wenn schon die Funktion z+e^z große Schwierigkeiten bereitet, ist das ein
Indiz dafür, dass der Beweis nicht einfach sein kann.
Du willst es aber genau wissen!
Ich will doch aber (zunächst) nur Ritts Satz beweisen (allerdings mit
anderen Mitteln als er).
Wieso sagst Du, schon die Funktion F mit F(z) = z+e^z bereite große
Schwierigkeiten? Ritts Satz beginnt doch folgendermaßen: "If F(z) and its
inverse are both elementary, ...". Man nimmt also einfach an, die gegebene
Funktion F hätte eine Umkehrfunktion, und diese Umkehrfunktion sei eine
Elementare Funktion. Man braucht die konkreten Definitionsbereiche der
Komponentenfunktionen deshalb gar nicht zu betrachten. Ich denke, Ritts Satz
folgt allein aus dem strukturellen Aufbau der Elementaren Funktionen und aus
Eigenschaften einer Funktionskomposition. Also kann man den Beweis von Ritts
Satz ebenfalls ohne Betrachtung der Definitionsbereiche vornehmen.
Für die Anwendung von Ritts Satz sehe ich folgendes Rezept.
Die Funktionsgleichung der gegebenen Elementaren Funktion, ohne
Berücksichtigung der Definitionsbereiche, hernehmen und schauen, ob sich die
Funktion in die lineare Form in Ritts Satz umwandeln läßt.
Wenn nein: Die Funktion kann keine Elementare Funktion als Umkehrfunktion
haben.
Wenn ja: Wenn die Funktion eine Umkehrfunktion hat, dann ist die
Umkehrfunktion eine Elementare Funktion.
Ob und mit welchen Definitionsbereichen die Funktion überhaupt eine
Umkehrfunktion hat, kann man dann mit dem "Satz über die Umkehrfunktion"
ermitteln.
Es fehlt weiterhin ein einfaches (etwas schwerer als e^z) Beispiel für
eine elementare Funktion mit elementarer Inverser (und den \phi).
Ich hatte das doch schon gebracht: F(z) = e^(x+ln(e^z)).
Offensichtliche Verkettungsform: F = id o exp o id o '+'(x,ln o exp); '+'
ist die algebraische Funktion Summe.
Diese Verkettungsdarstellung enthält eine einzige mehrstellige Funktion,
nämlich die Funktion '+'. (Von den in der expln-Darstellung zugelassenen
Funktionen exp, ln und algebraische Funktionen können nur algebraische
Funktionen mehrstellig sein. Damit F(z) in der "linearen" Form aus Ritts
Satz dargestellt wird, ist die mehrstellige (algebraische) Funktion '+' in
der Verkettung durch eine einstellige Funktion zu ersetzen. Die möglichen
Gruppen von Vereinfachungsregeln hatte ich ja schon genannt.
ln o exp = id. Daraus ergibt sich F(z) = exp(2*z), bzw. F(z) = exp(z)^2,
bzw. F(z) = exp(2)^z.
Man sieht, keine der drei Darstellungen der Funktion F, wenn sie in die
Verkettungsdarstellung gebracht werden, weisen mehrstellige Funktionen auf.
Die erste Darstellung ist z. B., als Verkettung in Ritt-Form geschrieben: F
= id o exp o 2*. Und das ist in der Form aus Ritts Satz.
Ich weiß jetzt nicht, wo Dein Problem ist, also warum Du ein größeres
Beispiel benötigst. Jede Elementare Funktion läßt sich in die expln-Form
bringen, die Umwandlungsformeln für alle elementaren Standardfunktionen (z.
B. sin, atanh) sind mindestens seit Liouville bekannt. Mehrstelligkeit kann
nur bei algebraischen Funktionen auftreten, nämlich genau dann, wenn diese
mehrstellig sind und ihre Argumente algebraisch unabhängig sind. Die Gruppen
der möglichen Vereinfachungs-/Reduktionsregeln hatte ich kurz genannt. Wenn
die Umkehrfunktion eine Elementare Funktion ist, dann ergibt sich ihre
Funktionsgleichung natürlich direkt als Verkettung der Umkehrfunktionen der
Komponentenfunktionen in umgekehrter Reihenfolge.
Ich kann nur nicht entscheiden, ob mein Vereinfachungsalgorithmus wirklich
immer zu einer linearen Darstellung führt wenn eine solche existiert. Aber
es ist ja auch schon viel gewonnen, wenn der Algorithmus wenigstens für
einen Teil der Elementaren Funktionen findet, daß sie eine Elementare
Umkehrfunktion haben. Daß eine gegebene Elementare Funktion, wenn sie eine
Umkehrfunktion hat, keine Elementare Funktion als Umkehrfunktion haben kann,
kann ich aber nicht mit aller Sicherheit beweisen.
Wenn Du immer noch ein Beispiel einer noch komplexeren Funktion benötigst,
sag' einfach noch mal Bescheid.
(Wie gesagt, zunächst will ich nur Ritts Satz auf andere Weise beweisen.)
Das Finden einer "linearen" Verkettungsdarstellung einer gegebenen Funktion
hängt von den Definitionsbereichen der Komponentenfunktionen ab, weil im
Reellen Logarithmengesetze existieren, die es im Komplexen nicht gibt.
Und die Entscheidung, wann zwei Terme algebraisch unabhängig sind, ist durch
das heutzutage noch ungenügende Wissen in der Zahlentheorie begrenzt.
Post by IVWeil die Funktionen z und e^z algebraisch unabhängig sind, läßt sich A
nicht vereinfachen, der Verkettungspfad mit der mehrstelligen
algebraischen Funktion A kann also nicht durch einen Pfad mit einer
einstelligen algebraischen Funktion ersetzt werden.
Beweis? Ich sehe keinen.
Beweisidee/-ansatz: Sei A eine zweistellige algebraische Funktion
(f1(z),f2(z)) \mapsto G(z) = A(f1(z),f2(z)). Sind f1 und f2 algebraisch
abhängig, dann ist f1(z) = A1(f2(z)) und f2(z) = A2(f1(z)), mit A1 und A2
jeweils eine algebraische Funktion.
Weiter ist dann G(z) = A(f1(z),f2(z)) = A(f1(z),A2(f1(z)). Wir betrachten
jetzt die Funktion, die nur von dem Argument f1(z) abhängt: G(z) = H(f1(z)).
H ist ebenfalls eine algebraische Funktion. Die mehrstellige Verkettung
A(f1(z),f2(z)) wurde also durch die einstellige Verkettung H(f1(z)) ersetzt,
auf diese reduziert. (Die einzelnen hier wohl in unüblicher Weise
verwendeten Begriffe müßte ich bestimmt noch definieren.)
Sind f1 und f2 (wie z und e^z) dagegen algebraisch unabhängig, dann läßt
sich sich die Reduktion nicht auf diese Art durchführen. Hm, wie kann man
mathematisch korrekt beweisen, daß es dann auch keine andere Reduktion in G
geben kann?
Ich sehe jetzt, es ist nicht die Funktion A, die reduziert/ersetzt wird,
sondern die ganze Verkettung hinunter bis z, also die Verkettung G.
Wo liege ich falsch, was fehlt noch?
Du suchst nicht notwendigerweise nach "Vereinfachungen von A", sondern
ggfs. nach ganz anderen \phi.
Meinst Du das eben Gesagte damit?
Ich werde in den nächsten Tagen versuchen, mein mathematisches Problem
hier noch einmal neu zu formulieren.