Problematik stufenweiser Minimumbildung

[Klaus-R. Löffler]

In Anknüpfung an eine hier besprochene Aufgabe will ich die Problematik
mehrfacher Minimumbildung an einem einfachen Beispiel verdeutlichen:
Für die Funktion f mit f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 soll unter der
Nebenbedingung x+y+z = 1 das Minimum bestimmt werden.
Anstatt z = 1-x-y betrachten wir allgemeiner z = s-x-y mit s aus [0;1].
Dann ist f(x,y,z) = (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 + y^2 .
Die erste Teilsumme (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 ist für jedes s minimal, wenn
gilt x+y = y+z = s.
Mit x = s-y und z = s-y hat man dann
f(s-y,s-y,y) = 0 + 0 + y^2 mit dem Minimum bei y = 0 und dem (natürlich
falschen) Resultat: Das Minumum liegt bei (x,y,z) = (1/2, 0, 1/2) und
beträgt 1/2.
Der Fehler liegt in dem zweischrittigen Übergang zum Minimum.

Klaus-R.

[jvr]

Post by Klaus-R. Löffler
In Anknüpfung an eine hier besprochene Aufgabe will ich die Problematik
Für die Funktion f mit f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 soll unter der
Nebenbedingung x+y+z = 1 das Minimum bestimmt werden.
Anstatt z = 1-x-y betrachten wir allgemeiner z = s-x-y mit s aus [0;1].
Dann ist f(x,y,z) = (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 + y^2 .
Die erste Teilsumme (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 ist für jedes s minimal, wenn
gilt x+y = y+z = s.
Mit x = s-y und z = s-y hat man dann
f(s-y,s-y,y) = 0 + 0 + y^2 mit dem Minimum bei y = 0 und dem (natürlich
falschen) Resultat: Das Minumum liegt bei (x,y,z) = (1/2, 0, 1/2) und
beträgt 1/2.
Der Fehler liegt in dem zweischrittigen Übergang zum Minimum.
Klaus-R.

Ihre Aussage ist also, dass das Minimum von F(x,y) nicht unbedingt gefunden
wird, indem man zuerst das Minimum bei festem y sucht und dann
bei festem x.
Das ist richtig. Und jetzt?

[Andreas Leitgeb]

Post by Klaus-R. Löffler
In Anknüpfung an eine hier besprochene Aufgabe will ich die Problematik
Für die Funktion f mit f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 soll unter der
Nebenbedingung x+y+z = 1 das Minimum bestimmt werden.
Anstatt z = 1-x-y betrachten wir allgemeiner z = s-x-y mit s aus [0;1].
Dann ist f(x,y,z) = (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 + y^2 .

Hier steig ich aus... Ich hätte da jetzt eine Substitution erwartet,
die eine der Variablen x,y,z eliminiert, um im verbleibenden
2-dimensionalen Raum das Minimum zu suchen. Das weitere ist mir
ziemlich unschlüssig, was nun vermutlich an meiner Inkompetenz
oder meinem Unwissen eines bestimmten Details aus dem Kontext liegt.

Post by Klaus-R. Löffler
Die erste Teilsumme (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 ist für jedes s minimal, wenn
gilt x+y = y+z = s.

Eine Teilsumme des ganzen Ausdrucks separat zu minimieren ist ja
höchstoffenbar Unfug. Oder sollte genau das die Lektion sein?

Post by Klaus-R. Löffler
Mit x = s-y und z = s-y hat man dann
f(s-y,s-y,y) = 0 + 0 + y^2 mit dem Minimum bei y = 0 und dem (natürlich
falschen) Resultat: Das Minumum liegt bei (x,y,z) = (1/2, 0, 1/2) und
beträgt 1/2.
Der Fehler liegt in dem zweischrittigen Übergang zum Minimum.

Vielleicht gäbe es ja andere, geeignetere Teilschritte, als eine Summe
zu zerteilen.

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Klaus-R. Löffler
In Anknüpfung an eine hier besprochene Aufgabe will ich die Problematik
Für die Funktion f mit f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 soll unter der
Nebenbedingung x+y+z = 1 das Minimum bestimmt werden.
Anstatt z = 1-x-y betrachten wir allgemeiner z = s-x-y mit s aus [0;1].
Dann ist f(x,y,z) = (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 + y^2 .
Die erste Teilsumme (s-x-y)^2 + (s-y-z)^2 ist für jedes s minimal, wenn
gilt x+y = y+z = s.
Mit x = s-y und z = s-y hat man dann
f(s-y,s-y,y) = 0 + 0 + y^2 mit dem Minimum bei y = 0 und dem (natürlich
falschen) Resultat: Das Minumum liegt bei (x,y,z) = (1/2, 0, 1/2) und
beträgt 1/2.
Der Fehler liegt in dem zweischrittigen Übergang zum Minimum.

Vielen Dank fuer dieses Beispiel.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)