Eine Gerade ist ein Kreis...

[Marc Hoeppner]

Hi,

ich argumentiere hier gerade mit einem Kollegen die Frage, wann eine Gerade
einem Kreis mit unendlich großem Radius entspricht. Allerdings fehlt uns ein
tieferes mathematisches Wissen, deshalb auch die Frage hier: wenn ich die
Betrachtung auf zwei Dimensionen reduziere, ist die Aussage "Eine Gerade ist
ein Kreis mit einem unendlich großen Radius" dann immer noch korrekt oder
trifft das nur auf mehr als 2 Dimensionen zu? - Für Antworten oder auch
Verweise auf Fundstellen im Netz wäre ich sehr dankbar!!

Viele Grüsse,

Marc

[Hero Wunders]

Hallo!

Post by Marc Hoeppner
ich argumentiere hier gerade mit einem Kollegen die Frage, wann eine Gerade
einem Kreis mit unendlich großem Radius entspricht. Allerdings fehlt uns ein
tieferes mathematisches Wissen, deshalb auch die Frage hier: wenn ich die
Betrachtung auf zwei Dimensionen reduziere, ist die Aussage "Eine Gerade ist
ein Kreis mit einem unendlich großen Radius" dann immer noch korrekt oder
trifft das nur auf mehr als 2 Dimensionen zu?

Hmm, ich kenne mich mit diesem Thema auch nicht so gut aus, da ich noch
unerfahrener Schüler bin, aber ich hätte da mal ein paar Fragen über die
du nachdenken kannst:

Das erste was auffällt: Wenn die Gerade ein unendlich großer Kreis sein
sollte, wo liegt dann der Mittelpunkt dieses Kreises? Im Unendlichen...
Weiter (ziemlich holprig formuliert): Du kannst nur einen Ausschnitt des
Kreises beobachten (wenn er denn unendlich groß ist). Ein Kreis hat aber
viele verschiedene Steigungen. Wo sind die anderen Ausschnitte des
Kreises (Geraden)? Wenn sie existierten, müsste es dann nicht unendlich
viele Geraden geben, die den Kreis darstellen?

Ich denke die Fragen beantworten sich größtenteils selbst...
Ich komme jedenfalls zum Schluss, dass *eine* Gerade kein Kreis mit
unendlich großem Radius ist.
Die Anzahl der Dimensionen ist hierbei glaube ich völlig egal.

Die einzige Möglichkeit einen Kreis mit r->OO als Gerade zu sehen
besteht darin den Kreis in einem Raum mit einer Dimensionsanzahl > 2 so
zu drehen, dass die Projektion auf die Betrachterebene (wenn es soetwas
geben sollte) (oder halt yz-Ebene) eine Gerade ist.

z.b. im 3-Dimensionalen würde es so aussehen:
Kreis:
O
Gerade (Kreis um 90° z-Achse gedreht):
|

HTH
herojoker

[Alfred Flaßhaar]

"Hero Wunders" <***@nexgo.de> schrieb im Newsbeitrag news:cc9l0d$fju$00$***@news.t-online.com...

(...)

Du solltest den Kreis als Kegelschnitt verstehen. Dann hilft Dir
sicherlich die projektive Geometrie weiter beim Verständnis, ob
eine Gerade ein spezieller Kreis ist. Lies z. B. "Keller,
Analytische Geometrie und lin. Algebra".

Gr4uß, Alfred

[Marc Hoeppner]

Danke für den Gedankenansatz, aber: im n-Dimensionalen Raum würde ich mit
Raumkrümmung argumentieren. Dann wird da schon ein Schuh draus. In 2D fehlt
mir dafür dann aber der Ansatzpunkt.

Post by Hero Wunders
Hallo!

Post by Marc Hoeppner
ich argumentiere hier gerade mit einem Kollegen die Frage, wann eine Gerade
einem Kreis mit unendlich großem Radius entspricht. Allerdings fehlt uns ein
tieferes mathematisches Wissen, deshalb auch die Frage hier: wenn ich die
Betrachtung auf zwei Dimensionen reduziere, ist die Aussage "Eine Gerade ist
ein Kreis mit einem unendlich großen Radius" dann immer noch korrekt oder
trifft das nur auf mehr als 2 Dimensionen zu?

Hmm, ich kenne mich mit diesem Thema auch nicht so gut aus, da ich noch
unerfahrener Schüler bin, aber ich hätte da mal ein paar Fragen über die
Das erste was auffällt: Wenn die Gerade ein unendlich großer Kreis sein
sollte, wo liegt dann der Mittelpunkt dieses Kreises? Im Unendlichen...
Weiter (ziemlich holprig formuliert): Du kannst nur einen Ausschnitt des
Kreises beobachten (wenn er denn unendlich groß ist). Ein Kreis hat aber
viele verschiedene Steigungen. Wo sind die anderen Ausschnitte des
Kreises (Geraden)? Wenn sie existierten, müsste es dann nicht unendlich
viele Geraden geben, die den Kreis darstellen?
Ich denke die Fragen beantworten sich größtenteils selbst...
Ich komme jedenfalls zum Schluss, dass *eine* Gerade kein Kreis mit
unendlich großem Radius ist.
Die Anzahl der Dimensionen ist hierbei glaube ich völlig egal.
Die einzige Möglichkeit einen Kreis mit r->OO als Gerade zu sehen
besteht darin den Kreis in einem Raum mit einer Dimensionsanzahl > 2 so
zu drehen, dass die Projektion auf die Betrachterebene (wenn es soetwas
geben sollte) (oder halt yz-Ebene) eine Gerade ist.
O
|
HTH
herojoker

[Ron Lange]

Für die komplexen Zahlen (besser: Die komplexe (gaußsche) Zahlenebene ist
eine Abbildung definiert, die Inversion oder "Spiegelung am Einheitskreis"
genannt wird.

Ohne viel Mathe lässt sich die komplexe Ebene als R², also
zweidimensionale Ebene auffassen. Diese Abbildung (Funktion) bildet alle
Punkte dieser Ebene auf bestimmte andere ab, in diesem Fall werden Kreise
wieder auf Kreise abgebildet. Schneidet ein Kreis den Nullpunkt(Ursprung)
des Ebenenkoordinatensystems, werden alle Punkte dieses Kreises auf eine
Gerade abgebildet, für die man der Konformität halber von einem
Spezialfall eines Kreises mit Radius -> unendlich ausgeht. Das ganze
funktioniert auch in die Rückrichtung, so werden alle nicht durch den
Ursprung laufende Geraden auf Kreise durch den Ursprung abgebildet.

Das Ganze lässt sich unter dem Thema "Funktionentheorie/Konforme
Abbildungen" z.B. im Bronstein finden, allerdings sollten sich auch
Tonnenweise Skripte finden lassen. Ach so, vielleicht hier ein kleiner
Anfang:
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/ComNum/inhalte/Inversion.html

Nacht
Ron

[Thomas Mautsch]

Post by Ron Lange
Für die komplexen Zahlen (besser: Die komplexe (gaußsche) Zahlenebene ist
eine Abbildung definiert, die Inversion oder "Spiegelung am Einheitskreis"
genannt wird.

[ ... weitere Erklaerungen zur Inversion gestrichen ... ]

Den Begriff der Inversion benoetigt man an dieser Stelle gar nicht;
es genuegt, zu wissen, was eine *stereographische Projektion* ist,

http://www.avmz.uni-siegen.de/projekte/archiv/CD97/SI/projects/math/geom/
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/compass/compass4.html
Loading Image...
Loading Image... ,

naemlich eine Abbildung,
die Punkten der Ebene Punkte auf einer Sphaere so zuordnet,
dass die Bilder von Kreisen und Geraden
Kreise (bzw. Kreise, denen ein Punkt fehlt) auf der Sphaere sind.

Dummerweise lassen sich die Radien der Kreise in der Ebene
nicht mit den Radien der Bildkreise in Beziehung setzen;
es ist sogar so, dass Kreise mit gleichen Radien in der Ebene je nach Lage
auf der Kugel Bilder mit unterschiedlichen Radien haben koennen,
so dass die Aussage

"Geraden sind Kreise mit **unendlichen Radius**"
in diesem Zusammenhang keinen Sinn machen...

[Marc Hoeppner]

Danke für die Antwort und den Link. Ich werde das mal nachschlagen. Meine
Frage ging allerdings mehr in die Richtung, dass ich von vorneherein von 2
Dimensionen ausgehen, also nicht einen 3D Raum abbilde und dann in den Kreis
in 3D als Gerade in 2D habe. Wenn ich rein im 2D Raum verbleibe, macht die
genannte Aussage dann noch Sinn oder ist sie dann unsinnig oder gar falsch?

Post by Ron Lange
Für die komplexen Zahlen (besser: Die komplexe (gaußsche) Zahlenebene ist
eine Abbildung definiert, die Inversion oder "Spiegelung am Einheitskreis"
genannt wird.
Ohne viel Mathe lässt sich die komplexe Ebene als R², also
zweidimensionale Ebene auffassen. Diese Abbildung (Funktion) bildet alle
Punkte dieser Ebene auf bestimmte andere ab, in diesem Fall werden Kreise
wieder auf Kreise abgebildet. Schneidet ein Kreis den Nullpunkt(Ursprung)
des Ebenenkoordinatensystems, werden alle Punkte dieses Kreises auf eine
Gerade abgebildet, für die man der Konformität halber von einem
Spezialfall eines Kreises mit Radius -> unendlich ausgeht. Das ganze
funktioniert auch in die Rückrichtung, so werden alle nicht durch den
Ursprung laufende Geraden auf Kreise durch den Ursprung abgebildet.
Das Ganze lässt sich unter dem Thema "Funktionentheorie/Konforme
Abbildungen" z.B. im Bronstein finden, allerdings sollten sich auch
Tonnenweise Skripte finden lassen. Ach so, vielleicht hier ein kleiner

http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/ComNum/inhalte/Inversion.html

Post by Ron Lange
Nacht
Ron

[Markus Steinborn]

Hi Marc,

Post by Marc Hoeppner
Hi,
ich argumentiere hier gerade mit einem Kollegen die Frage, wann eine Gerade
einem Kreis mit unendlich großem Radius entspricht. Allerdings fehlt uns ein
tieferes mathematisches Wissen, deshalb auch die Frage hier: wenn ich die
Betrachtung auf zwei Dimensionen reduziere, ist die Aussage "Eine Gerade ist
ein Kreis mit einem unendlich großen Radius" dann immer noch korrekt oder
trifft das nur auf mehr als 2 Dimensionen zu? - Für Antworten oder auch
Verweise auf Fundstellen im Netz wäre ich sehr dankbar!!

Stell Dir eine Gerade in der Ebene vor. Zu dieser Ebene waehlst Du ein
Koordinatenkreuz derart, dass die Gerade auf der x-Achse liegt. (Stell Dir
das so vor, das Du eine Overheadfolie, auf der ein Koordinatenkreuz
aufgemalt ist, passend auf das Blatt legst).

Die Folge der Kreise um (y,0) mit Radius y, y -> unendlich, konvergiert
nun gegen die gegebene Gerade (da die Steigungen jeweils punktweise gegen
0 konvergieren). Im diesen Sinne ist eine Gerade ein Kreis mit
unendlichem Radius.


Gruesse

Markus


PS: Weiss jemand, ob man mit der 1-Punkt-Kompaktifizierung des C (mit
der chordalen Metrik) ein aehnliches Resultat bekommt? Haette den Vorteil,
das man nur endliche Radien (bzgl. der Metrik) bekommt.

[Thomas Mautsch]

Post by Markus Steinborn

Post by Marc Hoeppner
ich argumentiere hier gerade mit einem Kollegen die Frage, wann eine Gerade
einem Kreis mit unendlich großem Radius entspricht. Allerdings fehlt uns ein
tieferes mathematisches Wissen, deshalb auch die Frage hier: wenn ich die
Betrachtung auf zwei Dimensionen reduziere, ist die Aussage "Eine Gerade ist
ein Kreis mit einem unendlich großen Radius" dann immer noch korrekt oder
trifft das nur auf mehr als 2 Dimensionen zu?

Stell Dir eine Gerade in der Ebene vor. Zu dieser Ebene waehlst Du ein
Koordinatenkreuz derart, dass die Gerade auf der x-Achse liegt. (Stell Dir
das so vor, das Du eine Overheadfolie, auf der ein Koordinatenkreuz
aufgemalt ist, passend auf das Blatt legst).
Die Folge der Kreise um (y,0) mit Radius y, y -> unendlich,
konvergiert nun gegen die gegebene Gerade

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Markus Steinborn
(da die Steigungen jeweils punktweise gegen 0 konvergieren).

Die Topologie auf den Teilmengen des R^2 moechte ich jetzt aber sehen,
in der diese Konvergenz sich vollzieht.
Die gewoehnliche kann es wohl kaum sein.

Was vielleicht noch funktionieren koennte, waere,
im Sinne der von Dir unten angesprochenen Ein-Punkt-Kompaktifizierung
die reelle Ebene als Teilmenge der zweidimensionalen Sphaere
mit deren runder Metrik zu betrachten. --
Dann konvergieren die von Dir angegebenen Kreise
zumindest in der Hausdorff-Topologie gegen die entsprechenden Geraden.

(Eine Folge von Teilmengen M(n) eines metrischen Raumes
konvergiert im Hausdorff-Sinn gegen eine Teilmenge M dieses Raumes,
wenn zu jedem epsilon>0 ein N existiert, so dass fuer alle n>=N
die Mengen M(n) in der epsilon-Umgebung der Menge M liegen UND
die Menge M in allen epsilon-Umgebungen der Mengen M(n) liegt.)

Dummerweise ist der Hausdorff-Grenzwert,
wenn man nichtkompakte Teilmengen, wie Geraden, zulaesst,
nicht ganz eindeutig.

Post by Markus Steinborn
Im diesen Sinne ist eine Gerade ein Kreis mit
unendlichem Radius.

Auf jeden Fall wird, wenn man diese Metrik auf die Ebene liegt,
der "Radius" von der Lage eines Kreises abhaengig,
was macht, dass Geraden KEINE "Kreise mit unendlich großem Radius sind"

Post by Markus Steinborn
PS: Weiss jemand, ob man mit der 1-Punkt-Kompaktifizierung des C (mit
der chordalen Metrik) ein aehnliches Resultat bekommt? Haette den Vorteil,
das man nur endliche Radien (bzgl. der Metrik) bekommt.

IMHO funktioniert es *nur* auf diese Weise...

[Markus Steinborn]

Post by Markus Steinborn
Die Folge der Kreise um (y,0) mit Radius y, y -> unendlich,

Post by Markus Steinborn
konvergiert nun gegen die gegebene Gerade

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Markus Steinborn
(da die Steigungen jeweils punktweise gegen 0 konvergieren).

Die Topologie auf den Teilmengen des R^2 moechte ich jetzt aber sehen,
in der diese Konvergenz sich vollzieht.
Die gewoehnliche kann es wohl kaum sein.

Uups, da hab' ich doch die Koordinaten verwechselt. Mit Ausnahme der
indiskreten alias chaotischen Topologie :-) wird es so nicht konvergieren.

Es sollten eigentlich Kreise mit Mittelpunkt auf der y-Achse sein (also
(0,y)). Der Radius - wie oben angegeben - so gewaehlt, dass die x-Achse
Tangente am Kreis ist.

Für einen Punkt (x',y') auf dem Kreis um (0,y) vom Radius y gilt
dann:

x'^2 + (y'-y) = y^2 (Pythagoras).

Es folgt:

x'^2 + y'^2 - 2y'y + y^2 = y^2 <=> x'^2 - 2y'y = 0

<=> y' = x'^2 / 2y --> 0 für y' --> oo

Folglich konvergiert die Folge der Kreise gegen die x-Achse.

gez.

Markus

[Markus Steinborn]

Post by Markus Steinborn
Für einen Punkt (x',y') auf dem Kreis um (0,y) vom Radius y gilt
x'^2 + (y'-y) = y^2 (Pythagoras).
x'^2 + y'^2 - 2y'y + y^2 = y^2 <=> x'^2 - 2y'y = 0

<=> y' = x'^2 / 2y --> 0 für y --> oo

Post by Markus Steinborn
Folglich konvergiert die Folge der Kreise gegen die x-Achse.

[Thomas Mautsch]

Post by Markus Steinborn

Post by Markus Steinborn
Für einen Punkt (x',y') auf dem Kreis um (0,y) vom Radius y gilt
x'^2 + (y'-y) = y^2 (Pythagoras).
x'^2 + y'^2 - 2y'y + y^2 = y^2 <=> x'^2 - 2y'y = 0

^^^^^^^^^^^^^

Da ist y'^2 verloren gegangen.

Post by Markus Steinborn
<=> y' = x'^2 / 2y --> 0 für y --> oo

Nein, so einfach wird das nichts. --
Der "obere Teil" des Kreises wird nicht ohne Weiteres
gegen die x-Achse konvergieren, ausser,
wenn Du einen Punkt im Unendlichen zur Ebene hinzunimmst.

Post by Markus Steinborn

Post by Markus Steinborn
Folglich konvergiert die Folge der Kreise gegen die x-Achse.

x

[Markus Steinborn]

Hi Thomas,

Post by Thomas Mautsch

Post by Markus Steinborn
x'^2 + y'^2 - 2y'y + y^2 = y^2 <=> x'^2 - 2y'y = 0

^^^^^^^^^^^^^
Da ist y'^2 verloren gegangen.

ACK.

[...]

Post by Thomas Mautsch
Nein, so einfach wird das nichts. --
Der "obere Teil" des Kreises wird nicht ohne Weiteres
gegen die x-Achse konvergieren, ausser,
wenn Du einen Punkt im Unendlichen zur Ebene hinzunimmst.

Jetzt seh ich das Problem. Zur Motivation der Poincare-Halbebene in der
nichteuklidischen Geometrie hat unser Prof. allerdings -- euklidisch
argumentiert -- genau das als Motivation genommem ("Die Geraden
(euklidisch) seien Kreise mit unendlichen Radius.". Daher sind die
Geraden in der Poincare-Halbebene aus euklidischen Halbkreisen mit
Endpunkten und Mittelpunkt auf der X-Achse sowie zur Y-Achse parallelen
Halbgeraden gegeben). Da muss ich dann dringend nochmal nachhaken...
Das der "obere Halbkreis" divergiert (bei meiner Konstruktion),
reicht mir naemlich nicht (mehr)...


Dankend (für die Einsichten)

Markus

[Hendrik van Hees]

Post by Markus Steinborn
Jetzt seh ich das Problem. Zur Motivation der Poincare-Halbebene in
der nichteuklidischen Geometrie hat unser Prof. allerdings --
euklidisch argumentiert -- genau das als Motivation genommem ("Die
Geraden (euklidisch) seien Kreise mit unendlichen Radius.". Daher sind
die Geraden in der Poincare-Halbebene aus euklidischen Halbkreisen mit
Endpunkten und Mittelpunkt auf der X-Achse sowie zur Y-Achse
parallelen Halbgeraden gegeben). Da muss ich dann dringend nochmal
nachhaken... Das der "obere Halbkreis" divergiert (bei meiner
Konstruktion), reicht mir naemlich nicht (mehr)...

Mal sehen, ob Physikernaivität weiterhilft.

Betrachten wir obdA. den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt in (0,-r) und
Radius r. Dieser wird offensichtlich durch die Gleichung

y(x)=sqrt(r^2-x^2)-r

dargestellt. Erweitern mit sqrt(r^2-x^2)+r liefert

y(x)=-x^2/(r+sqrt(r^2-x^2)),

und das geht offensichtlich ->0 für r->\infty, so daß in diesem Sinne
die x-Achse also der Limes des Halbkreises ist.

Was ist daran nun verkehrt? Gemeint ist natürlich hier punktweise
Konvergenz, d.h. r->\infty für festgehaltenes x.

[Markus Steinborn]

Post by Hendrik van Hees
Mal sehen, ob Physikernaivität weiterhilft.

Schaun wir mal...

Post by Hendrik van Hees
Betrachten wir obdA. den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt in (0,-r) und
Radius r.

Der "obere" Halbkreis ist im Problem leider der, der den größeren Abstand
zur x-Achse hat (am Falle r > 0 stimmt das mit der Anschauung überein).
Hast Dich also Ohne Beachtung der Allgemeinheit auf den falschen Halbkreis
festgelegt.

Lesen wir mal weiter, da ich mein Argument für diesen (behebbar) verbockt
habe...

Post by Hendrik van Hees
Dieser wird offensichtlich durch die Gleichung
y(x)=sqrt(r^2-x^2)-r
dargestellt. Erweitern mit sqrt(r^2-x^2)+r liefert
y(x)=-x^2/(r+sqrt(r^2-x^2)),
und das geht offensichtlich ->0 für r->\infty, so daß in diesem Sinne
die x-Achse also der Limes des Halbkreises ist.

Also gut, für den Halbkreis, der näher an der x-Achse liegt, wäre das
Argument damit gerettet.

Post by Hendrik van Hees
Was ist daran nun verkehrt? Gemeint ist natürlich hier punktweise
Konvergenz, d.h. r->\infty für festgehaltenes x.

Ich sehe jetzt also ein, dass Halbkreise mit Radius unendlich
Geraden sind (und umgekehrt).

Der anderer Halbkreis konvergiert aber offensichtlich gegen unendlich, da
für jeden Punkt (x,y) auf den entfernteren Halbkreis allemal

|y| >= |r| -> oo

gilt. OK?


Grüpe

Markus

[Hendrik van Hees]

Markus Steinborn wrote:

/

Post by Markus Steinborn

Post by Hendrik van Hees
Betrachten wir obdA. den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt in (0,-r)
und Radius r.

Der "obere" Halbkreis ist im Problem leider der, der den größeren
Abstand zur x-Achse hat (am Falle r > 0 stimmt das mit der Anschauung
überein). Hast Dich also Ohne Beachtung der Allgemeinheit auf den
falschen Halbkreis festgelegt.

Was? Meine Anschauung ist eine ganz andere. Der Kreis hat Mittelpunkt
(0,-r), so daß der obere Halbkreis doch wohl der x-Achse näher ist als
der untere. Nur von diesem erwarte ich Konvergenz zur x-Achse, der
untere Halbkreis verschwindet freilich im Unendlichen:

y_{unten}=-sqrt(r^2-x^2)-r

Post by Markus Steinborn
Lesen wir mal weiter, da ich mein Argument für diesen (behebbar)
verbockt habe...

Post by Hendrik van Hees
Dieser wird offensichtlich durch die Gleichung
y(x)=sqrt(r^2-x^2)-r
dargestellt. Erweitern mit sqrt(r^2-x^2)+r liefert
y(x)=-x^2/(r+sqrt(r^2-x^2)),
und das geht offensichtlich ->0 für r->\infty, so daß in diesem Sinne
die x-Achse also der Limes des Halbkreises ist.

Also gut, für den Halbkreis, der näher an der x-Achse liegt, wäre das
Argument damit gerettet.

Post by Hendrik van Hees
Was ist daran nun verkehrt? Gemeint ist natürlich hier punktweise
Konvergenz, d.h. r->\infty für festgehaltenes x.

Ich sehe jetzt also ein, dass Halbkreise mit Radius unendlich
Geraden sind (und umgekehrt).
Der anderer Halbkreis konvergiert aber offensichtlich gegen unendlich,
da für jeden Punkt (x,y) auf den entfernteren Halbkreis allemal
|y| >= |r| -> oo
gilt. OK?

Klar.

[Markus Steinborn]

Hallo Hendrik,

Post by Hendrik van Hees

Post by Markus Steinborn

Post by Hendrik van Hees
Betrachten wir obdA. den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt in (0,-r)
und Radius r.

Der "obere" Halbkreis ist im Problem leider der, der den größeren
Abstand zur x-Achse hat (am Falle r > 0 stimmt das mit der Anschauung
überein). Hast Dich also Ohne Beachtung der Allgemeinheit auf den
falschen Halbkreis festgelegt.

Was? Meine Anschauung ist eine ganz andere. Der Kreis hat Mittelpunkt
(0,-r), so daß der obere Halbkreis doch wohl der x-Achse näher ist als
der untere. Nur von diesem erwarte ich Konvergenz zur x-Achse, der

Den Begriff "oberer" Halbkreis habe ich aud dem Posting von Thomas Mautsch
übernommen (dort redet er vom "oberen Teil" des Kreises). Aus dem Kontext
kann man schließen, dass er den nichtkonvergenten Teil des Kreises meint
(also den, der der x-Achse weiter entfernt ist). Genau das ist übrigens
der Grund, warum ich "oberer Halbkreis" in Anführungszeichen gesetzt habe:
Es ist für r < 0 der untere Halbkreis gemeint. Für r -> oo ist allerdings
nur der Teil mit r>0 interessant, so dass ich den Begriff trotzdem
übernommen habe.

Wir haben also: Der "nähere" Halbkreis konvergiert gegen die x-Achse, der
"entferntere" Halbkreis divergiert bestimmt gegen oo.

Damit ist die Gerade aber "nur" Grenzwert der Folge der "näheren"
Halbkreise, nicht Grenzwert der Kreisfolge (die gegen unendlich bestimmt
divergierenden Punkte verschwinden leider "in die Falsche Richtung" ins
unendliche, so dass sie keine geeignete Fortsetzung der Gerade sein
können.

Naja, mal sehen, was der Professor dazu meint (ich hab' ihn bereits die
Frage angekündigt).

[Thomas Mautsch]

Post by Hendrik van Hees
Mal sehen, ob Physikernaivität weiterhilft.
Betrachten wir obdA. den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt in (0,-r) und
Radius r. Dieser wird offensichtlich durch die Gleichung
y(x)=sqrt(r^2-x^2)-r
dargestellt. Erweitern mit sqrt(r^2-x^2)+r liefert
y(x)=-x^2/(r+sqrt(r^2-x^2)),
und das geht offensichtlich ->0 für r->\infty, so daß in diesem Sinne
die x-Achse also der Limes des Halbkreises ist.
Was ist daran nun verkehrt? Gemeint ist natürlich hier punktweise
Konvergenz, d.h. r->\infty für festgehaltenes x.

Ich habe ein paar Punkte, die Deine Konstruktion unkanonisch aussehen lassen:

* Du benutzt eine Parametrisierung.
Das Resultat, punktweise Konvergenz, laesst sich
NUR bezueglich dieser Parametrisierung beschreiben.

* Der Parameter Deiner Parametrisierungen
verlaueft nicht in einem konstanten Parameterbereich:
x laueft von -r bis r, was vom Radius r abhaengt.

* Wenn Du die Parametrisierung nur leicht aenderst,
z.B. x = r*y mit y aus dem Intervall [-1,1],
konvergiert die umparametrisierte Kurve nicht mehr.

* Punktweise Konvergenz ist keine ordentliche Konvergenz
fuer stetige Kurven
(weil sie z.B. Stetigkeit nicht erhaelt).

* Du zeigst, dass man Geraden als HALBkreise mit unendlichem Radius
darstellen kann, aber das wollten wir ja eigentlich nicht...

Ich will nur sagen, dass mir die Konstruktion nicht gefaellt.
Nichts fuer ungut
und Gruesse
Thomas

[Thomas Mautsch]

Post by Markus Steinborn
Jetzt seh ich das Problem. Zur Motivation der Poincare-Halbebene in der
nichteuklidischen Geometrie hat unser Prof. allerdings -- euklidisch
argumentiert -- genau das als Motivation genommem ("Die Geraden
(euklidisch) seien Kreise mit unendlichen Radius.". Daher sind die
Geraden in der Poincare-Halbebene aus euklidischen Halbkreisen mit
Endpunkten und Mittelpunkt auf der X-Achse sowie zur Y-Achse parallelen
Halbgeraden gegeben). Da muss ich dann dringend nochmal nachhaken...
Das der "obere Halbkreis" divergiert (bei meiner Konstruktion),
reicht mir naemlich nicht (mehr)...

Hat er wirklich "mit unendlichen Radius" dazugesagt?
Falls ja, ist es vielleicht nur eine Ungenauigkeit. --
"Kreis mit unendlichen Radius" wird einfach
als SYNONYM fuer "Gerade" benutzt, egal,
ob man im verwendeten Zusammenhang ueberhaupt von Radien sprechen kann.
(Frage Google mal nach "circle of infinite radius",
dann wirst Du sehen, was ich meine.)

Ich glaube, dass der Begriff "Kreis mit unendlichen Radius"
daher kommt, dass man Kreise durch Tupel [c:d:e:f]
parametrisiert, indem man sie als Loesungsmeng der Gleichung

c*x^2 + c*y^2 + d*x + e*y + f = 0

schreibt und dass man aus dieser Formel im Grenzfall c -> 0 Geraden erhaelt
(bzw. besser [c:d:e:f] -> [0:D:E:F] im projektiven Raum)
und der Radius der Kreise, ausgedrueckt durch [c:d:e:f],
fuer c -> 0 gegen unendlich geht.


Im der hyperbolischen Ebene ist es jedenfalls nicht so
sinnvoll, von Radien von Kreisen zu sprechen
(ausser man meint Kreise bzgl. der hyperbolischen Metrik),
und es waere meiner Meinung nach guenstiger,
(Halb-)Geraden, die in der oberen Halbebene senkrecht auf der x-Achse stehen,
als (Halb-)Kreise, DIE DURCH DEN PUNKT UNENDLICH VERLAUFEN, zu interpretieren.

Post by Markus Steinborn

Post by Thomas Mautsch
Nein, so einfach wird das nichts. --
Der "obere Teil" des Kreises wird nicht ohne Weiteres
gegen die x-Achse konvergieren, ausser,
wenn Du einen Punkt im Unendlichen zur Ebene hinzunimmst.

Ja, und ohne den Punkt bei Unendlich hinzuzunehmen,
funtioniert auch in der hyperbolischen Halbebene nichts...

Gruss
Thomas

[Markus Steinborn]

Hallo,

Post by Thomas Mautsch
Hat er wirklich "mit unendlichen Radius" dazugesagt?
Falls ja, ist es vielleicht nur eine Ungenauigkeit. --

Er hat. Sein Ziel war es (laut heute eigens erteilter Erklärung), die
Sprechwiese zu vereinfachen: Er wollte beispielsweise für die
Poincare-Halbebene der nichteuklidischen Geometrie einfach sagen:
Geraden sind die euklidischen Halbkreise mit Endpunkten auf \R. (Dabei:
vertikalen Halbgeraden = Halbkreise mit Radius unendlich).

Er hat heute klargestellt, dass es keine (Halb-) Kreise mit unendlichem
Radius gebe ("Was soll das denn sein? Die Menge aller Punkte, die von
einem festen Punkt den Abstand unendlich haben??"). Die Stelle in der
Vorlesung sei einfach nur eine sprachliche Vereinfachung gewesen.

Post by Thomas Mautsch
Im der hyperbolischen Ebene ist es jedenfalls nicht so
sinnvoll, von Radien von Kreisen zu sprechen
(ausser man meint Kreise bzgl. der hyperbolischen Metrik),

Naja, das Ziel war es, informell die Poincare-Ebene und die
Poincare-Kreisscheibe zu beschreiben: Halbebene von R^2 bzw. offene
Kreisscheibe vom Radius 1, auf der sich hyperbolische Geraden durch
euklidische Kreise und Geraden auf eine gewisse Art (die ich hier in
diesem Zusammehang nicht nennen brauche) beschreiben lassen.

Post by Thomas Mautsch
und es waere meiner Meinung nach guenstiger,
(Halb-)Geraden, die in der oberen Halbebene senkrecht auf der
x-Achse stehen, als (Halb-)Kreise, DIE DURCH DEN PUNKT UNENDLICH VERLAUFEN,
zu interpretieren.

Ich denke, diesen Idee / Vorschlag teile ich dem Prof. mal mit.
(Vielleicht *den* Punkt unendlich durch *einen* Punkt unendlich
substituieren: Wir sind in der Vorlesung gerade dabei, die
Lobatschewski-Ebene durch unendlich viele unendlich-Punkte
abzuschliessen. Dies entspricht durchaus der Intuition: Man nehme den
"Rand" von der Poincare-Kreisscheibe hinzu.)


Grüße

Markus

[Thomas Mautsch]

[ ... ]

Post by Markus Steinborn

Post by Thomas Mautsch
und es waere meiner Meinung nach guenstiger,
(Halb-)Geraden, die in der oberen Halbebene senkrecht auf der
x-Achse stehen, als (Halb-)Kreise, DIE DURCH DEN PUNKT UNENDLICH VERLAUFEN,
zu interpretieren.

Ich denke, diesen Idee / Vorschlag teile ich dem Prof. mal mit.

Brauchst Du nicht, den kennt er schon. ;-)

Post by Markus Steinborn
(Vielleicht *den* Punkt unendlich durch *einen* Punkt unendlich
substituieren: Wir sind in der Vorlesung gerade dabei, die
Lobatschewski-Ebene durch unendlich viele unendlich-Punkte
abzuschliessen. Dies entspricht durchaus der Intuition: Man nehme den
"Rand" von der Poincare-Kreisscheibe hinzu.)

Im Halbebenen-Modell, auf das meine Bemerkung gemuenzt war
(weil dort Halbkreise *und* Strahlen parallel zur y-Achse Geodaeten sind),
nimmt man die x-Achse und *den* Punkt Unendlich hinzu.

[Marc Hoeppner]

Ich habe eure Unterhaltung nur teilweise nachvollziehen können, aber kann

Post by Markus Steinborn
Er hat heute klargestellt, dass es keine (Halb-) Kreise mit unendlichem
Radius gebe ("Was soll das denn sein? Die Menge aller Punkte, die von
einem festen Punkt den Abstand unendlich haben??"). Die Stelle in der
Vorlesung sei einfach nur eine sprachliche Vereinfachung gewesen.

so werten, dass es gerade im 2D Raum (aber eventuell auch im 3D Raum?) keine
Kreise mit 'unendlichem' Radius gibt?

Viele Grüsse,

Marc

Post by Markus Steinborn
Hallo,

Post by Thomas Mautsch
Hat er wirklich "mit unendlichen Radius" dazugesagt?
Falls ja, ist es vielleicht nur eine Ungenauigkeit. --

Er hat. Sein Ziel war es (laut heute eigens erteilter Erklärung), die
Sprechwiese zu vereinfachen: Er wollte beispielsweise für die
vertikalen Halbgeraden = Halbkreise mit Radius unendlich).
Er hat heute klargestellt, dass es keine (Halb-) Kreise mit unendlichem
Radius gebe ("Was soll das denn sein? Die Menge aller Punkte, die von
einem festen Punkt den Abstand unendlich haben??"). Die Stelle in der
Vorlesung sei einfach nur eine sprachliche Vereinfachung gewesen.

Post by Thomas Mautsch
Im der hyperbolischen Ebene ist es jedenfalls nicht so
sinnvoll, von Radien von Kreisen zu sprechen
(ausser man meint Kreise bzgl. der hyperbolischen Metrik),

Naja, das Ziel war es, informell die Poincare-Ebene und die
Poincare-Kreisscheibe zu beschreiben: Halbebene von R^2 bzw. offene
Kreisscheibe vom Radius 1, auf der sich hyperbolische Geraden durch
euklidische Kreise und Geraden auf eine gewisse Art (die ich hier in
diesem Zusammehang nicht nennen brauche) beschreiben lassen.

Post by Thomas Mautsch
und es waere meiner Meinung nach guenstiger,
(Halb-)Geraden, die in der oberen Halbebene senkrecht auf der
x-Achse stehen, als (Halb-)Kreise, DIE DURCH DEN PUNKT UNENDLICH VERLAUFEN,
zu interpretieren.

Ich denke, diesen Idee / Vorschlag teile ich dem Prof. mal mit.
(Vielleicht *den* Punkt unendlich durch *einen* Punkt unendlich
substituieren: Wir sind in der Vorlesung gerade dabei, die
Lobatschewski-Ebene durch unendlich viele unendlich-Punkte
abzuschliessen. Dies entspricht durchaus der Intuition: Man nehme den
"Rand" von der Poincare-Kreisscheibe hinzu.)
Grüße
Markus

[Rainer Rosenthal]

"Marc Hoeppner" schrieb

... die Frage, wann eine Gerade einem Kreis
mit unendlich großem Radius entspricht.

Mit dieser Frage verbindest Du ja ganz sicher auch
den Wunsch, Deine Vorstellung zu erweitern, so dass
eine solche Aussage wie die obige Sinn bekommt.

Ich schlage also vor, dass wir uns beide zum Rand
eines grossen Kreises begeben, den wir mittels
einer 10 m langen Schnur auf den Boden gekratzt
haben. (Antike griechische Verfahren sind ja seit
gestern abend wieder in Mode :-)

Zwischen zwei Grasstücken ist eine 30 cm lange
Kratzspur von unserem gekratzten Kreis gut im Sand
erkennbar. Sieht beim ersten Hingucken aus wie
eine sauber gezogene gerade Strecke!

Ich belasse es erst einmal bei diesem "Spaziergang"
und weise daraufhin, dass "unendlich grosser Radius"
besser ersetzt wird durch "sehr sehr grosses Verhältnis
von Radius zu betrachtetem Randabschnitt". In unserem
Falle ist dies Verhältnis 10 m / 30 cm = 33.3, also
ganz schön gross. Gehen wir runter auf einen Abschnitt
von 1 cm Rand, dann kriegen wir das Idealbild eines
unendlich grossen Radius' noch genauer hin, weil das
Verhältnis dann auf 1000 gewachsen ist. Das betrachtete
Randstück ist also genauso "gerade", als hätten wir
im Ausgangsbeispiel eine Schnur der Länge 300 m zum
Zeichnen des Kreises verwendet.

Das alles wird von ernsthaften Mathematikern u.U. als
"blosse Heuristik" kopfschüttelnd quittiert. Es dürfte
aber hilfreich sein, von einem absurden unendlich
grossen Radius gedanklich überzugehen zu einem
*vergleichsweise* sehr grossen Radius, wobei als Vergleich
die Länge des betrachteten Kreisrandstücks herangezogen
wird.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Thomas Mautsch]

Post by Rainer Rosenthal
"Marc Hoeppner" schrieb

... die Frage, wann eine Gerade einem Kreis
mit unendlich großem Radius entspricht.

[ ... ]

Post by Rainer Rosenthal
Ich schlage also vor, dass wir uns beide zum Rand
eines grossen Kreises begeben, den wir mittels
einer 10 m langen Schnur auf den Boden gekratzt
haben. (Antike griechische Verfahren sind ja seit
gestern abend wieder in Mode :-)
Zwischen zwei Grasstücken ist eine 30 cm lange
Kratzspur von unserem gekratzten Kreis gut im Sand
erkennbar. Sieht beim ersten Hingucken aus wie
eine sauber gezogene gerade Strecke!

Du kennst doch sicherlich den Witz
mit dem Soziologen, dem Physiker und dem Mathematiker,
bei dem der Mathematiker zum Schluss sagt:

"Auch das ist falsch. Wir können lediglich sagen,
dass es in diesem Land ein Schaf gibt,
dass von mindestens einer Seite schwarz ist."

Du hast, wie Du in den nachfolgenden Betrachtungen auch sagst,
nur gezeigt, dass EIN ABSCHNITT eines Kreises
mit sehr grossem Radius fast eine Gerade ist.

In diesem Sinne waeren aber auch Abschnitte von
BELIEBIGEN auf furchtbare Groessen gestreckten glatten Kurven fast Geraden
(leider nichts kreisspezifisches...).
Und um den Beweis durch Autoritaet komplett zu machen,
moechte ich mich auf die Herren Newton und Leibniz beziehen,
die, wenn sie noch leben wuerden, mir sicherlich Recht geben wuerden...

;-)

[Rainer Rosenthal]

"Thomas Mautsch" schrieb

Post by Thomas Mautsch
Du hast, wie Du in den nachfolgenden Betrachtungen
auch sagst, nur gezeigt, dass EIN ABSCHNITT eines
Kreises mit sehr grossem Radius fast eine Gerade ist.

Hallo Thomas,

ich habe etwas gezeigt. Das ist richtig.
Was mich sehr interessiert, ist, ob Marc, dem
ich etwas zeigen wollte, damit etwas anzufangen
weiss.

Der Reiz der Newsgroup gegenüber diversen anderen
Kommunikationsmöglichkeiten liegt darin, einerseits
einen ganz persönlich gefärbten Dialog führen zu
können, andererseits aber anderen die Möglichkeit
zur Korrektur und Einflussnahme zu geben.

Ich habe hier bewusst vereinfachend eine konkrete
Situation suggeriert (inklusive Gras), um den
"unendlich grossen Radius" begreifbar machen zu können.

Post by Thomas Mautsch
In diesem Sinne waeren aber auch Abschnitte von
BELIEBIGEN auf furchtbare Groessen gestreckten glatten
Kurven fast Geraden (leider nichts kreisspezifisches...).

Sind sie doch auch. Aber die Frage lautete doch nicht
"Sind Abschnitte von beliebigen glatten Kurven fast Geraden?"
sondern "wieso ist ein *Kreis* mit unendlich grossem Radius
eine Gerade?".

Und noch was: Abschnitte sind niemals Geraden. Sondern
begrenzte Abschnitte davon, also "Strecken".

Post by Thomas Mautsch
Und um den Beweis durch Autoritaet komplett zu machen,
moechte ich mich auf die Herren Newton und Leibniz beziehen,
die, wenn sie noch leben wuerden, mir sicherlich Recht
geben wuerden...
;-)

Sie würden sich aber auch freundlich grinsend meine
Bemühungen ansehen, mit Marc über das Thema zu sprechen.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Marc Hoeppner]

Hey, das sind eher antike deutsche Verfahren (falls du das Fussballspiel
meintest) ;)

Danke für deinen 'Spaziergang'. Das ein Kreisteilabschnitt bei
entsprechender 'Vergrößerung' wie eine Gerade wirkt, mag einleuchtend sein.
Aber wie die zwei Enden einer geraden Linie auf einer Ebene sich jemals
treffen können, ist mir selbst dann schleierhaft, wenn die Ebene unendlich
groß und die Gerade unendlich lang ist. Bei einer Raumkrümung oder
Projektion kann ich mir das gut vorstellen, aber halt nicht in 2D. Dabei
weiss ich noch nicht mal, ob die Grundaussage an sich (eine Gerade ist ein
Kreis mit...) richtig ist. Hast du dafür ggf. ein Bespiel oder eine
Widerlegung?

Post by Rainer Rosenthal
"Marc Hoeppner" schrieb

... die Frage, wann eine Gerade einem Kreis
mit unendlich großem Radius entspricht.

Mit dieser Frage verbindest Du ja ganz sicher auch
den Wunsch, Deine Vorstellung zu erweitern, so dass
eine solche Aussage wie die obige Sinn bekommt.
Ich schlage also vor, dass wir uns beide zum Rand
eines grossen Kreises begeben, den wir mittels
einer 10 m langen Schnur auf den Boden gekratzt
haben. (Antike griechische Verfahren sind ja seit
gestern abend wieder in Mode :-)
Zwischen zwei Grasstücken ist eine 30 cm lange
Kratzspur von unserem gekratzten Kreis gut im Sand
erkennbar. Sieht beim ersten Hingucken aus wie
eine sauber gezogene gerade Strecke!
Ich belasse es erst einmal bei diesem "Spaziergang"
und weise daraufhin, dass "unendlich grosser Radius"
besser ersetzt wird durch "sehr sehr grosses Verhältnis
von Radius zu betrachtetem Randabschnitt". In unserem
Falle ist dies Verhältnis 10 m / 30 cm = 33.3, also
ganz schön gross. Gehen wir runter auf einen Abschnitt
von 1 cm Rand, dann kriegen wir das Idealbild eines
unendlich grossen Radius' noch genauer hin, weil das
Verhältnis dann auf 1000 gewachsen ist. Das betrachtete
Randstück ist also genauso "gerade", als hätten wir
im Ausgangsbeispiel eine Schnur der Länge 300 m zum
Zeichnen des Kreises verwendet.
Das alles wird von ernsthaften Mathematikern u.U. als
"blosse Heuristik" kopfschüttelnd quittiert. Es dürfte
aber hilfreich sein, von einem absurden unendlich
grossen Radius gedanklich überzugehen zu einem
*vergleichsweise* sehr grossen Radius, wobei als Vergleich
die Länge des betrachteten Kreisrandstücks herangezogen
wird.
Gruss,
Rainer Rosenthal

[Rainer Rosenthal]

"Marc Hoeppner" schrieb

Post by Marc Hoeppner
Danke für deinen 'Spaziergang'. Das ein Kreisteilabschnitt bei
entsprechender 'Vergrößerung' wie eine Gerade wirkt, mag
einleuchtend sein.

Leuchtet es ein? Mir schon. Dir, glaube ich, auch.
Wenn wir jetzt noch "Gerade" durch das korrektere Wort "Strecke"
ersetzen, dann wird weder ein Genie des 15. Jahrhunderts in seiner
wohlverdienten Ruhe gestört noch wird irgendjemand entschieden
Einspruch erheben wollen. Oder?

Post by Marc Hoeppner
Aber wie die zwei Enden einer geraden Linie auf einer Ebene sich
jemals treffen können, ist mir selbst dann schleierhaft, wenn die
Ebene unendlich groß und die Gerade unendlich lang ist.

Die Ebene *ist* unendlich gross. Jedenfalls die, auf der man sich
gemütlich naiv-geometrisch-euklidisch mit Zirkel und Lineal tummelt.
Und Geraden *sind* unendlich lang. Strecken sind nur endlich lang.

Als letztes hatten wir beide ja diesen Spaziergang gemacht. Wir
haben uns auf den Kreislinienabschnitt zu unseren Füssen konzentriert
und fasziniert zugeschaut, wie er glatt und glatter wurde. Lichtstrahl-
mässig gerade, könnte man fast sagen. Toll! Mit jeder Lautsprecher-
ansage "Der Radius ist nunmehr siebenkommaacht Billionen Kilometer"
u.ä. wurde die Linie gestreckter.

Du hast recht: Dabei habe ich gar nicht recht links und rechts geschaut
und beim Blick nach hinten ist die sowieso schon dünne Kreislinie
wirklich unter alle Planckmasse verdünnisiert auf die Entfernung :-)
Immerhin: weiter als 15,6 Billionen Kilometer ist sie ja noch nicht.
Aber rechts und links: soweit das Auge reicht - alles schnurgerade.

Tja, ich gebe zu, dass ich die Sache etwas aus den Augen verloren habe.

Post by Marc Hoeppner
Bei einer Raumkrümung oder Projektion kann ich mir das gut
vorstellen, aber halt nicht in 2D.

Du berührst hier das Gebiet der Differentialgeometrie, also der
Mathematik, die sich mit Gebilden beschäftigt, die im Kleinen
aussehen wie gewohnte 2D- oder 3D-Ausschnitte, die aber im Grossen
die merkwürdigsten Eigenschaften haben dürfen: Löcher, Durchdringungen,
Verschlingungen und weiss der Henkel^Hr was noch alles. Man spricht
dort sogar von (lokalen) "Karten" im Sinne von "Landkarten". Es ist
ein faszinierendes Teilgebiet der Mathematik. Falls Du doch noch
Mathe studieren willst, dann dürfte Dir das gefallen ...

Post by Marc Hoeppner
Dabei weiss ich noch nicht mal,
ob die Grundaussage an sich (eine Gerade ist ein Kreis mit...)
richtig ist. Hast du dafür ggf. ein Bespiel oder eine
Widerlegung?

Nein. Du hast gesehen, wie ich oben den Überblick verloren hatte.
Du auch?

Mal sehen, ob ich noch soviel Phantasie zusammenkriege, um mir das
besser vorstellen zu können. Aber die ernsthaften Mathematiker inter-
essiert das eh nicht mehr. Höchstens noch Dich. Das würde mich freuen.
Dann können wir uns die Hand schütteln und den Spaziergang für
beendet erklären.

Hat mich gefreut,
Tschüs,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Paul Ebermann]

Post by Marc Hoeppner
Aber wie die zwei Enden einer geraden Linie auf einer Ebene sich jemals
treffen können, ist mir selbst dann schleierhaft, wenn die Ebene unendlich
groß und die Gerade unendlich lang ist. Bei einer Raumkrümung oder
Projektion kann ich mir das gut vorstellen, aber halt nicht in 2D.

Du kannst dir einen gekrümmten höherdimensionalen Raum besser
vorstellen als einen gekrümmten zweidimensionalen? [1]

Für letzteres gibt es ein übliches Beispiel:

Auf der Kugeloberfläche sind die "Geraden"
(im Sinne der von Rainer erwähnten Differentialgeometrie,
aber auch einfach im Sinne einer "Abwicklung von
der Ebene") gerade die "Großkreise", also jene
Kreise, die den gleichen Radius haben wie die Kugel
selbst. (Also nichts mit "unendlich großer Radius").

Eine Straße auf der Erdoberfläche kann also sehr
wohl überall "lokal" eine Gerade sein - insgesamt
wird ein Kreis draus (wir nehmen die Erde hier
kugelförmig an).


Paul
[1] Ich habe immer Probleme mit
höherdimensionalen gekrümmten Räumen ...

[Thomas Heye]

Hallo Rainer,
hm, die "Krümmung" nimmt ja mit wachsendem Radius ab (anschaulich gesagt).
Insoweit dämmert mir langsam, dass man auf die Idee mit dem "unendlich
grossen Radius" kommt. Nur bei aller Rechnerei: Der Kreis ist ja gerade
dadurch charakterisiert, dass jeder Punkt auf dem Kreis einen festen Abstand
zum Mittelpunkt hat; aber das haut ja bei einer geraden nicht hin...

Gruß
Thomas

Post by Rainer Rosenthal
"Marc Hoeppner" schrieb

... die Frage, wann eine Gerade einem Kreis
mit unendlich großem Radius entspricht.

Mit dieser Frage verbindest Du ja ganz sicher auch
den Wunsch, Deine Vorstellung zu erweitern, so dass
eine solche Aussage wie die obige Sinn bekommt.
Ich schlage also vor, dass wir uns beide zum Rand
eines grossen Kreises begeben, den wir mittels
einer 10 m langen Schnur auf den Boden gekratzt
haben. (Antike griechische Verfahren sind ja seit
gestern abend wieder in Mode :-)
Zwischen zwei Grasstücken ist eine 30 cm lange
Kratzspur von unserem gekratzten Kreis gut im Sand
erkennbar. Sieht beim ersten Hingucken aus wie
eine sauber gezogene gerade Strecke!
Ich belasse es erst einmal bei diesem "Spaziergang"
und weise daraufhin, dass "unendlich grosser Radius"
besser ersetzt wird durch "sehr sehr grosses Verhältnis
von Radius zu betrachtetem Randabschnitt". In unserem
Falle ist dies Verhältnis 10 m / 30 cm = 33.3, also
ganz schön gross. Gehen wir runter auf einen Abschnitt
von 1 cm Rand, dann kriegen wir das Idealbild eines
unendlich grossen Radius' noch genauer hin, weil das
Verhältnis dann auf 1000 gewachsen ist. Das betrachtete
Randstück ist also genauso "gerade", als hätten wir
im Ausgangsbeispiel eine Schnur der Länge 300 m zum
Zeichnen des Kreises verwendet.
Das alles wird von ernsthaften Mathematikern u.U. als
"blosse Heuristik" kopfschüttelnd quittiert. Es dürfte
aber hilfreich sein, von einem absurden unendlich
grossen Radius gedanklich überzugehen zu einem
*vergleichsweise* sehr grossen Radius, wobei als Vergleich
die Länge des betrachteten Kreisrandstücks herangezogen
wird.
Gruss,
Rainer Rosenthal

[Rainer Rosenthal]

"Thomas Heye" schrieb

Post by Thomas Heye
Insoweit dämmert mir langsam, dass man auf die
Idee mit dem "unendlich grossen Radius" kommt.

Jippiie!
Das war ja mein Anliegen: für viele die hier lesen, ist
dieser Gedanke derart selbstverständlich geworden, dass
sie erst mal ganz viele Vokabeln und halbstetige C2-
Konvergenz im mehrfach durchlöcherten Semiquasi-Raum
brauchen, um überhaupt was Problematisches zu haben :-))

Post by Thomas Heye
Nur bei aller Rechnerei: Der Kreis ist ja gerade

Wie bitte???

Post by Thomas Heye
Nur bei aller Rechnerei: Der Kreis ist ja gerade
dadurch charakterisiert, dass jeder Punkt auf dem Kreis
einen festen Abstand zum Mittelpunkt hat; aber das
haut ja bei einer geraden nicht hin...

Nix Rechnerei - bei meinem "Spaziergang" habe ich ja bewusst
auf's Rechnen verzichtet. Anthroposophisch reine Anschauung
sollte walten, und ungedüngtes grünes Gras hatte ich wachsen
lassen.
Ach ja - und welche beiden Punkte der so gebildeten Geraden
hätten denn bitte *verschiedenen* Abstand zum Mittelpunkt?
Solange der Mittelpunkt in der Ferne noch zu ahnen war, hatten
zumindest die Punkte zu unseren Füssen und die in Sichtweite
rechts und links *den gleichen Abstand* vom Mittelpunkt.

Sollen wir nochmal zurückgehen zu dem Kreisrand? Also gut:
http://makeashorterlink.com/?A183324C8

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Hendrik van Hees]

Post by Rainer Rosenthal
Nix Rechnerei - bei meinem "Spaziergang" habe ich ja bewusst
auf's Rechnen verzichtet. Anthroposophisch reine Anschauung
sollte walten, und ungedüngtes grünes Gras hatte ich wachsen
lassen.

Anthroposophie! I'm shocked, und das in den heiligen Hallen der
Mathematik. Nein, da zählt nur klares Denken, kein
ideologisch-philosophischer Ballast, obwohl ja die Mathematik auch zur
Philosophie gehört, bzw. den einzige Teil der Philosophie darstellt,
der den Namen Wissenschaft verdient, also nix mit -ismen.

[Rainer Rosenthal]

"Hendrik van Hees" schrieb

Post by Hendrik van Hees
Anthroposophie! I'm shocked, und das in den
heiligen Hallen der Mathematik. Nein, da zählt
nur klares Denken, kein ideologisch-philosophischer
Ballast, obwohl ja die Mathematik auch zur
Philosophie gehört, bzw. den einzige Teil der
Philosophie darstellt, der den Namen Wissenschaft
verdient, also nix mit -ismen.

Dich zu schocken, macht immer Spass ;-)

Gruss,
Rainer

[Thomas Mautsch]

Post by Marc Hoeppner
ich argumentiere hier gerade mit einem Kollegen die Frage, wann eine Gerade
einem Kreis mit unendlich großem Radius entspricht. Allerdings fehlt uns ein
tieferes mathematisches Wissen, deshalb auch die Frage hier: wenn ich die

^^^^^^^^^^^^^^

Post by Marc Hoeppner
Betrachtung auf zwei Dimensionen reduziere, ist die Aussage "Eine Gerade ist

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Marc Hoeppner
ein Kreis mit einem unendlich großen Radius" dann immer noch korrekt oder

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Marc Hoeppner
trifft das nur auf mehr als 2 Dimensionen zu? - Für Antworten oder auch

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Marc Hoeppner
Verweise auf Fundstellen im Netz wäre ich sehr dankbar!!

Hi Marc!
Die anderen Antworten auf Deine Frage sind eigentlich gar nicht
auf den Dimensionsaspekt Deiner Frage eingegangen,
sondern haben nur erklaert, wie man Deine Aussage ausgerechnet
in zwei Dimensionen deuten kann.

Deine Frage deutet darauf hin, dass Du ueberzeugt bist,
dass Deine Aussage in hoeheren Dimensionen richtig ist. --
Wenn Du uns Dein Verstaendnis dieses Sachverhalts genauer erklaerst,
wirst Du wahrscheinlich konkretere Antworten auf den Dimensionsaspekt
Deiner Frage erhalten.
[Vielleicht auch nicht, schliesslich sind Kreise *ebene*, d.h.
zweidimensionale Figuren...]


[Was mir noch einfallen wuerde,
waere Geometrie der franzoesischen Schule ("Lie-Geometrie"(???)):
*Kreise* in der x-y-Ebene haben die Formel

c*x^2 + c*y^2 + d*x + e*y + f = 0,

sind also durch die Angaben von vier Groessen (c,d,e,f) mit

c =/= 0
und
e^2 + d^2 > 4 * c * f

eindeutig gegeben, wobei man diese noch mit einer Zahl,
die nicht Null ist, multiplizieren kann,
d.h. nur das Verhaeltnis [c:d:e:f] ist eindeutig.

Die Grenzfaelle von Parametern [c:d:e:f] mit
e^2 + d^2 = 4 * c * f
entsprechen *Punkten* in der Ebene
und die mit
c = 0
entsprechen *Geraden*, so dass man durch drei Koordinaten [c:d:e:f]
den Raum aller Kreise, Punkte und Geraden der Ebene
*in einem* parametrisiert hat.

Der Radius eines den Parametern [c:d:e:f] entsprechenden Kreises ist
dann gleich

sqrt( d^2 + e^2 - 4*f*c )
---------------------------
abs(c)

und wird im Fall von Geraden, c=0, wie gewuenscht, zu "Unendlich"...]

[Marc Hoeppner]

Danke für deine Antwort. Ich hatte bei vielen Antworten auch genau diesen
Aspekt etwas vermisst oder eben halt nicht ganz verstanden, was ja auch
immer leicht möglich ist :] - Wie wahrscheinlich unschwer zu erkennen ist,
bin ich keine Mathematiker...

Post by Thomas Mautsch
Deine Frage deutet darauf hin, dass Du ueberzeugt bist,
dass Deine Aussage in hoeheren Dimensionen richtig ist. --

Korrekt. Obwohl ich bisher nicht herausgefunden habe, ob das wirklich 'wahr'
ist oder nicht...

Post by Thomas Mautsch
Wenn Du uns Dein Verstaendnis dieses Sachverhalts genauer erklaerst,
wirst Du wahrscheinlich konkretere Antworten auf den Dimensionsaspekt
Deiner Frage erhalten.

Hätte ich vielleicht von Anfang an machen sollen, da hast du Recht. Wenn ich
eine Gerade in einem mehrdimensionalen Raum habe, so kann ich mir durchaus
unter dem Aspekt der Raumkrümmung vorstellen, dass sich die beiden Enden der
Gerade wieder treffen und damit einen Kreis bilden. Ebenso kann ich mir
vorstellen, wie die Projektion einer 3D Gerade in den 2D Raum ein Kreis
wird. Aber wenn ich mich für einen Moment _nur_ auf 2D beschränke, wie
könnten sich dann die Enden einer Gerade treffen? - Selbst wenn die Ebene
und die Gerade unendlich lang/groß sind? - Dafür fehlt mir das
Gedankenmodell.

Macht das die Frage etwas klarer? - Falls du ein Gedankenmodell oder einen
Denkanstoss hast, wäre ich dir sehr dankbar!

Post by Thomas Mautsch

Post by Marc Hoeppner
ich argumentiere hier gerade mit einem Kollegen die Frage, wann eine Gerade
einem Kreis mit unendlich großem Radius entspricht. Allerdings fehlt uns ein
tieferes mathematisches Wissen, deshalb auch die Frage hier: wenn ich die

^^^^^^^^^^^^^^

Post by Thomas Mautsch

Post by Marc Hoeppner
Betrachtung auf zwei Dimensionen reduziere, ist die Aussage "Eine Gerade ist

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Marc Hoeppner
ein Kreis mit einem unendlich großen Radius" dann immer noch korrekt oder

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Marc Hoeppner
trifft das nur auf mehr als 2 Dimensionen zu? - Für Antworten oder auch

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Post by Marc Hoeppner
Verweise auf Fundstellen im Netz wäre ich sehr dankbar!!

Hi Marc!
Die anderen Antworten auf Deine Frage sind eigentlich gar nicht
auf den Dimensionsaspekt Deiner Frage eingegangen,
sondern haben nur erklaert, wie man Deine Aussage ausgerechnet
in zwei Dimensionen deuten kann.
Deine Frage deutet darauf hin, dass Du ueberzeugt bist,
dass Deine Aussage in hoeheren Dimensionen richtig ist. --
Wenn Du uns Dein Verstaendnis dieses Sachverhalts genauer erklaerst,
wirst Du wahrscheinlich konkretere Antworten auf den Dimensionsaspekt
Deiner Frage erhalten.
[Vielleicht auch nicht, schliesslich sind Kreise *ebene*, d.h.
zweidimensionale Figuren...]
[Was mir noch einfallen wuerde,
*Kreise* in der x-y-Ebene haben die Formel
c*x^2 + c*y^2 + d*x + e*y + f = 0,
sind also durch die Angaben von vier Groessen (c,d,e,f) mit
c =/= 0
und
e^2 + d^2 > 4 * c * f
eindeutig gegeben, wobei man diese noch mit einer Zahl,
die nicht Null ist, multiplizieren kann,
d.h. nur das Verhaeltnis [c:d:e:f] ist eindeutig.
Die Grenzfaelle von Parametern [c:d:e:f] mit
e^2 + d^2 = 4 * c * f
entsprechen *Punkten* in der Ebene
und die mit
c = 0
entsprechen *Geraden*, so dass man durch drei Koordinaten [c:d:e:f]
den Raum aller Kreise, Punkte und Geraden der Ebene
*in einem* parametrisiert hat.
Der Radius eines den Parametern [c:d:e:f] entsprechenden Kreises ist
dann gleich
sqrt( d^2 + e^2 - 4*f*c )
---------------------------
abs(c)
und wird im Fall von Geraden, c=0, wie gewuenscht, zu "Unendlich"...]

[Thomas Mautsch]

Ich moechte es jetzt gern genau wissen:

Wann, in welchem Zusammenhang und von wem
wurden Geraden urspruenglich
als "Kreise mit unendlichem Radius" bezeichnet?

Und wie ist es dazu gekommen,
dass "Kreis mit unendlichem Radius"
als Synonym fuer Gerade gebraucht wird?

[Markus Steinborn]

Hallo,

Post by Thomas Mautsch
Wann, in welchem Zusammenhang und von wem
wurden Geraden urspruenglich
als "Kreise mit unendlichem Radius" bezeichnet?

Keine Ahnung, ob es die erste Benutzung ist:

Nach http://www.bruderklaus.ch/spez/nikolaus_kues.htm hat Nikolaus von
Kues (15. Jahrhundert) bereits in der Schrift "De docta
ignorantia" formuliert: "der Umfang des unendlichen
Kreises ist somit geradlinig". Dazu kam die Erkenntnis "Wenn man sich nun
den unendlichen Kreis vorstellt, so sieht man, dass der Kreis als solcher,
sowie sein Durchmesser und sein Umfang einander notwendigerweise völlig
gleich sind; der Mittelpunkt selber ist dann ebenfalls unendlich, also
auch gleich mit den drei vorher genannten Größen."

Den Zusammenhang, in dem er diese Gedanken benutzt hat, kenne ich nicht.

Post by Thomas Mautsch
Und wie ist es dazu gekommen,
dass "Kreis mit unendlichem Radius"
als Synonym fuer Gerade gebraucht wird?

Interessante Frage.


Grüße

Markus

[Rainer Rosenthal]

"Markus Steinborn"

Thomas Mautsch schrieb

Post by Thomas Mautsch
Und wie ist es dazu gekommen,
dass "Kreis mit unendlichem Radius"
als Synonym fuer Gerade gebraucht wird?

Interessante Frage.

War schon das Stichwort "Krümmungskreis" gefallen?
Die Krümmung ist 1/Radius. Bei einer Geraden muss
dieser Radius also recht gross sein.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Hermann Kremer]

Markus Steinborn schrieb in Nachricht ...

Post by Markus Steinborn

Post by Thomas Mautsch
Wann, in welchem Zusammenhang und von wem
wurden Geraden urspruenglich
als "Kreise mit unendlichem Radius" bezeichnet?

Hmm, darüber hat bereits Archimedes von Syrakus (287-212 v.Chr.)
nachgedacht ... und weil bei jedem Kreis das Verhältnis von Umfang
zu Durchmesser gleich pi sein muß, folgerte er, daß man mit
Unendlich nicht so ohne weiteres rechnen könne, siehe auch
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Infinity.html

Post by Markus Steinborn
Nach http://www.bruderklaus.ch/spez/nikolaus_kues.htm hat Nikolaus von
"der Umfang des unendlichen Kreises ist somit geradlinig".
Dazu kam die Erkenntnis
"Wenn man sich nun den unendlichen Kreis vorstellt, so sieht man, dass
der Kreis als solcher, sowie sein Durchmesser und sein Umfang einander
notwendigerweise völlig gleich sind; der Mittelpunkt selber ist dann
ebenfalls unendlich, also auch gleich mit den drei vorher genannten Größen."
Den Zusammenhang, in dem er diese Gedanken benutzt hat, kenne ich nicht.

Das war wohl eher ein theologischer als ein mathematischer Zusammenhang:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cusa.html
Eine englische Übersetzung der kompletten "De Docta Ignorantia" gibt es
übrigens in
http://www.cla.umn.edu/jhopkins/ ,
und eine Untersuchung von deren mathematischem Inhalt z.B. in
Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik,
Band 2, S. 186 - 202:
http://makeashorterlink.com/?X12E53B77

Post by Markus Steinborn

Post by Thomas Mautsch
Und wie ist es dazu gekommen,
dass "Kreis mit unendlichem Radius"
als Synonym fuer Gerade gebraucht wird?

Interessante Frage.

Für Nicolaus Cusanus war das weniger eine mathematische Aussage
als vielmehr ein theologisches Argument.
Und gegen die in http://www.bruderklaus.ch/spez/nikolaus_kues.htm stehende
Behauptung, Nikolaus von Kues sei das "... wohl größte wissenschaftliche
Genie des 15. Jhds ..." gewesen, möchte ich doch ganz entschieden Einspruch
erheben ... vgl. die in
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Chronology/1300_1500.html
angeführten anderen Mathematiker jener Zeit ...
Die angeführte "bruderklaus"-Webseite gehört übrigens zu dem Portal
http://www.bruderklaus.com/

Grüße
Hermann
--

Post by Markus Steinborn
Grüße
Markus