Post by Erik PeterHallo! Jemand den ich kenne hat die Aufgabe x hoch x zu invertieren. Ich
kenne da zwar eine Lösung, aber die benutzt die Lambertfunktion. Gibt es
da eine Lösung die diese nicht verwendet?
Nein, denn diese Umkehrfunktion, nennen wir sie S, *ist* praktisch die
Lambertfunktion W, genauer W zur Karnevalszeit, also in Verkleidung, der
Lambertsche Wolf W im Schafspelz. Das sieht man wie folgt:
Die Lambertunktion W ist definiert als die Umkehrfunktion von x*exp(x).
Das kann man auch so ausdruecken, dass man sagt, besteht zwischen zwei
Zahlen u und v die Beziehung u = W(v), so ist das gleichbedeutend mit
dem Bestehen der Beziehung
(1) u*exp(u) = v .
Sei S die Umkehrfunktion von x^x. Das kann man auch so ausdruecken, dass
man sagt, besteht zwischen zwei Zahlen x und y die Beziehung x = S(y),
so ist das gleichbedeutend mit dem Bestehen der Beziehung
(2) x^x = y .
Man logarithmiere (2):
(3) x*ln(x) = ln(y) .
Man setze jetzt
(4) u := ln(x) , v := ln(y)
dann geht (3) ueber in
(5) u*exp(u) = v
und damit in (1) , d.h. wir haben u = W(v). Also mit der
Koordinatentransformation (4) haben wir
x = S(y) <==> u = W(v)
d.h. S ist nur die Funktion W in anderen Koordinaten. Anders ausgedrueckt:
S = exp o W o ln
und umgekehrt
W = ln o S o exp .
Wer S sagt, muss also auch W sagen und umgekehrt.
Gruss Boudewijn