Discussion:
Offene Ueberdeckung
(zu alt für eine Antwort)
Richard J. Cattien
2004-11-16 12:22:11 UTC
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Hallo,

wieder mal eine Aufgabe bei deren Beweis ich mir nicht sicher bin.

===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============

Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.

|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.

Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
koennte so aussehen:
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"

Das Intervall [0,1] in |Q ist somit komplett ueberdeckt, da ja lediglich
das x nicht ueberdeckt ist, aber auch nicht sein muss weil es nicht Teil
des Intervalls ist. Ausserdem gibt es keine endliche Teilueberdeckung da
die Ueberdeckung ja von -oo bis x geht, also reichen endlich viele
Teilueberdeckungen nicht aus um die Ueberdeckung zu ueberdecken.

Also ist [0,1] "geschnitten" |Q nicht kompakt. q.e.d.

Ist das ueberhaupt richtig und falls ja, reicht das als Beweis? Ich
weiss nicht wie ich sonst beweisen soll, dass es keine endlichen
Teilueberdeckungen gibt ausser eben die Tatsache zu nennen das die
Ueberdeckung ja schon "eine Unendlichkeit" enthaelt.

Wuerde mich ueber einen Kommentar oder ggf. Hinweis freuen.

bye,
richard
--
Richard J. Cattien <***@psychoactives.org>,
PGP-Public-Key: http://cattien.org/richard/keys/rc_pubkey.asc
Gastfried von Korinth
2004-11-16 12:32:24 UTC
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In article <***@uni-berlin.de>, ***@psychoactives.org
wrote...
Post by Richard J. Cattien
Hallo,
wieder mal eine Aufgabe bei deren Beweis ich mir nicht sicher bin.
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.
|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.
Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"
Durch die Mengen U_x = (-oo,x) u (x,oo), wobei x irrational aus [0,1]
ist, wird tatsächlich eine offene Überdeckung von Q n [0,1] definiert,
aber sie besitzt eine endliche Teilüberdeckung, denn jede U_x überdect Q
n [0,1] auch alleine.

Also ist Deine Lösung falsch.
--
jb
Richard J. Cattien
2004-11-16 12:51:11 UTC
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Hallo,
Post by Gastfried von Korinth
wrote...
Post by Richard J. Cattien
Hallo,
wieder mal eine Aufgabe bei deren Beweis ich mir nicht sicher bin.
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.
|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.
Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"
Durch die Mengen U_x = (-oo,x) u (x,oo), wobei x irrational aus [0,1]
ist, wird tatsächlich eine offene Überdeckung von Q n [0,1] definiert,
aber sie besitzt eine endliche Teilüberdeckung, denn jede U_x überdect Q
n [0,1] auch alleine.
Also ist Deine Lösung falsch.
Also so, die einzelnen Teilueberdeckungen duerfen auch bis in's
Unendliche gehen? Ich dachte die muessten endlich sein. Hmm, ist die
Idee mit den irrationalen Zahlen wenigstens richtig? Ich meine, brauche
ich die Tatsache, dass die irrationalen Zahlen in [0,1] nicht ueberdeckt
zu werden brauchen?

bye,
richard
--
Richard J. Cattien <***@psychoactives.org>,
PGP-Public-Key: http://cattien.org/richard/keys/rc_pubkey.asc
Gastfried von Korinth
2004-11-16 12:59:32 UTC
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In article <***@uni-berlin.de>, ***@psychoactives.org
wrote...
Post by Richard J. Cattien
Hallo,
Post by Gastfried von Korinth
wrote...
Post by Richard J. Cattien
Hallo,
wieder mal eine Aufgabe bei deren Beweis ich mir nicht sicher bin.
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.
|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.
Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"
Durch die Mengen U_x = (-oo,x) u (x,oo), wobei x irrational aus [0,1]
ist, wird tatsächlich eine offene Überdeckung von Q n [0,1] definiert,
aber sie besitzt eine endliche Teilüberdeckung, denn jede U_x überdect Q
n [0,1] auch alleine.
Also ist Deine Lösung falsch.
Also so, die einzelnen Teilueberdeckungen duerfen auch bis in's
Unendliche gehen? Ich dachte die muessten endlich sein.
Ich nahm nur Deine Definition. Aber an sich müssen die Mengen, die den
Raum überdecken, dem Raum angehören.
Post by Richard J. Cattien
Hmm, ist die
Idee mit den irrationalen Zahlen wenigstens richtig? Ich meine, brauche
ich die Tatsache, dass die irrationalen Zahlen in [0,1] nicht ueberdeckt
zu werden brauchen?
Natürlich, denn [0,1] ist ja kompakt.
--
jb
Thomas Mautsch
2004-11-16 13:52:36 UTC
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Post by Richard J. Cattien
Post by Gastfried von Korinth
wrote...
Post by Richard J. Cattien
wieder mal eine Aufgabe bei deren Beweis ich mir nicht sicher bin.
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.
|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.
Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"
Durch die Mengen U_x = (-oo,x) u (x,oo), wobei x irrational aus [0,1]
ist, wird tatsächlich eine offene Überdeckung von Q n [0,1] definiert,
aber sie besitzt eine endliche Teilüberdeckung, denn jede U_x überdect Q
n [0,1] auch alleine.
Also ist Deine Lösung falsch.
Also so, die einzelnen Teilueberdeckungen duerfen auch bis in's
Unendliche gehen?
Die einzelnen TeilMENGEN muessen nicht beschraenkt sein.
Du scheinst die Begriffe verwechselt zu haben.
Eine TeilUEBERDECKUNG ist eine Familie von Mengen aus der UEBERDECKUNG
(die wiederum auch eine Familie von Mengen ist),
die auch wieder eine Ueberdeckung ist.
Post by Richard J. Cattien
Ich dachte die muessten endlich sein.
Das haengt ganz davon ab, in welchem topologischen Raum Du arbeitest.
Hier geht "karlmueller" davon aus, dass Du die Nichtkompaktheit
der Teilmenge |Q n [0,1] des metrischen Raumes |R untersuchen willst,
und die unendlichen offenen Intervalle sind auch
offene Mengen im metrischen Raum |R.
Post by Richard J. Cattien
Hmm, ist die
Idee mit den irrationalen Zahlen wenigstens richtig? Ich meine, brauche
ich die Tatsache, dass die irrationalen Zahlen in [0,1] nicht ueberdeckt
zu werden brauchen?
Ich habe keine Ahnung, was Du mit "nicht ueberdeckt zu werden brauchen" meinst.

Natuerlich muss die Loesung etwas mit irrationalen Zahlen zu tun haben
(vielleicht nicht allen),
denn der Grund, warum |Q n [0,1] nicht kompakt ist,
ist doch, dass die Menge nicht abgeschlossen ist
und die Menge der irrationalen Zahlen aus [0,1] ist genau,
was |Q n [0,1] zum Abschluss fehlt.

Ein kleiner Tipp:
Frage Dich erst einmal, wie eine Ueberdeckung von (0,1]
aussehen muesste, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt.
Danach kannst Du Dich das Gleiche fuer die Menge [0,1/2) u (1/2,1] fragen.
Wenn Du das hast, findest Du sicher auch die Loesung fuer
die viel loecherige Menge |Q n [0,1].
Richard J. Cattien
2004-11-16 14:04:09 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Thomas Mautsch
Post by Richard J. Cattien
Post by Gastfried von Korinth
wrote...
Post by Richard J. Cattien
wieder mal eine Aufgabe bei deren Beweis ich mir nicht sicher bin.
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.
|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.
Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"
Durch die Mengen U_x = (-oo,x) u (x,oo), wobei x irrational aus [0,1]
ist, wird tatsächlich eine offene Überdeckung von Q n [0,1] definiert,
aber sie besitzt eine endliche Teilüberdeckung, denn jede U_x überdect Q
n [0,1] auch alleine.
Also ist Deine Lösung falsch.
Also so, die einzelnen Teilueberdeckungen duerfen auch bis in's
Unendliche gehen?
Die einzelnen TeilMENGEN muessen nicht beschraenkt sein.
Du scheinst die Begriffe verwechselt zu haben.
Eine TeilUEBERDECKUNG ist eine Familie von Mengen aus der UEBERDECKUNG
(die wiederum auch eine Familie von Mengen ist),
die auch wieder eine Ueberdeckung ist.
Okay.
Post by Thomas Mautsch
Post by Richard J. Cattien
Hmm, ist die
Idee mit den irrationalen Zahlen wenigstens richtig? Ich meine, brauche
ich die Tatsache, dass die irrationalen Zahlen in [0,1] nicht ueberdeckt
zu werden brauchen?
Ich habe keine Ahnung, was Du mit "nicht ueberdeckt zu werden brauchen" meinst.
Naja, also eine irrationale Zahl x die in [0,1] liegt muss nicht
ueberdeckt sein, damit [0,1] n |Q ueberdeckt sein kann.
Post by Thomas Mautsch
Natuerlich muss die Loesung etwas mit irrationalen Zahlen zu tun haben
(vielleicht nicht allen),
denn der Grund, warum |Q n [0,1] nicht kompakt ist,
ist doch, dass die Menge nicht abgeschlossen ist
und die Menge der irrationalen Zahlen aus [0,1] ist genau,
was |Q n [0,1] zum Abschluss fehlt.
Frage Dich erst einmal, wie eine Ueberdeckung von (0,1]
Was bedeutet (0,1]? Spezielle die runde Klammer?
Post by Thomas Mautsch
aussehen muesste, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt.
Danach kannst Du Dich das Gleiche fuer die Menge [0,1/2) u (1/2,1] fragen.
Wenn Du das hast, findest Du sicher auch die Loesung fuer
die viel loecherige Menge |Q n [0,1].
Ich habe mir jetzt etwas anderes ueberlegt. Es ist doch so, dass in
[0,1] auch unendlich viele irrationale Zahlen sind. Wenn ich jetzt fuer
jede dieser irr. Zahlen eine beliebig kleine Umgebung betrachte, dann
ueberdeckt die Vereinigung dieser Umgebungen doch das gesamte Intervall,
allerdings brauche ich unendlich viele dieser Umgebungen. Ach ja, die
Umgebungen sollen natuerlich offen sein. Es folgt, dass [0,1] n |Q nicht
kompakt ist. q.e.d.

Ist das prinzipiell richtig? Ich wuerde es dann natuerlich noch schoener
und formaler hinschreiben.

Danke schonmal fuer die Hinweise.

bye,
richard
--
Richard J. Cattien <***@psychoactives.org>,
PGP-Public-Key: http://cattien.org/richard/keys/rc_pubkey.asc
Markus Steinborn
2004-11-16 14:15:29 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Richard J. Cattien
Hallo,
Ich habe mir jetzt etwas anderes ueberlegt. Es ist doch so, dass in
[0,1] auch unendlich viele irrationale Zahlen sind. Wenn ich jetzt fuer
jede dieser irr. Zahlen eine beliebig kleine Umgebung betrachte, dann
ueberdeckt die Vereinigung dieser Umgebungen doch das gesamte Intervall,
allerdings brauche ich unendlich viele dieser Umgebungen. Ach ja, die
Umgebungen sollen natuerlich offen sein. Es folgt, dass [0,1] n |Q nicht
kompakt ist. q.e.d.
Ist das prinzipiell richtig? Ich wuerde es dann natuerlich noch schoener
und formaler hinschreiben.
Was soll das bitte sein - eine beliebig kleine [offene] Umgebung? Eine
feste gegebene Umgebung hat immer eine feste Größe -- sie ist nie beliebig
klein.

Wenn Du als Umgebungsgröße beispielsweise 1/n für ein großes n nimmst,
kannst Du ohne Probleme eine endliche Teilüberdeckung wählen.


Grüße

Markus
Thomas Mautsch
2004-11-16 15:06:38 UTC
Permalink
Aufgrund von T.E.A.M.-Work ist meine Antwort wahrscheinlich
ueberfluessig geworden, aber, was soll...
Post by Richard J. Cattien
Post by Thomas Mautsch
Post by Richard J. Cattien
Post by Gastfried von Korinth
wrote...
Post by Richard J. Cattien
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.
|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.
Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"
Durch die Mengen U_x = (-oo,x) u (x,oo), wobei x irrational aus [0,1]
ist, wird tatsächlich eine offene Überdeckung von Q n [0,1] definiert,
aber sie besitzt eine endliche Teilüberdeckung, denn jede U_x überdect Q
n [0,1] auch alleine.
Also ist Deine Lösung falsch.
[ ... ]
Post by Richard J. Cattien
Post by Thomas Mautsch
Post by Richard J. Cattien
Hmm, ist die
Idee mit den irrationalen Zahlen wenigstens richtig? Ich meine, brauche
ich die Tatsache, dass die irrationalen Zahlen in [0,1] nicht ueberdeckt
zu werden brauchen?
Ich habe keine Ahnung, was Du mit "nicht ueberdeckt zu werden brauchen" meinst.
Naja, also eine irrationale Zahl x die in [0,1] liegt muss nicht
ueberdeckt sein, damit [0,1] n |Q ueberdeckt sein kann.
Wenn Du es so meinst, ist die Antwort "nein".
Post by Richard J. Cattien
Post by Thomas Mautsch
Natuerlich muss die Loesung etwas mit irrationalen Zahlen zu tun haben
(vielleicht nicht allen), denn der Grund,
warum die Menge |Q n [0,1] nicht kompakt ist, ist doch,
dass sie nicht abgeschlossen ist
und die Menge der irrationalen Zahlen aus [0,1] ist genau,
was |Q n [0,1] zum Abschluss fehlt.
Frage Dich erst einmal, wie eine Ueberdeckung von (0,1]
Was bedeutet (0,1]? Spezielle die runde Klammer?
Du kennst es als ]0,1].
Ist eine andere Art, offene Intervallgrenzen zu schreiben.
Post by Richard J. Cattien
Post by Thomas Mautsch
aussehen muesste, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt.
Danach kannst Du Dich das Gleiche fuer die Menge [0,1/2) u (1/2,1] fragen.
Wenn Du das hast, findest Du sicher auch die Loesung fuer
die viel loecherige Menge |Q n [0,1].
Ich habe mir jetzt etwas anderes ueberlegt. Es ist doch so, dass in
[0,1] auch unendlich viele irrationale Zahlen sind. Wenn ich jetzt fuer
jede dieser irr. Zahlen eine beliebig kleine Umgebung betrachte, dann
^^^^ ^^^^ ???????????????
Post by Richard J. Cattien
ueberdeckt die Vereinigung dieser Umgebungen doch das gesamte Intervall,
allerdings brauche ich unendlich viele dieser Umgebungen. Ach ja, die
Umgebungen sollen natuerlich offen sein. Es folgt, dass [0,1] n |Q nicht
kompakt ist. q.e.d.
Ist das prinzipiell richtig? Ich wuerde es dann natuerlich noch schoener
und formaler hinschreiben.
Das klappt nicht immer, und es ist ausserdem nicht klar,
was Du mit "beliebig" in "beliebig kleine Umgebung" meinst.
Wenn Du die oben genannten Beispiele
[0,1] ohne 0 und [0,1] ohne 1/2 anschaust,
wirst Du erkennen, dass das Grundprinzip fuer den Bau solcher
offenen Ueberdeckungen ohne endliche Teilueberdeckungen ist,
dass um einen Punkt herum, der der Menge "fehlt" (um abgeschlossen zu sein),
die offenen Mengen der Ueberdeckung immer feiner und feiner werden.
Post by Richard J. Cattien
Danke schonmal fuer die Hinweise.
Gern geschehen.
Gastfried von Korinth
2004-11-16 15:18:56 UTC
Permalink
In article <***@uni-berlin.de>, ***@psychoactives.org
wrote...
Post by Richard J. Cattien
Hallo,
Post by Thomas Mautsch
Post by Richard J. Cattien
Post by Gastfried von Korinth
wrote...
Post by Richard J. Cattien
wieder mal eine Aufgabe bei deren Beweis ich mir nicht sicher bin.
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
Also erstmal bedeutet das doch nichts anderes als, dass man zeigen soll,
dass |Q "geschnitten" [0,1] nicht kompakt ist.
|Q "geschnitten" [0,1] sind ja alle rationalen Zahlen in [0,1]. Weil es
zwischen je zwei rationalen Zahlen ja immer auch eine irrationale Zahl
gibt muss eine solche irrationale Zahl ja nicht unbedingt ueberdeckt
werden damit |Q "geschnitten" [0,1] vollstaendig ueberdeckt ist.
Eine offene Ueberdeckung die keine endliche Teilueberdeckung besitzt
( ]-oo ; x[ "vereinigt" ]x ; +oo[ ) mit "x ist irrational und in [0,1]"
bzw. "x aus ( [0,1] \ (|R \ |Q) )"
Durch die Mengen U_x = (-oo,x) u (x,oo), wobei x irrational aus [0,1]
ist, wird tatsächlich eine offene Überdeckung von Q n [0,1] definiert,
aber sie besitzt eine endliche Teilüberdeckung, denn jede U_x überdect Q
n [0,1] auch alleine.
Also ist Deine Lösung falsch.
Also so, die einzelnen Teilueberdeckungen duerfen auch bis in's
Unendliche gehen?
Die einzelnen TeilMENGEN muessen nicht beschraenkt sein.
Du scheinst die Begriffe verwechselt zu haben.
Eine TeilUEBERDECKUNG ist eine Familie von Mengen aus der UEBERDECKUNG
(die wiederum auch eine Familie von Mengen ist),
die auch wieder eine Ueberdeckung ist.
Okay.
Post by Thomas Mautsch
Post by Richard J. Cattien
Hmm, ist die
Idee mit den irrationalen Zahlen wenigstens richtig? Ich meine, brauche
ich die Tatsache, dass die irrationalen Zahlen in [0,1] nicht ueberdeckt
zu werden brauchen?
Ich habe keine Ahnung, was Du mit "nicht ueberdeckt zu werden brauchen" meinst.
Naja, also eine irrationale Zahl x die in [0,1] liegt muss nicht
ueberdeckt sein, damit [0,1] n |Q ueberdeckt sein kann.
Post by Thomas Mautsch
Natuerlich muss die Loesung etwas mit irrationalen Zahlen zu tun haben
(vielleicht nicht allen),
denn der Grund, warum |Q n [0,1] nicht kompakt ist,
ist doch, dass die Menge nicht abgeschlossen ist
und die Menge der irrationalen Zahlen aus [0,1] ist genau,
was |Q n [0,1] zum Abschluss fehlt.
Frage Dich erst einmal, wie eine Ueberdeckung von (0,1]
Was bedeutet (0,1]? Spezielle die runde Klammer?
Das bedeutet, daß das Intervall *halboffen* ist und die 0 nicht zu ihm
gehört. Es ist die Standardbezeichnung:

(a,b) = offenes Intervall
[a,b] = abgeschlossenes Intervall.
Post by Richard J. Cattien
Post by Thomas Mautsch
aussehen muesste, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt.
Danach kannst Du Dich das Gleiche fuer die Menge [0,1/2) u (1/2,1] fragen.
Wenn Du das hast, findest Du sicher auch die Loesung fuer
die viel loecherige Menge |Q n [0,1].
Ich habe mir jetzt etwas anderes ueberlegt. Es ist doch so, dass in
[0,1] auch unendlich viele irrationale Zahlen sind. Wenn ich jetzt fuer
jede dieser irr. Zahlen eine beliebig kleine Umgebung betrachte, dann
ueberdeckt die Vereinigung dieser Umgebungen doch das gesamte Intervall,
allerdings brauche ich unendlich viele dieser Umgebungen. Ach ja, die
Umgebungen sollen natuerlich offen sein. Es folgt, dass [0,1] n |Q nicht
kompakt ist. q.e.d.
Ist das prinzipiell richtig? Ich wuerde es dann natuerlich noch schoener
und formaler hinschreiben.
Nein, siehe anderes Posting.
--
jb
Kronberger Reinhard
2004-11-16 14:40:44 UTC
Permalink
Post by Richard J. Cattien
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
versuchs mal mit

On = ]-oo,a-1/n[ "vereinigt" ]a+1/n,oo[ mit a irrationa und fest in
[0,1] z.B. sqrt(1/2)

keine rationale Zahl wird ausgelassen und bei jeder endlichen Auswahl
von On's bleibt dir um a ein Intervall ,daß rationale Zahlen enthält also
keine
Überdeckung darstellt.

K.R.
Gastfried von Korinth
2004-11-16 15:21:27 UTC
Permalink
In article <sdomd.5$***@news.salzburg-online.at>, ***@mba-
software.at wrote...
Post by Kronberger Reinhard
Post by Richard J. Cattien
===Aufgabe===
Geben sie explizit eine offene Ueberdeckung von |Q "geschnitten" [0,1]
an, die keine endliche Teilueberdeckung besitzt (mit Beweis)
=============
versuchs mal mit
On = ]-oo,a-1/n[ "vereinigt" ]a+1/n,oo[ mit a irrationa und fest in
[0,1] z.B. sqrt(1/2)
keine rationale Zahl wird ausgelassen und bei jeder endlichen Auswahl
von On's bleibt dir um a ein Intervall ,daß rationale Zahlen enthält also
keine
Überdeckung darstellt.
Das ist eine wortwörtliche Lösung. Du kannst sie einfach abschreiben.
Dadurch ist der Abend frei. Du mußt nicht mehr nachdenken.
--
jb
Kronberger Reinhard
2004-11-16 15:34:00 UTC
Permalink
Post by Gastfried von Korinth
Das ist eine wortwörtliche Lösung. Du kannst sie einfach abschreiben.
Dadurch ist der Abend frei. Du mußt nicht mehr nachdenken.
Yep.
Ab in die Studentenkneipe denn grau ist alle Theorie.

K.R.
Richard J. Cattien
2004-11-16 16:26:54 UTC
Permalink
Hi,
Post by Gastfried von Korinth
Das ist eine wortwörtliche Lösung. Du kannst sie einfach abschreiben.
Dadurch ist der Abend frei. Du mußt nicht mehr nachdenken.
Kein problem, die (falsche) Loesung ist bereits abgegeben.
--
Richard J. Cattien <***@psychoactives.org>,
PGP-Public-Key: http://cattien.org/richard/keys/rc_pubkey.asc
Gastfried von Korinth
2004-11-16 16:31:25 UTC
Permalink
In article <***@uni-berlin.de>, ***@psychoactives.org
wrote...
Post by Richard J. Cattien
Hi,
Post by Gastfried von Korinth
Das ist eine wortwörtliche Lösung. Du kannst sie einfach abschreiben.
Dadurch ist der Abend frei. Du mußt nicht mehr nachdenken.
Kein problem, die (falsche) Loesung ist bereits abgegeben.
Kein Problem. Du schreibst die Lösung noch einmal, aber diesmal richtig
auf und gibst auch die ab mit der Bemerkung, daß die andere lösung nicht
zu werten sei. Übrigens ist Richards Lösung noch nicht ganz vollständig
und wenn Du sie genau aufschreibst, hast Du doch etwas gewonnen durch
diese Übung.
--
jb
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