Augensumme mehrerer Würfel

[Thomas Wassong]

Hallo,

ich hab da mal ne kurze Frage:
Ich habe das Problem, dass ich k Würfel habe und wissen möchte, wieviele
Möglichkeiten es gibt, mit allen diesen k Würfeln die Augensumme N zu
würfeln.
Z.B. für k=2 und N=6 gibt es 5 Möglichkeiten, nämlich (1,5),(2,4),(3,3),
(4,2),(5,1). Ich möchte nur die Anzahl wissen, nicht die Möglichkeiten
selbst. Auc möchte ich es berechnen können und durch auflisten aller
Möglichkeiten erfarhen.
Gibt es dafür eine Formel?
thomas

[Horst Kraemer]

Post by Thomas Wassong
Ich habe das Problem, dass ich k Würfel habe und wissen möchte, wieviele
Möglichkeiten es gibt, mit allen diesen k Würfeln die Augensumme N zu
würfeln.
Z.B. für k=2 und N=6 gibt es 5 Möglichkeiten, nämlich (1,5),(2,4),(3,3),
(4,2),(5,1). Ich möchte nur die Anzahl wissen, nicht die Möglichkeiten
selbst. Auc möchte ich es berechnen können und durch auflisten aller
Möglichkeiten erfarhen.
Gibt es dafür eine Formel?

Anzahl = "N-1 ueber k-1"

[unknown]

Post by Thomas Wassong
Hallo,
Ich habe das Problem, dass ich k Würfel habe und wissen möchte, wieviele
Möglichkeiten es gibt, mit allen diesen k Würfeln die Augensumme N zu
würfeln.
Z.B. für k=2 und N=6 gibt es 5 Möglichkeiten, nämlich (1,5),(2,4),(3,3),
(4,2),(5,1). Ich möchte nur die Anzahl wissen, nicht die Möglichkeiten
selbst. Auc möchte ich es berechnen können und durch auflisten aller
Möglichkeiten erfarhen.
Gibt es dafür eine Formel?
thomas

Einfacher wird das Problem, wenn die Würfel Augenzahlen von 0 bis 5 haben.
Nun müssen einfach N-k Augen auf die k Würfel verteilt werden (n-k , da beim
Zählen von 0 bis 5 jeder Würfel ein Auge weniger hat).
Die Anzahl Möglichkeiten können wie folgt gezählt werden: Man stelle sich
vor, man hat die N-k Augen und k-1 Trennstriche. Diese "Bausteine" können in
beliebiger Reihenfolge auf N-1 Plätzen verteilt werden. Dann sind die Anzahl
Augen zwischen den Trennstrichen jeweils die Anzahl Augen eines Würfels (0 -
5).
Die Anzahl Möglichkeiten ist also "(N-1) tief (k-1)".
Doch das eigentliche Problem stellt sich erst jetzt: Es werden auch die
Möglichkeiten mitgezählt, bei denen zwischen zwei Trennstrichen 6 oder mehr
Augen liegen. Diese Möglichkeien müssen noch abgezogen werden.

Ist aber N <= 6, dann ist die Lösung (N-1) tief (k-1)

Andreas

[Horst Kraemer]

Post by Thomas Wassong
Hallo,
Ich habe das Problem, dass ich k Würfel habe und wissen möchte, wieviele
Möglichkeiten es gibt, mit allen diesen k Würfeln die Augensumme N zu
würfeln.
Z.B. für k=2 und N=6 gibt es 5 Möglichkeiten, nämlich (1,5),(2,4),(3,3),
(4,2),(5,1). Ich möchte nur die Anzahl wissen, nicht die Möglichkeiten
selbst. Auc möchte ich es berechnen können und durch auflisten aller
Möglichkeiten erfarhen.
Gibt es dafür eine Formel?

Ja. Es gibt eine scheusslich komplizierte Formel. Die mathematische
Beschreibung ist allerdings einfach:

Die Anzahl der Moeglichkeiten, mit k 6-seitigen Wuerfeln die Summe n
zu erreichen, ist der Koeffizient von x^n des Polynoms

(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^k

Beispiel fuer k=2

(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2

Ergibt die Koeffizientenfolge (von x^2 bis x^12)

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Mit etwas Arbeit kann man sich auch eine Liste fuer k=1 bis zu irgend
einer Obergrenze erstellen:

Die Zeile fuer k=1 (n>=1) lautet

1 1 1 1 1 1

Die jeweils naechste Zeile erhaelt man, wenn man die vorige Zeile 6
mal jeweils um eine Position versetzt darunter schreibt und die 6
versetzten Zeilen addiert

1 1 1 1 1 1
--------------------
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
--------------------------------------
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
--------------------------------------
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
--------------------------------------------------------
1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
--------------------------------------------------------

etc. Fuer Excel-Fans kein Problem ;-)

[Hugo Pfoertner]

Post by Thomas Wassong
Hallo,
Ich habe das Problem, dass ich k Würfel habe und wissen möchte, wieviele
Möglichkeiten es gibt, mit allen diesen k Würfeln die Augensumme N zu
würfeln.
Z.B. für k=2 und N=6 gibt es 5 Möglichkeiten, nämlich (1,5),(2,4),(3,3),
(4,2),(5,1). Ich möchte nur die Anzahl wissen, nicht die Möglichkeiten
selbst. Auc möchte ich es berechnen können und durch auflisten aller
Möglichkeiten erfarhen.
Gibt es dafür eine Formel?
thomas

Ja, leider keine sehr einfache. Alles was Du dazu wissen willst, steht
auf

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

Hugo

[Alessandro Macrì]

Post by Thomas Wassong
Hallo,
Ich habe das Problem, dass ich k W=FCrfel habe und wissen m=F6chte, wievi=

ele

Post by Thomas Wassong
M=F6glichkeiten es gibt, mit allen diesen k W=FCrfeln die Augensumme N zu
w=FCrfeln.
[...]
Gibt es daf=FCr eine Formel?

F=FCr sechsseitige W=FCrfel habe ich noch was in meinem kleinen Archiv gefu=
nden,
was von der Idee her aber auch auf andere Augenzahlen verallgemeinbar sein
sollte. Korrektheit habe ich nicht ger=FCft, mir hat nur die Idee gefallen =
:-)

From: ***@regent.e-technik.tu-muenchen.de (Hans Ranke)
Newsgroups: de.rec.spiele.rpg.misc
Subject: Re: Mathematisches Problem: Wuerfelwahrscheinlichkeiten ?
Date: 10 Jul 1998 13:34:27 GMT

Post by Thomas Wassong
Ich bilde die Summe ueber einen Wurf mit mehreren sechs-seitigen Wuerfeln
und moechte die Wahrscheinlichkeit fuer eine bestimmte Zahl wissen.

Es sei k die Zahl der Wuerfel und r die Augenzahl, deren Wahrscheinlichkeit
gesucht wird. pi =3D 3.14159.... Es sei N eine beliebige natuerliche Zahl >=
5*k

t :=3D 2*r - 7*k

F(f) :=3D (cos(pi*f/N) + cos(3*pi*f/N) + cos(5*pi*f/N)) ^ k

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann

1/(2*N*(3^k)) * Summe ( F(f) * cos(pi*f*t/N) )
=09=09f=3D0..2*N-1

Den Beweis spare ich mir jetzt.
Die Grundidee: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion beim Wurf von k Wuerfeln
ergibt sich, wenn man die Wahrscheinlichkeitsfunktion fuer einen Wuerfel k
mal mit sich selber faltet. Und falten kann man bekanntlich am besten im
Frequenzbereich. Ich habe hier die diskrete Fouriertransformation verwendet=
=2E
Um die Sache etwas zu vereinfachen, habe ich die
Wahrscheinlichkeitsfunktionen so verschoben, dass sie symmetrisch zum
Ursprung liegen (das macht die Definition von t), dadurch bleiben mir die
komplexen Zahlen erspart.

Gruss, Hans

--=20
Alessandro Macr=EC "panta rhei" (Heraklit)
Tel [phone] ***@ifi.lmu.de
Fax [phone] http://www.ifi.lmu.de/~macri
LMU M=FCnchen, LFE Bioinformatik, Amalienstr. 17, 80333 M=FCnchen, Zi. 20=
1

[Thomas Wassong]

Vielen Dank für die Antworten.
Für meine Berechnungen war es zu kompliziert. Ich habe es dann durch
Abzählen gelöst.
thomas

Post by Thomas Wassong
Hallo,
Ich habe das Problem, dass ich k Würfel habe und wissen möchte, wieviele
Möglichkeiten es gibt, mit allen diesen k Würfeln die Augensumme N zu
würfeln.
Z.B. für k=2 und N=6 gibt es 5 Möglichkeiten, nämlich (1,5),(2,4),(3,3),
(4,2),(5,1). Ich möchte nur die Anzahl wissen, nicht die Möglichkeiten
selbst. Auc möchte ich es berechnen können und durch auflisten aller
Möglichkeiten erfarhen.
Gibt es dafür eine Formel?
thomas