1-Formen, Pullback und der Sinn dahinter

[Tobias Baumann]

Guten Tag Leute

Wir haben in Analysis 2 dieses Semester das Thema 1-Formen (oder auch
Kovektorfeld genannt) durchgenommen. Da unser Tutor uns auch nicht viel
weiterhelfen konnte wollt ich mich mal an weitere Experten wenden.

Als Quelle benutze ich unser Script:

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/AnaII07/skript.pdf (Seite
50)

Wenn ich das richtig interpretiere, dann hat die 1-Form eigentlich erstmal
garnichts mit Ableitungen zu tun.

Aber irgendwie raff ich nicht so ganz was eine 1-Form wirklich macht oder
wozu so eine 1-Form gut sein soll.

Eine Erklärung dazu wird auf Seite 52 gegeben "Der Vorteil der 1-Formen
gegenüber den anschaulichen Vektorfeldern liegt nun im
transformationsverhalten". Ok diese Aussage schluck ich mal, auch wenn ich
sie nicht (aber hoffentlich bald ;)), nachvollziehen kann.

Heißt das jetzt das ich jedes Vektorfeld als eine 1-Form darstellen kann?
Wenn ja: wie schaut das zum Beispiel mit dem Vektorfeld: F(x,y) = (x-y,
y+x) aus?

Nun geht es weiter: Ist w eine 1-Form auf V, so erhalten wir eine 1-Form
p*w auf U, den pullback von w unter p durch die Formel, ...

Ok, die Formel könnte ich jetzt anwenden, jedoch versteh ich nicht was ein
Pullback jetzt genau macht und wozu dieser gut sein soll.

Ich hoffe diese Fragen sind nicht zu trivial für euch, aber mir wird das
einfach nicht klar und ich kann keinen meiner Kollegen fragen weil dies
auch nicht verstehen. Leuten die es verstehen (wie zum Beispiel unser
Prof.) verstehen dann wieder nicht wo usner Problem liegt.

Also ich fass mal die Fragen zusammen:

1.) Was macht eine 1-Form? Welchen Vorteil gewinn ich aus ihr?
2.) Kann ich jedes Vektorfeld durch eine 1-Form darstellen?
3.) Für was ist ein Pullback gut?
4.) Hat vielleicht jemand Übungsaufgaben mit Musterlösungen dazu?
5.) Da ich Physik studiere stellt sich noch ne Nebenfrage: werd ich das als
Physiker jemals brauchen?

Auf jedenfall mal vielen Dank! :)

Gruß Tobias

[Norbert Dragon]

Post by Tobias Baumann
1.) Was macht eine 1-Form? Welchen Vorteil gewinn ich aus ihr?

Eine 1-Form ist eine lineare Abbildung von Vektoren in die Zahlen,
beispielsweise bildet die Kraft jede Verschiebung auf die Arbeit
ab, die längs der Verschiebung geleistet wird.

Es ist vorteilhaft, Ähnlichkeiten und Unterschiede von Vektoren und
dualen Vektoren zu verstehen.

Post by Tobias Baumann
2.) Kann ich jedes Vektorfeld durch eine 1-Form darstellen?

Nein. Vektoren sind dual zu 1-Formen.

Die Menge der 1-Formen an einem Punkt bilden den dualen Vektorraum
der Tangentialvektoren an diesem Punkt.

1-Formen und Vektoren sind einander dual wie Kraft und Verschiebung

Es ist im täglichen Leben vorteilhaft, Ähnlichkeit und Unterschiede
von Preisen und Waren zu begreifen: beide kann man addieren und
vervielfältigen, dennoch sind sie verschieden. An der Kasse wird
aus beiden der zu zahlende Betrag.

Post by Tobias Baumann
3.) Für was ist ein Pullback gut?

Tangentialvektoren u an Kurven werden bei Abbildungen von
Mannigfaltigkeiten in andere Mannigfaltigkeiten verschleppt:
das Bild einer Kurve hat an jedem Punkt einen Tangentialvektor,
das natürliche, lineare Bild Tu des ursprünglichen Tangentialvektors.

Dualvektoren w der transformierten Vektoren Tu sind dann natürlich
auch lineare Abbildungen W des ursprünglichen Vektors:

w(T(u)) = W(u)

Die lineare Abbildung W entsteht aus w durch Verketten mit T.

Post by Tobias Baumann
4.) Hat vielleicht jemand Übungsaufgaben mit Musterlösungen dazu?
5.) Da ich Physik studiere stellt sich noch ne Nebenfrage: werd ich das als
Physiker jemals brauchen?

Zum Verstehen der Physik: Ja.

Vielleicht hilft Kapitel 22

http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/rech.pdf

[Thomas Nordhaus]

Post by Norbert Dragon

Post by Tobias Baumann
2.) Kann ich jedes Vektorfeld durch eine 1-Form darstellen?

Nein. Vektoren sind dual zu 1-Formen.

Hier gibt es leider böse terminologische Überschneidungen. Im Skript
sprechen sie von "Differentialform vom Grad 1 oder kurz 1-Form bzw.
Kotangentialvektorfeld". Bei V.I. Arnold (Mathematical Methods of
Classical Mechanics) werden 1-Formen auch so wie bei dir eingeführt.
Später kommt dann der Begriff "differential 1-form" im Sinne von
Kovektorfeld und im Folgenden wird dieser Begriff dann abgekürzt zu
1-Form, also z.B. die 1-Form df.

[Stefan Ram]

Post by Tobias Baumann
Wenn ich das richtig interpretiere, dann hat die 1-Form
eigentlich erstmal garnichts mit Ableitungen zu tun.

Eine »1-Form« ist ein Begriff der (Multi-)linearen Algebra.

Du meinst vielleicht eine »1-Differentialform«.

Leider wird auch in der Lehre »1-Form« manchmal als
Abkürzung für »1-Differentialform« verwendet.

Ein anderes Problem ist die Vernachlässigung der
Multilinearen Algebra: So lernt der Student dann
die Begriffe der Multilinearen Algebra oft zuerst
in ihrer Anwendung bei den Differentialformen kennen.
Eigentlich sollte die Multilineare Algebra davor
behandelt werden, meiner Meinung nach.

Post by Tobias Baumann
Aber irgendwie raff ich nicht so ganz was eine 1-Form wirklich
macht oder wozu so eine 1-Form gut sein soll.

Erst einmal solltest Du die Definitionen lernen.
Die Anwendungen kommen danach.

Kannst Du die Definition der folgenden Begriffe
auswendig niederschreiben? (Nicht hier in der Runde,
nur für Dich selber.)

1-Form
1-Differentialform

Post by Tobias Baumann
Eine Erklärung dazu wird auf Seite 52 gegeben "Der Vorteil der
1-Formen gegenüber den anschaulichen Vektorfeldern liegt nun im
transformationsverhalten".

Das ist so ähnlich, wie wenn man jemandem »den«
Vorteil von Kaffee gegenüber Mineralwasser erklären wollte.

Jedes hat eben seine Anwendungsgebiete.

Post by Tobias Baumann
5.) Da ich Physik studiere stellt sich noch ne Nebenfrage: werd
ich das als Physiker jemals brauchen?

Man kann die Elektrodynamik und Hydrodynamik darauf aufbauen
und braucht es bei Differentialgleichungen und in einem großen
Teil der mathematischen Physik.

Leider gibt es heute immer noch Lehrbücher, die in der
Elektrodynamik alles mit Vektoren und Matrizen schreiben.

[Hendrik van Hees]

Post by Tobias Baumann
Wenn ich das richtig interpretiere, dann hat die 1-Form eigentlich
erstmal garnichts mit Ableitungen zu tun.

Es ist vielleicht gefährlich, wenn ich als Physiker antworte, weil wir
Physiker manchmal eine andere Konvention als die Mathematiker haben
(z.B. beim Hilbertraum, wo bei Physikern grundsätzlich das erste
Argument semilinear, das zweite linear sein muß, weil sonst Diracs
wundervolle Braket-Formalismus nicht mehr so funktioniert, wie man's
gerne will ;-)). Anyway, I try to help:

Eine 1-Form (oder auch Linearform) ist erst einmal eine lineare
Abbildung von einem Vektorraum in den dazugehörigen Skalarenkörper.

Definierst Du nun Multiplikation mit einem Skalar und die Addition von
1-Formen punktweise, dann wird schnell klar, daß die Menge aller
1-Formen über dem Vektorraume V mit diesen Definitionen für
Skalarenmultiplikation und Addition über wieder einen Vektorraum
bildet. Dies nennt man den zu V gehörigen Dualraum, abgekürzt mit V^*.
I.a. sind diese Vektorräume nicht isomorph (für einen
unendlichdimensionalen Hilbertraum etwa ist V^* riesig groß verglichen
mit V selbst; schränkt man die Linearformen allerdings auf die stetigen
Linearformen ein, sind V und V^* in einem bestimmten Sinne sogar
isomorph).

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum V besitzt V^* allerdings
dieselbe Dimension wie V und kann daher via Wahl einer Basis isomorph
auf V abgebildet werden. Es gibt allerdings i.a. keinen "kanonischen",
d.h. von jeglicher Basiswahl unabhängigen, Isomorphismus.

Post by Tobias Baumann
Aber irgendwie raff ich nicht so ganz was eine 1-Form wirklich macht
oder wozu so eine 1-Form gut sein soll.

Eine 1-Form ist einfach eine lineare Abbildung von V nach K
(K=Skalarenkörper).

Post by Tobias Baumann
Eine Erklärung dazu wird auf Seite 52 gegeben "Der Vorteil der
1-Formen gegenüber den anschaulichen Vektorfeldern liegt nun im
transformationsverhalten". Ok diese Aussage schluck ich mal, auch wenn
ich sie nicht (aber hoffentlich bald ;)), nachvollziehen kann.

Das verstehe ich nicht. Ob Du nun Vektorfelder oder Dualvektorfelder
hast, ändert doch am Transformationsverhalten nur, daß sich die
Komponenten des Vektorfeldes kontragredient, die Komponenten des
Dualvektorfelder hingegen kogredient transformieren. Das hier in ASCII
darzustellen, gibt unlesbaren Indexsalat. Daher sei es gestattet, auf
die FAQ zu verweisen:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/vekanal/

Dort findest Du auch die obigen Andeutungen über Linearformen
ausgearbeitet. Das ist mit Absicht im guten alten Riccikalkül verfaßt,
über den Mathematiker i.a. die Nase rümpfen (zu Unrecht will ich
meinen, aber gleich werden wieder die mitlesenden Mathematiker über
mich herfallen, you'll see it ;-)), weil dieser zu ziemlicher
Rechensicherheit im Kalkül mit Vektoren und (Multi-)Linearformen führt,
die man im modernen abstrakten Kalkül nicht unbedingt hat.

Post by Tobias Baumann
Heißt das jetzt das ich jedes Vektorfeld als eine 1-Form darstellen
kann? Wenn ja: wie schaut das zum Beispiel mit dem Vektorfeld: F(x,y)
= (x-y, y+x) aus?

Das da sind die Komponenten eines Vektorfeldes. Hast Du einen
Euklidischen Vektorraum und ist die Basis eine kartesische, sind das
auch gleich wieder die Komponenten der ihr eindeutig zugeordneten
1-Form und vice versa.

Post by Tobias Baumann
Nun geht es weiter: Ist w eine 1-Form auf V, so erhalten wir eine
1-Form p*w auf U, den pullback von w unter p durch die Formel, ...
Ok, die Formel könnte ich jetzt anwenden, jedoch versteh ich nicht was
ein Pullback jetzt genau macht und wozu dieser gut sein soll.

Der transportiert einfach ein 1-Formenfeld unter einer gegebenen
Abbildung (es muß freilich schon eine differenzierbare Abbildung sein)
von einer Mannigfaltigkeit in die andere.

Post by Tobias Baumann
Ich hoffe diese Fragen sind nicht zu trivial für euch, aber mir wird
das einfach nicht klar und ich kann keinen meiner Kollegen fragen weil
dies auch nicht verstehen. Leuten die es verstehen (wie zum Beispiel
unser Prof.) verstehen dann wieder nicht wo usner Problem liegt.
1.) Was macht eine 1-Form? Welchen Vorteil gewinn ich aus ihr?
2.) Kann ich jedes Vektorfeld durch eine 1-Form darstellen?
3.) Für was ist ein Pullback gut?
4.) Hat vielleicht jemand Übungsaufgaben mit Musterlösungen dazu?
5.) Da ich Physik studiere stellt sich noch ne Nebenfrage: werd ich
das als Physiker jemals brauchen?

Ich antworte nur mal auf Frage 5. Es ist absolut unverzichtbares Wissen
für jeden Physiker, was Du da beigebracht bekommst. Es wird zwar in den
Standardphysikvorlesungen nicht auf diese moderne Art angewandt, aber
ohne diese Grundlagen bist Du spätestens in der
Elektrodynamiktheorievorlesung völlig verloren. Vektoranalysis ist ein
ziemlich kompliziertes Gebiet (das mir persönlich im Grundstudium von
allem Stoff am schwierigsten überhaupt vorgekommen ist), so daß man
gehörig Zeit hineininvestieren muß, um es zu verstehen, aber das lohnt
sich dann wie gesagt später, wenn Dich z.B. Mängel im Verständnis der
Vektoranalysis nicht am Verständnis der Physik der Maxwellgleichungen
hindern.

[Thomas Nordhaus]

Post by Hendrik van Hees
ausgearbeitet. Das ist mit Absicht im guten alten Riccikalkül verfaßt,
über den Mathematiker i.a. die Nase rümpfen (zu Unrecht will ich
meinen, aber gleich werden wieder die mitlesenden Mathematiker über
mich herfallen, you'll see it ;-)), weil dieser zu ziemlicher

Uärggh - Wie schrecklich, dieser Indexsalat. Natürlich muss alles
koordinatenunabhängig formuliert werden. Wer möchte schon rechnen (wenn
er's nicht vermeiden kann, aber rechnen können's schon, die Physiker!)?
Cartan und Dieudonné rulez! ;)

[Hendrik van Hees]

Post by Thomas Nordhaus
Uärggh - Wie schrecklich, dieser Indexsalat. Natürlich muss alles
koordinatenunabhängig formuliert werden. Wer möchte schon rechnen
(wenn er's nicht vermeiden kann, aber rechnen können's schon, die
Physiker!)? Cartan und Dieudonné rulez! ;)

Ich bezweifele, daß jemand, der den Dieudonne vollständig
durchgearbeitet hat, auch nur einen Treelevel-Streuquerschnitt
ausrechnen könnte ;-). So jetzt hast Du's!

[Ralf Muschall]

Post by Hendrik van Hees
Ich bezweifele, daß jemand, der den Dieudonne vollständig
durchgearbeitet hat, auch nur einen Treelevel-Streuquerschnitt
ausrechnen könnte ;-). So jetzt hast Du's!

Zu sowas ruft man den Handwerker an. Meine Waschmaschine repariere
ich schließlich auch nicht selbst.

Ralf

[Christopher Creutzig]

Post by Hendrik van Hees
I.a. sind diese Vektorräume nicht isomorph (für einen
unendlichdimensionalen Hilbertraum etwa ist V^* riesig groß verglichen
mit V selbst; schränkt man die Linearformen allerdings auf die stetigen
Linearformen ein, sind V und V^* in einem bestimmten Sinne sogar
isomorph).

Das ist nun aber wieder eine Besonderheit von Hilberträumen. Im
Allgemeinen ist ein Banachraum V „lediglich“ isomorph zu einem Unterraum
seines Bidualraums V''. (V' kenne ich als Bezeichung für den Dualraum
aus stetigen linearen Funktionalen. Aber das macht auch wieder jeder,
wie er oder sie gerade gerne möchte.)

[Hendrik van Hees]

Post by Christopher Creutzig
Das ist nun aber wieder eine Besonderheit von Hilberträumen. Im
Allgemeinen ist ein Banachraum V ?lediglich? isomorph zu einem
Unterraum seines Bidualraums V''. (V' kenne ich als Bezeichung für den
Dualraum aus stetigen linearen Funktionalen. Aber das macht auch
wieder jeder, wie er oder sie gerade gerne möchte.)

Yep, Hilberträume sind die gutmütigsten Vektorräume nach den
endlichdimensionalen, und deshalb kommen wir Physiker gut mit ihnen
zurecht trotz schlamperter Mathematik :-).

[Ralf Muschall]

Post by Tobias Baumann
Heißt das jetzt das ich jedes Vektorfeld als eine 1-Form darstellen kann?
Wenn ja: wie schaut das zum Beispiel mit dem Vektorfeld: F(x,y) = (x-y,
y+x) aus?

Da ich gerade offline bin, lese ich das Script jetzt nicht.

Anmerkung:

Was jetzt von mir folgt, ist ohne Unicode leider etwas hoffnungslos.
Für kommutative Diagramme usw. in ASCII habe ich keine Zeit.

Das ist kein Vektorfeld. Falls x,y die Koordinaten sein sollten, ist
bestenfalls (x-y)∂/∂x + (x+y)∂/∂y eins (ein Vektorfeld ist etwas, das
Skalarfelder frisst und zurückgibt und dabei (neben der Linearität)
die Leibnizregel

X (φ ψ) = φ X(ψ) + ψ X(φ)

erfüllt), Zahlenpaare leisten sowas nicht.

Koordinaten sind allerdings iih-bäh.

Post by Tobias Baumann
Nun geht es weiter: Ist w eine 1-Form auf V, so erhalten wir eine 1-Form
p*w auf U, den pullback von w unter p durch die Formel, ...

Du hast also zwei Mannigfaltigkeiten U, V und eine Abbildung w: U→V.

Eine 0-Form ist ein Skalarfeld φ:V->ℝ, dessen Pullback w^*φ ist
einfach φ ○ w.

Ein Vektorfeld frisst Skalarfelder (und bei jedem Fressvorgang kehren
sich die Pfeilrichtungen um).

Ist also X ein Vektorfeld auf U, d.h. X:(U→ℝ)→(U→ℝ), dann ist der
Pushforward dieses Vektorfeldes w_*(X):(V→ℝ)→(V→ℝ) gegeben durch
w_*(X)(φ)(w(u))=X(w^*(φ))(u) mit u∈U, und demzufolge nur definiert
auf der Bildmenge von w.

Eine 1-Form frisst Vektoren (auf der Mannigfaltigkeit V) und gibt
Skalarfelder zurück. Ist α:((V→ℝ)→(V→ℝ))→(V→ℝ) eine 1-Form, dann ist
w^*(α)(X)=α(w_*(X))

Post by Tobias Baumann
1.) Was macht eine 1-Form?

Vektorfelder fressen und Skalarfelder zurückgeben. Vektorfelder
ihrerseits fressen Skalarfelder und geben auch welche zurück.
Skalarfelder fressen Punkte und geben Zahlen zurück. Alle drei müssen
noch diverse Nebenbedingungen erfüllen (Linearität bei Formen,
Leibnizregel bei Vektoren, Glätte bei Skalaren, aber das ist hier
unwichtig – es interessiert nur, dass es Funktionen sind und von wo
nach wo die Pfeile zeigen).

Post by Tobias Baumann
Welchen Vorteil gewinn ich aus ihr?

Spaß und einfachere Berechnungen.

Post by Tobias Baumann
2.) Kann ich jedes Vektorfeld durch eine 1-Form darstellen?

Nein, das sind völlig verschiedene Dinge. Es kann allerdings
physikalische Felder geben, die ein Vektorfeld als Argument bekommen
und ein 1-Form-Feld als Ergebnis zurückgeben. Der Metriktensor ist
ein Beispiel.

Post by Tobias Baumann
3.) Für was ist ein Pullback gut?

Im einfachsten Fall dazu:

w
U ------→ V
\ /
w_*φ \ ↻ /φ
\ /
↘ ↙
ℝ

Post by Tobias Baumann
4.) Hat vielleicht jemand Übungsaufgaben mit Musterlösungen dazu?

Wüsste ich nicht – übe einfach Pfeile malen ;-)

Übungsaufgabe: Wenn Du dann p-Formen hattest, begegnest Du dem
Operator i_X, welcher ein Vektorfeld X in eine p-Form einsetzt und
eine (p-1)-Form zurückgibt. Das sind dann noch ein paar Pfeile mehr.

Post by Tobias Baumann
5.) Da ich Physik studiere stellt sich noch ne Nebenfrage: werd ich das als
Physiker jemals brauchen?

Ja, mindestens in der Relativitätstheorie, aber alles andere
vereinfacht sich auch. Ich weiß nicht, inwieweit es noch Mode ist,
auf diese Grundlagen zu verzichten und dafür in den eigentlichen
Physikvorlesungen die durch Krüppelmathematik erzwungene unnötig
erhöhte Komplexität inkaufzunehmen – zu meiner Zeit war das z.T. noch
so. Schon die Maxwellgleichungen und das zugehörige Potential werden
mit Formen drastisch einfacher. ART ohne diese Werkzeuge ist Krampf,
sowas schafft vielleicht Einstein, aber ich nicht ;-)

Ralf

[Hendrik van Hees]

Ralf Muschall wrote:

[sehr hübsche Erklärungen gefräßiger Vektorfelder und
Differentialformen :-))]

Wenn Ihr solche Erklärungen mögt, sei auf

Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation

verwiesen (allgemein auch als "The Phone Book" bekannt).

Dort wird allerdings der Spezialfall einer pseudo-Riemannschen
Mannigfaltigkeit, nämlich das Raumzeitmodell der ART, behandelt.