Summe{n=1 bis unendlich} sin(n)/n

[Stephan Gerlach]

Bei einem bestimmten Beweis der Konvergenz der Reihe

Summe{n=1 bis unendlich} sin(n)/n,

bzw. genaugenommen sogar der exakten Berechnung dieser Reihe, wird unter
anderem folgende Identität verwendet:

Summe{n=0 bis unendlich} e^(i*n*z) = 1/(1-e^{i*z}.

Es wurde offensichtlich die geometrische Reihe angewendet. Die dürfte
auf jeden Fall konvergieren, solange der Imaginärteil von z *größer* als
0 ist (ansonsten aber nicht?!). Dummerweise wird "später" im weiteren
Verlauf der Berechnung irgendwann z=1 eingesetzt, was aber einen
Imaginärteil von 0 hat.
Ist diese Vorgehensweise (geometrische Reihe mit e^{i*z} bilden und
anschließend z=1 einsetzen) aus irgendeinem Grund hier dennoch zulässig?

[Detlef Müller]

Post by Stephan Gerlach
Bei einem bestimmten Beweis der Konvergenz der Reihe
Summe{n=1 bis unendlich} sin(n)/n,
bzw. genaugenommen sogar der exakten Berechnung dieser Reihe, wird unter
Summe{n=0 bis unendlich} e^(i*n*z) = 1/(1-e^{i*z}.
Es wurde offensichtlich die geometrische Reihe angewendet. Die dürfte
auf jeden Fall konvergieren, solange der Imaginärteil von z *größer* als
0 ist (ansonsten aber nicht?!). Dummerweise wird "später" im weiteren
Verlauf der Berechnung irgendwann z=1 eingesetzt, was aber einen
Imaginärteil von 0 hat.
Ist diese Vorgehensweise (geometrische Reihe mit e^{i*z} bilden und
anschließend z=1 einsetzen) aus irgendeinem Grund hier dennoch zulässig?

Vielleicht wurde gesondert überlegt, daß die Reihe konvergiert,
dann lautet das Stichwort "Abelscher Stetigkeitssatz".
Wenn der Grenzwert auf einem Randpunkt existiert, kann die Potenzreihe
stetig auf diesen Punkt fortgesetzt werden.
Hat man also für das Innere eine schöne Formel gefunden, kann man diese
auf den Rand übertragen (wenn denn dort die Konvergenz gesichert
wurde).

Gruß,
Detlef

[Roland Franzius]

Post by Detlef Müller

Post by Stephan Gerlach
Bei einem bestimmten Beweis der Konvergenz der Reihe
Summe{n=1 bis unendlich} sin(n)/n,
bzw. genaugenommen sogar der exakten Berechnung dieser Reihe, wird unter
Summe{n=0 bis unendlich} e^(i*n*z) = 1/(1-e^{i*z}.
Es wurde offensichtlich die geometrische Reihe angewendet. Die dürfte
auf jeden Fall konvergieren, solange der Imaginärteil von z *größer* als
0 ist (ansonsten aber nicht?!). Dummerweise wird "später" im weiteren
Verlauf der Berechnung irgendwann z=1 eingesetzt, was aber einen
Imaginärteil von 0 hat.
Ist diese Vorgehensweise (geometrische Reihe mit e^{i*z} bilden und
anschließend z=1 einsetzen) aus irgendeinem Grund hier dennoch zulässig?

Vielleicht wurde gesondert überlegt, daß die Reihe konvergiert,
dann lautet das Stichwort "Abelscher Stetigkeitssatz".
Wenn der Grenzwert auf einem Randpunkt existiert, kann die Potenzreihe
stetig auf diesen Punkt fortgesetzt werden.
Hat man also für das Innere eine schöne Formel gefunden, kann man diese
auf den Rand übertragen (wenn denn dort die Konvergenz gesichert
wurde).

1/(1-z) und -1/z (1-1/z) haben konvergente Potenzreihenentwicklungen in
Form der daraus ablesbaren geometrischen Reihen für |z| <1, |z|>1.

Die beiden Reihen konvergieren auf dem Rand aber offenbar für keinen Punkt
z=exp(i pi q)
mit rationalem q.

Dagegen konvergiert
sum 1/n exp(i n x)
als deren Integral - wie der Logarithmus - auf dem Rand des
Konvergenzkreises außer im Punkt der reellen Singularität x=1.

Nach dem Satz über die Glattheit der Fouriertransformierten stellt die
Summe eine punkteweise unstetige Distribution dar:

sum a_n/n^k exp(i n x)

mit beschränktem a_n ist k-2-mal differenzierbar glatt. Die Reihen mit
1/n-Abfall der Koeffizienten stellt also eine Klasse von unstetigen
L^2-Funktionen dar, da die Quadratsumme der Koefizienten konvergiert.
Punktweise Konvergenz ist da ia. kein interaessantes Thema.