Direkte Summe 2er Unterräume

[Theodor]

Hallo Newsgroup.

ich stehe hier vor einen schwierigen aber lösbaren Aufgabe.
Es sei V = Abb(IR,IR) der reelle Vektorraum aller Funktionen
auf IR. Wir betrachten die Unterräume V_0 und V_1 der geraden
bzw. ungeraden Funktionen:
V_0 = {f aus V | alle x aus IR: f(-x)=f(x)},
V_1 = {f aus V | alle x aus IR: f(-x)=-f(x)}.
Wie kann man zeigen Sie, dass V = V_0 (+) V_1?
(x):=direkte Summe.
Ich habe mir mal die Definition hergenommen.
V_0 (+) V_1=V_0 <=>
(V_0+V_1=V und V_0 geschnitten V_1={0}).
Weiterhin weiss ich dass sich jedes v_i aus V mittels
einer Summe zweier Linearkombinationen aus V_0
und V_1 darstellen läßt.

Das hilft mir aber nicht weiter.

Hast du eine Idee, wie man die Aufageb zeigen könnte?

Würde mich auf Hilfe freuen.

Viele Grüße Thoedor.

[Jutta Gut]

Post by Theodor
ich stehe hier vor einen schwierigen aber lösbaren Aufgabe.
Es sei V = Abb(IR,IR) der reelle Vektorraum aller Funktionen
auf IR. Wir betrachten die Unterräume V_0 und V_1 der geraden
V_0 = {f aus V | alle x aus IR: f(-x)=f(x)},
V_1 = {f aus V | alle x aus IR: f(-x)=-f(x)}.
Wie kann man zeigen Sie, dass V = V_0 (+) V_1?
(x):=direkte Summe.
Ich habe mir mal die Definition hergenommen.
V_0 (+) V_1=V_0 <=>
(V_0+V_1=V und V_0 geschnitten V_1={0}).

In deinem Fall bedeutet das:
(1) V_0 + V_1 = V: jede Funktion lässt sich als Summe einer geraden und
einer ungeraden Funktion darstellen.

(2) V_0 geschnitten V_1 = {0};: die einzige Funktion, die gerade und
ungerade zugleich ist, ist das Nullelement von V, und was ist das?

Post by Theodor
Weiterhin weiss ich dass sich jedes v_i aus V mittels
einer Summe zweier Linearkombinationen aus V_0
und V_1 darstellen läßt.

Was heißt "mittels einer Summe zweier Linearkombinationen"? Jede Funktion
lässt sich _als Linearkombination_ darstellen, nämlich _als Summe_ einer
geraden und einer ungeraden Funktion. Gib diese Darstellung explizit an. Du
kannst eventuell noch zeigen, dass sie eindeutig ist, aber eigentlich müsste
es schon genügen, wenn du (1) und (2) zeigst.

Grüße
Jutta

[Theodor]

Post by Jutta Gut
(1) V_0 + V_1 = V: jede Funktion lässt sich als Summe einer geraden und
einer ungeraden Funktion darstellen.
(2) V_0 geschnitten V_1 = {0};: die einzige Funktion, die gerade und
ungerade zugleich ist, ist das Nullelement von V, und was ist das?

Die Nullfunktion (Nullvektor ?).

Post by Jutta Gut
Was heißt "mittels einer Summe zweier Linearkombinationen"? Jede Funktion
lässt sich _als Linearkombination_ darstellen, nämlich _als Summe_ einer
geraden und einer ungeraden Funktion. Gib diese Darstellung explizit an.
Du kannst eventuell noch zeigen, dass sie eindeutig ist, aber eigentlich
müsste es schon genügen, wenn du (1) und (2) zeigst.

(1):
v_0 (x) = [v(x)+v(-x)]/2
v_1 (x) = [v(x)-v(-x)]/2
v_0 (x)+v_1 (x) = v(x)
(2):
Wissen: f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x)
Gleichsetzen => f(x)=-f(x) => 2*f(x)=0 => f(x)=0

Wäre das so gezeigt?

Danke und viele Grüße Thoedor.

[Jutta Gut]

Post by Theodor
v_0 (x) = [v(x)+v(-x)]/2
v_1 (x) = [v(x)-v(-x)]/2
v_0 (x)+v_1 (x) = v(x)
Wissen: f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x)
Gleichsetzen => f(x)=-f(x) => 2*f(x)=0 => f(x)=0
Wäre das so gezeigt?

Ja, meiner Meinung nach müsste das reichen.

Grüße
Jutta

[Pether Hubert]

Post by Jutta Gut

Post by Theodor
v_0 (x) = [v(x)+v(-x)]/2
v_1 (x) = [v(x)-v(-x)]/2
v_0 (x)+v_1 (x) = v(x)
Wissen: f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x)
Gleichsetzen => f(x)=-f(x) => 2*f(x)=0 => f(x)=0
Wäre das so gezeigt?

Ja, meiner Meinung nach müsste das reichen.

Naja, man sollte vielleicht noch nachrechnen, daß v_0 und v_1 die
geforderten Eigenschaften haben.

Ciao,

Pether

[Theodor]

"Pether Hubert"

Post by Pether Hubert
Naja, man sollte vielleicht noch nachrechnen, daß v_0 und v_1 die
geforderten Eigenschaften haben.

Was für Eigenschaften und was müsste ich noch nachrechnen?

Grüße Thoedor.

[Jutta Gut]

Post by Theodor
"Pether Hubert"

Post by Pether Hubert
Naja, man sollte vielleicht noch nachrechnen, daß v_0 und v_1 die
geforderten Eigenschaften haben.

Was für Eigenschaften und was müsste ich noch nachrechnen?

Dass das wirklich eine gerade und eine ungerade Funktion ergibt. Oder wurde
das schon in der vorlesung gezeigt?

Grüße
Jutta

[Theodor]

"Jutta Gut"

Post by Jutta Gut
Dass das wirklich eine gerade und eine ungerade Funktion ergibt. Oder
wurde das schon in der vorlesung gezeigt?

Nein dies wurde noch nicht gezeigt.
Wie würde das denn gehen?

Viele Grüße Theodor.

[Klaus-R. Löffler]

Post by Theodor
"Jutta Gut"

Post by Jutta Gut
Dass das wirklich eine gerade und eine ungerade Funktion ergibt. Oder
wurde das schon in der vorlesung gezeigt?

Nein dies wurde noch nicht gezeigt.
Wie würde das denn gehen?

Indem man nachweist, dass die angegebenen Funktionen die verlangten
Eigenschaften haben, also z.B. dass g mit g(x) = (f(x)+f(-x))/2 stets
gerade ist.

Klaus-R.

[Theodor]

"Jutta Gut"

Post by Jutta Gut
Ja, meiner Meinung nach müsste das reichen.

Noch ne Frage:
Wie zerlegt man die Funktionen f(x)=x^3 +2x^2 +x -5,
g(x)=2sin(2x)+cos(3x) und e(x)=e^x gemäß der 1ten Aufgabe
in die Summe von geraden und ungeraden Funktionen?

[Jutta Gut]

Post by Theodor
Wie zerlegt man die Funktionen f(x)=x^3 +2x^2 +x -5,
g(x)=2sin(2x)+cos(3x) und e(x)=e^x gemäß der 1ten Aufgabe
in die Summe von geraden und ungeraden Funktionen?

Das hast du doch schon selbst geschrieben:
v_0 (x) = [v(x)+v(-x)]/2
v_1 (x) = [v(x)-v(-x)]/2

Bei den ersten beiden Funktionen sieht man auf den ersten Blick, was der
gerade und ungerade Anteil ist (Potenzfunktionen mit gerader Hochzahl und
cos ist gerade, Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl und sin ist
ungerade). Aber du kannst es ja auch nachrechnen:

f(x) = x^3 + 2x^2 + x -5
f(-x) = -x^3 + 2x^2 - x - 5
=> (f(x)+f(-x))/2 = (x^3 + 2x^2 + x - 5 - x^3 + 2x^2 - x - 5)/2 = ...

Bei der Exponentialfunktin erhältst du als geraden Anteil (e^x + e^-x)/2,
als ungeraden (e^x - e^-x)/2. Das ist die Definition von sinhyp und coshyp.

Grüße
Jutta

[kilian heckrodt]

Post by Theodor
Hallo Newsgroup.
ich stehe hier vor einen schwierigen aber lösbaren Aufgabe.
Es sei V = Abb(IR,IR) der reelle Vektorraum aller Funktionen
auf IR. Wir betrachten die Unterräume V_0 und V_1 der geraden
V_0 = {f aus V | alle x aus IR: f(-x)=f(x)},
V_1 = {f aus V | alle x aus IR: f(-x)=-f(x)}.
Wie kann man zeigen Sie, dass V = V_0 (+) V_1?
(x):=direkte Summe.
Ich habe mir mal die Definition hergenommen.
V_0 (+) V_1=V_0 <=>
(V_0+V_1=V und V_0 geschnitten V_1={0}).
Weiterhin weiss ich dass sich jedes v_i aus V mittels
einer Summe zweier Linearkombinationen aus V_0
und V_1 darstellen läßt.
Das hilft mir aber nicht weiter.
Hast du eine Idee, wie man die Aufageb zeigen könnte?
Würde mich auf Hilfe freuen.
Viele Grüße Thoedor.

Naja, es gilt zu zeigen, dass eine beliebige Funktion sich (kmmer) als
Summe einer geraden und einer ungeraden Gunktion darstellen lässt:
Siehe hierzu (unter Eigenschaften):

http://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen

Bleibt nur noch formal nachzurechnen das die dort angegebenen Funktionen
gerade bzw. ungerade sind.