n-te Wurzel(x) mit Ti89

[Marko van Hauser]

Hallo,
die Quadratwurzel mit dem Ti89 kann ich ja mittels 2nd + Wurzeltaste
errechnen. Gibt es auch eine Möglichkeit, z.B. die 3-te Wurzel (27) zu
berechnen, indem man das so eingeben kann, ohne Exponentenschreibweise
??

[Hero Wunders]

Hi!

Post by Marko van Hauser
die Quadratwurzel mit dem Ti89 kann ich ja mittels 2nd + Wurzeltaste
errechnen. Gibt es auch eine Möglichkeit, z.B. die 3-te Wurzel (27)
zu berechnen, indem man das so eingeben kann, ohne
Exponentenschreibweise ??

Ich (Schüler) habe leider nur den Ti83, aber bei mir gibt es eine "MATH"
Taste. Da gibt's dann z.B. auch dritte Wurzel und *Wurzel (*, dann
Wurzelzeichen). Wenn man den benutzt kann man z.B. folgende Eingabe
machen:

3 -> MATH -> 5 (5.Menüpunkt) -> ( -> 8 -> ) -> Enter

Dann ist 2 das Ergebnis.

HTH
herojoker

[Marko van Hauser]

eine Tastenkombination habe ich bis jetzt nicht gefunden, kann noch wer helfen ?

[Alex.Lupas]

Post by Marko van Hauser
eine Tastenkombination habe ich bis jetzt nicht gefunden, kann noch wer helfen ?

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Vorschlag: ein Algorithmus zu finden sqrt[p]{A} , A>0 ,
p natuerliche Zahl, p >= 2 .
Es sei H:(0,infty)--->(0,infty) mit
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(p-1)*X^p +(p+1)*A
H(X)= X*-------------------- .
(p+1)*X^p +(p-1)*A
================================

Weiter 0< y_0 < sqrt[p]{A} und x_0 := (p-1+A)/p .
Die iterative Folgen (x_n) , (y_n) wobei
==================================================
(1) x_{k+1}=H(x_k) , y_{k+1}=H(y_k) , k=0,1,...,n,...,
==================================================
die folgende EIgenschaften haben :

0 < y_0< ...< y_{n} < y_{n+1}< ...< sqrt[p]{A}<...<
<x_{n+1}<x_n<...< x_0 .

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Hinweise:
1) fuer (A-x^p)(H(x)-x)>0 ,
2) H'(x) >= 0 fuer x>0 ,
3) Man weiss dass die Geometrische-mittel(:= Geom) einer Zahlen , z.B.
(*) a_1=a_2=...=a_{p-1}=1 , a_p=A ,
ist kleiner als die Arithmetische-mittel (:= Arithm) .
Fuer die Zahlen aus (*)
Geom=sqrt[p]{A} =< Arithm = (p-1+A)/p .
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SATZ. Es gibt eine positive Konstante r=r(p) so dass

|y_{n+1}-y_n| =< r*|y_n-y_{n-1}|^3 .

Genauer (y_n) wird gegen sqrt[p]{A} convergiert mit Ordnung 3.
BEWEIS/HINWEIS: wenn L:=sqrt[p]{A} dann
H(L)=L , H'(L)=H"(L)=0 , H^{(3)}(L)=(p^2-1)/(2L^2) .
Weiter verwenden Sie die Taylor'sche Entwicklung, z.B.

y_{n+1}-L =H(y_n) - H(L)=(y_n-L)H'(L)+(y_n-L)^2H"(L)/2!+
+ (y_n-L)^3*H^{(3)}(c)/3! mit
c zwischen y_n und L , oder

y_{n+1}-y_n=H(y_n)-H(y_{n-1})=......
Gruss, Alex.
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