Ableitung der Kreisflächenformel ergibt Umfang - beim Quadrat nicht - wieso?

[Heinrich Dubla]

Hallo,

wenn ich die Formel A=pi*r^2 nach r ableite, erhalte ich mit U=2*pi*r
die Umfangsformel des Kreises. Das ist auch logisch, denn wenn sich
der Radius nur um ein bisschen vergrößert, dann kommt eben ein
"Umfang" zur Fläche hinzu.
Warum greift dieses Argument aber nicht beim Quadrat? Die
Flächeninhaltsformel für ein Quadrat der Seitenlänge a ist A=a^2.
Verändere ich auch hier a ein wenig, kommt doch auch ein "Umfang"
hinzu, aber der Umfang berechnet sich zu U=4a.
Nun dachte ich zuerst, es läge daran, dass das Quadrat im
Koordinatensystem evtl. zwei Seiten zeigt, die parallel zur y-Achse
liegen. Also habe ich die Eckpunkte anders gelegt, nämlich nach (a,0),
(0,a), (-a,0) und (0,-a). Nun ist der Flächeninhalt des Quadrats
gegeben durch A=2*a^2, der Umfang ist jedoch mit U=4a*sqrt(2) wiederum
nicht die Ableitung der Fläche.
Kann mir das jemand bitte erklären? Vielen Dank.

Heinrich

[Jutta Gut]

Hallo Heinrich!

Post by Heinrich Dubla
wenn ich die Formel A=pi*r^2 nach r ableite, erhalte ich mit U=2*pi*r
die Umfangsformel des Kreises. Das ist auch logisch, denn wenn sich
der Radius nur um ein bisschen vergrößert, dann kommt eben ein
"Umfang" zur Fläche hinzu.
Warum greift dieses Argument aber nicht beim Quadrat? Die
Flächeninhaltsformel für ein Quadrat der Seitenlänge a ist A=a^2.
Verändere ich auch hier a ein wenig, kommt doch auch ein "Umfang"
hinzu, aber der Umfang berechnet sich zu U=4a.

Wenn du die Quadratseite um ein kleines Stück da verlängerst, kommt ja nur
an zwei Seiten des Quadrats ein schmaler Streifen a*da dazu, nicht an allen
4 Seiten. Die Seitenlänge des Quadrats entspricht in deinem Beispiel eher
dem Kreisdurchmesser, nicht dem Radius. Wenn du den "Radius" des Quadrats,
also a/2, mit x bezeichnest, erhältst du

u = 8x
A = 4*x^2
dA/dx = 8x = u

Gruß
Jutta

[Walter H.]

Hallo Heinrich,

es gilt folgender Zusammenhang:

du hast eine regelmäßige Figur, welche nur von einer Größe abhnängt, z.B.
Seitenlänge, Radius, ...

dann hast Du zwei Funktionen

A = A(x)
u = u(x)

es gilt immer: A'(x) <= u(x)

hat man Gleichheit, hat man die optimale Figur gefunden, welche bei
gegebenen Umfang die größte Fläche hat;

A_kreis(r) = r^2 * pi
u_kreis(r) = 2 r * pi

hier gilt: u_kreis(r) = A_kreis'(r)

Analoges hast Du mit regelmäßigen Körpern im Raum:

V_kugel(r) = 4 r^3 * pi/3
Oa_kugel(r) = 4 r^2 * pi

auch hier gilt: Oa_kugel(r) = V_kugel'(r)

einfachst erklärt ist es folgend: der Kreis hat an jedem Punkt eine
Tangente welche orthogonal zum Radius ist; das Quadrat eben nicht;

Gruß,
Walter

Post by Heinrich Dubla
Hallo,
wenn ich die Formel A=pi*r^2 nach r ableite, erhalte ich mit U=2*pi*r
die Umfangsformel des Kreises. Das ist auch logisch, denn wenn sich
der Radius nur um ein bisschen vergrößert, dann kommt eben ein
"Umfang" zur Fläche hinzu.
Warum greift dieses Argument aber nicht beim Quadrat? Die
Flächeninhaltsformel für ein Quadrat der Seitenlänge a ist A=a^2.
Verändere ich auch hier a ein wenig, kommt doch auch ein "Umfang"
hinzu, aber der Umfang berechnet sich zu U=4a.
Nun dachte ich zuerst, es läge daran, dass das Quadrat im
Koordinatensystem evtl. zwei Seiten zeigt, die parallel zur y-Achse
liegen. Also habe ich die Eckpunkte anders gelegt, nämlich nach (a,0),
(0,a), (-a,0) und (0,-a). Nun ist der Flächeninhalt des Quadrats
gegeben durch A=2*a^2, der Umfang ist jedoch mit U=4a*sqrt(2) wiederum
nicht die Ableitung der Fläche.
Kann mir das jemand bitte erklären? Vielen Dank.
Heinrich

[Thomas Strasser]

Hallo,

On Tue, 02 Mar 2004 23:31:01 +0100, "Walter H."

Post by Heinrich Dubla
Hallo,
wenn ich die Formel A=pi*r^2 nach r ableite, erhalte ich mit U=2*pi*r
die Umfangsformel des Kreises. Das ist auch logisch, denn wenn sich
der Radius nur um ein bisschen vergrößert, dann kommt eben ein
"Umfang" zur Fläche hinzu.
Warum greift dieses Argument aber nicht beim Quadrat? Die
Flächeninhaltsformel für ein Quadrat der Seitenlänge a ist A=a^2.
Verändere ich auch hier a ein wenig, kommt doch auch ein "Umfang"
hinzu, aber der Umfang berechnet sich zu U=4a.
Nun dachte ich zuerst, es läge daran, dass das Quadrat im
Koordinatensystem evtl. zwei Seiten zeigt, die parallel zur y-Achse
liegen. Also habe ich die Eckpunkte anders gelegt, nämlich nach (a,0),
(0,a), (-a,0) und (0,-a). Nun ist der Flächeninhalt des Quadrats
gegeben durch A=2*a^2, der Umfang ist jedoch mit U=4a*sqrt(2) wiederum
nicht die Ableitung der Fläche.
Kann mir das jemand bitte erklären? Vielen Dank.

Du solltst mal den Mittelpunkt des Quadrates in den Ursprung legen und
die halbe Kante als Variable nehmen, , dann ist nämlich die Fläche 4
mal (halbe Kante)^2, die ABleitung also gleich 8 mal (halbe Kante) und
das ist exakt richtig.
Der Grund ist, daß der von dir vermutete Zusammenhang nur dann stimmt,
wenn sich die Fläche 'gleichmäßig nach allen Seiten' vergrößert.

Th. Strasser