) - i * (e^(ix)-e^(-ix)), -i * (e^(ix)-e^(-ix)), e^(ix) + e^(-ix))
y_2 + y_3 = ( 1 *(2* cos(x) ) - i * (2*i* sin(x) ), -i * (2*i*sin(x) ), 2* cos(x) )

Also

y_2 + y_3 = 2* (cos(x) + sin(x), sin(x), cos(x))

Für i * (y_2 - y_3) rechnest du das bitte selbst durch -
am besten hier, damit ich vergleichen kann.

Paul

Marc Mueller

2004-09-12 08:49:45 UTC

Post by Marc Mueller
y_1 = e^x * (0,1,1)^T
y_2 = e^ix * (1-i,-i,1)^T
y_3 = e^-ix * (1+i,i,1)^T
Wie kann ich hieraus ein reelles Fundamentalsystem bestimmen?

[...] Also betrachte y_2' := y_2 + y_3 und
y_3' := i * (y_2 - y_3).

Hab das eben mal nachgerechnet. y_2' = y_2 + y_3 ergibt eine reelle
Loesungsfunktion. Aber y_3' = i*(y_2 - y_3) wird leider nicht reell.
Hattest du dich verschrieben?

Nein, du hast dich verrechnet. (Oder nicht weit genug ausgerechnet,
um die Reellheit zu sehen.)
Es muss am Ende ein Vektor aus sin und cos dastehen.

y_2' = y_2 + y_3 = (e^ix + e^-ix)*(2,0,2)^T = 2*cos x (2,0,2)^T
y_3' = i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix)*(-2i,-2i,0)^T = 2*sin x (4,4,0)^T

Zumindest für y_3' nicht (da habe ich es nachgerechnet).
Rechne es doch mal komponentenweise aus. Du wendest
Distributivgesetze an, die es nicht gibt.
(Achtung, breit.)
y_2 = ( 1 * e^(ix) - i * e^(ix) , -i * e^(ix)
, e^(ix) )
y_3 = ( 1 * e^(-ix) + i * e^(-ix) , i * e^(-ix)
, e^(-ix) )
-----------------------------------------------------------------------------------
y_2 + y_3 = ( 1 *(e^(ix) + e^(-ix)) - i * (e^(ix)-e^(-ix)), -i *
(e^(ix)-e^(-ix)), e^(ix) + e^(-ix))
y_2 + y_3 = ( 1 *(2* cos(x) ) - i * (2*i* sin(x) ), -i *
(2*i*sin(x) ), 2* cos(x) )
Also
y_2 + y_3 = 2* (cos(x) + sin(x), sin(x), cos(x))
Für i * (y_2 - y_3) rechnest du das bitte selbst durch -
am besten hier, damit ich vergleichen kann.

OK, i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix - i*(e^ix + e^-ix), -i*(e^ix + e^-ix),
e^ix - e^-ix)
= (-2 sin x + 2 cos x, 2 cos x, -2 sin x)

Paul Ebermann

2004-09-12 12:55:54 UTC

Post by Marc Mueller
y_2' = y_2 + y_3 = (e^ix + e^-ix)*(2,0,2)^T = 2*cos x (2,0,2)^T
y_3' = i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix)*(-2i,-2i,0)^T = 2*sin x (4,4,0)^T

Zumindest für y_3' nicht (da habe ich es nachgerechnet).
Rechne es doch mal komponentenweise aus. Du wendest
Distributivgesetze an, die es nicht gibt.
(Achtung, breit.)

[...]

Post by Paul Ebermann
Also
y_2 + y_3 = 2* (cos(x) + sin(x), sin(x), cos(x))
Für i * (y_2 - y_3) rechnest du das bitte selbst durch -
am besten hier, damit ich vergleichen kann.

OK, i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix - i*(e^ix + e^-ix), -i*(e^ix + e^-ix),
e^ix - e^-ix)
= (-2 sin x + 2 cos x, 2 cos x, -2 sin x)

OK, ich hab das gleiche.

Wo genau lag das Problem beim ersten Versuch?

Paul

Marc Mueller

2004-09-12 13:34:33 UTC

Post by Marc Mueller
y_2' = y_2 + y_3 = (e^ix + e^-ix)*(2,0,2)^T = 2*cos x (2,0,2)^T
y_3' = i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix)*(-2i,-2i,0)^T = 2*sin x (4,4,0)^T

Zumindest für y_3' nicht (da habe ich es nachgerechnet).
Rechne es doch mal komponentenweise aus. Du wendest
Distributivgesetze an, die es nicht gibt.
(Achtung, breit.)

[...]

Post by Paul Ebermann
Also
y_2 + y_3 = 2* (cos(x) + sin(x), sin(x), cos(x))
Für i * (y_2 - y_3) rechnest du das bitte selbst durch -
am besten hier, damit ich vergleichen kann.

OK, i*(y_2 - y_3) = i*(e^ix - e^-ix - i*(e^ix + e^-ix), -i*(e^ix + e^-ix),
e^ix - e^-ix)
= (-2 sin x + 2 cos x, 2 cos x, -2 sin x)

OK, ich hab das gleiche.
Wo genau lag das Problem beim ersten Versuch?

Weiter oben hattest du ja schon gesagt, dass ich Distributivgesetze anwende,
die es gar nicht gibt. Das war anscheinend der Fehler.
Nun hab ich das verstanden. Ich kann als festhalten, dass ich bei 2
Fundamentalloesungen, die konjugiert-komplex zueinander sind, 2 reelle
Fundamentalloesungen erhalte, indem ich einmal y_1 + y_2 bilde und einmal
i*(y_1 - y_2). Das klappt so immer?

Nun habe ich noch eine Frage dazu. Bei meinem Beispiel waren die komplexen
Eigenwerte ja recht einfach (i und -i). Wie wuerde ein reelles
Fundamentalloesungssystem aussehen, wenn ich als konjugiert-komplexe
Eigenwerte beispielsweise -1 + 2i und -1 - 2i habe?

Paul Ebermann

2004-09-12 17:47:48 UTC

Post by Paul Ebermann
Wo genau lag das Problem beim ersten Versuch?

Du hast das doch schon mal ausgerechnet.
Das sind gerade der doppelte Real- und der
doppelte Imaginärteil von y_2.
Und die sind beide reell.

Der von ihnen aufgespannte C-Vektorraum
ist auch der gleiche, da man ja

y_1 = Re(y_1) + i * Im(y_1)
y_2 = Re(y_1) - i * Im(y_1)

kombinieren kann.

Post by Marc Mueller
Nun habe ich noch eine Frage dazu. Bei meinem Beispiel waren die komplexen
Eigenwerte ja recht einfach (i und -i). Wie wuerde ein reelles
Fundamentalloesungssystem aussehen, wenn ich als konjugiert-komplexe
Eigenwerte beispielsweise -1 + 2i und -1 - 2i habe?

Hmm, das ist schon ewig lange her. Lösen von DGL war nie
meine Stärke. Wenn du mir ein komplexes Fundamentalsystem
gibst, kann ich dir das reelle dazu ausrechnen.

Paul

Marc Mueller

2004-09-12 18:54:16 UTC

Hmm, das ist schon ewig lange her. Lösen von DGL war nie
meine Stärke. Wenn du mir ein komplexes Fundamentalsystem
gibst, kann ich dir das reelle dazu ausrechnen.

OK, nehmen wir als Beispiel das folgende komplexe Fundamentalsystem:
y_1 = e^x * (0, 1, 1)^T
y_2 = e^((-1 + 2i)*x) * (1-i, -i, 1)^T
y_3 = e^((-1 - 2i)*x) * (1+i, i, 1)^T

Paul Ebermann

2004-09-13 00:51:40 UTC

y_1 = e^x * (0, 1, 1)^T
y_2 = e^((-1 + 2i)*x) * (1-i, -i, 1)^T
y_3 = e^((-1 - 2i)*x) * (1+i, i, 1)^T

Wir sehen wieder, dass y_2 und y_3 zueinander komplex
konjugierte Funktionen sind. (Ist das klar?)

Also der gleiche Trick:

y_2' := y_2 + y_3
y_3' := i*(y_2 - y_3)

Dabei hilft noch, dass
e^((-1 + 2i)*x) = e^(-x + 2i*x) = e^(-x) * e^(2ix)
ist.

(Das geht generell, wenn die Eigenwerte nicht
echt imaginär sind. Naja, eigentlich auch dann,
wir klammern e^0 = 1 aus ...)

Es ist also (ich lasse das ^T weg)

y_2 = e^-x * e^( 2ix) * (1-i, -i, 1)
y_3 = e^-x * e^(-2ix) * (1+i, i, 1)

Diesmal können wir aus der Summe wirklich etwas
ausklammern (Distributivgesetz)!

y_2 + y_3 = e^-x * ( e^( 2ix) * (1-i, -i, 1) + e^(-2ix) * (1+i, i, 1) )
= e^-x * ( e^(2ix) + e^(-2ix) - i*e^(2ix) + ie^(-2ix) )
( - i*e^(2ix) + ie^(-2ix) )
( e^(2ix) + e^(-2ix) ) )

= e^-x * ( 2*cos(2x) - i*i*2*sin(2x), - i*i*2*sin(2x), 2*cos(2x) )
= 2*e^-x * ( cos(2x) + sin(2x), sin(2x), cos(2x) )

Sieht doch vernünftig aus, oder?

(Das ist dann eine gedämpfte Schwingung, wie man
am Faktor e^-x erkennt.)

y_3' darfst du selbst ausrechnen.

Paul

Sebastian Starosielec

2004-09-11 18:48:09 UTC

Post by Marc Mueller
danke fuer den Tipp. Klappt das mit den Formeln 2 angegebenen Formeln immer
oder gilt das nur fuer dieses Beispiel?

y_2 + y_3 und i*(y_2 - y_3) sind immer reelle Lösungen, wenn y_2 und
y_3 zueinander konjugiert komplex sind.

Das ist natürlich nicht immer der Fall, denn wie Du weißt spannen
deine Fundamentallösungen deinen Lösungsraum auf. Und da kannst Du
natürlich eine Basis wählen, wo die Basisvektoren nicht konjugiert
komplex zueinander sind.

Es gibt aber immer ein reelles Fundamentalsystem, wenn deine
Differentialgleichung "reell" ist. Soll heißen, daß deine
Koeffizientenfunktionen reelle Funktionen sind.

Dies leuchtet ein, wenn Du dir folgendes vorstellst (erfüllt keinen
Anspruch auf einen Beweis, ist aber sehr anschaulich):
i ist nur charakterisiert durch i^2 = -1.
I = -i erfüllt aber dieselbe Gleichung I^2 = -1
Also sollte sich die Mathematik nicht ändern, wenn du i konsequent
durch I ersetzt.
Sind deine Koeffizientfunktionen in der DGL reelle Funktionen, so
bleiben sie unter dieser Transformation i->I invariant. Deine
gefundene Lösung transformiert sich aber automatisch ins komplex
konjugierte.
Ergo: Zu jeder Lösung (komplexen) y deiner reellen DGL ist auch deren
konjugiertkomplexe eine weitere Lösung (die dann sogar linear
unabhängig ist, wenn y nicht reell).

Sebastian Starosielec

2004-09-11 17:18:36 UTC

Post by Marc Mueller
y_1 = e^x * (0,1,1)^T
y_2 = e^ix * (1-i,-i,1)^T
y_3 = e^-ix * (1+i,i,1)^T
Wie kann ich hieraus ein reelles Fundamentalsystem bestimmen?

Das sollte eigentlich kein Problem sein.
Zuerst stellst Du fest, daß y_1 schon reelle Fundamentallösung ist.

Kurz zur Erinnerung: Wie bekam man nochmal aus einer komplexen Zahl
deren Realteil und Imaginärteil ? War da nichtmal was wie 2*Re(z) = z
+ ~z ?
(~z soll hier das komplex konjugierte zu z sein)
Und wie gings mit dem Imaginärteil noch mal ?

Einmal gut hingeschaut erkennst Du, daß y_2 und y_3 zueinander komplex
konjugiert sind. Und jetzt rate mal, wie man aus den beiden Kandidaten
zwei reelle Lösungen erzeugen kann.

Grüße,
Sebastian

Marc Mueller

2004-09-11 21:08:36 UTC

Post by Sebastian Starosielec

Post by Marc Mueller
y_1 = e^x * (0,1,1)^T
y_2 = e^ix * (1-i,-i,1)^T
y_3 = e^-ix * (1+i,i,1)^T
Wie kann ich hieraus ein reelles Fundamentalsystem bestimmen?

Kurz zur Erinnerung: Wie bekam man nochmal aus einer komplexen Zahl
deren Realteil und Imaginärteil ? War da nichtmal was wie 2*Re(z) = z
+ ~z ?
(~z soll hier das komplex konjugierte zu z sein)
Und wie gings mit dem Imaginärteil noch mal ?

Hmm... mal ueberlegen. Also wenn ich z = x + iy und z* = x - iy (* bedeutet
konjugiert-komplex) habe und, wie in einem der anderen Beitraege
beschrieben, i*(z - z*) bilde, kommt etwas anderes heraus, als wenn ich
i*(z* - z) bilde. Dann kann das schon mal nicht die Formel fuer die
Berechnung des Imaginaeranteils sein...

Post by Sebastian Starosielec
Einmal gut hingeschaut erkennst Du, daß y_2 und y_3 zueinander komplex
konjugiert sind. Und jetzt rate mal, wie man aus den beiden Kandidaten
zwei reelle Lösungen erzeugen kann.

Laut deiner Formel (2*Re(z) = z + z*) bekomme ich eine Loesungsfunktion aus
1/2*(y_2 + y_3). Den Faktor 1/2 kann ich dann weglassen oder?
Die andere Loesung wird sich aus dem Imaginaeranteil ergeben, da fehlt mir
noch die Formel fuer die Berechnung.

Paul Ebermann

2004-09-11 21:24:20 UTC

Post by Sebastian Starosielec

Post by Marc Mueller
y_1 = e^x * (0,1,1)^T
y_2 = e^ix * (1-i,-i,1)^T
y_3 = e^-ix * (1+i,i,1)^T
Wie kann ich hieraus ein reelles Fundamentalsystem bestimmen?

Rechne mal aus. Was kommt raus?

Post by Marc Mueller
Dann kann das schon mal nicht die Formel fuer die
Berechnung des Imaginaeranteils sein...

Irritiert dich, dass z und z* nicht den gleichen
Imaginärteil haben?

Laut deiner Formel (2*Re(z) = z + z*) bekomme ich eine Loesungsfunktion aus
1/2*(y_2 + y_3). Den Faktor 1/2 kann ich dann weglassen oder?

Ja. Ändert ja nichts am aufgespannten Raum.
(Aber in dem Fall würde ich den Faktor nicht
weglassen, weil er sich schön mit den Zweien
im Vektor wegkürzt.)

Paul

Marc Mueller

2004-09-11 23:05:51 UTC

Post by Sebastian Starosielec

Post by Marc Mueller
y_1 = e^x * (0,1,1)^T
y_2 = e^ix * (1-i,-i,1)^T
y_3 = e^-ix * (1+i,i,1)^T
Wie kann ich hieraus ein reelles Fundamentalsystem bestimmen?

Rechne mal aus. Was kommt raus?

Fuer den 1. Fall bekomme ich -2y und fuer den 2. Fall +2y heraus!

Post by Marc Mueller
Dann kann das schon mal nicht die Formel fuer die
Berechnung des Imaginaeranteils sein...

Irritiert dich, dass z und z* nicht den gleichen
Imaginärteil haben?

Ja, schon... denn das fuehrt dazu, dass ich unterschiedliche Ergebnisse
bekomme (s.o.), je nachdem welche Reihenfolge ich waehle, also y_2 - y_3
oder y_3 - y_2.

Laut deiner Formel (2*Re(z) = z + z*) bekomme ich eine Loesungsfunktion aus
1/2*(y_2 + y_3). Den Faktor 1/2 kann ich dann weglassen oder?

Ja. Ändert ja nichts am aufgespannten Raum.
(Aber in dem Fall würde ich den Faktor nicht
weglassen, weil er sich schön mit den Zweien
im Vektor wegkürzt.)
Paul

Paul Ebermann

2004-09-12 02:19:05 UTC

Post by Sebastian Starosielec
Kurz zur Erinnerung: Wie bekam man nochmal aus einer komplexen Zahl
deren Realteil und Imaginärteil ? War da nichtmal was wie 2*Re(z) = z
+ ~z ?
(~z soll hier das komplex konjugierte zu z sein)
Und wie gings mit dem Imaginärteil noch mal ?

Rechne mal aus. Was kommt raus?

Fuer den 1. Fall bekomme ich -2y und fuer den 2. Fall +2y heraus!

Und was sind die (doppelten) Imaginärteile von z und z*?