Untergruppen der Ordnung 8 von S4

[Florian Wittke]

Hallo zusammen,

ich habe eim Rahmen der Galoistheorie eine frage bezüglich von Untergruppen:

nach den Sylow-Sätzen ist eine Untergruppe der Ordnung 8 von S4 ein
2-Sylow Gruppe. Derer gibt es dann 3 in S4. Die sollen aber angeblich
alle isomorph sein zu D4 (Diedergruppe).
Kann man das mit wenig aufwand begründen? Stimmt das überhaupt so?
Kann man diese Aussage evtl. auch für andere Sylow Gruppen verallgemeineren?

viele grüße

florian

[Michael Lange]

Hallo Florian,

Post by Florian Wittke
Hallo zusammen,
nach den Sylow-Sätzen ist eine Untergruppe der Ordnung 8 von S4 ein
2-Sylow Gruppe. Derer gibt es dann 3 in S4. Die sollen aber angeblich
alle isomorph sein zu D4 (Diedergruppe).

Nun, dass alle isomorph zu D_4 sind, habe ich mir noch nicht klar gemacht.

Post by Florian Wittke
Kann man das mit wenig aufwand begründen? Stimmt das überhaupt so?

Ob isomorph zu D_4, weiß ich nicht (s.o.). Aber dass sie untereinander
isomorph sind, ist ein Ergebnis der Sylowschen Theorien (Folgerung aus dem
2. Sylowschen Satz, s. z.B. Meyberg).

Post by Florian Wittke
Kann man diese Aussage evtl. auch für andere Sylow Gruppen
verallgemeineren?

Woran denkst Du da genau?

Mfg Michael

[Jens Voss]

Post by Florian Wittke
nach den Sylow-Sätzen ist eine Untergruppe der Ordnung 8 von S4 ein
2-Sylow Gruppe. Derer gibt es dann 3 in S4. Die sollen aber angeblich
alle isomorph sein zu D4 (Diedergruppe).
Kann man das mit wenig aufwand begründen?

Aber hallo: Die Diedergruppe D_4 (mache Leute schreiben auch D_8 dafür)
wird häufig gerade definiert als Automorphismengruppe eines regulären
4-Ecks. Es ist ziemlich leicht einzusehen, dass ein Element dieser
Gruppe genau durch die Permutation der 4 Ecken definiert ist; somit
ist eine D_4 offensichtlich isomorph zu einer Untergruppe der S_4.

Und dass das dann auch für alle anderen 2-Sylowgruppen gilt, folgt
natürlich mit dem Satz von Sylow.

BTW: Für die Untergruppen der Ordnung 4 in der S_4 gilt so etwas nicht;
hier gibt es zwei verschiedene Isomorphietypen (und drei verschiedene
Konjugiertenklassen).

Schönen Gruß,
Jens