Primzahlen und ihre Quersummen

[Rainer Rosenthal]

Nachdem ich mich mit Quersumme 45 für den blamAbel-Preis qualifiziert
hatte[1], konnte ich mit Quersumme 46 wenigstens ein Fleißsternchen
bekommen[2].
Ein Narr fragt mehr, als sieben Weise beantworten können, und weil die
närrische Zeit erst vor wenigen Tagen zu Ende gegangen war, frage ich mal:

Bekanntlich divergiert die Summe über alle 1/p, p prim.
Lässt man nur die Primzahlen zu, in deren Dezimaldarstellung die 9
fehlt, dann konvergiert Summe 1/p (Ralf Bader[3]).

Närrische Frage:
Wie steht mit Summe 1/p, wenn über alle Primzahlen p summiert wird,
deren Quersumme eine Primzahl ist?

Um mich einer Antwort zu nähern, habe ich die ersten Primzahlen dieser
Art ausgerechnet:
2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, 113, 131, 137

Für eine Abschätzung von Summe 1/p reicht das bereits aus ... wenn man
die Online Enzyklopädie für Zahlenfolgen OEIS, https://oeis.org/, kennt.

Erstaunliches Ergebnis: Summe 1/p divergiert!
Siehe https://oeis.org/A046704

Gruß,
Rainer Rosenthal

[1] "Gibt es 10-stellige Primzahlen mit lauter verschiedenen Ziffern?",
05.03.2025 10:58

[2] "Die kleinste Primzahl mit allen 10 Ziffern in ihrer
Dezimaldarstellung", 06.03.2025 16:31

[3] "Harmonische Reihe, und Abwandlungen ...", 22.02.2025 09:28

[Blacky Cat]

Post by Rainer Rosenthal
Um mich einer Antwort zu nähern, habe ich die ersten Primzahlen dieser
2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, 113, 131, 137

ich leg noch einen drauf:
- wie siehst's denn aus mit Duppletten ?

| 2, 3, 5, 7, 11, 13,
----+--------------------------->
11 | -> 2,
23 | -> 5,
29 | -> 2,
29 | -> 2, 11,
41 | -> 5,
43 | -> 7,
47 | -> 2,
47 | -> 2, 11,
61 | -> 7,
67 | -> 13,
83 | -> 2, 11,
101 | -> 2,
101 | -> 2, 11,
113 | -> 5,
... | ...
v

Man erkennt: die fünfer habens in sich ...

Blacky

[Rainer Rosenthal]

Post by Blacky Cat

Post by Rainer Rosenthal
Um mich einer Antwort zu nähern, habe ich die ersten Primzahlen dieser
2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, 113, 131, 137

- wie siehst's denn aus mit Duppletten ?
    |    2, 3, 5, 7, 11, 13,
----+--------------------------->
 11 | -> 2,
 23 | ->       5,
 29 | -> 2,
 29 | -> 2,          11,
 41 | ->       5,
 43 | ->          7,
 47 | -> 2,
 47 | -> 2,          11,
 61 | ->          7,
 67 | ->                 13,
 83 | -> 2,          11,
101 | -> 2,
101 | -> 2,          11,
113 | ->       5,
... | ...
    v
Man erkennt: die fünfer habens in sich ...

Als "Dubletten" bezeichnet man Dinge, die doppelt oder mehrfach in einer
Sammlung vorhanden sind. Es wäre nett gewesen, wenn Du die Idee erklärt
hättest, die hinter Deiner Liste steckt. Ich denke, ich habe sie gefunden.
Du willst den Prozess der Quersummenbildung /doppelt/ anwenden. Auf
diese Weise bekommst Du zu einer Ausgangszahl u.U. mehrere zugehörige
neue Zahlen.

Post by Blacky Cat
29 | -> 2, 11,

Einmal Quersumme bilden: Qusum(29) = 2 + 9 = 11.
Nochmal Quersumme bilden: Qusum(Qusum(29)) = Qusum(11) = 1 + 1 = 2.

Soweit, so gut, und ich habe wohl richtig geraten?

Post by Blacky Cat
101 | -> 2, 11,

Die 2 ist klar, weil Qusum(101) = 1 + 0 + 1 = 2 ist.
Die 11 ist aber falsch, weil mit der Quersumme nur die /Ziffern/ einer
Zahl addiert werden. Du hast wohl an 10 + 1 = 11 gedacht.

Warum die "fünfer" es in sich haben, habe ich nicht erkannt.

Bei Wikipedia kannst Du zur Quersumme was lesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme#Einstellige_(oder_iterierte)_Quersumme

Mit diesem Link kommst Du direkt an die Stelle, an der die wiederholte
Anwendung der Quersummenbildung beschrieben wird. Auf Englisch kannst Du
auch unter "digital root" suchen.

Gruß,
Rainer

[Blacky Cat]

Hallo Rainer,

Deinen Überlegungen kann ich nur zustimmen.
Danke für den Link.

Blacky

[Rainer Rosenthal]

Post by Blacky Cat
Deinen Überlegungen kann ich nur zustimmen.
Danke für den Link.

Gerne!

Rainer

[Martin Vaeth]

Post by Rainer Rosenthal
Wie steht mit Summe 1/p, wenn über alle Primzahlen p summiert wird,
deren Quersumme eine Primzahl ist?
[...]
Erstaunliches Ergebnis: Summe 1/p divergiert!
Siehe https://oeis.org/A046704

Was ich noch erstaunlicher finde, ist der dort genannte Primzahlsatz
für diese sog. additiven Primzahlen (der anscheinend nur unter einer
Zusatzvermutung bewiesen wurde): Das asymptotische Verhalten der
zugehörigen Zählfunktion ist 3/2 x/(log x log log x).

Während mich der zusätzliche Faktor log log x nicht wirklich
überrascht - wenn man annimmt, dass die Primzahlen innerhalb von
Quersummen von Primzahlen genauso „zufällig“ verteilt sind, wie
in allen Zahlen, passt das fast genau, da die Quersummen halt nur
logarithmisch wachsen (naja, strenggenommen hätte ich deswegen eher
x/ (log x log (log x/log log x)) erwartet, aber vielleicht macht
sich der innerste Nenner im asymptotischen Verhalten schon nicht
mehr bemerkbar), so verblüfft mich aber vor allem der Faktor 3/2.
Woher kommt der? Hat der etwas damit zu tun, dass man die Basis
10 zugrundelegt und deswegen „automatisch“ Vielfache von 3 in der
Quersumme fehlen, man also 1/(1-1/3) mehr Primzahlen in der
Quersumme hat, als man bei der oben angenommenen
„echt zufälligen” Verteilung erwarten könnte?

[Blacky Cat]

Post by Martin Vaeth
Quersumme fehlen, man also 1/(1-1/3) mehr Primzahlen in der
Quersumme hat, als man bei der oben angenommenen
„echt zufälligen” Verteilung erwarten könnte?

= (1 div (1 sub 1 div 3.000))
= (1 div (1 sub 0.333))
= (1 div ( 0.667))
= (1 div ( 0.67 )) <---+
= (1 div ( 0.7 )) |
|
= 0.1 4 + 3 = 1.7 | Rundungs - Skalierung: 3/2
| beachten !
3 div 2 = 1.5 |
|
=> 0.17 |
+ 1.50 |
------- |
1.67 <--------------------+
=======

Blacky

[Carlo XYZ]

..., so verblüfft mich aber vor allem der Faktor 3/2.
Woher kommt der? Hat der etwas damit zu tun, dass man die Basis
10 zugrundelegt und deswegen „automatisch“ Vielfache von 3 in der
Quersumme fehlen, man also 1/(1-1/3) mehr Primzahlen in der
Quersumme hat, als man bei der oben angenommenen
„echt zufälligen” Verteilung erwarten könnte?

Tatsächlich dürfte das dem Faktor (b-1)/Phi(b-1) mit Basis b
entsprechen, der auf Seite 2 unten in

<https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Harman/harman2.pdf>

informell erklärt wird. Für b=10 ist das 9/Phi(9) = 9/6 = 3/2.

[Rainer Rosenthal]

Post by Carlo XYZ

..., so verblüfft mich aber vor allem der Faktor 3/2.

Tatsächlich dürfte das dem Faktor (b-1)/Phi(b-1) mit Basis b
entsprechen, der auf Seite 2 unten in
<https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Harman/harman2.pdf>
informell erklärt wird. Für b=10 ist das 9/Phi(9) = 9/6 = 3/2.

Hui(*):
Wir können das Verfahren sogar wiederholt anwenden und nicht nur
Primzahlen p zählen, für die Q(p) prim ist, sondern wir können auch
Primzahlen p zählen, für die Q(Q(p)) prim ist.

Gruß,
RR

(*) Indeed, we can iterate the method and count primes
with the sum of digits a prime whose sum of digits is a prime, and so on.

[Rainer Rosenthal]

Post by Rainer Rosenthal
Wie steht mit Summe 1/p, wenn über alle Primzahlen p summiert wird,
deren Quersumme eine Primzahl ist?

Die Reihe divergiert laut den ernsthaften Antworten in diesem Thread.
Sei nun q(n) = Q(p(n)) die Quersumme der n-ten Primzahl.

Die Folge dieser Zahlen gibt es im OEIS: https://oeis.org/A007605
2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 10, 5, 11, 4, 10, 5, 7, 11, 8, 14, 7, 13 ...

Ich kann es zwar aus dem Stand heraus nicht beweisen, aber ich bin mir
sicher, dass Summe 1/q(n) divergiert.

Frage:
Existiert Summe (-1)^(n+1)/q(n) = 1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/2 - 1/4 ...?

Anmerkung:
(-1)^(n+1)/p(n) existiert und ist gleich 0.26960635197167
Siehe https://oeis.org/A078437

[Rainer Rosenthal]

Post by Rainer Rosenthal
Ich kann es zwar aus dem Stand heraus nicht beweisen, aber ich bin mir
sicher, dass Summe 1/q(n) divergiert.

Der Kundige[1] könnte es aus dem Stand heraus:

p(n) >= Q(p(n)) = q(n), also 1/q(n) >= 1/p(n).

Weil Summe 1/p(n) divergiert, divergiert auch 1/q(n).

Gruß,
RR

[1] "Gibt es 10-stellige Primzahlen mit lauter verschiedenen Ziffern? //
nein, aber ...", 07.03.2025 08:43
Aber der Kundige weiß, dass ... mein Argument vollkommen ... ist.
(Achtung: Zitat ironisch verfälscht!)

[Martin Vaeth]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Rainer Rosenthal
Wie steht mit Summe 1/p, wenn über alle Primzahlen p summiert wird,
deren Quersumme eine Primzahl ist?

Die Reihe divergiert laut den ernsthaften Antworten in diesem Thread.
Sei nun q(n) = Q(p(n)) die Quersumme der n-ten Primzahl.
[...]
Existiert Summe (-1)^(n+1)/q(n) = 1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/2 - 1/4 ...?

Eine schwere Frage. So ziemlich das einzige Konvergenzkriterium, das ich
für alternierende und nicht absolut konvergente Reihen kenne, ist das
Leibnizkriterium, das hier mangels Monotonie nicht anwendbar ist.

Post by Rainer Rosenthal
(-1)^(n+1)/p(n) existiert und ist gleich 0.26960635197167

Hier natürlich schon, da die p(n) monoton wachsen.

Man könnte versuchen, den Beweis des Leibniz-Kriteriums genau zu
analysieren und dazu nachzuweisen, dass die Quersummen immer noch
“genügend” monoton sind (etwa, wenn man genügend positive und
negative Elemente zusammen behandelt). Ist aber nur eine grobe
Idee, die beliebig knifflig werden kann, und ich weiß nicht,
ob sie zielführend ist.

[Rainer Rosenthal]

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal
Sei nun q(n) = Q(p(n)) die Quersumme der n-ten Primzahl.
Existiert Summe (-1)^(n+1)/q(n) = 1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/2 - 1/4 ...?

Eine schwere Frage. So ziemlich das einzige Konvergenzkriterium, das ich
für alternierende und nicht absolut konvergente Reihen kenne, ist das
Leibnizkriterium, das hier mangels Monotonie nicht anwendbar ist.
[...]
Man könnte versuchen, den Beweis des Leibniz-Kriteriums genau zu
analysieren und dazu nachzuweisen, dass die Quersummen immer noch
“genügend” monoton sind (etwa, wenn man genügend positive und
negative Elemente zusammen behandelt). Ist aber nur eine grobe
Idee, die beliebig knifflig werden kann, und ich weiß nicht,
ob sie zielführend ist.

Mit der Untersuchung der alternierenden Summe von 1/Q(n) in [1] habe ich
ein Gefühl für die Verhältnisse bekommen.
Im Fall 1/Q(n) haben wir Divergenz mit Limes = -oo.

Der Grund dort ist, dass wir eine starke Regelmäßigkeit haben: Mit jedem
Wechsel zu einer Ziffer 0 werden die Quersummen Q(n) relativ kleiner.
Solch ein Wechsel erfolgt stets bei einem geraden Index n und wirkt sich
daher negativ auf die Summe aus.

Für den hier interessanten Fall Q(p(n)) gibt es keinen deutlichen
Zusammenhang zwischen Primzahl-Index n und Veränderung in den Ziffern
von p(n) gegenüber p(n-1), aber es bleibt die Tatsache, dass mit krassen
Sprüngen der Quersummen zu rechnen ist.
Beispiel: 1100101 ist prim und trägt wegen Quersumme 4 den großen Wert
1/4 zur alternierenden Summe bei. Ob negativ oder positiv, ist für diese
spezielle Primzahl klar: negativ, weil 1100101 = p(85724) geraden Index hat.

Ähnlich gebaute Primzahlen mit sehr kleinen Quersummen werden immer
wieder auftreten, und zwar unregelmäßig mit geradem oder ungeradem
Index. Es ist nicht auszuschließen, dass die Summe gegen oo oder -oo
geht, aber ganz sicher ist, dass sie nicht gegen einen endlichen Wert
konvergiert, weil ständig mit Ausreißern zu rechnen ist.

Gruß,
Rainer Rosenthal

[1] "Quersummenfrage: Summe +-1/Q(n)", 12.03.2025 00:17

[Rainer Rosenthal]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Rainer Rosenthal
Sei nun q(n) = Q(p(n)) die Quersumme der n-ten Primzahl.
Existiert Summe (-1)^(n+1)/q(n) = 1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/2 - 1/4 ...?

Für den hier interessanten Fall Q(p(n)) gibt es keinen deutlichen
Zusammenhang zwischen Primzahl-Index n und Veränderung in den Ziffern
von p(n) gegenüber p(n-1), aber es bleibt die Tatsache, dass mit krassen
Sprüngen der Quersummen zu rechnen ist.
Beispiel: 1100101 ist prim und trägt wegen Quersumme 4 den großen Wert
1/4 zur alternierenden Summe bei. Ob negativ oder positiv, ist für diese
spezielle Primzahl klar: negativ, weil 1100101 = p(85724) geraden Index hat.
Ähnlich gebaute Primzahlen mit sehr kleinen Quersummen werden immer
wieder auftreten, und zwar unregelmäßig mit geradem oder ungeradem
Index. Es ist nicht auszuschließen, dass die Summe gegen oo oder -oo
geht, aber ganz sicher ist, dass sie nicht gegen einen endlichen Wert
konvergiert, weil ständig mit Ausreißern zu rechnen ist.

Gemäß dem Motto "ein Bild sagt mehr als 1000 Worte":
Loading Image...

Auf dem Bild ist Summe (-1)^(n+1)/q(n) geplottet für n = 1..10000.

Gruß,
Rainer Rosenthal

[Martin Vaeth]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Martin Vaeth

Post by Rainer Rosenthal
Sei nun q(n) = Q(p(n)) die Quersumme der n-ten Primzahl.
Existiert Summe (-1)^(n+1)/q(n) = 1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/2 - 1/4 ...?

Eine schwere Frage. So ziemlich das einzige Konvergenzkriterium, das ich
für alternierende und nicht absolut konvergente Reihen kenne, ist das
Leibnizkriterium, das hier mangels Monotonie nicht anwendbar ist.
[...]
Man könnte versuchen, den Beweis des Leibniz-Kriteriums genau zu
analysieren und dazu nachzuweisen, dass die Quersummen immer noch
“genügend” monoton sind (etwa, wenn man genügend positive und
negative Elemente zusammen behandelt). Ist aber nur eine grobe
Idee, die beliebig knifflig werden kann, und ich weiß nicht,
ob sie zielführend ist.

Mit der Untersuchung der alternierenden Summe von 1/Q(n) in [1] habe ich
ein Gefühl für die Verhältnisse bekommen.

Dieses Problem ist ganz anders gelagert: Dort ist das notwendige
Konvergenzkriterium Q(n) -> \infty verletzt,
weil beispielsweise die Quersumme 1 unendlich oft auftaucht.
Bei q(n) ist das jedoch alles andere als klar. Zumindest die
Quersumme 1 kann hier trivialerweise in keiner Basis unendlich
oft auftreten.

Post by Rainer Rosenthal
Beispiel: 1100101 ist prim und trägt wegen Quersumme 4 den großen Wert
1/4 zur alternierenden Summe bei.

Ein Beispiel besagt nichts über das Grenzverhalten. Was Du wissen musst:
Gibt es unendlich Primzahlen mit der Quersumme 4?
Oder allgemeiner: mit k für irgendein k?
Falls die Antwort für irgendein k positiv ist, ist in der Tat klar,
dass die Reihe divergieren muss.
Beachte aber, dass für solche Primzahlen fast alle Ziffern Nullen sein müssen!

Vielleicht hast Du recht, und es gibt so ein k. Zumindest im Binärsystem
wäre k = 2 bereits so ein Kandidat wegen der Fermat-Primzahlen, aber
selbst für diese steht ja ein Beweis der Unendlichkeit noch aus.
Ich war davon ausgegangen, dass es so ein k im Dezimalsystem nicht gibt,
aber ich kann natürlich falsch liegen.

Wenn die Antwort auf diese Frage (für allgemeines k) negativ ist, hilft Dir
aber die Argumentation, dass immer wieder mal „große Sprünge“ auftreten, gar
nichts, denn für große n werden die Sprünge irgendwann doch immer kleiner.
Wenn dann noch ein paar zusätzliche Eigenschaften(*) erfüllt sind, bist
Du sehr schnell wieder bei Konvergenz.
(*) Diese zusätzlichen Eigenschaften festzulegen und zu beweisen, kann
wie gesagt, beliebig knifflig sein.

[Rainer Rosenthal]

[Zu Fragen zu Primzahlquersummen kann man was finden] ... wenn man
die Online Enzyklopädie für Zahlenfolgen OEIS, https://oeis.org/, kennt.

Die zum Thema passende Folge steht hier: https://oeis.org/A007605

Darin fand ich diese Referenz:
Christian Mauduit, Joël Rivat. Sur un problème de Gelfond: la somme des
chiffres des nombres premiers. Annals of Mathematics, 2010; 171 (3):
1591 DOI: 10.4007/annals.2010.171.1591

Sehr hübsch: im Jahr 1968 hatte Herr Gelfond die Vermutung
ausgesprochen, dass es im Mittel genau so viele gerade wie ungerade
Primzahl-Quersummen gibt. Es ist zwar nun schon vor 15 Jahren bestätigt
worden, aber einen gewissen Neuigkeitswert hat das schon. Jedenfalls für
mich.

Gruß,
RR