Bijektion zwischen zwei Überabzählbaren Mengen?

[Jens Müller]

Hallo,

gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?

Danke!

[Andreas Barth]

Post by Jens Müller
gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?

Du meinst eine allgemeine Bijektion, also z.B. x->x+1? Oder sind auch
noch Morphismen gewünscht?


Viele Grüße,
Andi

[Rainer Willis]

Post by Jens Müller
Hallo,
gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?
Danke!

Sicher gibt's die. Man kann z.B. alle reelen Zahlen auf das Intervall
[0..1] oder dieses auf auf das kartesische Produkt [0..1] x [0..1]
bijektiv abbilden.

Gruß Rainer

[Rainer Willis]

Post by Rainer Willis

Post by Jens Müller
Hallo,
gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?
Danke!

Sicher gibt's die. Man kann z.B. alle reelen Zahlen auf das Intervall

Typo: reellen Zahlen

Post by Rainer Willis
[0..1] oder dieses auf auf das kartesische Produkt [0..1] x [0..1]
bijektiv abbilden.

Gruß Rainer

[Detlef Müller]

Post by Rainer Willis

Post by Jens Müller
Hallo,
gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?
Danke!

Sicher gibt's die. Man kann z.B. alle reelen Zahlen auf das Intervall
[0..1] oder dieses auf auf das kartesische Produkt [0..1] x [0..1]
bijektiv abbilden.

Um ein etwas weniger Trickreiches Beispiel zu nennen:

Bilde die Reellen Zahlen in die Reellen Zahlen ab
mittels der identischen Abbildung.

Gruß,
Detlef

[Peter Niessen]

Post by Jens Müller
Hallo,
gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?

Falsche Frage
Trivial ist ja wohl dass sich jede Menge auf sich selbst bijektiv zuordnen
lässt, womit obiges ja schon beantwortet ist. Überlege dir deine Frage mal
genauer.

[Jens Müller]

Post by Peter Niessen
Trivial ist ja wohl dass sich jede Menge auf sich selbst bijektiv zuordnen
lässt, womit obiges ja schon beantwortet ist. Überlege dir deine Frage mal
genauer.

Ja richtig. Gemeint waren unterschiedliche Mengen, oder gar eine
Bijektive Abbildung zwischen zwei überabzählbaren Mengen A und B, wobei
A Teilmenge von B ist.
Beides scheint laut Rainer möglich zu sein.

[Holger Walliser]

Hallo Jens

Post by Jens Müller

Post by Peter Niessen
Trivial ist ja wohl dass sich jede Menge auf sich selbst bijektiv zuordnen
lässt, womit obiges ja schon beantwortet ist. Überlege dir deine Frage mal
genauer.

Ja richtig. Gemeint waren unterschiedliche Mengen, oder gar eine
Bijektive Abbildung zwischen zwei überabzählbaren Mengen A und B, wobei
A Teilmenge von B ist.
Beides scheint laut Rainer möglich zu sein.

und sogar dafür kann man relativ leicht beispiele angeben:

Der einfache Teil ist:

arc tan : IR -> ( -pi/2, pi/2 )

ist offenbar eine bijektive Abbildung zwischen den reellen Zahlen und einer
Teilmenge davon!

Wenn man etwas vorsichtig ist, kan man auch eine Bijektion zwischen z.B.
[0,1) und [0,1) x [0,1) finden. Aber das ist schon schwieriger. Ich
empfehle dazu z.B.
http://homepages.upb.de/prefect/math/sets-ch.pdf

Da ist auch erklärt wieso die Potenzmenge immer von größerer Mächtigkeit
ist als die Menge selbst (Cantors Diagonalargument)

Viele Grüße von
Holger

[Peter Niessen]

Post by Jens Müller

Post by Peter Niessen
Trivial ist ja wohl dass sich jede Menge auf sich selbst bijektiv zuordnen
lässt, womit obiges ja schon beantwortet ist. Überlege dir deine Frage mal
genauer.

Ja richtig. Gemeint waren unterschiedliche Mengen, oder gar eine
Bijektive Abbildung zwischen zwei überabzählbaren Mengen A und B, wobei
A Teilmenge von B ist.
Beides scheint laut Rainer möglich zu sein.

OK
Es ist noch viel mehr möglich:
Zuerst sollte man mal sagen was Überabzählbar denn meint.
Das heisst ja nur ganz schlicht zwischen einer solchen Menge Ü und der
Menge der natürlichen Zahlen N existiert keine injektive Abbildung.
Also f:Ü -> N (injektiv) gibt es nicht
Oder f:N -> Ü (surjektiv) gibt es auch nicht.
Aber es gibt durchaus grundverschiedene überabzählbare Mengen die
zueinander bijektiv sind.
Zu dem was Rainer sagt:
Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist, gilt
immer.
Dass dein Wissenstand hier arg mangelhaft ist, ist unübersehbar, aber dass
macht wenig. Du solltest bitte weiterfragen.
Und im Sinne der Wiederbelebung von news:schule.mathematik werde ich ein
X-Post machen. Keine Sorge! Man liest dort mit, und hat ewige Geduld zu
erklären (die hier nicht unbedingt sein muss)

[Jens Müller]

Post by Peter Niessen
Dass dein Wissenstand hier arg mangelhaft ist, ist unübersehbar, aber dass
macht wenig. Du solltest bitte weiterfragen.
Und im Sinne der Wiederbelebung von news:schule.mathematik werde ich ein
X-Post machen. Keine Sorge! Man liest dort mit, und hat ewige Geduld zu
erklären (die hier nicht unbedingt sein muss)

Gut, es geht konkret um die Wahr/Falsch Fragestellung:
"Es gibt eine Bijektion von { L \subseteq {0,1}* | L ist nicht
regulär } nach { L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar}."

Beide Mengen sind überabzählbar, und die zweite Menge müsste in der
ersten enthalten sein.

So kam mir die Frage, wie überhaupt Bijektionen zwischen
überabzählbaren Teilmengen aussehen würden.

Post by Peter Niessen
Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist, gilt
immer.

Wie kann man das begründen? Aber ok, dann ist die Antwort auf obige
Frage "Wahr".

Jens

[Christopher Creutzig]

Post by Jens Müller

Post by Peter Niessen
Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist, gilt
immer.

Wie kann man das begründen? Aber ok, dann ist die Antwort auf obige
Frage "Wahr".

Non sequitur. Was Peter meinte ist, dass es zu jeder unendlichen Menge
U eine echte Teilmenge V von U gibt, die sich bijektiv auf U abbilden
lässt. Das ist die Dedekind-Definition von unendlich. Das bedeutet
selbstverständlich nicht, dass das mit jeder Teilmenge funktioniert. Wie
denn auch, U hat auch endliche Teilmengen.

[Rainer Willis]

Post by Jens Müller

Post by Peter Niessen
Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist, gilt
immer.

Wie kann man das begründen? Aber ok, dann ist die Antwort auf obige
Frage "Wahr".
Jens

Hallo Jens,

es wäre nett, wenn du bei einem Zitat nicht den Autor ausschneidest.

Ansonsten ist das genau die Definition einer unendlichen Menge, und das
gilt für alle unendlichen Mengen: es gibt (mindestens) eine Bijektion
auf eine echte Teilmenge.

Gruß Rainer

[Peter Niessen]

Post by Jens Müller

Post by Peter Niessen
Dass dein Wissenstand hier arg mangelhaft ist, ist unübersehbar, aber dass
macht wenig. Du solltest bitte weiterfragen.
Und im Sinne der Wiederbelebung von news:schule.mathematik werde ich ein
X-Post machen. Keine Sorge! Man liest dort mit, und hat ewige Geduld zu
erklären (die hier nicht unbedingt sein muss)

"Es gibt eine Bijektion von { L \subseteq {0,1}* | L ist nicht
regulär } nach { L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar}."
Beide Mengen sind überabzählbar, und die zweite Menge müsste in der
ersten enthalten sein.
So kam mir die Frage, wie überhaupt Bijektionen zwischen
überabzählbaren Teilmengen aussehen würden.

Also:
Sei eine Menge überhaupt unendlich und dann wieder als einfachtes Beispiel
die natürlichen Zahlen, dann gilt ja ganz offensichtlich das es solch eine
Bijektion gibt.
Ein Beispiel:
2^n ist eine solche Bijektion.
Im Vergleich zur Menge N hat diese Menge arg viele Lücken aber sie ist
bijektiv!
Das kann man mit Engeln (danke an Christoph) viel schöner erzählen:
Jeder Engel hat ein Schild mit einer natürlichen Zahl in der Hand und es
gibt natürlich soviel Engel wie natürliche Zahlen. Nun bitten wir die Engel
auf ihre Schilder das Quadrat (ihrer Zahl) zu schreiben und nun?
Huups! Viele Zahlen sind neuerdings verschwunden aber kein einziger Engel!
Genau dieses ist dann die Folge aus der dekindschen Definiton der
unendlichen Mengen.
Um es dir noch mal zu sagen:
Mache dir nicht den Kopf mit "Überabzählbar" denn das bedeutet nur dass es
in der Tat Mengen gibt die "echt" grösser als die natürlichen Zahlen sind.
Das ist (weil die sind ja schon unendlich viele) sehr verblüffend aber
durchaus richtig.
Gleiche Regeln gelten dann auch bei "grösseren" Mengen.
Nur dass kann man kaum "Im Hieb" erklären. Und man muss nicht nur schwätzen
sondern auch Punkt für Punkt Beweise bringen.
Rom wurde auch nicht an einem Tag gebaut.

[Stefan Kirchner]

Dass dein Wissenstand hier arg mangelhaft ist, ist un=FCbersehbar, aber=

dass

macht wenig. Du solltest bitte weiterfragen.
Und im Sinne der Wiederbelebung von news:schule.mathematik werde ich ei=

n

X-Post machen. Keine Sorge! Man liest dort mit, und hat ewige Geduld zu
erkl=E4ren (die hier nicht unbedingt sein muss)

=20
"Es gibt eine Bijektion von { L \subseteq {0,1}* | L ist nicht regul=E4r =

} nach

{ L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar}."

OK. Eine Aufabe aus der theoretischen Informatik.
Zun=E4chst besteht die Menge {0,1}* aus allen _endlichen_ 0-1-Folgen. Diese=
=20
Menge ist nat=FCrlich abz=E4hlbar, z.B. durch die Bijektion
0 =3D 0
1 =3D 1
00 =3D 2
01 =3D 3
10 =3D 4
11 =3D 5
000 =3D 6
=2E...

Jede endliche Folge entspricht bei dieser Abbildung genau einer=20
nat=FCrlichen Zahl und andersherum wird jeder nat=FCrlichen Zahl genau eine=
=20
endliche 0-1-Folge zugeordnet.

Andere Bijektionen sind nat=FCrlich auch m=F6glich. Hier kommt also nichts=
=20
=FCberabz=E4hlbares vor, wie das Subject zun=E4chst vermuten l=E4=DFt.

Da die beiden angegebenen Mengen nat=FCrlich Teilmengen von {0,1}* sind
und die Menge der nat=FCrlichen Zahlen die "kleinste" unendliche Menge=20
ist, ist damit die *Existenz* einer Bijektion von =20
{ L \subseteq {0,1}* | L ist nicht regul=E4r } -> {0,1}*
und
{ L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar} -> {0,1}*
gesichert. Wie man die Bijektion konkret konstruiert, ist dabei eine=20
andere Frage.

Beide Mengen sind =FCberabz=E4hlbar, und die zweite Menge m=FCsste in der=

ersten

enthalten sein.

Nein, sie sind abz=E4hlbar! "{0,1}*" wird erst =FCberabz=E4hlbar (und ist=
=20
gleichm=E4chtig zu den reellen Zahlen), wenn alle 0-1-Folgen (also=20
insbesondere die unendlichen Folgen) enthalten sind. Ist =FCbrigens eine=20
beliebte =DCbungsaufgabe.



Gru=DF Stefan

[Liane Schulze]

Nein, sie sind abzählbar!

Alles ist abzählbar, die 'Idee' daß

'unendliche Teilmengen unendlicher Mengen' bijektiv abbildbar sind...
ist eine andere Art um auszudrücken 'Unendlichkeit ist weder faßbar
noch quantitativ beschreibbar', mithin eine besonders ausgeklügelte
Weise der weiteren Verblödung seiner selbst sowie der 'Mitmenschen'.

Das Unendliche hat unendliche Teilmengen, na also.

[Christopher Creutzig]

Post by Liane Schulze
Alles ist abzählbar, die 'Idee' daß

Nicht mit der in der Mathematik üblichen Bedeutung des Wortes
„abzählbar“, nein. Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern
ein trivial beweisbarer Satz. Beweis: card(P(N)) > card(N), also
existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.

[Karl Engl]

Christopher Creutzig

Post by Christopher Creutzig

Post by Liane Schulze
Alles ist abzählbar, die 'Idee' daß

Nicht mit der in der Mathematik üblichen Bedeutung des Wortes
„abzählbar“, nein. Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern
ein trivial beweisbarer Satz. Beweis: card(P(N)) > card(N), also
existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.

Das macht uns ja auch so glücklich, daß wir nun Bescheid wissen!

Wir definieren nun, daß unendliche Mengen unendlich viele unendlich mächtige
Teilmengene enthalten, die alle bijektiv aufeinander abbildbar sind.

Damit ist die Unendlichkeit umfassend beschrieben, und wir freuen uns
darüber.

Danke lieber Cantor...

[Rainer Willis]

Post by Karl Engl
Christopher Creutzig

Post by Christopher Creutzig

Post by Liane Schulze
Alles ist abzählbar, die 'Idee' daß

Nicht mit der in der Mathematik üblichen Bedeutung des Wortes
�abzählbar�, nein. Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern
ein trivial beweisbarer Satz. Beweis: card(P(N)) > card(N), also
existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.

Das macht uns ja auch so glücklich, daß wir nun Bescheid wissen!
Wir definieren nun, daß unendliche Mengen unendlich viele unendlich mächtige
Teilmengene enthalten, die alle bijektiv aufeinander abbildbar sind.
Damit ist die Unendlichkeit umfassend beschrieben, und wir freuen uns
darüber.
Danke lieber Cantor...

Gern geschehen!

Georg

[Karl Engl]

Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern ein trivial
beweisbarer Satz.
Beweis: card(P(N)) > card(N), also
existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.

Bei dieser denkwürdigen Gelegenheit und immensen Bereicherung
des Hirninhaltes sei gleich mal daran erinnert, was Penrose feststellt:

"With regard to the size of the infinities that have found value, it is
rather striking that almost none of physical theory seems to need our
going beyond C(= 2^N0), the cardinality of the real-number system R."

wobei sich dann herausstellt, daß er mit almost none genau 'keine' meint.
Cantors geistige Ergüsse des transfiniten unendlichen Zahlensystems ist
also, wie es jemand nannte, 'Hirnwichserei'. Dennoch allen weiterhin
fröhliches Bijektionieren!

_ _
Aus einer Reportage des ÖRR (3SAT) - wiederholte Sendung, Uganda:
dann sagten die Rebellen den 8-10 Jährigen Mädchen, sie sollen mich
zerschneiden, oder sie selbst würden in Stücke geschnitten werden,
die Mädchen schnitten mir dann Ohren, Nase und Lippen ab, bevor
sie begannen, mir alle Finger einzeln abzutrennen. Meine Bitte, mir eine
Hand zum Leben zu lassen übergingen sie...(die Kamera, die vorher
den Kopf des 15 jährigen Jungen mit fehlenden Ohren, Nase und Lippen
zeigte, 'glitt' kurz auf die Stummel der minutiös abgeschnitten Hände).

[Rainer Willis]

Post by Karl Engl

Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern ein trivial
beweisbarer Satz.
Beweis: card(P(N)) > card(N), also
existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.

Bei dieser denkwürdigen Gelegenheit und immensen Bereicherung
"With regard to the size of the infinities that have found value, it is
rather striking that almost none of physical theory seems to need our
going beyond C(= 2^N0), the cardinality of the real-number system R."
wobei sich dann herausstellt, daß er mit almost none genau 'keine' meint.

Und? Was soll Mathematik denn mit der Wirklichkeit zu tun haben? Genau:
nichts. Warum sie darauf anwendbar ist, versteh ich auch nicht.

Mathematiker sind Spielkinder, die mit ihren Bauklötzen herumhantieren.
Kein Physiker ist z.B. auf die Idee gekommen, mit komplexen Zahlen zu
arbeiten, und heute reden sie wie selbstverständlich von imaginären Massen.

Ich vertseh auch das zitierte Argument von Penrose nicht. Wen
interessiert es, dass "almost none of physical theory seems to need our
going beyond C(= 2^N0)" (noch) keine physikalische Bedeutung hat?

Mich nicht.

Gruß Rainer

[Thomas Nordhaus]

Post by Rainer Willis
Ich vertseh auch das zitierte Argument von Penrose nicht. Wen
interessiert es, dass "almost none of physical theory seems to need our
going beyond C(= 2^N0)" (noch) keine physikalische Bedeutung hat?
Mich nicht.

:) :applaus:

[N. H.]

Rainer Willis

Post by Rainer Willis
Ich vertseh

Mich schon.

Ihr dürft natürlich in weiterhin in traumwandlerischer
Selbst- und Fremdverblödung umherwandeln bevor
auch eure Hinrninhalte den Weg der ewigen Verwandlung
gehen. Immerhin bekommen viele ihre systematische
Selbstverblödung vorher bezahlt. Ist ja aber auch Wurst.

[Rainer Willis]

Post by N. H.
Rainer Willis

Post by Rainer Willis
Ich vertseh

Mich schon.

Du verstehst dich? Das ist immerhin ein Anfang.

Post by N. H.
Ihr dürft natürlich in weiterhin in traumwandlerischer
Selbst- und Fremdverblödung umherwandeln bevor
auch eure Hinrninhalte den Weg der ewigen Verwandlung

Ewige Verdammnis? Das ergäbe Sinn. Wie lang sind eigentlich die
Grillzeiten in der Hölle?

Post by N. H.
gehen. Immerhin bekommen viele ihre systematische
Selbstverblödung vorher bezahlt.

Das Geld brauchen wir auch ...

Post by N. H.
Ist ja aber auch Wurst.

... um uns ausreichend mit Fleischprodukten zu versorgen.

Gruß Rainer

[Herbert Kurze]

Post by Rainer Willis
Das Geld brauchen wir auch ...

Stell dir einfach eine Bijektion einer Teilmenge einer unendlich mächtigen
Menge
auf diese Menge selbst vor, dann erlebst du echte Genialität, besser als
Geld.

[Christopher Creutzig]

Post by Herbert Kurze
Stell dir einfach eine Bijektion einer Teilmenge einer unendlich mächtigen
Menge
auf diese Menge selbst vor, dann erlebst du echte Genialität, besser als
Geld.

So etwa n -> n/2 als Bijektion der geraden auf die ganzen Zahlen? Was
ist daran genial?

[Rainer Willis]

Post by Herbert Kurze

Post by Rainer Willis
Das Geld brauchen wir auch ...

Stell dir einfach eine Bijektion einer Teilmenge einer unendlich mächtigen
Menge
auf diese Menge selbst vor, dann erlebst du echte Genialität, besser als
Geld.

Nö, wenn ich das mit Geld machen könnte...

http://www.mathematik.hu-berlin.de/~neukirch/Banach_Tarski.pdf

...würd ich nur noch Geldscheine zerschnippeln und wär bald ziemlich reich.


Gruß Rainer

[N. H.]

Rainer

Wen interessiert es

Immerhin waren die meisten der führenden Mathe-Spinner
ALLESAMT ein Fall für die Klappse: verblödete Idioten,
sie sich meist oder oft selbst umgebracht haben um den
entsetzlichen Grad ihrer Verblödung anzuzeigen.

Aber so lange das von der Obrigkeit gut bezahlt wird, ist
Verständnis natürlich kontraproduktiv.

Es ist solange auch ein Affront, zu fragen, ob etwas Sinn macht oder nicht.

Fröhliche weitere Selbstverblödung wünscht euer Jesus.

[Karl Heinze]

On Sun, 30 Sep 2007 06:30:16 +0200, Rainer Willis

Post by Karl Engl
"With regard to the size of the infinities that have found value, it is
rather striking that almost none of physical theory seems to need our
going beyond c (= 2^N_0), the cardinality of the real-number system R."

Ich vertseh auch das zitierte Argument von Penrose nicht. [...]

Nun, man wird den Gedanken (der ja offenbar so falsch nicht ist)
zumindest _aussprechen_ dürfen, meinst Du nicht auch?

Immerhin kann man anmerken, dass die Mengenlehre (also die mathem.
Theorie, in der auf natürliche Weise (Mengen mit) Mächtigkeiten größer
also c auftreten) einen wesentlichen Beitrag leistet zur "Begründung"
der klassischen Analysis (also auch der reellen Zahlen).


K. H.

[Karl Heinze]

On Sun, 30 Sep 2007 14:30:19 +0200, Karl Heinze <***@invalid>
wrote:

Typo...

Post by Karl Heinze
Immerhin kann man anmerken, dass die Mengenlehre (also die mathem.
Theorie, in der auf natürliche Weise (Mengen mit) Mächtigkeiten größer
als c auftreten) einen wesentlichen Beitrag leistet zur "Begründung"
~~~~~
der klassischen Analysis (also auch der reellen Zahlen).

K. H.

[Joachim Mohr]

Post by Liane Schulze
'unendliche Teilmengen unendlicher Mengen' bijektiv abbildbar sind...
ist eine andere Art um auszudrücken 'Unendlichkeit ist weder faßbar
noch quantitativ beschreibbar'

Mengenlehre, wie sie Mathematiker beschreiben,
ist syntaktischer Natur.

Siehe Definition der "Unendlichkeit" einer Menge:

"M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
auf eine echte Teilmenge von M".

Darauf kann man eine deduktive Theorie entwickeln.
Du meinst nun: "Das hat was zu bedeuten!" und "wenn ja,
dann ist es Blödsinn".

Es ist wie beim Schachspiel (die Idee stammt von
Ludwig Wittgenstein). Zu wissen, wie eine Definition
gebraucht wird, ist so, wie zu wissen, wie man eine
Schachfigur bewegen kann.

Mehr nicht!!

Laß die Semantik (die Lehre von den Bedeutungen)
bitte aus dem Spiel und damit auch deine Polemik!

"Worüber man nicht reden kann, darüber muß man
schweigen."

MFG Joachim

[Karl Engl]

Joachim Mohr

Post by Joachim Mohr
"M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
auf eine echte Teilmenge von M".

M ist unendlich wenn M unendlich viele unendlich mächtige Teilmengen
enthält.

Ihr dürft mir nun die Fields-Medaille verleihen und diesen Satz per
Raumsonde in das Zentrum unserer schönen Heimatgalaxis schicken.

[Peter Niessen]

Post by Joachim Mohr
Joachim Mohr

Post by Joachim Mohr
"M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
auf eine echte Teilmenge von M".

M ist unendlich wenn M unendlich viele unendlich mächtige Teilmengen
enthält.
Ihr dürft mir nun die Fields-Medaille verleihen und diesen Satz per
Raumsonde in das Zentrum unserer schönen Heimatgalaxis schicken.

Dedekind verlangt erheblich weniger!
Deine Behauptung könnte man Beweisen und erst danach bekommst du den Preis!

[papahuhn]

Post by Joachim Mohr
"M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
auf eine echte Teilmenge von M".

Wie "schwierig" ist es, basierend auf dieser Definition, zu zeigen, dass
jede überabzählbare Menge auch unendlich ist? Mir fällt im Augenblick
nur eine Methode ein, die den Wohlordnungsatz und somit das Auswahlaxiom
benutzt. Gehts eventuell auch ohne?

[Peter Niessen]

Post by papahuhn

Post by Joachim Mohr
"M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
auf eine echte Teilmenge von M".

Wie "schwierig" ist es, basierend auf dieser Definition, zu zeigen, dass
jede überabzählbare Menge auch unendlich ist? Mir fällt im Augenblick
nur eine Methode ein, die den Wohlordnungsatz und somit das Auswahlaxiom
benutzt. Gehts eventuell auch ohne?

Witzige Frage
Bedenke doch mal was diese Sätze besagen. Und AC brauchst du dafür schon
mal gar nicht.

[Peter Niessen]

Post by Joachim Mohr

Post by Liane Schulze
'unendliche Teilmengen unendlicher Mengen' bijektiv abbildbar sind...
ist eine andere Art um auszudrücken 'Unendlichkeit ist weder faßbar
noch quantitativ beschreibbar'

Mengenlehre, wie sie Mathematiker beschreiben,
ist syntaktischer Natur.

Nur syntaktisch?
Das ist ja wohl ein wenig mehr. Es ist ja ein "Denkgebäude" das 2000 Jahre
angebelich nicht denkbarerer Dinge mal kurz und knapp über den Haufen
wirft. Die ML ist genauso wie Relativitätstheorie und Quantentheorie eine
Revolution im Denken. All diese Mühseligkeiten was denn ein Differential
sein soll (Division unendlich kleiner Grössen?) und vieles mehr, löst sich
schlicht in Wohlgefallen auf.

Post by Joachim Mohr
"M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
auf eine echte Teilmenge von M".

Über die Definition kann man streiten, aber sie zeigt eine verblüffende
Eigenschaft dieser neuen Mathematik:
In Endlichen ist so etwas völlig verrückt.

Post by Joachim Mohr
Darauf kann man eine deduktive Theorie entwickeln.
Du meinst nun: "Das hat was zu bedeuten!" und "wenn ja,
dann ist es Blödsinn".
Es ist wie beim Schachspiel (die Idee stammt von
Ludwig Wittgenstein). Zu wissen, wie eine Definition
gebraucht wird, ist so, wie zu wissen, wie man eine
Schachfigur bewegen kann.
Mehr nicht!!

Davon halte ich wenig, obwohl axiomatische Mathematik schon eine Art
Schachspiel ist. Aber dann könnte man nicht wie Kantor mal etwas völlig
neues finden.

Post by Joachim Mohr
"Worüber man nicht reden kann, darüber muß man
schweigen."

Ich mag den Wittengenstein nicht :-((

[Jens Müller]

Post by Jens Müller
Beide Mengen sind überabzählbar, und die zweite Menge müsste in der
ersten enthalten sein.

Nein, sie sind abzählbar! "{0,1}*" wird erst überabzählbar (und ist
gleichmächtig zu den reellen Zahlen), wenn alle 0-1-Folgen (also
insbesondere die unendlichen Folgen) enthalten sind.

IMHO nein!
Natürlich ist {0,1}* abzählbar.
Wenn du schaust geht es jedoch um die Mengen aller Teilmengen von
{0,1}*, die dann noch eine bestimmte Bedingung erfüllen.

{ L \subseteq {0,1}* | L ist nicht regulär }

Es gibt überabzählbar viele Sprachen. Wenn du jetzt die abzählbar
unendlichen regulären Sprachen rausnimmst, bleiben noch überabzählbar
viele übrig.

Jens

[Stefan Kirchner]

Post by Jens Müller

Beide Mengen sind =FCberabz=E4hlbar, und die zweite Menge m=FCsste in=

der

Post by Jens Müller

ersten enthalten sein.

Nein, sie sind abz=E4hlbar! "{0,1}*" wird erst =FCberabz=E4hlbar (und i=

st

Post by Jens Müller

gleichm=E4chtig zu den reellen Zahlen), wenn alle 0-1-Folgen (also
insbesondere die unendlichen Folgen) enthalten sind.

=20
IMHO nein!
Nat=FCrlich ist {0,1}* abz=E4hlbar.
Wenn du schaust geht es jedoch um die Mengen aller Teilmengen von {0,1}*,=

die

Post by Jens Müller
dann noch eine bestimmte Bedingung erf=FCllen.
=20
{ L \subseteq {0,1}* | L ist nicht regul=E4r }
=20
Es gibt =FCberabz=E4hlbar viele Sprachen. Wenn du jetzt die abz=E4hlbar u=

nendlichen

Post by Jens Müller
regul=E4ren Sprachen rausnimmst, bleiben noch =FCberabz=E4hlbar viele =FC=

brig.

Sorry, Du hast nat=FCrlich recht, ich h=E4tte aufmerksamer lesen sollen.

F=FCr die Menge { L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar} gilt dann das=
=20
gleiche, schlie=DFlich sind auch die entscheidbaren Sprachen abz=E4hlbar.=
=20

Entfernst Du aus einer =FCberabz=E4hlbaren Menge eine abz=E4hlbare Menge, s=
o=20
=E4ndert sich die M=E4chtigkeit dieser Menge nicht. Damit sind dann auch di=
e=20
beiden betrachteten Mengen gleichm=E4chtig.


Gru=DF Stefan

[Robin Koch]

Post by Jens Müller

Post by Peter Niessen
Dass dein Wissenstand hier arg mangelhaft ist, ist unübersehbar, aber dass
macht wenig. [...]

[...]

Post by Jens Müller

Post by Peter Niessen
Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist, gilt
immer.

Wie kann man das begründen? Aber ok, dann ist die Antwort auf obige
Frage "Wahr".

Wen zum Teufel zitierst Du hier?

[Jan Fricke]

Post by Jens Müller
Hallo,
gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?

Alle abzählbaren Mengen sind gleichmächtig, d.h. man findet zu je zwei
abzählbar unendlichen Mengen eine Bijektion zwischen beiden.

Überabzählbar bedeutet nur, dass die Mächtigkeit größer ist als die der
natürlichen Zahlen. Es gibt für überabzählbare Mengen wiederum
Abstufungen in der Mächtigkeit. Insbesondere gibt zu jeder Menge eine
Menge mit größerer Mächtigkeit (z.B. die Potenzmenge), mithin keine
größte Mächtigkeit.

Also: es gibt überabzählbare Mengen, die man bijektiv aufeinander
abbilden kann (wie schon genannt z.B. [0,1] und [0,1]x[0,1]), aber auch
welche, wo es nicht geht (z.B. [0,1] und die Menge aller Funktionen
[0,1]->[0,1]).


Viele Grüße Jan

[Jens Voss]

[...] es gibt überabzählbare Mengen, die man bijektiv aufeinander
abbilden kann (wie schon genannt z.B. [0,1] und [0,1]x[0,1]), aber auch
welche, wo es nicht geht (z.B. [0,1] und die Menge aller Funktionen
[0,1]->[0,1]).

Wenn man (wie es ein Prof von mir mal formulierte) so naiv ist, an
das Auswahlaxiom zu glauben, kann man für zwei beliebige Mengen A
und B aber stets entweder eine Injektion A -> B oder eine Injektion
B -> A finden (oder machmal auch beides, woraus dann wiederum die
Existenz einer Bijektion folgt).

Schönen Gruß,
Jens