Cosh - Länge der Kurve!?

[Jens Meier]

Hallo Leute,

sicher ist das für viele von euch sehr leicht.

Wie berechne ich die Kurvenlänge für eine gegebene (einfache) Funktion?
Konkret möchte ich die Kurvenlänge eines cosh(x) von -a bis a berechnen,
also sozusagen die "Weglänge", wenn ich die Kurve zwischen diesen beiden
Punkten "beschreite".

Danke für eure Hilfe!
Jens

[Adrian Vollmer]

Post by Jens Meier
Hallo Leute,
sicher ist das für viele von euch sehr leicht.
Wie berechne ich die Kurvenlänge für eine gegebene (einfache) Funktion?
Konkret möchte ich die Kurvenlänge eines cosh(x) von -a bis a berechnen,
also sozusagen die "Weglänge", wenn ich die Kurve zwischen diesen beiden
Punkten "beschreite".
Danke für eure Hilfe!
Jens

Die Bogenlänge von a bis b bei der Funktion f(x) ist
\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx.
Die Berechnung ist oft ziemlich kompliziert.

[Klaus-R. Loeffler]

Post by Adrian Vollmer

Post by Jens Meier
Hallo Leute,
sicher ist das für viele von euch sehr leicht.
Wie berechne ich die Kurvenlänge für eine gegebene (einfache) Funktion?
Konkret möchte ich die Kurvenlänge eines cosh(x) von -a bis a berechnen,
also sozusagen die "Weglänge", wenn ich die Kurve zwischen diesen beiden
Punkten "beschreite".
Danke für eure Hilfe!
Jens

Die Bogenlänge von a bis b bei der Funktion f(x) ist
\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx.
Die Berechnung ist oft ziemlich kompliziert.

... aber im vorliegenden Fall aufgrund von Ableitung und
Additionseigenschaften der hyperbolischen Funktionen recht einfach, wenn
man erstmal die von dir angegebene Formel kennt.

[Roland Franzius]

Post by Adrian Vollmer

Post by Jens Meier
Hallo Leute,
sicher ist das für viele von euch sehr leicht.
Wie berechne ich die Kurvenlänge für eine gegebene (einfache) Funktion?
Konkret möchte ich die Kurvenlänge eines cosh(x) von -a bis a berechnen,
also sozusagen die "Weglänge", wenn ich die Kurve zwischen diesen beiden
Punkten "beschreite".

Die Bogenlänge von a bis b bei der Funktion f(x) ist
\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx.
Die Berechnung ist oft ziemlich kompliziert.

Aber nicht in diesem Fall, denn 1+f'(x)^2 = cosh^2 x. Die
Kurvenlängenfunkton ist also Sinh x

[Hans Steih]

Post by Jens Meier
Hallo Leute,
sicher ist das für viele von euch sehr leicht.
Wie berechne ich die Kurvenlänge für eine gegebene (einfache) Funktion?
Konkret möchte ich die Kurvenlänge eines cosh(x) von -a bis a berechnen,
also sozusagen die "Weglänge", wenn ich die Kurve zwischen diesen beiden
Punkten "beschreite".

Im Allgemeinen kann die Berechnung von Bogenlaengen ziemlich "eklig"
werden, also auf "nicht-elementare" Integrale fuehren!

In diesem Falle ist es aber wirklich leicht/einfach:

(1) Bogenlaenge = Int_-a_a {(sqrt(1 + (f'(x))^2)) dx}

(2) cosh ist "gerade" => Int_-a_a = 2*Int_0_a

(3) Es gibt analog zum trigonometrischen Pythagoras fuer hyperbolische
Funktionen die Funktionalgleichung (sinh)^2 - (cosh)^2 = -1

Das muesste an Tipps eigentlich reichen!

MfG
Hans

[Jens Meier]

Post by Hans Steih
Im Allgemeinen kann die Berechnung von Bogenlaengen ziemlich "eklig"
werden, also auf "nicht-elementare" Integrale fuehren!
(1) Bogenlaenge = Int_-a_a {(sqrt(1 + (f'(x))^2)) dx}
(2) cosh ist "gerade" => Int_-a_a = 2*Int_0_a
(3) Es gibt analog zum trigonometrischen Pythagoras fuer hyperbolische
Funktionen die Funktionalgleichung (sinh)^2 - (cosh)^2 = -1

Hallo ihr vier!

Gleich vier mal die gleiche Lösung - danke für die Tipps, das ist für's
Erste gelöst.

Nun bin ich aber daraufgekommen, dass meine Funktion nicht ein reiner
cosh(x) ist, sondern die folgende Form hat:
f(x) = a*cosh(x) + b

(a und b Konstanten aus R), wobei die Konstante b für die Zwecke meiner
Berechnung auch gleich Null gesetzt werden kann.

Nun komme ich mit eurem Ansatz zur Berechnung der Bogenlänge für diese
Funktion f(x) auf das Integral
int_a^b{\sqrt{1+a^2*sinh(x)^2}dx}

Und da stehe ich nun an. Wie lässt sich dieses Integral lösen?

Danke nochmal und Grüße,
Jens

[Roland Franzius]

Post by Jens Meier

Post by Hans Steih
Im Allgemeinen kann die Berechnung von Bogenlaengen ziemlich "eklig"
werden, also auf "nicht-elementare" Integrale fuehren!
(1) Bogenlaenge = Int_-a_a {(sqrt(1 + (f'(x))^2)) dx}
(2) cosh ist "gerade" => Int_-a_a = 2*Int_0_a
(3) Es gibt analog zum trigonometrischen Pythagoras fuer hyperbolische
Funktionen die Funktionalgleichung (sinh)^2 - (cosh)^2 = -1

Hallo ihr vier!
Gleich vier mal die gleiche Lösung - danke für die Tipps, das ist für's
Erste gelöst.
Nun bin ich aber daraufgekommen, dass meine Funktion nicht ein reiner
f(x) = a*cosh(x) + b
(a und b Konstanten aus R), wobei die Konstante b für die Zwecke meiner
Berechnung auch gleich Null gesetzt werden kann.
Nun komme ich mit eurem Ansatz zur Berechnung der Bogenlänge für diese
Funktion f(x) auf das Integral
int_a^b{\sqrt{1+a^2*sinh(x)^2}dx}
Und da stehe ich nun an. Wie lässt sich dieses Integral lösen?

Elliptische Integrale. Treten immer auf, wenn man in Integranden die
schönen trigonometrischen Identitäten sin^2+cos^2 =1 erstzen will durch
sin^2 + a^2 cos ^2

[Horst Kraemer]

Post by Jens Meier

Post by Hans Steih
Im Allgemeinen kann die Berechnung von Bogenlaengen ziemlich "eklig"
werden, also auf "nicht-elementare" Integrale fuehren!
(1) Bogenlaenge = Int_-a_a {(sqrt(1 + (f'(x))^2)) dx}
(2) cosh ist "gerade" => Int_-a_a = 2*Int_0_a
(3) Es gibt analog zum trigonometrischen Pythagoras fuer hyperbolische
Funktionen die Funktionalgleichung (sinh)^2 - (cosh)^2 = -1

Hallo ihr vier!
Gleich vier mal die gleiche Lösung - danke für die Tipps, das ist für's
Erste gelöst.
Nun bin ich aber daraufgekommen, dass meine Funktion nicht ein reiner
f(x) = a*cosh(x) + b
(a und b Konstanten aus R), wobei die Konstante b für die Zwecke meiner
Berechnung auch gleich Null gesetzt werden kann.
Nun komme ich mit eurem Ansatz zur Berechnung der Bogenlänge für diese
Funktion f(x) auf das Integral
int_a^b{\sqrt{1+a^2*sinh(x)^2}dx}
Und da stehe ich nun an. Wie lässt sich dieses Integral lösen?

Das Integral laesst sich nicht mehr als endlicher Ausdruck aus den
bekannten "elementaren" Funktionen darstellen - genau so wenig wie die
Stammfunktionen von sin(x)/x oder e^(-x^2).

[Jens Meier]

Post by Horst Kraemer
Das Integral laesst sich nicht mehr als endlicher Ausdruck aus den
bekannten "elementaren" Funktionen darstellen - genau so wenig wie die
Stammfunktionen von sin(x)/x oder e^(-x^2).

Hallo nochmal!

Danke für die Antworten!
Ein elliptisches Integral also - Murphy hat mal wieder zugeschlagen. ;-)

OK, also kein geschlossener Ausdruck. Ich bin aber an einem numerischen Wert
interessiert.
Vielleicht gibt es für dieses Integral eine numerische Approximation!? Z.B.
für das Integral mit den Grenzen von 0 bis zu einem bestimmten Wert c als
Funktion von c!?

Wäre sehr nett, wenn mir jemand dafür einen Tipp geben könnte. Gibt es z.B.
solche Näherungsausdrücke (für elliptische Integrale) in Integraltabellen?

Vielen Dank!
Jens

[Horst Kraemer]

Post by Jens Meier

Post by Horst Kraemer
Das Integral laesst sich nicht mehr als endlicher Ausdruck aus den
bekannten "elementaren" Funktionen darstellen - genau so wenig wie die
Stammfunktionen von sin(x)/x oder e^(-x^2).

Hallo nochmal!
Danke für die Antworten!
Ein elliptisches Integral also - Murphy hat mal wieder zugeschlagen. ;-)
OK, also kein geschlossener Ausdruck. Ich bin aber an einem numerischen Wert
interessiert.
Vielleicht gibt es für dieses Integral eine numerische Approximation!? Z.B.
für das Integral mit den Grenzen von 0 bis zu einem bestimmten Wert c als
Funktion von c!?

Approximieren kannst Du immer. Z.B. indem Du die Taylorreihe der
Funktion

sqrt(1 + a^2*sinh(x)^2)

aufstellst und diese gliedweise integrierst. oder durch Anwendung der
Simpson-Formel.

[Jens Meier]

Post by Horst Kraemer
Approximieren kannst Du immer. Z.B. indem Du die Taylorreihe der
Funktion
sqrt(1 + a^2*sinh(x)^2)
aufstellst und diese gliedweise integrierst. oder durch Anwendung der
Simpson-Formel.

Hallo Horst,

ja, Approximation durch Taylorreihen-Entwicklung und dann die polynomialen
Anteile integrieren geht natürlich immer. Die Frage ist, wie schnell das
Integral konvergiert, ich will ja nicht 100 Glieder der Taylorreihe
entwickeln.

Da ich mathematisch nicht so bewandert bin, freue ich mich immer über auch
für Nicht-Mathematiker nachvollziehbare Erklärungen. Was ist denn die
Simpson-Formel?

Danke und lG,
Jens

[Horst Kraemer]

Post by Jens Meier

Post by Horst Kraemer
Approximieren kannst Du immer. Z.B. indem Du die Taylorreihe der
Funktion
sqrt(1 + a^2*sinh(x)^2)
aufstellst und diese gliedweise integrierst. oder durch Anwendung der
Simpson-Formel.

Hallo Horst,
ja, Approximation durch Taylorreihen-Entwicklung und dann die polynomialen
Anteile integrieren geht natürlich immer. Die Frage ist, wie schnell das
Integral konvergiert, ich will ja nicht 100 Glieder der Taylorreihe
entwickeln.
Da ich mathematisch nicht so bewandert bin, freue ich mich immer über auch
für Nicht-Mathematiker nachvollziehbare Erklärungen. Was ist denn die
Simpson-Formel?

Die Simspon-Regel ist eine Methode zur Berechnung eines bestimmten
Integrals. Man teilt das Intervall [a,b] in N Teilintervalle gleicher
Laenge h auf (N gerade), berechnet die Funktionswerte y_i = f(a+i*h),
i=0,1,..,N

Da lautet ein Naeherungswert fuer das Integral

I = (f_0 + 4*f_1 + 2*f_2 + 4*f_3 +...+ 4*f_{N-1}+f_N) *h/3

(Die Randpunkte haben den Faktor 1 und dazwischen lautet die
Faktorfolge 424242....24)

Mathematisch gesehen wird dabei die Kurve zwischen zwei Punkten mit
geraden Nummern jweils durch einen Parabelbogen ersetzt, der durch die
Randpunkte und den Zwischenpunkt geht und das Integral durch das
Integral ueber eine aus Parabelstuecken zusammengestzte Kurve
berechnet.

[Jens Meier]

Post by Horst Kraemer
Die Simspon-Regel ist eine Methode zur Berechnung eines bestimmten
Integrals. Man teilt das Intervall [a,b] in N Teilintervalle gleicher
Laenge h auf (N gerade), berechnet die Funktionswerte y_i = f(a+i*h),
i=0,1,..,N
Da lautet ein Naeherungswert fuer das Integral
I = (f_0 + 4*f_1 + 2*f_2 + 4*f_3 +...+ 4*f_{N-1}+f_N) *h/3
(Die Randpunkte haben den Faktor 1 und dazwischen lautet die
Faktorfolge 424242....24)
Mathematisch gesehen wird dabei die Kurve zwischen zwei Punkten mit
geraden Nummern jweils durch einen Parabelbogen ersetzt, der durch die
Randpunkte und den Zwischenpunkt geht und das Integral durch das
Integral ueber eine aus Parabelstuecken zusammengestzte Kurve
berechnet.

OK, vielen Dank für die Erklärung.
Die Formel scheint simpel zu implementieren zu sein und wird für meine
Absichten den Zweck erfüllen!

Danke nochmal,
Jens