Archimedische Spirale - Wie Berechnung der Länge?

[Thomas Ronneburger]

Hi newsgroup,

ich schreibe momentan an meiner Diplomarbeit (Thema: Erstellung eines
Kalkulationssystems zur Angebotserstellung) und brauche für die Berechnung
einer Strecke die ein Fräser innerhalb eines Kreises abfährt die exakte
Länge.

Der einfache (aber ungenaue?) Weg wäre die Berechnung der Kreisfläche und
diese dividiert durch die Bahnbreite (in meinem Falle: Fräserdurchmesser),
die der Fräser abfährt.

Da der Fräser aber die Kreisfläche wie eine Spirale abfährt und deren
Abstände zur nächsten Windung gleich sind, dachte ich dafür die
archimedische Spirale als genaueres Verfahren einzusetzen.

Allerdings kommen bei Vergleichsrechnungen erhebliche Abweichungen der
Frässtrecke zustande.
Bsp.: Kreisradius = 500 (mm)
Fräserdurchmesser = 50 (mm) --> Diese Werte stehen im
Kalkulationssystem auch nur zur Verfügung!

Über die Kreisfläche komme ich auf eine Strecke von rund 15707
(mm)
Über die archimedische Spirale auf nur rund 2587 (mm)

Ich vermute mal, das ich mit meinem Verständnis zur archimedischen Spirale
vollkommen falsch liege.

Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale ist r = a * phi.
Ich bin nun davon ausgegangen, dass r der äußere Radius des Kreises ist, a
mein "Spiralabstand" und phi der Bogenwinkel ist, der sich aus r / a ergibt.
Aus diesen Werten ließe sich dann s als Länge der Spirale berechnen.

Wo liegt mein Denkfehler?

Danke für eure Hilfe

Ciao
Thomas

[Jutta Gut]

Post by Thomas Ronneburger
Ich vermute mal, das ich mit meinem Verständnis zur archimedischen Spirale
vollkommen falsch liege.
Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale ist r = a * phi.
Ich bin nun davon ausgegangen, dass r der äußere Radius des Kreises ist, a
mein "Spiralabstand" und phi der Bogenwinkel ist, der sich aus r / a ergibt.
Aus diesen Werten ließe sich dann s als Länge der Spirale berechnen.
Wo liegt mein Denkfehler?

Das ist die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten. r ist dabei der Abstand
eines beliebigen Kurvenpunktes vom Zentrum, phi der Winkel, den die
Verbindung Kurvenpunkt-Zentrum mit der x-Achse einschließt, und a eine
Konstante (siehe http://www.mathe-online.at/galerie/zeich/zeich.html#polar,
Ebene Polarkoordinaten). Die Gleichung sagt also aus, dass der Radius
proportional zum Winkel ist.

Stell dir vor, eine Gerade dreht sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um
den Ursprung, und ein Punkt auf dieser Geraden bewegt sich mit gleichmäßiger
Geschwindigkeit vom Ursprung weg. (So beschreibt Archimedes die Entstehung
der Spirale.) phi ist der Winkel, um den sich die Gerade gedreht hat, und r
der Weg, den der Punkt zurückgelegt hat. a gibt sozusagen die
Geschwindigketi des Punktes an. Nach einer vollen Drehung hat der Punkt vom
Ursprung den Abstand 2*pi*a.

Ich denke, dein Denkfehler ist dir jetzt klar.

Grüße
Jutta

[Thomas Ronneburger]

Hallo Jutta,

danke für deine Antwort.
Das grundlegende Prinzip der Polarkoordinaten war mir schon klar.

Aber laut wikipedia ist "s" doch genau die Länge der Spirale, beginnend von
phi = 0 bis zum Winkel phi bei dem die Spirale das Äußere erreicht.
Verstehst du worauf ich hinaus will? Folglich brauche ich doch phi um die
Anzahl der Umdrehungen bestimmen zu können. Durch die Dicke der Bahnen würde
sich doch dann zwangsläufig die Strecke ergeben.

Wenn ich das falsch sehe, wie kann die Länge, also die Wegstrecke der
Spirale, berechnet werden? (Zur Verfügung habe ich nur den Radius des
Kreises und die Breite der einzelnen Bahnen.)
Bisher konnte mir das noch niemand sagen...

Vielleicht muss ich mir "Über Spiralen" von Archimedes doch etwas genauer
anschauen.

Ciao
Thomas

Post by Jutta Gut

Post by Thomas Ronneburger
Ich vermute mal, das ich mit meinem Verständnis zur archimedischen Spirale
vollkommen falsch liege.
Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale ist r = a * phi.
Ich bin nun davon ausgegangen, dass r der äußere Radius des Kreises ist, a
mein "Spiralabstand" und phi der Bogenwinkel ist, der sich aus r / a ergibt.
Aus diesen Werten ließe sich dann s als Länge der Spirale berechnen.
Wo liegt mein Denkfehler?

Das ist die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten. r ist dabei der
Abstand eines beliebigen Kurvenpunktes vom Zentrum, phi der Winkel, den
die Verbindung Kurvenpunkt-Zentrum mit der x-Achse einschließt, und a eine
Konstante (siehe
http://www.mathe-online.at/galerie/zeich/zeich.html#polar, Ebene
Polarkoordinaten). Die Gleichung sagt also aus, dass der Radius
proportional zum Winkel ist.
Stell dir vor, eine Gerade dreht sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um
den Ursprung, und ein Punkt auf dieser Geraden bewegt sich mit
gleichmäßiger Geschwindigkeit vom Ursprung weg. (So beschreibt Archimedes
die Entstehung der Spirale.) phi ist der Winkel, um den sich die Gerade
gedreht hat, und r der Weg, den der Punkt zurückgelegt hat. a gibt
sozusagen die Geschwindigketi des Punktes an. Nach einer vollen Drehung
hat der Punkt vom Ursprung den Abstand 2*pi*a.
Ich denke, dein Denkfehler ist dir jetzt klar.
Grüße
Jutta

[Jutta Gut]

Post by Thomas Ronneburger
Aber laut wikipedia ist "s" doch genau die Länge der Spirale, beginnend
von phi = 0 bis zum Winkel phi bei dem die Spirale das Äußere erreicht.

Stimmt.

Post by Thomas Ronneburger
Verstehst du worauf ich hinaus will? Folglich brauche ich doch phi um die
Anzahl der Umdrehungen bestimmen zu können. Durch die Dicke der Bahnen
würde sich doch dann zwangsläufig die Strecke ergeben.

Eine Umdrehung = 2*pi.

Post by Thomas Ronneburger
Wenn ich das falsch sehe, wie kann die Länge, also die Wegstrecke der
Spirale, berechnet werden? (Zur Verfügung habe ich nur den Radius des
Kreises und die Breite der einzelnen Bahnen.)

Wenn du den Radius durch die Breite der Bahnen dividierst, erhältst du doch
die Anzahl der Umdrehungen. Jetzt musst du nur noch die Konstante a
bestimmen. Wie gesagt, bei einer Umdrehung wächst r um 2*pi*a. Wenn also d
die Breite einer Bahn ist, dann ist a = d/(2*pi).

Post by Thomas Ronneburger
Vielleicht muss ich mir "Über Spiralen" von Archimedes doch etwas genauer
anschauen.

Lieber nicht - die griechische Ausdrucksweise ist sehr gewöhnungsbedürftig
:-)

Grüße
Jutta

[Thomas Ronneburger]

Hallo Jutta,

Post by Jutta Gut

Post by Thomas Ronneburger
Aber laut wikipedia ist "s" doch genau die Länge der Spirale, beginnend
von phi = 0 bis zum Winkel phi bei dem die Spirale das Äußere erreicht.

Stimmt.

Post by Thomas Ronneburger
Verstehst du worauf ich hinaus will? Folglich brauche ich doch phi um die
Anzahl der Umdrehungen bestimmen zu können. Durch die Dicke der Bahnen
würde sich doch dann zwangsläufig die Strecke ergeben.

Eine Umdrehung = 2*pi.

Post by Thomas Ronneburger
Wenn ich das falsch sehe, wie kann die Länge, also die Wegstrecke der
Spirale, berechnet werden? (Zur Verfügung habe ich nur den Radius des
Kreises und die Breite der einzelnen Bahnen.)

Wenn du den Radius durch die Breite der Bahnen dividierst, erhältst du doch
die Anzahl der Umdrehungen. Jetzt musst du nur noch die Konstante a
bestimmen. Wie gesagt, bei einer Umdrehung wächst r um 2*pi*a. Wenn also d
die Breite einer Bahn ist, dann ist a = d/(2*pi).

Jetzt wo du das sagst, hätte ich eigentlich auch selbst drauf kommen können.
Man brauch sich nur die Spirale mal richtig anschauen.
Phi errechnet sich dann durch: Phi = Anzahl Umdrehungen * 2*pi
Richtig?

Dann kann ich a und phi die Formel für s einsetzen.

Post by Jutta Gut

Post by Thomas Ronneburger
Vielleicht muss ich mir "Über Spiralen" von Archimedes doch etwas genauer
anschauen.

Lieber nicht - die griechische Ausdrucksweise ist sehr gewöhnungsbedürftig
:-)
Grüße
Jutta

Danke dir. Wieder ein Problem gelöst.

Ciao Thomas

[Hendrik van Hees]

Post by Thomas Ronneburger
Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale ist r = a *
phi. Ich bin nun davon ausgegangen, dass r der äußere Radius des
Kreises ist, a mein "Spiralabstand" und phi der Bogenwinkel ist, der
sich aus r / a ergibt. Aus diesen Werten ließe sich dann s als Länge
der Spirale berechnen.

Es ist

x(phi)=a phi (cos phi,sin phi)

Dann rechnest Du

L=int_0^{phiend} dphi sqrt[x'(phi).x'(phi)]

[Peter Niessen]

Post by Thomas Ronneburger
Hi newsgroup,
ich schreibe momentan an meiner Diplomarbeit (Thema: Erstellung eines
Kalkulationssystems zur Angebotserstellung) und brauche für die Berechnung
einer Strecke die ein Fräser innerhalb eines Kreises abfährt die exakte
Länge.
Der einfache (aber ungenaue?) Weg wäre die Berechnung der Kreisfläche und
diese dividiert durch die Bahnbreite (in meinem Falle: Fräserdurchmesser),
die der Fräser abfährt.
Da der Fräser aber die Kreisfläche wie eine Spirale abfährt und deren
Abstände zur nächsten Windung gleich sind, dachte ich dafür die
archimedische Spirale als genaueres Verfahren einzusetzen.
Allerdings kommen bei Vergleichsrechnungen erhebliche Abweichungen der
Frässtrecke zustande.
Bsp.: Kreisradius = 500 (mm)
Fräserdurchmesser = 50 (mm) --> Diese Werte stehen im
Kalkulationssystem auch nur zur Verfügung!
Über die Kreisfläche komme ich auf eine Strecke von rund 15707
(mm)
Über die archimedische Spirale auf nur rund 2587 (mm)
Ich vermute mal, das ich mit meinem Verständnis zur archimedischen Spirale
vollkommen falsch liege.
Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale ist r = a * phi.
Ich bin nun davon ausgegangen, dass r der äußere Radius des Kreises ist, a
mein "Spiralabstand" und phi der Bogenwinkel ist, der sich aus r / a ergibt.
Aus diesen Werten ließe sich dann s als Länge der Spirale berechnen.

Hm
Ich versuche mal folgendes:
Wenn du einmal um den Kreis herumglaufen bist ist der Weg r*2pi
Nun bist du aber nicht so nett und läufst in der Höhe (das wäre eine
Schraube) oder in der Ebene (deine Frage) immer weiter fort. Also wird dein
Weg beim umrunden des Kreises um einen gewissen Faktor P (=Pitch Steigung)
grösser werden. Und damit haben wir obige Formel modulo Faktoren ja schon
gefunden.

[Bastian Erdnuess]

Post by Thomas Ronneburger
Da der Fräser aber die Kreisfläche wie eine Spirale abfährt und deren
Abstände zur nächsten Windung gleich sind, dachte ich dafür die
archimedische Spirale als genaueres Verfahren einzusetzen.
Allerdings kommen bei Vergleichsrechnungen erhebliche Abweichungen der
Frässtrecke zustande.
Bsp.: Kreisradius = 500 (mm)
Fräserdurchmesser = 50 (mm) --> Diese Werte stehen im
Kalkulationssystem auch nur zur Verfügung!

Zunächst. Es gilt: r = 500 mm, d = 50 mm, A = r^2*pi, U = 2*r*pi, a =
d/(2*pi) [in s(.)]

Rechnest du A/d bekommst du 15708,0 mm Weg, den der Fräser zurücklegt.

Rechnest du s(U/d), erhältst du 15729,2 mm Weg. Dabei ist allerdings nun
der Mittelpunkt des Fräsers an dem Radius des Kreises angekommen. Auf
der letzten Kreishälfte hat er dabei etwas außerhalb des Kreises weg
genommen. An der Kreishälfte, die jetzt noch folgen würde, ist ein Teil
der Kreisfläche dagegen noch gar nicht abgefräst worden.

Sinnvoller wäre es, den Fräser nur bis er mit seiner Außenseite am
Kreisradius ankommt auf einer Spirale fahren zu lassen und ihn dann noch
einmal auf einer Kreislinie mit konstantem Radius die Außenseite des
Kreises sauber fräsen zu lassen. Das benötigt etwa einen halben
Kreisumfang mehr Weg. Näherungsweise ergibt sich daher Weg von rund A/d
+ U/2 = 17278,8 mm. Genau kannst du es mit der Formel s(U/d - pi) + U
berechnen und erhältst 17339,0 mm Weg.

Alternativ kannst du den Fräser auch so lange fahren lassen, bis er mit
seiner Innenseite an der Außenseite des Kreises angekommen ist. Dann
berechnet sich der Weg zu s(U/d + pi) = 17339,4 mm.

MfG Bastian

[Thomas Ronneburger]

Hallo Bastian,

danke für deine Überlegungen.

Post by Bastian Erdnuess

Post by Thomas Ronneburger
Da der Fräser aber die Kreisfläche wie eine Spirale abfährt und deren
Abstände zur nächsten Windung gleich sind, dachte ich dafür die
archimedische Spirale als genaueres Verfahren einzusetzen.
Allerdings kommen bei Vergleichsrechnungen erhebliche Abweichungen der
Frässtrecke zustande.
Bsp.: Kreisradius = 500 (mm)
Fräserdurchmesser = 50 (mm) --> Diese Werte stehen im
Kalkulationssystem auch nur zur Verfügung!

Zunächst. Es gilt: r = 500 mm, d = 50 mm, A = r^2*pi, U = 2*r*pi, a =
d/(2*pi) [in s(.)]
Rechnest du A/d bekommst du 15708,0 mm Weg, den der Fräser zurücklegt.

Das war auch mein erster Ansatz. Zur Kontrolle wollte ich eben auch prüfen
inwieweit dieser von der archimedischen Spirale abweicht.

Post by Bastian Erdnuess
Rechnest du s(U/d), erhältst du 15729,2 mm Weg. Dabei ist allerdings nun
der Mittelpunkt des Fräsers an dem Radius des Kreises angekommen. Auf
der letzten Kreishälfte hat er dabei etwas außerhalb des Kreises weg
genommen. An der Kreishälfte, die jetzt noch folgen würde, ist ein Teil
der Kreisfläche dagegen noch gar nicht abgefräst worden.
Sinnvoller wäre es, den Fräser nur bis er mit seiner Außenseite am
Kreisradius ankommt auf einer Spirale fahren zu lassen und ihn dann noch
einmal auf einer Kreislinie mit konstantem Radius die Außenseite des
Kreises sauber fräsen zu lassen. Das benötigt etwa einen halben
Kreisumfang mehr Weg. Näherungsweise ergibt sich daher Weg von rund A/d
+ U/2 = 17278,8 mm. Genau kannst du es mit der Formel s(U/d - pi) + U
berechnen und erhältst 17339,0 mm Weg.
Alternativ kannst du den Fräser auch so lange fahren lassen, bis er mit
seiner Innenseite an der Außenseite des Kreises angekommen ist. Dann
berechnet sich der Weg zu s(U/d + pi) = 17339,4 mm.

Ich denke deinen letzten Lösungsvorschlag (das sollte ja der genaueste von
deinen Lösungen sein) werde ich zusammen mit der Lösung von Jutta zur
archimedischen Spirale prüfen und schauen, wie stark diese voneinander
abweichen.
Man sieht ja schon an deinen verschiedenen Rechnungen, das es da
Abweichungen gibt. Mir kommt es dabei zwar nicht auf den Zehntel Millimeter
an, trotzdem möchte ich meinem Kalkulationssystem so genau wie möglich
rechnen. Immerhin liegen zwischen der ersten und der letzten Lösung rund 1,6
m.
Mal schauen was bei der Spiralrechnung rauskommt.

Post by Bastian Erdnuess
MfG Bastian

Ciao Thomas

[Thomas Ronneburger]

So da bin ich wieder.

Post by Thomas Ronneburger
Hallo Bastian,
danke für deine Überlegungen.

Post by Bastian Erdnuess

Post by Thomas Ronneburger
Da der Fräser aber die Kreisfläche wie eine Spirale abfährt und deren
Abstände zur nächsten Windung gleich sind, dachte ich dafür die
archimedische Spirale als genaueres Verfahren einzusetzen.
Allerdings kommen bei Vergleichsrechnungen erhebliche Abweichungen der
Frässtrecke zustande.
Bsp.: Kreisradius = 500 (mm)
Fräserdurchmesser = 50 (mm) --> Diese Werte stehen im
Kalkulationssystem auch nur zur Verfügung!

Zunächst. Es gilt: r = 500 mm, d = 50 mm, A = r^2*pi, U = 2*r*pi, a =
d/(2*pi) [in s(.)]

Welche Formel meinst du mit s(.). Die zur Berechnung der Bogenlänge der
Spirale?

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
Rechnest du A/d bekommst du 15708,0 mm Weg, den der Fräser zurücklegt.

Das war auch mein erster Ansatz. Zur Kontrolle wollte ich eben auch prüfen
inwieweit dieser von der archimedischen Spirale abweicht.

Post by Bastian Erdnuess
Rechnest du s(U/d), erhältst du 15729,2 mm Weg. Dabei ist allerdings nun

Wie soll ich U/d in die s(.) Gleichung einsetzen? Oder was ist damit
gemeint?
Ist das die Variable phi?

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
der Mittelpunkt des Fräsers an dem Radius des Kreises angekommen. Auf
der letzten Kreishälfte hat er dabei etwas außerhalb des Kreises weg
genommen. An der Kreishälfte, die jetzt noch folgen würde, ist ein Teil
der Kreisfläche dagegen noch gar nicht abgefräst worden.
Sinnvoller wäre es, den Fräser nur bis er mit seiner Außenseite am
Kreisradius ankommt auf einer Spirale fahren zu lassen und ihn dann noch
einmal auf einer Kreislinie mit konstantem Radius die Außenseite des
Kreises sauber fräsen zu lassen. Das benötigt etwa einen halben
Kreisumfang mehr Weg. Näherungsweise ergibt sich daher Weg von rund A/d
+ U/2 = 17278,8 mm. Genau kannst du es mit der Formel s(U/d - pi) + U
berechnen und erhältst 17339,0 mm Weg.

Das gleiche Problem. Ich komm da nicht auf die gleichen Werte. ;-(

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
Alternativ kannst du den Fräser auch so lange fahren lassen, bis er mit
seiner Innenseite an der Außenseite des Kreises angekommen ist. Dann
berechnet sich der Weg zu s(U/d + pi) = 17339,4 mm.

Ebenfalls.

Post by Thomas Ronneburger
Ich denke deinen letzten Lösungsvorschlag (das sollte ja der genaueste von
deinen Lösungen sein) werde ich zusammen mit der Lösung von Jutta zur
archimedischen Spirale prüfen und schauen, wie stark diese voneinander
abweichen.
Man sieht ja schon an deinen verschiedenen Rechnungen, das es da
Abweichungen gibt. Mir kommt es dabei zwar nicht auf den Zehntel Millimeter
an, trotzdem möchte ich meinem Kalkulationssystem so genau wie möglich
rechnen. Immerhin liegen zwischen der ersten und der letzten Lösung rund 1,6
m.
Mal schauen was bei der Spiralrechnung rauskommt.

Also die Strecke der einfachen Spirale (durch Juttas Hilfe) entspricht
15726,49 und hat somit nur eine Abweichung von 1,85 cm zur Berchnung über
die Fläche.
So gravierend ist es dann noch nicht.

Es wäre aber schön, wenn du Bastian, mir nochmal erklären könntest, wie das
mit dem Einsetzen gemeint ist.

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
MfG Bastian

Ciao Thomas

[Bastian Erdnuess]

Post by Thomas Ronneburger

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
Zunächst. Es gilt: r = 500 mm, d = 50 mm, A = r^2*pi, U = 2*r*pi, a =
d/(2*pi) [in s(.)]

Welche Formel meinst du mit s(.). Die zur Berechnung der Bogenlänge der
Spirale?

Die Formel aus Wikipedia:

s(x) = a/2*(ln(sqrt(x^2+1)+x)+x*sqrt(x^2+1))

Post by Thomas Ronneburger

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
Rechnest du A/d bekommst du 15708,0 mm Weg, den der Fräser zurücklegt.

Das war auch mein erster Ansatz. Zur Kontrolle wollte ich eben auch prüfen
inwieweit dieser von der archimedischen Spirale abweicht.

Post by Bastian Erdnuess
Rechnest du s(U/d), erhältst du 15729,2 mm Weg. Dabei ist allerdings nun

Wie soll ich U/d in die s(.) Gleichung einsetzen? Oder was ist damit
gemeint?
Ist das die Variable phi?

Ja.

Post by Thomas Ronneburger

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
der Mittelpunkt des Fräsers an dem Radius des Kreises angekommen. Auf
der letzten Kreishälfte hat er dabei etwas außerhalb des Kreises weg
genommen. An der Kreishälfte, die jetzt noch folgen würde, ist ein Teil
der Kreisfläche dagegen noch gar nicht abgefräst worden.
Sinnvoller wäre es, den Fräser nur bis er mit seiner Außenseite am
Kreisradius ankommt auf einer Spirale fahren zu lassen und ihn dann noch
einmal auf einer Kreislinie mit konstantem Radius die Außenseite des
Kreises sauber fräsen zu lassen. Das benötigt etwa einen halben
Kreisumfang mehr Weg. Näherungsweise ergibt sich daher Weg von rund A/d
+ U/2 = 17278,8 mm. Genau kannst du es mit der Formel s(U/d - pi) + U
berechnen und erhältst 17339,0 mm Weg.

Das gleiche Problem. Ich komm da nicht auf die gleichen Werte. ;-(

Dann schreib, was du gemacht hast. Die Werte scheinen richtig zu sein.
Ohne zu wissen, was du gemacht hast, kann ich dir da kaum weiter helfen.

Post by Thomas Ronneburger

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
Alternativ kannst du den Fräser auch so lange fahren lassen, bis er mit
seiner Innenseite an der Außenseite des Kreises angekommen ist. Dann
berechnet sich der Weg zu s(U/d + pi) = 17339,4 mm.

Ebenfalls.

Post by Thomas Ronneburger
Ich denke deinen letzten Lösungsvorschlag (das sollte ja der genaueste von
deinen Lösungen sein) werde ich zusammen mit der Lösung von Jutta zur
archimedischen Spirale prüfen und schauen, wie stark diese voneinander
abweichen.
Man sieht ja schon an deinen verschiedenen Rechnungen, das es da
Abweichungen gibt. Mir kommt es dabei zwar nicht auf den Zehntel

Millimeter

Post by Thomas Ronneburger
an, trotzdem möchte ich meinem Kalkulationssystem so genau wie möglich
rechnen. Immerhin liegen zwischen der ersten und der letzten Lösung rund

1,6

Post by Thomas Ronneburger
m.
Mal schauen was bei der Spiralrechnung rauskommt.

Die letzten beiden Vorschläge sind gleich genau. Es liegen nur
verschiedene Modelle zur Grundlage.

Post by Thomas Ronneburger
Also die Strecke der einfachen Spirale (durch Juttas Hilfe) entspricht
15726,49 und hat somit nur eine Abweichung von 1,85 cm zur Berchnung über
die Fläche.
So gravierend ist es dann noch nicht.

Scheinbar rundest du recht grob. Auch nach Juttas vorgaben sollten
15729,2 mm herauskommen. Was mich ebenfalls wundert ist, dass du selbst
bei der einfachen Rechnung A/d nur 15707 anstatt 15708 herausbekommst.
Rechnest du mit pi = 3.1414?

Post by Thomas Ronneburger
Es wäre aber schön, wenn du Bastian, mir nochmal erklären könntest, wie das
mit dem Einsetzen gemeint ist.

Wie realistisch soll denn deine Berechnung sein. Wie Peter auch schon
angemerkt hat, kann man praktisch eine Fläche nicht so fräsen, dass der
Abstand der Spuren genau dem Durchmesser des Fräsers entspricht, sondern
mann muss ein klein wenig überlappen. Mach dir auch noch einmal genau
Gedanken, was der Fräser bei Erreichen des äußeren Randes der
Kreisscheibe machen soll. Ich hab dir ja zwei Modelle vorgeschlagen.

[Thomas Ronneburger]

Okay, alles verstanden. Es sind unterschiedliche Ansätze für phi gewesen,
die sich nur in den Annahmen wie der Fräser weiterläuft unterscheiden.
Deswegen kam ich auf andere Werte. Ich rechne deine Vorschläge morgen
nochmal durch, da ich jetzt noch nen Zwischenbericht schreiben muss.
Hab ich dazu Fragen, melde ich mich morgen nochmal.

(Ich stand bei deinem Post generell ein bißchen auf dem Schlauch. Zumal ich
erstmal hinter den Syntax kommen musste.)

Post by Bastian Erdnuess
Scheinbar rundest du recht grob. Auch nach Juttas vorgaben sollten
15729,2 mm herauskommen. Was mich ebenfalls wundert ist, dass du selbst
bei der einfachen Rechnung A/d nur 15707 anstatt 15708 herausbekommst.
Rechnest du mit pi = 3.1414?

Da war ich wohl zu schnell. Richtig ist 15707,9633. Da hatte ich wohl
vergessen die Nachkommastellen mitanzugeben.
Mein Excel-PI ist auch in Ordnung (3,14159265358979). Sorry.

Post by Bastian Erdnuess
Wie realistisch soll denn deine Berechnung sein. Wie Peter auch schon
angemerkt hat, kann man praktisch eine Fläche nicht so fräsen, dass der
Abstand der Spuren genau dem Durchmesser des Fräsers entspricht, sondern
mann muss ein klein wenig überlappen. Mach dir auch noch einmal genau
Gedanken, was der Fräser bei Erreichen des äußeren Randes der
Kreisscheibe machen soll. Ich hab dir ja zwei Modelle vorgeschlagen.

Bahnüberlappung (in meinem Fall 20 %) ist bereits schon berücksichtigt. Auch
wie der Fräser vor der Spirale und danach weiterläuft. Wollte das nur hier
in der Problemstellung außen vor lassen, da es mir primär um die Spirale
ging bzw. wieviel genauer diese im Vergleich zur Flächenberechnung ist.

Danke erstmal für eure rege Beteiligung.

Ciao
Thomas

[Peter Niessen]

Post by Thomas Ronneburger

Post by Bastian Erdnuess
Wie realistisch soll denn deine Berechnung sein. Wie Peter auch schon
angemerkt hat, kann man praktisch eine Fläche nicht so fräsen, dass der
Abstand der Spuren genau dem Durchmesser des Fräsers entspricht, sondern
mann muss ein klein wenig überlappen. Mach dir auch noch einmal genau
Gedanken, was der Fräser bei Erreichen des äußeren Randes der
Kreisscheibe machen soll. Ich hab dir ja zwei Modelle vorgeschlagen.

Bahnüberlappung (in meinem Fall 20 %) ist bereits schon berücksichtigt. Auch
wie der Fräser vor der Spirale und danach weiterläuft. Wollte das nur hier
in der Problemstellung außen vor lassen, da es mir primär um die Spirale
ging bzw. wieviel genauer diese im Vergleich zur Flächenberechnung ist.
Danke erstmal für eure rege Beteiligung.

Überlege dir dass diese Spirale nichts anderes als eine "aufgewickelte"
Gerade ist. Du arbeitest ganz einfach nur in einem anderem
Koordinatensystem. Halt polar statt kartesisch.

[Thomas Ronneburger]

So ich hab jetzt alle Ansätze von Bastian durchgerechnet und komme auf die
gleichen Werte.
Mir war halt am Anfang nur nicht die Berechnung des Bogenwinkels aus den
gegebenen Werten klar.

Ebenfalls hatte ich bei "Juttas" Spiralberechnung einen kleinen Rechenfehler
drin. Stimmt jetzt auch mit dem Wert von Bastian überein.

Post by Peter Niessen
Überlege dir dass diese Spirale nichts anderes als eine "aufgewickelte"
Gerade ist.

Das war die Grundannahme mit deren Hilfe ich auf die Spirale gekommen bin.
Konkret benötige ich für mein Kalkulationssystem die Bearbeitungszeiten, die
sich wiederum aus den jeweiligen Bearbeitungsstrecken und dem Vorschub des
Fräsers ergeben.

Allerdings wenn ich sehe wie minimal der Unterschied, selbst bei großen
Kreisflächen und Fräserdurchmessern, zwischen der Flächenformel und der
archimedischen Spirale ist, frag ich mich, ob sich das lohnt. Vom
Wissenschaftlichen her ist die Berechnung nach Archimedes allerdings weitaus
interessanter und bildet den Bearbeitsschritt tatsächlich ab.

Nochmals vielen Dank für eure Hilfe. Ohne euch hätte ich wahrscheinlich das
nicht bekommen.

Ciao Thomas

[Peter Niessen]

Post by Thomas Ronneburger
Hallo Bastian,
danke für deine Überlegungen.

Post by Bastian Erdnuess

Post by Thomas Ronneburger
Da der Fräser aber die Kreisfläche wie eine Spirale abfährt und deren
Abstände zur nächsten Windung gleich sind, dachte ich dafür die
archimedische Spirale als genaueres Verfahren einzusetzen.
Allerdings kommen bei Vergleichsrechnungen erhebliche Abweichungen der
Frässtrecke zustande.
Bsp.: Kreisradius = 500 (mm)
Fräserdurchmesser = 50 (mm) --> Diese Werte stehen im
Kalkulationssystem auch nur zur Verfügung!

Zunächst. Es gilt: r = 500 mm, d = 50 mm, A = r^2*pi, U = 2*r*pi, a =
d/(2*pi) [in s(.)]
Rechnest du A/d bekommst du 15708,0 mm Weg, den der Fräser zurücklegt.

Das war auch mein erster Ansatz. Zur Kontrolle wollte ich eben auch prüfen
inwieweit dieser von der archimedischen Spirale abweicht.

Post by Bastian Erdnuess
Rechnest du s(U/d), erhältst du 15729,2 mm Weg. Dabei ist allerdings nun
der Mittelpunkt des Fräsers an dem Radius des Kreises angekommen. Auf
der letzten Kreishälfte hat er dabei etwas außerhalb des Kreises weg
genommen. An der Kreishälfte, die jetzt noch folgen würde, ist ein Teil
der Kreisfläche dagegen noch gar nicht abgefräst worden.
Sinnvoller wäre es, den Fräser nur bis er mit seiner Außenseite am
Kreisradius ankommt auf einer Spirale fahren zu lassen und ihn dann noch
einmal auf einer Kreislinie mit konstantem Radius die Außenseite des
Kreises sauber fräsen zu lassen. Das benötigt etwa einen halben
Kreisumfang mehr Weg. Näherungsweise ergibt sich daher Weg von rund A/d
+ U/2 = 17278,8 mm. Genau kannst du es mit der Formel s(U/d - pi) + U
berechnen und erhältst 17339,0 mm Weg.
Alternativ kannst du den Fräser auch so lange fahren lassen, bis er mit
seiner Innenseite an der Außenseite des Kreises angekommen ist. Dann
berechnet sich der Weg zu s(U/d + pi) = 17339,4 mm.

Ich denke deinen letzten Lösungsvorschlag (das sollte ja der genaueste von
deinen Lösungen sein) werde ich zusammen mit der Lösung von Jutta zur
archimedischen Spirale prüfen und schauen, wie stark diese voneinander
abweichen.
Man sieht ja schon an deinen verschiedenen Rechnungen, das es da
Abweichungen gibt. Mir kommt es dabei zwar nicht auf den Zehntel Millimeter
an, trotzdem möchte ich meinem Kalkulationssystem so genau wie möglich
rechnen. Immerhin liegen zwischen der ersten und der letzten Lösung rund 1,6
m.
Mal schauen was bei der Spiralrechnung rauskommt.

Damit du konkrete Werte hast:
Bahnüberlappung 40% (den genauen Wert findest du in den Parametern der
Steuerung)
Am Ende der Spirale wird zusätzlich ein voller Kreisbogen gefahren
Der Rückweg zum Kreismittelpunkt ist ungefähr ein 1/4 Kreisbogen