Die gerechte Teilung einer Pizza unter der Nebenbedingung des "Gebiß-Sharings"

[Walter H.]

Hallo,

die Pizza sei ein Kreis mit Radius r,
daher gilt die folgende Gleichung f. diesen Kreis

x^2 + y^2 = r^2

dieser Kreis befindet so, daß wahlweise die x- od. die y-Achse diesen
Kreis in 2 Flächengleiche Halbkreise teilen; und der Koord.-Urspr. ist
hier der Mittelpunkt;

sei der Mittelpunkt M(u|v), so gilt folgende Gleichung:

(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 und
f. u, v gelte folgende Beschränkung |u| < r und |v| < r

man bestimme nun u, v so, daß folgendes gilt:

durch die beiden Koordinatenachsen werden Schnitte durch den Kreis
gemacht, welche dafür sorgen, dass hier 4 Flächenstücke entstehen,
wobei das Flächenstück im 1ten Quadranten die halbe Kreisfläche
und die Kreislinie, welche sich vom 2ten über den 3ten bis zum 4ten
Quadranten erstreckt ein Maximum ergibt;

soll heißen, derjenige ohne Gebiss bekommt das Stück vom 1ten Quadranten
(halbe Fläche mit minimalen nicht beißbaren Rand) und der andere mit
Gebiß bekommt die anderen 3 Stücke, welche sich über die anderen 3
Quadranten erstrecken (ebenfalls die halbe Fläche);

gibt es dafür eine Lsg. - eine 2te Lsg. an der 1ten Media gespiegelt -
oder ist das unlösbar?

Grüße,
Walter

[Stephan Gerlach]

Walter H. schrieb:

[Gleichung für Kreis mit Mittelpunkt M(0|0)]

Post by Walter H.
x^2 + y^2 = r^2
dieser Kreis befindet so, daß wahlweise die x- od. die y-Achse diesen
Kreis in 2 Flächengleiche Halbkreise teilen; und der Koord.-Urspr. ist
hier der Mittelpunkt;
(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 und
f. u, v gelte folgende Beschränkung |u| < r und |v| < r
durch die beiden Koordinatenachsen werden Schnitte durch den Kreis
gemacht, welche dafür sorgen, dass hier 4 Flächenstücke entstehen,
wobei das Flächenstück im 1ten Quadranten die halbe Kreisfläche
und die Kreislinie, welche sich vom 2ten über den 3ten bis zum 4ten
Quadranten erstreckt ein Maximum ergibt;

[...]

Post by Walter H.
gibt es dafür eine Lsg. - eine 2te Lsg. an der 1ten Media gespiegelt -
oder ist das unlösbar?

Das ist eine Extremwertaufgabe für eine Zielfunktion mit - letztenendes
- nur einer (frei wählbaren) Variable.

Die Zielfunktion beschreibt am besten die Länge des Kreisbogens b im
1ten Quadranten.

Als Variable kann man entweder u oder v oder auch den Zentriwinkel alpha
zum Kreisbogen b nehmen. Durch die Nebenbedingung mit der halben Fläche
ist jedoch nur eine dieser 3 Variablen u, v, alpha frei wählbar.

D.h. als Zielfunktion würde man entweder b(u), b(v) oder b(alpha)
erhalten. Von dieser wäre dann "einfach" das Minimum zu bilden.

Ein Problem ist jedoch offenbar das Aufstellen einer Formel für die
Fläche A im 1. Quadranten in Abhängigkeit von 2 der 3 Variablen u, v, alpha.
Und wenn man diese Formel für A dann hat und mit der halben Kreisfläche
gleichsetzt, stellt sich heraus bzw. tritt das größere Problem auf, daß
sich diese Formel offenbar nicht(?) elementar nach u oder v oder alpha
auflösen läßt, u.a. aufgrund diverser Wurzel- und Arkuscosinus-Ausdrücke.
Folglich kann man die Zielfunktion b(u), b(v) oder b(alpha) nicht
explizit angeben.

Allerdings sollte die Existenz der Auflösung nach b, also b(u), b(v)
oder b(alpha), aus einem Auflösungssatz folgen. Ebenso vermute ich, daß
b differenzierbar ist und daraus letztenendes die Existenz des gesuchten
Minimums folgt.

Um auf die Frage zurückzukommen "gibt es dafür eine Lösung?":

Ich vermute, ja.

Weiterhin vermute ich (ohne jede weitere Begründung), daß das Minimum bei
u=0, v=r oder
u=r, v=0 oder
u=v
liegen könnte.
Im Fall u=v wäre noch zu prüfen, wie groß u und v sind.