Discussion:
Hütchen-Spiel
(zu alt für eine Antwort)
Ganzhinterseher
2020-04-05 11:58:01 UTC
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Cantors Aussage *könnte* also mit dieser Definition ohne
zusätzliche Erweiterung stimmen, auch wenn mir nicht klar
ist, was Cantor mit "Umformungen, die die Anzahl nicht ändern"
Er meint Transpositionen zweier Elemente, die die Ordinalzahl der Menge nicht ändern.

Wenn Ord_A zu Ord_Z wird, so wäre das falsch, jedenfalls ohne dunkle Zahlen.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-04-05 12:12:24 UTC
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Ich fragte nach einem Zitat von Cantor, der schließlich die
Ordnungszahlen erfunden hat

die leider in seinem Sinne scheitern.
Was davon zu retten ist, kann man überlegen, nachdem man ...
Ich stelle fest, dass Du nicht verstanden hast, was eine Ordnungszahl
ist.

Dermaßen blöde, dieses simple Zeug nicht zu verstehen, kann wohl keiner sein. Ich bin es jedenfalls nicht.
Richtig, Cantors Aussagen auf den Seiten 214 und 389 sind
unmissverständlich.
Aber Du hast es geschafft, sie doch misszuverstehen. Gratuliere!
Ich glaube eher, dass Du sie missverstehst, denn Transposition bedeutet Vertauschung, nicht wegzaubern. Im Übrigen könnte man auch alle Zahlen, die nicht durch 10^1000000000000 teilbar sind, wegzaubern. Das würde ein schlechtes Licht im Grenzfalle von Nummerierungen anderer unendlicher Mengen liefern. Aber daran wagst Du wohl gar nicht zu denken ?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-04-05 13:16:25 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Dermaßen blöde, dieses simple Zeug nicht zu verstehen, kann wohl keiner sein. Ich bin es jedenfalls nicht.
Anscheinend doch, und SIE beweisen das mit *jedem* IHRER Beitraege ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Rainer Rosenthal
2020-04-05 13:26:07 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Ich stelle fest, dass Du nicht verstanden hast, was eine Ordnungszahl
ist.
Dermaßen blöde, dieses simple Zeug nicht zu verstehen, kann wohl keiner sein. Ich bin es jedenfalls nicht.
Dann beantworte doch bitte drei einfache Fragen.
Frage 1: Hat die geordnete Menge Ord_A = [1,2,3,...] die Ordnungszahl omega?
Frage 2: Hat die geordnete Menge Ord_Z = [2,3,4,...,1] die Ordnungszahl
omega+1?
Frage 3: Ist Ord_A = Ord_Z?

Gruß,
RR
Me
2020-04-05 13:56:37 UTC
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On Sunday, April 5, 2020 at 3:26:16 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

Bei Dir geraten die Dinge nun auch langsam durcheinander.
Post by Rainer Rosenthal
Dann beantworte doch bitte drei einfache Fragen.
Frage 1: Hat die geordnete Menge Ord_A = [1,2,3,...]
MOMENT. Ich dachte bisher, dass Ord_A bzw. [1,2,3,...] eine ORDNUNG ist, also ein Menge von geordneten Paaren {(1,2), (1,3), ..., (2,3), (2,4), ...} und nicht eine GEORDNETE MENGE, also (IN, {(1,2), (1,3), ..., (2,3), (2,4), ...}). Das sollte man eigentlich -anders als WM- unterscheiden können.

Hinweis: Wenn man die ORDNUNG so anschreibt:

< = [1,2,3,...] = Ord_A

könnte man die geordnete Menge so anschreiben:

{1 < 2 < 3 < ...} .
Post by Rainer Rosenthal
Frage 2: Hat die geordnete Menge Ord_Z = [2,3,4,...,1]
Analog ist die Ordnung hier:

< = [2,3,4...,1] = Ord_Z

und dann die (entsprechende) geordnete Menge:

{2 < 3 < 4 ... < 1} .
Post by Rainer Rosenthal
Frage 3: Ist Ord_A = Ord_Z?
Offenbar nicht. Aber vermutlich wolltest Du fragen:

ord({1 < 2 < 3 < ...}) = ord({2 < 3 < 4 ... < 1}) .
Me
2020-04-05 14:13:59 UTC
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On Sunday, April 5, 2020 at 3:26:16 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

Bei Dir geraten die Dinge nun auch langsam durcheinander.
Post by Rainer Rosenthal
Dann beantworte doch bitte drei einfache Fragen.
Frage 1: Hat die geordnete Menge Ord_A = [1,2,3,...]
MOMENT. Ich dachte bisher, dass Ord_A bzw. [1,2,3,...] eine ORDNUNG ist, also ein Menge von geordneten Paaren {(1,2), (1,3), ..., (2,3), (2,4), ...} und nicht eine GEORDNETE MENGE, also (IN, {(1,2), (1,3), ..., (2,3), (2,4), ...}). Das sollte man eigentlich -anders als WM- unterscheiden können.

Hinweis: Wenn man die ORDNUNG so anschreibt:

< = [1,2,3,...] = Ord_A

könnte man die geordnete Menge so anschreiben:

{1 < 2 < 3 < ...} .
Post by Rainer Rosenthal
Frage 2: Hat die geordnete Menge Ord_Z = [2,3,4,...,1]
Analog ist die Ordnung hier:

< = [2,3,4,... 1] = Ord_Z

und dann die (entsprechende) geordnete Menge:

{2 < 3 < 4 < ... < 1} .
Post by Rainer Rosenthal
Frage 3: Ist Ord_A = Ord_Z?
Offenbar nicht. Aber vermutlich wolltest Du fragen:

ord({1 < 2 < 3 < ...}) = ord({2 < 3 < 4 < ... < 1}) ?
Me
2020-04-05 14:36:33 UTC
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Post by Me
Bei Dir geraten die Dinge nun auch langsam durcheinander.
Post by Rainer Rosenthal
Dann beantworte doch bitte drei einfache Fragen.
Frage 1: Hat die geordnete Menge Ord_A = [1,2,3,...]
MOMENT. Ich dachte bisher, dass Ord_A bzw. [1,2,3,...] eine ORDNUNG ist, also ein Menge von geordneten Paaren {(1,2), (1,3), ..., (2,3), (2,4), ...} und nicht eine GEORDNETE MENGE, also (IN, {(1,2), (1,3), ..., (2,3), (2,4), ...}). Das sollte man eigentlich -anders als WM- unterscheiden können.
Zitat:

"Mit [1,3,4,2] beschreibe ich kurz und knapp eine Ordnung auf der Menge
{1,2,3,4}.

[...] für Ord_P = [1,3,4,2] will ich es vorführen:
Ord_P ist die Teilmenge
{[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[1,3],[1,4],[1,2],[3,4],[3,2],[4,2]} von
{1,2,3,4} x {1,2,3,4}."

(Rainer Rosenthal)
Ganzhinterseher
2020-04-05 14:15:56 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Ich stelle fest, dass Du nicht verstanden hast, was eine Ordnungszahl
ist.
Dermaßen blöde, dieses simple Zeug nicht zu verstehen, kann wohl keiner sein. Ich bin es jedenfalls nicht.
Dann beantworte doch bitte drei einfache Fragen.
Frage 1: Hat die geordnete Menge Ord_A = [1,2,3,...] die Ordnungszahl omega?
Ja.
Post by Rainer Rosenthal
Frage 2: Hat die geordnete Menge Ord_Z = [2,3,4,...,1] die Ordnungszahl
omega+1?
Ja.
Post by Rainer Rosenthal
Frage 3: Ist Ord_A = Ord_Z?
Wenn es keine dunklen Zahlen gibt, dann hat sich die OZ geändert und Cantors Theorie ist falsch.

Jedenfalls kann keine Umordnung von Elementen innerhalb einer fest vorgegeben Menge Elemente vernichten oder hinzufügen. Das Gegenteil zu postulieren ist absolut sinnlos und hilft Cantor auch nicht, denn seine Theorie basiert auf der Vollständigkeit und Unveränderlichkeit von Mengen. Anderenfalls wären nicht die rationalen Zahlen abzählbar, sondern die rationalen Zahlen in einer speziellen Anordnung und in einer anderen nicht. Das wären zwei verschiedene Mengen.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-05 14:43:17 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dann beantworte doch bitte drei einfache Fragen.
Frage 1: Hat die geordnete Menge Ord_A = [1,2,3,...] die Ordnungszahl omega?
Ja.
Post by Rainer Rosenthal
Frage 2: Hat die geordnete Menge Ord_Z = [2,3,4,...,1] die Ordnungszahl
omega+1?
Ja.
Post by Rainer Rosenthal
Frage 3: Ist Ord_A = Ord_Z?
Wenn es keine dunklen Zahlen gibt, dann hat sich die OZ geändert und Cantors Theorie ist falsch.
Was ist das denn für eine Antwort?
Die einzigt richtige Antwort, wenn man denn die Definition von
"Ordnungszahl" verstanden hat, ist:
Nein, Ord_A und Ord_Z sind verschieden denn omega < omega + 1.

Wenn ich Dich fragen würde, ob 3 = 4 ist, und Du antwortetest:
"dann muss sich die 3 geändert haben", dann wäre genauso wenig weitere
Diskussion möglich wie jetzt.

Ist doch nicht zu glauben:
Da behauptet jemand, die Definition von "Ordnungszahl" verstanden zu
haben und hält dann omega+1 für nicht verschieden von omega.
Das tut echt weh.

Immerhin hat mir der Versuch, Deine dunklen Gedanken nachzuvollziehen
auch selbst Erkenntnis gebracht.
Es hat echt Spaß gemacht, die Hütchen-Spielerei in Zusammenhang zu
setzen mit Hilberts Hotel.

Der Hütchenspieler hat es geschafft, sich mit seinem tollen Trick der
Polizei zu entziehen:
Dank seiner Überredungskünste wohnt er im Hotel, steht aber nicht auf
der Liste des Portiers. Kein Wunder, dass der Chef im Penthouse über dem
unendlich hohen Hotel stinkesauer ist.

Gruß, übe mal noch ein bisschen Ordnungszahlen, bevor Du wieder den
armen Cantor zitierst.

RR
Ganzhinterseher
2020-04-05 20:02:33 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Frage 3: Ist Ord_A = Ord_Z?
Wenn es keine dunklen Zahlen gibt, dann hat sich die OZ geändert und Cantors Theorie ist falsch.
Was ist das denn für eine Antwort?
Die einzig richtige. Cantor hat eine für seine Theorie erforderliche Behauptung aufgestellt: "Unendlich viele Transpositionen ändern die OZ nicht", die aber falsch ist. Deine Idee, die 1 einfach fallenzulassen ist absurd. Wie ich schon bemerkte, müsstest Du bei geeigneter Transposition fast alle Zahlen fallenlassen.
Post by Rainer Rosenthal
Die einzigt richtige Antwort, wenn man denn die Definition von
"Ordnungszahl" verstanden hat, ist
Nein, Ord_A und Ord_Z sind verschieden denn omega < omega + 1.
Selbstverständlich (ohne Einführung dunkler Zahlen) ist omega + 1 verschieden von omega. Deswegen ist Cantors Aussage falsch. Andererseits ist sie essentiell für die Mengenlehre.
Post by Rainer Rosenthal
Immerhin hat mir der Versuch, Deine dunklen Gedanken nachzuvollziehen
auch selbst Erkenntnis gebracht.
Das solltest Du erst dann von Dir behaupten, wenn Du Deine ausgesprochen dumme Idee mit dem Vernichten der 1 aufgibst.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-05 21:13:49 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Immerhin hat mir der Versuch, Deine dunklen Gedanken nachzuvollziehen
auch selbst Erkenntnis gebracht.
Das solltest Du erst dann von Dir behaupten, wenn Du Deine ausgesprochen dumme Idee mit dem Vernichten der 1 aufgibst.
Nun, ich habe ja nicht die Weisheit mit Löffeln gefressen wie Du, und
darum brauche ich kleine Geschichten, um mir vorstellen zu können, was
da "Dunkles" passiert.
Das ist mir ganz wunderbar gelungen, wie ich glaube, indem ich die
altbekannte Geschichte von Hilberts Hotel heute früh weitergesponnen habe.

Diese Geschichte illustriert bekanntlich "1 + omega = omega".
Nach Deiner eigenwilligen Interpretation von Cantors Schriften und
seiner "trivialen Definition von Ordnungszahlen" bin ich mir auch nicht
sicher, ob Du diese alte Geschichte gut findest.
Fakt ist allerdings, dass dabei die unendliche Zimmervertauschung zur
Aufnahme eines neuen Gastes führt.

Wenn nun nach dem cleveren Plan des Gastes eine weitere unendliche
Rücktauschung dazu führt, dass alles war wie vor seiner Ankunft, dann
darf man ja wohl annehmen, dass er so geheimnis- und trickvoll
verschwunden ist, wie er vorher gekommen war.

Ich bin (noch) nicht fit genug in transfiniter Mengenlehre, um das
nachrechnen zu können. Vom Gefühl her ist aber einfach etwas passiert,
was sich formal beschreiben lässt als

-1 + omega = omega.

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-06 12:35:03 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Immerhin hat mir der Versuch, Deine dunklen Gedanken nachzuvollziehen
auch selbst Erkenntnis gebracht.
Das solltest Du erst dann von Dir behaupten, wenn Du Deine ausgesprochen dumme Idee mit dem Vernichten der 1 aufgibst.
Nun, ich habe ja nicht die Weisheit mit Löffeln gefressen wie Du,
Bitte keine Bitterkeit! Es geht hier nicht um Weisheit, sondern um Axiome, insbesondere um das Extensionalitätstaxiom:
∀A ∀B (∀X (X ∈ A <==> X ∈ B) ==> A = B).

Würden bei Umformungen einer Menge Elemente hinzutreten oder verschwinden, dann wären es keine Umformungen einer Menge.
Post by Rainer Rosenthal
Nach Deiner eigenwilligen Interpretation von Cantors Schriften
Ich entnehme genau das, was er geschrieben hat, übrigens im Abstand von mehreren Jahren. Unendlich viele Transpositionen ändern die OZ nicht. Das ist nach seiner Lehre ohne dunkle Zahlen falsch. Aber dass durch Transpositionen die Menge geändert wird, ist ausgeschlossen.
Post by Rainer Rosenthal
Ich bin (noch) nicht fit genug in transfiniter Mengenlehre, um das
nachrechnen zu können. Vom Gefühl her ist aber einfach etwas passiert,
was sich formal beschreiben lässt als
-1 + omega = omega.
Das ist aber nichts Besonderes. (0, 1, 2, 3, ...) und (1, 2, 3, ...) haben dieselbe OZ ω. Unendlich viele Transpositionen können aber von Ord_A zu Ord_Z führen. Das hast du doch schön dargestellt.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-06 13:16:12 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Das ist aber nichts Besonderes. (0, 1, 2, 3, ...) und (1, 2, 3, ...) haben dieselbe OZ ω. Unendlich viele Transpositionen können aber von Ord_A zu Ord_Z führen. Das hast du doch schön dargestellt.
Bitte unterlasse die Unterstellungen! Das erzeugt keine Bitterkeit bei
mir, sondern Unwohlsein.

Cantor kannst Du verdrehen, wie Du willst, er kann sich ja nicht wehren.

Aber zu behaupten, ich hätte schön dargestellt, dass unendlich viele
Transpositionen von Ord_A = [1,2,3,...] zu Ord_Z = [2,3,4,...,1] führen
können, das ist wirklich unglaublich.
Eine kleine Entschuldigung wäre angebracht.

Du schaffst es ja sonst auch in unseren Diskussionen, einzugestehen,
wenn Du was missverstanden hast. Und das hält meinen Glauben an die
Menschheit aufrecht.

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-06 13:58:32 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Das ist aber nichts Besonderes. (0, 1, 2, 3, ...) und (1, 2, 3, ...) haben dieselbe OZ ω. Unendlich viele Transpositionen können aber von Ord_A zu Ord_Z führen. Das hast du doch schön dargestellt.
Bitte unterlasse die Unterstellungen! Das erzeugt keine Bitterkeit bei
mir, sondern Unwohlsein.
Cantor kannst Du verdrehen, wie Du willst, er kann sich ja nicht wehren.
Wo hätte ich das denn getan?
Post by Rainer Rosenthal
Aber zu behaupten, ich hätte schön dargestellt, dass unendlich viele
Transpositionen von Ord_A = [1,2,3,...] zu Ord_Z = [2,3,4,...,1] führen
können, das ist wirklich unglaublich.
Von Ord_A zu Ord_M kommt man mit endliche vielen Transpositionen.
Von Ord_A zu Ord_Z kommt man nicht mit endlich vielen Transpositionen. Was ist daran falsch?
Post by Rainer Rosenthal
Du schaffst es ja sonst auch in unseren Diskussionen, einzugestehen,
wenn Du was missverstanden hast. Und das hält meinen Glauben an die
Menschheit aufrecht.
Leider weiß ich nicht, was ich da missverstanden haben sollte? Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, und jede tauscht mit der 1.

Gruß, WKM
Rainer Rosenthal
2020-04-06 14:47:26 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
... Unendlich viele Transpositionen können aber von Ord_A zu Ord_Z führen. Das hast du doch schön dargestellt.
Bitte unterlasse die Unterstellungen!
Aber zu behaupten, ich hätte schön dargestellt, dass unendlich viele
Transpositionen von Ord_A = [1,2,3,...] zu Ord_Z = [2,3,4,...,1] führen
können, das ist wirklich unglaublich.
Von Ord_A zu Ord_M kommt man mit endliche vielen Transpositionen.
Von Ord_A zu Ord_Z kommt man nicht mit endlich vielen Transpositionen. Was ist daran falsch?
Nichts, aber tust Du nur so, oder merkst Du nicht, dass beides was
anderes ist, als wogegen ich mich gewehrt habe?

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
WM-0: Unendlich viele Transpositionen können Ord_A zu Ord_Z führen
WM-1: Unendlich viele Transpositionen können aber von Ord_A zu Ord_Z
WM-2: führen. Das hast du doch schön dargestellt.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Es macht die Diskussion oft schrecklich zäh, weil Du unlogisch
argumentierst.

Ich wehre mich gegen den mir unterestellten Satz
WM-0: "Unendlich viele T. führen von A nach Z".
Und Du bringst daraufhin zwei Aussagen, die richtig sind, die aber damit
nichts zu tun haben:
WM-1: "Von A nach M kommt man mit endlich vielen T."
WM-2: "Von A zu Z kommt man nicht mit endlich vielen T."

Aussage 1. ist ohne jeden Zusammenhang mit WM-0.
Aussage 2. ist oberflächlich ähnlich, aber ohne Beweiskraft für WM-0.

Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines endlichen Weges
von A nach Z folgen, dass es einen unendlichen Weg von A nach Z geben müsse.

Das ist doch sowas von unlogisch, das tut echt weh.
Bitte, bitte zeige mir, dass ich Dich (mal wieder?) missverstanden habe!

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-06 15:27:42 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines endlichen Weges
von A nach Z folgen, dass es einen unendlichen Weg von A nach Z geben müsse.
Es ist Cantor selbst, der unendlich viele Transpositionen erlaubt. Wenn man 1 mit jeder der unendlich vielen Zahlen vertauscht, so hat man folgt keine andere hinter der 1. Was ist daran unlogisch?

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-06 17:06:38 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines endlichen Weges
von A nach Z folgen, dass es einen unendlichen Weg von A nach Z geben müsse.
Es ist Cantor selbst, der unendlich viele Transpositionen erlaubt. Wenn man 1 mit jeder der unendlich vielen Zahlen vertauscht, so hat man folgt keine andere hinter der 1. Was ist daran unlogisch?
Cantor erlaubt unendlich viele Tranpositionen und sagt: damit ändert
sich die Ordnungszahl nicht. Das ist der von Dir zitierte Satz S. 214,
der auch auf S. 389 der Gesammelten Abhandlungen zu finden ist.

Nun kommst Du und behauptest, es sei doch /ganz logisch/, dass man mit
unendlich vielen Transpositionen doch die Ordnungszahl ändern kann.
Es mag ja DIR logisch erscheinen, aber es ist halt falsch oder
jedenfalls nicht so bewiesen, dass jedermann Deiner tollen Beweisführung
folgen müsste.
Und dafür Cantor als Gewährsmann zu zitieren, der ja gerade das
GEGENTEIL sagt, das ist wirklich unglaublich.

Inzwischen habe ich auch schon erklärt, was bei meiner Nachdenkerei
herausgekommen ist.
Noch am 4.4.2020 um 8:15 Uhr konnte ich als meine Vermutung schreiben:
RR: Komponiere ich unendlich viele dieser Transpositionen, so defiliert
RR: die 1 an allen Zahlen vorbei und ist weg:
RR: (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/... liefert [2,3,4,...]. (*)
RR: Genau das sagt Cantor: der Ordnungstyp ändert sich nicht.

Inzwischen weiß ich:
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.

Mit der Technik von Hilberts Hotel wurde [2,3,4,...] transformiert in
[1,2,3,...]. Das ist die ordnungstreue Bijektion H mit H(n) = n-1.

Es ist eine "Portier-verwirrende" aber korrekte Trick-Schreibweise:
#
# Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
# definiert durch B(n) = n+1, gilt:
#
# B = (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...
#
# wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
# (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#

Gruß,
RR
Me
2020-04-06 17:20:34 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
# Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
#
# B = (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...
#
# wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
# (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#
Das ist natürlich DUMMFUG. Was soll den

"(1,2)/(1,3)/.../(1,m)/..."

bedeuten? Wie ist das DEFINIERT?
Me
2020-04-06 19:58:49 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
# Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
#
# B = (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...
#
# wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
# (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#
Das ist natürlich DUMMFUG. Was soll denn
(1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...
bedeuten? Wie ist das bei Dir DEFINIERT?
Und was hindert dich daran, das übliche Symbol "o" zu verwenden, und

(f o g)(x)
statt
(f/g)(x)

zu schreiben? :-O

Btw.: Bekanntlich ist die Komposition assoziativ, weshalb man dann auch z. B.

f o g o h
statt
(f o g) o h
oder
f o (g o h)

schreiben darf.

Unklar ist dann allenfalls, was der Ausdruck

f_1 o f_2 o f_3 o ...

bedeuten soll. :-)
Michael Klemm
2020-04-06 17:46:57 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines endlichen Weges
von A nach Z folgen, dass es einen unendlichen Weg von A nach Z geben müsse.
Es ist Cantor selbst, der unendlich viele Transpositionen erlaubt. Wenn man 1 mit jeder der unendlich vielen Zahlen vertauscht, so hat man folgt keine andere hinter der 1. Was ist daran unlogisch?
Cantor erlaubt unendlich viele Tranpositionen und sagt: damit ändert
sich die Ordnungszahl nicht.
Aus meiner heutigen Sicht hat die symmetrische Gruppe G von |N im einfachsten Fall auf der Menge |N, dem "Typ endlich" selbst, eine Permutationsdarstellung. Jedes Element g von G besitzt eine Menge B von Bahnen, und jede Element b aus B beschreibt einen zyklische Permutation, die sich in Transpositionen zerlegen lässt. Es entsteht dann insgesamt eine abzählbar unendliche Menge von Transpositionen, aus denen sich jedes Permutation von G kombinieren lässt. Hat man zum Beispiel die Menge {(1,2),(3,4),(5,6),...} von Transpositionen, so kann das Produkt in der Gruppe nicht gebildet werden. Dann muss man den definitorischen Umweg über die zugehörige Folge nehmen.

Gruß
Michael
Post by Rainer Rosenthal
Das ist der von Dir zitierte Satz S. 214,
der auch auf S. 389 der Gesammelten Abhandlungen zu finden ist.
Nun kommst Du und behauptest, es sei doch /ganz logisch/, dass man mit
unendlich vielen Transpositionen doch die Ordnungszahl ändern kann.
Es mag ja DIR logisch erscheinen, aber es ist halt falsch oder
jedenfalls nicht so bewiesen, dass jedermann Deiner tollen Beweisführung
folgen müsste.
Und dafür Cantor als Gewährsmann zu zitieren, der ja gerade das
GEGENTEIL sagt, das ist wirklich unglaublich.
Inzwischen habe ich auch schon erklärt, was bei meiner Nachdenkerei
herausgekommen ist.
RR: Komponiere ich unendlich viele dieser Transpositionen, so defiliert
RR: (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/... liefert [2,3,4,...]. (*)
RR: Genau das sagt Cantor: der Ordnungstyp ändert sich nicht.
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.
Mit der Technik von Hilberts Hotel wurde [2,3,4,...] transformiert in
[1,2,3,...]. Das ist die ordnungstreue Bijektion H mit H(n) = n-1.
#
# Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
#
# B = (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...
#
# wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
# (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#
Gruß,
RR
Rainer Rosenthal
2020-04-06 18:54:27 UTC
Permalink
Aus meiner heutigen Sicht hat die symmetrische Gruppe G von |N ...
Ist mir neulich schon aufgefallen: in Gruppen ist eher nicht von
unendlichen Produkten die Rede. Bei Lie-Gruppen ist das vielleicht
anders, habe da mal irgendwie reingeschnuppert aber alles vergessen.

Ich habe inzwischen herausbekommen, dass ... siehe heute 19:06:
Es ist eine "Portier-verwirrende" aber korrekte Trick-Schreibweise:
#
# Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
# definiert durch B(n) = n+1, gilt:
#
# B = (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...
#
# wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
# (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#
Beweis durch Gefühl :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Michael Klemm
2020-04-06 19:22:46 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Aus meiner heutigen Sicht hat die symmetrische Gruppe G von |N ...
Ist mir neulich schon aufgefallen: in Gruppen ist eher nicht von
unendlichen Produkten die Rede. Bei Lie-Gruppen ist das vielleicht
anders, habe da mal irgendwie reingeschnuppert aber alles vergessen.
#
# Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
#
# B = (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...
#
# wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
# (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#
Beweis durch Gefühl :-)
Gruß,
Rainer Rosenthal
Es werden nur unendliche "Produkte" von disjunkten Zyklen betrachtet. Die kann man definitorisch mit der offensichtlich gemeinten Bijektion gleichsetzen. Der Witz ist hier, dass die Zyklen immer endlich und paarweise disjunkt sind.

Gruß
Michael
Rainer Rosenthal
2020-04-06 19:39:18 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Es werden nur unendliche "Produkte" von disjunkten Zyklen betrachtet. Die kann man definitorisch mit der offensichtlich gemeinten Bijektion gleichsetzen. Der Witz ist hier, dass die Zyklen immer endlich und paarweise disjunkt sind.
Den Witz verstehe ich nicht.
Kannst Du ihn erklären?
Passt er zu meinem Gefühls-Beweis?
Ralf Bader
2020-04-06 19:16:12 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Post by Rainer Rosenthal
Am Montag, 6. April 2020 16:47:28 UTC+2 schrieb Rainer
Post by Rainer Rosenthal
Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines
endlichen Weges von A nach Z folgen, dass es einen unendlichen
Weg von A nach Z geben müsse.
Es ist Cantor selbst, der unendlich viele Transpositionen
erlaubt. Wenn man 1 mit jeder der unendlich vielen Zahlen
vertauscht, so hat man folgt keine andere hinter der 1. Was ist
daran unlogisch?
Cantor erlaubt unendlich viele Tranpositionen und sagt: damit
ändert sich die Ordnungszahl nicht.
Aus meiner heutigen Sicht hat die symmetrische Gruppe G von |N im
einfachsten Fall auf der Menge |N, dem "Typ endlich" selbst, eine
Permutationsdarstellung. Jedes Element g von G besitzt eine Menge B
von Bahnen, und jede Element b aus B beschreibt einen zyklische
Permutation, die sich in Transpositionen zerlegen lässt. Es entsteht
dann insgesamt eine abzählbar unendliche Menge von Transpositionen,
aus denen sich jedes Permutation von G kombinieren lässt. Hat man zum
Beispiel die Menge {(1,2),(3,4),(5,6),...} von Transpositionen, so
kann das Produkt in der Gruppe nicht gebildet werden. Dann muss man
den definitorischen Umweg über die zugehörige Folge nehmen.
Siehe auch in diesem Zusammenhang
https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations/17675#17675

Hier haben wir es allerdings mit dem zu tun, was Cantor eine
"Sukzession" nennt, was zwar äquivalent ist mit einer Wohlordnung im
heutigen Sinne (also einer Relation = Menge geordneter Paare), aber
nicht begrifflich übereinstimmt. Ist (M,<) eine wohlgeordnete Menge,
f:M->M eine Bijektion, so ist natürlich auch <<, definiert durch a << b
gdw. f(a) < f(b), eine Wohlordnung, und jede Wohlordnung von M mit der
gleichen Ordinalzahl wie < kommt auf diese Weise zustande.
Michael Klemm
2020-04-06 20:33:12 UTC
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Post by Ralf Bader
Post by Michael Klemm
Post by Rainer Rosenthal
Am Montag, 6. April 2020 16:47:28 UTC+2 schrieb Rainer
Post by Rainer Rosenthal
Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines
endlichen Weges von A nach Z folgen, dass es einen unendlichen
Weg von A nach Z geben müsse.
Es ist Cantor selbst, der unendlich viele Transpositionen
erlaubt. Wenn man 1 mit jeder der unendlich vielen Zahlen
vertauscht, so hat man folgt keine andere hinter der 1. Was ist
daran unlogisch?
Cantor erlaubt unendlich viele Tranpositionen und sagt: damit
ändert sich die Ordnungszahl nicht.
Aus meiner heutigen Sicht hat die symmetrische Gruppe G von |N im
einfachsten Fall auf der Menge |N, dem "Typ endlich" selbst, eine
Permutationsdarstellung. Jedes Element g von G besitzt eine Menge B
von Bahnen, und jede Element b aus B beschreibt einen zyklische
Permutation, die sich in Transpositionen zerlegen lässt. Es entsteht
dann insgesamt eine abzählbar unendliche Menge von Transpositionen,
aus denen sich jedes Permutation von G kombinieren lässt. Hat man zum
Beispiel die Menge {(1,2),(3,4),(5,6),...} von Transpositionen, so
kann das Produkt in der Gruppe nicht gebildet werden. Dann muss man
den definitorischen Umweg über die zugehörige Folge nehmen.
Siehe auch in diesem Zusammenhang
https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations/17675#17675
Hier haben wir es allerdings mit dem zu tun, was Cantor eine
"Sukzession" nennt, was zwar äquivalent ist mit einer Wohlordnung im
heutigen Sinne (also einer Relation = Menge geordneter Paare), aber
nicht begrifflich übereinstimmt. Ist (M,<) eine wohlgeordnete Menge,
f:M->M eine Bijektion, so ist natürlich auch <<, definiert durch a << b
gdw. f(a) < f(b), eine Wohlordnung, und jede Wohlordnung von M mit der
gleichen Ordinalzahl wie < kommt auf diese Weise zustande.
Wie deutest Du den Abschnitt,
Gesammelte Abhandlungen, S. 390: "Unter Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse verstehe ich ...; dieser Inbegriff von Ordnungszahlen konstituiert eine neue Valenz und zwar die auf der vorgehenden Valenz nächstfolgende, wie ich streng gezeigt habe ..." ?

Ich verstehe das so, dass folglich die symmetrische Gruppe von |N auf jeder x-ten Zahlenklasse operiert und zwar so, dass die endlichen Zyklen jeder Permutation disjunkt sind.

Gruß
Michael
Ralf Bader
2020-04-08 04:02:53 UTC
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Post by Ralf Bader
Am Montag, 6. April 2020 19:06:40 UTC+2 schrieb Rainer
Post by Rainer Rosenthal
Am Montag, 6. April 2020 16:47:28 UTC+2 schrieb Rainer
Post by Rainer Rosenthal
Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines
endlichen Weges von A nach Z folgen, dass es einen
unendlichen Weg von A nach Z geben müsse.
Es ist Cantor selbst, der unendlich viele Transpositionen
erlaubt. Wenn man 1 mit jeder der unendlich vielen Zahlen
vertauscht, so hat man folgt keine andere hinter der 1. Was
ist daran unlogisch?
Cantor erlaubt unendlich viele Tranpositionen und sagt: damit
ändert sich die Ordnungszahl nicht.
Aus meiner heutigen Sicht hat die symmetrische Gruppe G von |N
im einfachsten Fall auf der Menge |N, dem "Typ endlich" selbst,
eine Permutationsdarstellung. Jedes Element g von G besitzt eine
Menge B von Bahnen, und jede Element b aus B beschreibt einen
zyklische Permutation, die sich in Transpositionen zerlegen
lässt. Es entsteht dann insgesamt eine abzählbar unendliche
Menge von Transpositionen, aus denen sich jedes Permutation von G
kombinieren lässt. Hat man zum Beispiel die Menge
{(1,2),(3,4),(5,6),...} von Transpositionen, so kann das Produkt
in der Gruppe nicht gebildet werden. Dann muss man den
definitorischen Umweg über die zugehörige Folge nehmen.
Siehe auch in diesem Zusammenhang
https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations/17675#17675
Hier haben wir es allerdings mit dem zu tun, was Cantor eine
"Sukzession" nennt, was zwar äquivalent ist mit einer Wohlordnung
im heutigen Sinne (also einer Relation = Menge geordneter Paare),
aber nicht begrifflich übereinstimmt. Ist (M,<) eine wohlgeordnete
Menge, f:M->M eine Bijektion, so ist natürlich auch <<, definiert
durch a << b gdw. f(a) < f(b), eine Wohlordnung, und jede
Wohlordnung von M mit der gleichen Ordinalzahl wie < kommt auf
diese Weise zustande.
Wie deutest Du den Abschnitt, Gesammelte Abhandlungen, S. 390: "Unter
Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse verstehe ich ...; dieser
Inbegriff von Ordnungszahlen konstituiert eine neue Valenz und zwar
die auf der vorgehenden Valenz nächstfolgende, wie ich streng gezeigt
habe ..." ?
Ich verstehe das so, dass folglich die symmetrische Gruppe von |N auf
jeder x-ten Zahlenklasse operiert und zwar so, dass die endlichen
Zyklen jeder Permutation disjunkt sind.
Die erste Zahlklasse umfaßt die endlichen Ordinalzahlen. Darauf folgt zu
jeder unendlichen Kardinalzahl die Zahlklasse der zu dieser
gleichmächtigen Ordinalzahlen. Die zweite Zahlklasse umfaßt also die
abzählbar unendlichen Ordinalzahlen. Und das sind sehr viele, z.B.
epsilon_0 = omega^omega^omega^...(abzählbar oft).

In der heute üblichen Behandlung von ZFC ist eine Ordinalzahl eine Menge
M, die 1) transitiv ist (a e b e M zieht a e M nach sich), und 2) durch
die Elementrelation wohlgeordnet. Es werden dann allerlei Dinge über
diese Ordinalzahlen gezeigt (nachzulesen etwa in jedem der zahlreich
verfügbaren einschlägigen Skripte), z.B. daß deren zweie immer entweder
übereinstimmen oder eine von ihnen ein Element der anderen ist. Es
ergibt sich ferner:
Ist (M,<) eine wohlgeordnete Menge, so gibt es genau eine Ordinalzahl o
und genau einen Ordnungsisomorphismus f:o -> (M,<). Unter allen
möglichen Wohlordnungen von M erscheinen in dieser Weise auch alle zu M
gleichmächtigen Ordinalzahlen. Kardinalzahlen sind dann definiert als
diejenigen Ordinalzahlen, die zu keiner kleineren gleichmächtig sind. Da
aber jede Ordinalzahl die Menge der kleineren Ordinalzahlen ist, ergibt
sich: Die Mächtigkeit einer Zahlklasse ist die auf die gemeinsame
Mächtigkeit der Elemente dieser Zahlklasse nächstfolgende Kardinalzahl;
es gibt also z.B. überabzählbar (aleph_1) viele abzählbar unendliche
Ordinalzahlen. Das hat, in anderer Weise, auch Cantor bewiesen, und es
scheint das Hauptergebnis des Abschnittes zu sein, in dem auch diese
Bemerkung mit den "Umformungen" steht.
Eine Permutation sei eine bijektive Abbildung M->M; zu einer weiteren
Wohlordnung von M mit Ordinalzahl o gibt es eine Permutation p, so daß
der zugehörige Ordnungsisomorphismus p\circ f ist.
Die "Umformung" in der Cantorschen Bemerkung spielt bei Cantor die Rolle
der Permutation p; was Cantor in diesem Lichte behauptet, ist also:
(*) jede Permutation von M ist durch Transpositionen beschreibbar
Und (*) ist nun, wie in der Antwort von Hamkins in
https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations/17675#17675
ausgeführt, zutreffend. Ich weiß nicht, ob es zu Cantors Zeiten schon
sowas wie bijektive Selbstabbildungen gab; möglicherweise war er in dem
begrifflichen Umfeld, in dem er sich bewegte, dazu gezwungen, sich mit
diesen Transpositionen zu behelfen. Die Mengen oder Folgen von
Transpositionen, aus denen so eine Umformung komponiert wird, haben
allerdings eine sehr spezielle, kombinatorisch beschreibbare Struktur
und sind weit davon entfernt, völlig beliebig zu sein.
Ganzhinterseher
2020-04-08 13:26:00 UTC
Permalink
Post by Ralf Bader
Die "Umformung" in der Cantorschen Bemerkung spielt bei Cantor die Rolle
(*) jede Permutation von M ist durch Transpositionen beschreibbar
Und (*) ist nun, wie in der Antwort von Hamkins in
https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations/17675#17675
ausgeführt, zutreffend.
Was soll denn die Aussage eines Spinners beweisen, der zu Hausdorffs Wohlordnung jeder Menge (*), also auch der reellen Zahlen, sagte: I endorse this method.

*) Before that it was usual to argue as follows: From the set A to be well-ordered take by arbitrary choice an element and denote it as a0, then from the set A \ {a0} an element a1, then an element from the set A \ {a0, a1} and so on. If the set {a0, a1, a2, ...} is not yet the complete set A, we can choose from A \ {a0, a1, a2, ...} an element a, then an element a+1, and so on. This procedure must come to an end, because beyond the set W of ordinal numbers which are mapped on elements of A, there are greater numbers; these obviously cannot be mapped on elements of A.

This naiveté is reported as late as in 1914 by Felix Hausdorff, obviously without reservations because he remarks: "We cannot share most of the doubts which have been raised against this method." Hausdorff only deplores the undesired impression of a temporal process but confirms that the element a is fully determined in the sense of transfinite induction (see section 2.14) and claims that every single action of choosing an element as well as their order has to be understood as timeless.

The first to point out that Cantor's method is blatantly wrong was Adolf Fraenkel. Zermelo called it a "well-known primitive attempt" [Cantor, p. 352]. Hausdorff remained convinced of its truth.

"With respect to such a procedure Cantor has called the well-ordering theorem a 'fundamental and momentous and by its general truth particularly remarkable law of thinking'; [...] But he has not given a proof. The above train of thought cannot be considered as a proper – not even halfway strict – proof, in particular because in no way it is shown that [...] the given set can really be exhausted. The inadmissibility of this method as a proof becomes obvious from the following: It seems not only to establish the possibility of well-ordering but to give a real way how this can be accomplished for every set. That is contradicted by the fact [...] that the real construction of a well-ordering until today has not even been accomplished with certain simplest uncountable sets." [A. Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", 2nd ed., Springer, Berlin (1923) p. 141f]

Gruß, WM
Ralf Bader
2020-04-08 16:29:39 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Die "Umformung" in der Cantorschen Bemerkung spielt bei Cantor die Rolle
(*) jede Permutation von M ist durch Transpositionen beschreibbar
Und (*) ist nun, wie in der Antwort von Hamkins in
https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations/17675#17675
ausgeführt, zutreffend.
Was soll denn die Aussage eines Spinners
Halts Maul, kommt sowieso nur idiotischer Krampf raus.
Ganzhinterseher
2020-04-08 18:22:40 UTC
Permalink
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Die "Umformung" in der Cantorschen Bemerkung spielt bei Cantor die Rolle
(*) jede Permutation von M ist durch Transpositionen beschreibbar
Und (*) ist nun, wie in der Antwort von Hamkins in
https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations/17675#17675
ausgeführt, zutreffend.
Was soll denn die Aussage eines Spinners
Halts Maul,
Aus der Sicht eines Narren mag das so erscheinen. Das muss Dich aber mächtig aufregen:

"With respect to such a procedure Cantor has called the well-ordering theorem a 'fundamental and momentous and by its general truth particularly remarkable law of thinking'; [...] But he has not given a proof. The above train of thought cannot be considered as a proper – not even halfway strict – proof, in particular because in no way it is shown that [...] the given set can really be exhausted. The inadmissibility of this method as a proof becomes obvious from the following: It seems not only to establish the possibility of well-ordering but to give a real way how this can be accomplished for every set. That is contradicted by the fact [...] that the real construction of a well-ordering until today has not even been accomplished with certain simplest uncountable sets." [A. Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", 2nd ed., Springer, Berlin (1923) p. 141f]

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-04-06 20:24:32 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Cantor erlaubt unendlich viele Tranpositionen und sagt: damit ändert
sich die Ordnungszahl nicht.
Das ist falsch. Vermutlich hat das nur noch niemand bemerkt, weil niemand diesen Satz kannte.
Post by Rainer Rosenthal
Das ist der von Dir zitierte Satz S. 214,
der auch auf S. 389 der Gesammelten Abhandlungen zu finden ist.
Nun kommst Du und behauptest, es sei doch /ganz logisch/, dass man mit
unendlich vielen Transpositionen doch die Ordnungszahl ändern kann.
Wenn man die 1 mit allen unendlich vielen Zahlen vertauscht, dann hat man die OZ geändert.
Post by Rainer Rosenthal
Es mag ja DIR logisch erscheinen, aber es ist halt falsch oder
jedenfalls nicht so bewiesen, dass jedermann Deiner tollen Beweisführung
folgen müsste.
Niemand muss etwas folgen, wenn er es fanatisch ablehnt.
Post by Rainer Rosenthal
Und dafür Cantor als Gewährsmann zu zitieren, der ja gerade das
GEGENTEIL sagt, das ist wirklich unglaublich.
Inzwischen habe ich auch schon erklärt, was bei meiner Nachdenkerei
herausgekommen ist.
RR: Komponiere ich unendlich viele dieser Transpositionen, so defiliert
RR: (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/... liefert [2,3,4,...]. (*)
RR: Genau das sagt Cantor: der Ordnungstyp ändert sich nicht.
Der Mengentyp ändert sich aber.
Post by Rainer Rosenthal
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenker unnötig, für Fanatiker unmöglich.

Gruß. WM
Rainer Rosenthal
2020-04-06 20:58:43 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Cantor erlaubt unendlich viele Tranpositionen und sagt: damit ändert
sich die Ordnungszahl nicht.
Das ist falsch. Vermutlich hat das nur noch niemand bemerkt, weil niemand diesen Satz kannte.
Macht Spaß, mit Dir zu diskutieren. Man braucht allerdings viel Sinn für
Humor, um die Pausen zwischen den Argumenten auszuhalten.
Was ich damit ausdrücken will: als Argument kann ich Deine Aussage nicht
gelten lassen.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Das ist der von Dir zitierte Satz S. 214,
der auch auf S. 389 der Gesammelten Abhandlungen zu finden ist.
Nun kommst Du und behauptest, es sei doch /ganz logisch/, dass man mit
unendlich vielen Transpositionen doch die Ordnungszahl ändern kann.
Wenn man die 1 mit allen unendlich vielen Zahlen vertauscht, dann hat man die OZ geändert.
Das sagtest Du bereits. Und auch jetzt wieder ist es eine bloße
Behauptung. Noch dazu eine, die der Autorität des Begründers der
Mengenlehre, Georg Cantor, widerspricht. Denn der hat, wie von Dir
zitiert (Seiten 214 und 389) exakt das Gegenteil geschrieben.
Es ist Dir zu verdanken, dass es nun doch Menschen wie mich gibt, die
doch noch Notiz von Cantors Aussage nehmen dürfen.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Es mag ja DIR logisch erscheinen, aber es ist halt falsch oder
jedenfalls nicht so bewiesen, dass jedermann Deiner tollen Beweisführung
folgen müsste.
Niemand muss etwas folgen, wenn er es fanatisch ablehnt.
Ich zwinge Dich doch auch gar nicht. Warum versuchst Du trotzdem, den
Gedanken Cantors zu folgen? Ich finde es durchaus ehrenwert, und ich
biete Dir meine Hilfe dabei an. Das mache ich die ganze Zeit, aber Du
tust so, als wollte ich Dir was Böses tun.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
RR: Genau das sagt Cantor: der Ordnungstyp ändert sich nicht.
Der Mengentyp ändert sich aber.
Ich muss nicht etwas glauben, nur weil jemand es fanatisch wiederholt.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenker unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Jaja, "haltet den Dieb!" rufen und die Polizei in die falsche Richtung
lenken. Das machen Portiers, die es nicht besser wissen. Aber Du?
Hast Du nicht bemerkt, dass es nur eine clevere Ablenkungstechnik des
Hütchenspielers (AKA Gast 1) war, so zu tun, als sei er in das
Rücktauschen der Gäste n+1 in ihr altes Zimmer n involviert?

Das Resultat der Tauscherei mit Zwischenstationen Ord_M ist ja nichts
weiter als [2,3,4,...]. In der Zimmerliste des Portiers ist Gast 1
jedenfalls nicht, und darum ist die Polizei gut beraten, nicht dem
Hinweis des leichtläubigen Portiers zu folgen, sondern aus seiner
Zimmerliste (in der Gast 1 nicht steht) die richtigen Schlüsse zu
ziehen. Das heißt also: den betrügereischen Hütchen-Spieler außerhalb
des Hotels [2,3,4,...] zu verfolgen.

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-07 13:52:29 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
RR: Genau das sagt Cantor: der Ordnungstyp ändert sich nicht.
Der Mengentyp ändert sich aber.
Ich muss nicht etwas glauben, nur weil jemand es fanatisch wiederholt.
Aber wenn es als Axiom fest und sicher gegründet ist?

∀A ∀B (∀X (X ∈ A <==> X ∈ B) ==> A = B).

Entweder verschwindet die 1, und damit ändert dich die Menge, oder die 1 bleibt stehen, und damit ändert sich die OZ.
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenker unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Jaja, "haltet den Dieb!" rufen und die Polizei in die falsche Richtung
lenken. Das machen Portiers, die es nicht besser wissen. Aber Du?
Hast Du nicht bemerkt, dass es nur eine clevere Ablenkungstechnik des
Hütchenspielers (AKA Gast 1) war, so zu tun, als sei er in das
Rücktauschen der Gäste n+1 in ihr altes Zimmer n involviert?
Jedenfalls ist bei Deiner "Umformung" die 1 nicht mehr anwesend.

Aber ich kann Dir eine Lösung des Dilemmas anbieten:

Im Anfang, da war ℕ, und ℕ war dunkel. Und Gott sprach "Es werde Licht" - und es ward Licht, geschaffen durch Menschen, die einsahen, dass Licht gut ist. Und sie trennten das Licht von der Finsternis:

Jede Definition einer natürlichen Zahl erleuchtet auch alle Zahlen, die kleiner sind als die gerade definierte. Die erleuchteten Zahlen haben keine obere Schranke; sie sind potentiell unendlich, können immer wieder übertroffen werden. Aber die dunklen Zahlen werden ewig in der Mehrheit bleiben, in der erdrückenden Mehrheit sogar: unenendlich aleph_0 gegen endlich n.

Und nun kommt Cantors Satz, wonach unendlich viele Transpositionen die OZ nicht ändern (p. 214 und p. 389f): Transposition der Menge 0, 1, 2, 3, ... zu 1, 2, 3, ..., 0 erhält die OZ omega unverändert, WENN: die "..." lediglich die definierten Zahlen bezeichnen (denn andere kann man nicht manipulieren) und WENN nach der 0 alle dunklen Zahlen folgen, also fast alle natürlichen Zahlen.

Gruß, WM
Alfred Flaßhaar
2020-04-07 14:06:01 UTC
Permalink
(...)

... und WENN nach der 0 alle dunklen Zahlen folgen, also fast alle
natürlichen Zahlen.

Bitte eine wiederholte Zwischenfrage stellen zu dürfen:

Sind in der Menge dunkler Zahlen Primzahlen enthalten?

Gruß, Alfred Flaßhaar
Ganzhinterseher
2020-04-07 18:14:03 UTC
Permalink
Post by Alfred Flaßhaar
... und WENN nach der 0 alle dunklen Zahlen folgen, also fast alle
natürlichen Zahlen.
Sind in der Menge dunkler Zahlen Primzahlen enthalten?
Selbstverständlich. Man kennt die charakteristischen Eigenschaften einer natürlichen Zahl. Und man kann sie weitestgehend prüfen: Man kann ja beliebig weit aufhellen. Dabei stellt sich heraus, dass es ganz gewöhnliche Zahlen sind: eindeutige Primfaktorzerlegung, abwechselnd gerade und ungerade, usw. Aber es lassen sich eben nicht alle aufhellen, was sicher auch mit den endlichen Ressourcen zu tun hat, aber prinzipiell notwendig ist, z.B. wegen

∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

oder

∩{E(x), E(x+1), E(x+2), ...} = { } .

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-07 14:30:16 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Jede Definition einer natürlichen Zahl erleuchtet auch alle Zahlen, die kleiner sind als die gerade definierte. Die erleuchteten Zahlen haben keine obere Schranke; sie sind potentiell unendlich, können immer wieder übertroffen werden. Aber die dunklen Zahlen werden ewig in der Mehrheit bleiben, in der erdrückenden Mehrheit sogar: unenendlich aleph_0 gegen endlich n.
Amen :-)

Ich habe da aber auch noch was, was Cantor sehr bildhaft beschrieben
hat. Das potentiell Unendliche benötigt eine Basis, auf der es sich
ausbreiten kann.
Und das ist das aktual unendliche Transfinitum.
Man folge dazu dem Wegweiser nach Korinth :-)

Bitte jetzt keine Witze über Korinthenkacker machen!

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-07 16:21:24 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Ich habe da aber auch noch was, was Cantor sehr bildhaft beschrieben
hat. Das potentiell Unendliche benötigt eine Basis, auf der es sich
ausbreiten kann.
Und das ist das aktual unendliche Transfinitum.
Richtig. Nur hat er noch nicht gewusst oder nicht bemerkt, dass alle definierbaren Zahlen zur potentiellen Unendlichkeit gehören. Im Grunde hat er es zwar bemerkt, indem er sagte: Für alle natürlichen Zahlen gilt |omega - n| = |omega|. Aber wie seine Nachfolger war er offenbar unfähig, daraus zu erkennen, dass immer unendlich viele natürliche Zahlen sich der Manipulation entziehen.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-07 19:03:22 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Ich habe da aber auch noch was, was Cantor sehr bildhaft beschrieben
hat. Das potentiell Unendliche benötigt eine Basis, auf der es sich
ausbreiten kann.
Und das ist das aktual unendliche Transfinitum.
Richtig. Nur hat er noch nicht gewusst oder nicht bemerkt, dass alle definierbaren Zahlen zur potentiellen Unendlichkeit gehören. Im Grunde hat er es zwar bemerkt, indem er sagte: Für alle natürlichen Zahlen gilt |omega - n| = |omega|. Aber wie seine Nachfolger war er offenbar unfähig, daraus zu erkennen, dass immer unendlich viele natürliche Zahlen sich der Manipulation entziehen.
Die sich enziehenden Zahlen bleiben aber immer schön auf der von Cantor
entdeckten Straße, die - wen wundert's? - aktual unendlich lang sein
muss, damit diese sich entziehenden Zahlen nicht in ein (dunkles?)
Schlagloch plumpsen.

#######################################################################
"Da wir uns aber durch unsere Arbeiten der breiten Heerstraße des
Transfiniten versichert, sie wohl fundiert und sorgsam gepflastert
haben, so öffnen wir sie dem Verkehr und stellen sie als eiserne
Grundlage, nutzbar allen Freunden des potentialen Unendlichen, im
besonderen aber der wanderlustigen Herbartschen "Grenze" bereitwillig
zur Verfügung; gern und ruhig überlassen wir die rastlose der
Eintönigkeit ihres durchaus nicht beneidenswerten Geschicks; wandle sie
nur immer weiter, es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den
Füßen schwinden. Glück auf die Reise!"
(Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen ..., Seite 393)
#######################################################################

Gruß,
RR
Me
2020-04-07 01:21:25 UTC
Permalink
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist [...] unmöglich.
Ganz im Gegenteil, Sie Schwachmatiker.

Das sollte sich _basierend auf einer entsprechenden Definition des Begriffs "Umformung"_ beweisen/zeigen lassen. Man müsste also erst unter Bezugnahme auf die Schriften Cantors "eruieren" wie er den Begriff GEMEINT hat, wenn er ihn nicht explizit DEFINIERT hat. Aufbauend auf einer entsprechenden Definition sollte man dann Ihre obige Aussage beweisen können.
Ganzhinterseher
2020-04-07 14:10:35 UTC
Permalink
Post by Me
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist [...] unmöglich.
Ganz im Gegenteil,
Umformungen betreffen im Gegensatz zu Änderungen eine einzige Menge. Die ist mit sich selbst elementmäßig identisch:

∀A ∀B (∀X (X ∈ A <==> X ∈ B) ==> A = B).

Oder gilt das manchmal nicht?

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-07 15:36:38 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenker unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Magst Du mir bitte bei einem Gedankenexperiment folgen?

Dies sind die Zimmernummern in Hilberts Hotel: 1,2,3,4,...
Zimmer 1 soll leer sein.
In Zimmer 2 ist Gast G_2, in Zimmer 3 ist Gast G_3 usw., d.h. in jedem
Zimmer n > 1 befindet sich ein Gast mit Namen G_n.

Hältst Du es für möglich, dass alle Gäste G_n in das Zimmer mit Nummer
n-1 umziehen können?

Gruß,
RR
Michael Klemm
2020-04-07 16:09:47 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenker unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Magst Du mir bitte bei einem Gedankenexperiment folgen?
Dies sind die Zimmernummern in Hilberts Hotel: 1,2,3,4,...
Zimmer 1 soll leer sein.
In Zimmer 2 ist Gast G_2, in Zimmer 3 ist Gast G_3 usw., d.h. in jedem
Zimmer n > 1 befindet sich ein Gast mit Namen G_n.
Hältst Du es für möglich, dass alle Gäste G_n in das Zimmer mit Nummer
n-1 umziehen können?
Gruß,
RR
Das läuft auf die Frage raus, ob man die Zahl .01(p) mit 10 multiplizieren darf.

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-04-07 16:55:35 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenker unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Magst Du mir bitte bei einem Gedankenexperiment folgen?
Dies sind die Zimmernummern in Hilberts Hotel: 1,2,3,4,...
Zimmer 1 soll leer sein.
Also ist die Belegmenge (2, 3, 4, ...)
Post by Rainer Rosenthal
In Zimmer 2 ist Gast G_2, in Zimmer 3 ist Gast G_3 usw., d.h. in jedem
Zimmer n > 1 befindet sich ein Gast mit Namen G_n.
Hältst Du es für möglich, dass alle Gäste G_n in das Zimmer mit Nummer
n-1 umziehen können?
Alle definierbaren Gäste ja. Aber das ist eine endliche, genauer potentiell unendliche Menge. Für alle n gilt bekanntlich |omega - n| = aleph_0. Und wer undefinierbar ist, hat keine Adresse n, kann also gar nicht zum Umzug aufgefordert werden.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-07 19:07:42 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
In Zimmer 2 ist Gast G_2, in Zimmer 3 ist Gast G_3 usw., d.h. in jedem
Zimmer n > 1 befindet sich ein Gast mit Namen G_n.
Hältst Du es für möglich, dass alle Gäste G_n in das Zimmer mit Nummer
n-1 umziehen können?
Alle definierbaren Gäste ja. Aber das ist eine endliche, genauer potentiell unendliche Menge. Für alle n gilt bekanntlich |omega - n| = aleph_0. Und wer undefinierbar ist, hat keine Adresse n, kann also gar nicht zum Umzug aufgefordert werden.
Stimmst Du mir zu, dass das folgende Umzugs-Schema hilfreich wäre?

G_2 zieht in das leere Zimmer 1.
G_3 zieht in das nun leere Zimmer 2.
G_4 zieht in das nun leere Zimmer 3.

usw.

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-07 20:10:53 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
In Zimmer 2 ist Gast G_2, in Zimmer 3 ist Gast G_3 usw., d.h. in jedem
Zimmer n > 1 befindet sich ein Gast mit Namen G_n.
Hältst Du es für möglich, dass alle Gäste G_n in das Zimmer mit Nummer
n-1 umziehen können?
Alle definierbaren Gäste ja. Aber das ist eine endliche, genauer potentiell unendliche Menge. Für alle n gilt bekanntlich |omega - n| = aleph_0. Und wer undefinierbar ist, hat keine Adresse n, kann also gar nicht zum Umzug aufgefordert werden.
Stimmst Du mir zu, dass das folgende Umzugs-Schema hilfreich wäre?
G_2 zieht in das leere Zimmer 1.
G_3 zieht in das nun leere Zimmer 2.
G_4 zieht in das nun leere Zimmer 3.
usw.
Wofür hilfreich? Wenn die natürlichen Zahlen abgezählt vorliegen und die 1 entfernt wird, liegen nicht mehr alle natürlichen Zahlen vor. Natürlich können dann die definierbaren Zahlen umziehen. Falls ein definierbares Zimmer leer wird, kann eine vormals dunkle Zahl definierbar werden und einziehen.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-07 21:10:07 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
In Zimmer 2 ist Gast G_2, in Zimmer 3 ist Gast G_3 usw., d.h. in jedem
Zimmer n > 1 befindet sich ein Gast mit Namen G_n.
Hältst Du es für möglich, dass alle Gäste G_n in das Zimmer mit Nummer
n-1 umziehen können?
Alle definierbaren Gäste ja. Aber das ist eine endliche, genauer potentiell unendliche Menge. Für alle n gilt bekanntlich |omega - n| = aleph_0. Und wer undefinierbar ist, hat keine Adresse n, kann also gar nicht zum Umzug aufgefordert werden.
Stimmst Du mir zu, dass das folgende Umzugs-Schema hilfreich wäre?
G_2 zieht in das leere Zimmer 1.
G_3 zieht in das nun leere Zimmer 2.
G_4 zieht in das nun leere Zimmer 3.
usw.
Wofür hilfreich? Wenn die natürlichen Zahlen abgezählt vorliegen und die 1 entfernt wird, liegen nicht mehr alle natürlichen Zahlen vor. Natürlich können dann die definierbaren Zahlen umziehen. Falls ein definierbares Zimmer leer wird, kann eine vormals dunkle Zahl definierbar werden und einziehen.
Gruß, WM
Und wieviele Zimmer bleiben bei diesem Manöver leer?


Gruß,
RR
Michael Klemm
2020-04-09 09:29:58 UTC
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RR:

Inzwischen weiß ich:
Die unendliche Komposition ist einfach die ordnungstreue Bijektion B von
[1,2,3,...] auf [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1.

WM:
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenk}er unnötig, für Fanatiker unmöglich.

Du benutzt hier eine Substitution, nämlich die Bijektion f: {1,2,3,...} --> {2, 3, 4, …}, während WM Begriffe wie die Relation R zwischen |N und |N mit R = {(2,2), (3,3), …} wohl nicht kennt oder niemals benutzt hat, und daher auch nicht weiß, das dies etwas anderes ist.

Wenn Cantor von Permutationen schreibt, bei denen die Wohlordnung erhalten bleibt, dann müsste man wohl zunächst wissen, was er unter der symmetrischen Gruppe einer beliebigen Ordinalzahl verstehen würde. Was Permutationen und Gruppen sind, wusste er ja bereits von Cauchy.

Gruß
Michael
Post by Rainer Rosenthal
Magst Du mir bitte bei einem Gedankenexperiment folgen?
Dies sind die Zimmernummern in Hilberts Hotel: 1,2,3,4,...
Zimmer 1 soll leer sein.
In Zimmer 2 ist Gast G_2, in Zimmer 3 ist Gast G_3 usw., d.h. in jedem
Zimmer n > 1 befindet sich ein Gast mit Namen G_n.
Hältst Du es für möglich, dass alle Gäste G_n in das Zimmer mit Nummer
n-1 umziehen können?
Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-09 12:38:59 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenk}er unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Du benutzt hier eine Substitution, nämlich die Bijektion f: {1,2,3,...} --> {2, 3, 4, …}, während WM
die Bijektion zwischen Elementen und ihren Plätzen benutzt

1_1, 2_2, 3_3, ...

und die Elemente lediglich verschiebt:

2_1, 1_2, 3_3, ...
2_1, 3_2, 1_3, ...

und das solange fortsetzt, wie es ohne Verlust der 1 möglich ist. Wenn alle Elemente und alle Plätze existieren, wie die Matheologie lehrt, dann ist es bis zum Ende möglich, was auch immer unter Ende zu verstehen ist - andernfalls geht es nur immer so weiter.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-04-09 14:03:56 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Michael Klemm
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenk}er unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Du benutzt hier eine Substitution, nämlich die Bijektion f: {1,2,3,...} --> {2, 3, 4, …}, während WM
die Bijektion zwischen Elementen und ihren Plätzen benutzt
1_1, 2_2, 3_3, ...
2_1, 1_2, 3_3, ...
2_1, 3_2, 1_3, ...
und das solange fortsetzt, wie es ohne Verlust der 1 möglich ist.
Den Punkt "bis wo es ohne Verlust der 1 moeglich ist" gibt es nicht.
Da es keine groesste natuerliche Zahl gibt, kann man (egal, wie weit
man das vorantreibt) niemals einen Punkt erreichen, wo "die 1 nicht
weiter nach hinten zu schieben geht". Es gibt zu jeder natuerlichen
Zahl noch eine groessere und damit zu jeder "Verschiebung der 1 nach
hinten" auch noch eine weitere moegliche "Verschiebung der 1 nach
hinten", nur wird man auf diese Weise die 1 *niemals* hinter *alle*
natuerlichen Zahlen bekommen. Das ist doch schon wieder das selbe
Unverstaendnis fuer das unendliche IHRERSEITS, dass sie auch zu dem
ganzen anderen unsinnigen Zeug ueber "vollendete Unendlichkeit ist
nicht moeglich" und dergleichen Schwachfug mehr (inclusive IHRER
"dunklen Zahlen") fuehrt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@use3net-verwaltung.de)
Michael Klemm
2020-04-09 18:07:29 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Michael Klemm
Umformungen verlieren keine Elemente. Ein Beweis dafür ist für Normaldenk}er unnötig, für Fanatiker unmöglich.
Du benutzt hier eine Substitution, nämlich die Bijektion f: {1,2,3,...} --> {2, 3, 4, …}, während WM
die Bijektion zwischen Elementen und ihren Plätzen benutzt
1_1, 2_2, 3_3, ...
2_1, 1_2, 3_3, ...
2_1, 3_2, 1_3, ...
und das solange fortsetzt, wie es ohne Verlust der 1 möglich ist. Wenn alle Elemente und alle Plätze existieren, wie die Matheologie lehrt, dann ist es bis zum Ende möglich, was auch immer unter Ende zu verstehen ist - andernfalls geht es nur immer so weiter.
Gruß, WM
Nun, den ersten Teil, versuchst Du den "Matheologen" mit dem Brustton der professoralen Überheblichkeit unter zu jubeln, um dann die Sache anschließend für absurd zu erklären. Richtig ist, das das "immer so weiter" nach angegebenen Regeln erfolgt, aus denen man mit angegebenen Mitteln Schlüsse ziehen kann.

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-04-09 19:42:51 UTC
Permalink
Am Donnerstag, 9. April 2020 20:07:30 UTC+2 schrieb Michael Klemm:

Richtig ist, das das "immer so weiter" nach angegebenen Regeln erfolgt, aus denen man mit angegebenen Mitteln Schlüsse ziehen kann.

"und es erfährt daher der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsprozeß keinen Stillstand."

Man kann daraus weder eine reelle Zahl bestimmen noch die Gleichzahligkeit zweier unendlicher Mengen beweisen. Dazu werden keine Mittel angegeben, sondern es wird behauptet, dass unendliche Bijektionen existieren und ebenso wie endlichen Bijektionen Gleichzahligkeit bezeugen. Keinerlei theoretische Grundlegung für diese absurde Behauptung wurde von Cantor oder seinen Nachfolgern gegeben, nicht einmal vesucht. Lediglich wer dieselben Mittel mit unterschiedlichem Ergebnis anwendet, muss Grenzübergänge beachten, die dann zu ganz anderen Ergebnissen führen.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-06 14:56:04 UTC
Permalink
*
* Ich bitte um Entschuldigung, ich hatte Kopierfehler in meinem
* vorigen Post. Die Aussagen WM-0 bis WM-2 waren falsch geschrieben.
*
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
... Unendlich viele Transpositionen können aber von Ord_A zu Ord_Z
führen. Das hast du doch schön dargestellt.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Bitte unterlasse die Unterstellungen!
Aber zu behaupten, ich hätte schön dargestellt, dass unendlich viele
Transpositionen von Ord_A = [1,2,3,...] zu Ord_Z = [2,3,4,...,1] führen
können, das ist wirklich unglaublich.
Von Ord_A zu Ord_M kommt man mit endliche vielen Transpositionen.
Von Ord_A zu Ord_Z kommt man nicht mit endlich vielen
Transpositionen. Was ist daran falsch?
Nichts, aber tust Du nur so, oder merkst Du nicht, dass beides was
anderes ist, als wogegen ich mich gewehrt habe?

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
WM-0: Von Ord_A zu Ord_Z kommt man mit unendlich vielen T.
WM-1: Von Ord_A zu Ord_M kommt man mit endlich vielen T.
WM-2: Von Ord_A zu Ord_Z kommt man nicht mit endlich vielen T.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Es macht die Diskussion oft schrecklich zäh, weil Du unlogisch
argumentierst.

Ich wehre mich gegen den mir unterestellten Satz
WM-0: "Unendlich viele T. führen von A nach Z".
Und Du bringst daraufhin zwei Aussagen, die richtig sind, die aber damit
nichts zu tun haben:
WM-1: "Von A nach M kommt man mit endlich vielen T."
WM-2: "Von A zu Z kommt man nicht mit endlich vielen T."

WM-1 ist ohne jeden Zusammenhang mit WM-0.
WM-2 ist oberflächlich ähnlich, aber ohne Beweiskraft für WM-0.

Du tust gerade so, als würde aus der Unmöglichkeit eines endlichen Weges
von A nach Z folgen, dass es einen unendlichen Weg von A nach Z geben müsse.

Das ist doch sowas von unlogisch, das tut echt weh.
Bitte, bitte zeige mir, dass ich Dich (mal wieder?) missverstanden habe!

Gruß,
RR
Martin Vaeth
2020-04-05 12:15:29 UTC
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3. Falls $\lambda$ Limesordinalzahl ist, gibt es aufgrund der
Kofinalität ein $j<\lambda$, so das $C_i(x)$ für alle
Ordinalzahlen $i$ mit $j<i<\lambda$ den selben Wert $w$ hat.
(Da $\lambda$ Limesordinalzahl ist, gibt es ein solches $i$.)
Somit ist $C_\lambda(x):=w wohldefiniert.
Man muss natürlich "kofinal" anders definieren, eben so, wie
man es in 3 braucht. Rainers "Komposition" verletzt nämlich 3,
für $x=1$, wäre aber nach meiner ersten (falschen) Definition oben
kofinal.
Also: Kofinal heißt: Falls $\lambda$ Limesordinalzahl ist,
gibt es für jedes $x\in M$ ein $j<\lambda$, so dass $C_i(x)$ für
jedes $i$ mit $j<i<\lambda$ den selben Wert $w_x$ hat, also
unabhängig ist von $i$. (Und man setzt dann $C_i(x):=w_x$.)
Wenn ich das richtig verstehe, muss für Limesordinalzahlen vorher
etwas konstant bleiben. Kannst du das mal bitte an \omega und
der Transpositionenkette von 1,2,3,4,5,6,... auf 2,1,4,3,6,5,...
erläutern, die unendlich oft Pärchen vertauscht? Danke.
Sagen wir mal, $T_i$ ist die Permutation von $M=\N$, die die Zahlen
an den Stellen $2i+1$ und $2i+2$ vertauscht ($i=0,1,2,...$).
Dann ist $C_i = T_i \circ T_{i-1} \circ ... \circ T_0$.
Um die Permutation von $(T_i)_{i\in\omega}$ definieren zu können,
benötigen wir: Für jedes $x\in M$ gibt es ein $j<\omega$, so dass
$\{C_i(x):j<i<\omega\}$ einelementig ist.
Dies ist in dem Beispiel gegeben, denn man kann im Beispiel
$j=x$ wählen.
(Beispielsweise ist $C_i(99)=100$ für alle $i=50,51,52,..$,
insbesondere für alle $i$ mit $99<i<\omega$).

Übrigens vermute ich - sehe aber keinen trivialen Beweis -
dass eine Familie $(T_i)_{i<\kappa}$ von Transpositionen
auf $M$ genau dann kofinal ist, wenn jedes für jedes $x\in M$
die Menge $\{T_i(x):i<\kappa\}$ endlich ist:
Damit hätten wir dann Ralfs Definition, nur präzisiert.
Martin Vaeth
2020-04-05 12:39:48 UTC
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Post by Martin Vaeth
Übrigens vermute ich - sehe aber keinen trivialen Beweis -
dass eine Familie $(T_i)_{i<\kappa}$ von Transpositionen
auf $M$ genau dann kofinal ist, wenn jedes für jedes $x\in M$
Damit hätten wir dann Ralfs Definition, nur präzisiert.
Zwei ärgerliche Typos. Es sollte sollte heißen: ... wenn

(*) für jedes $x\in M$ die Menge $\{C_i(x):i<\kappa\}$ endlich

ist. Jetzt sehe ich auch den Beweis:

Dass (*) hinreichend ist für Kofinalität ist klar.
Um zu sehen, dass (*) notwendig ist, nehmen wir per Widerspruch an,
dass es ein $x$ gibt, so dass $\{C_i(x):i<\kappa\}$ unendlich ist.
Es sei nun $\Lambda$ das das Supremum der Menge $O$ aller
Ordinalzahlen $j\le\kappa$ mit der Eigenschaft, dass $\{C_i(x):i<j\}$
unendlich ist. Dann gibt es kein $k<\Lambda$ mit der Eigenschaft,
dass $\{C_i(x):k<i<\Lambda\}$ einelementig ist, denn sonst wäre
$k<\Lambda$ ebenfalls obere Schranke von $O$. Folglich ist die
Familie $(T_i)_{i<\kappa}$ nicht kofinal.
Martin Vaeth
2020-04-05 12:22:18 UTC
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Cantors Aussage *könnte* also mit dieser Definition ohne
zusätzliche Erweiterung stimmen, auch wenn mir nicht klar
ist, was Cantor mit "Umformungen, die die Anzahl nicht ändern"
meint: Meine Versuche, diesen Begriff zu präzisieren, sind
nämlich allesamt gescheitert.
Ich verstand ihn bisher so: zwei verschiedene Wohlordnungen
auf M, die die gleiche zugeordnete Ordinalzahl haben.
Mit Umformung ist ja anscheinend eine Abbildung gemeint.
Eine Abbildung ist aber keine Wohlordnung.
Carlo XYZ
2020-04-05 12:58:25 UTC
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Post by Martin Vaeth
Cantors Aussage *könnte* also mit dieser Definition ohne
zusätzliche Erweiterung stimmen, auch wenn mir nicht klar
ist, was Cantor mit "Umformungen, die die Anzahl nicht ändern"
meint: Meine Versuche, diesen Begriff zu präzisieren, sind
nämlich allesamt gescheitert.
Ich verstand ihn bisher so: zwei verschiedene Wohlordnungen
auf M, die die gleiche zugeordnete Ordinalzahl haben.
Mit Umformung ist ja anscheinend eine Abbildung gemeint.
Oder eine Relation.
Post by Martin Vaeth
Eine Abbildung ist aber keine Wohlordnung.
Die Relation zwischen zwei Ordnungen,
Wohlordnungen der gleichen Grundmenge zu sein.

So habe ich mir das zumindest zusammengereimt.
Martin Vaeth
2020-04-05 14:17:54 UTC
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Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Cantors Aussage *könnte* also mit dieser Definition ohne
zusätzliche Erweiterung stimmen, auch wenn mir nicht klar
ist, was Cantor mit "Umformungen, die die Anzahl nicht ändern"
meint: Meine Versuche, diesen Begriff zu präzisieren, sind
nämlich allesamt gescheitert.
Ich verstand ihn bisher so: zwei verschiedene Wohlordnungen
auf M, die die gleiche zugeordnete Ordinalzahl haben.
Mit Umformung ist ja anscheinend eine Abbildung gemeint.
Oder eine Relation.
Unwahrscheinlich, dass mit unendlicher Komposition von
Transpositionen eine Relation statt einer Abbildung gemeint ist.

Aber inwzwischen denke ich, dass ich Cantors Aussage
präzisieren kann.

Lemma: Eine Komposition von Injektionen $(T_i)_{i\le\kappa}$ der
selben Grundmenge $M$ ist eine Injektion.
Beweis durch transfinite Induktion.
(Mit $C_\kappa$ bezeichne ich die zugehörige Komposition).
1. $C_0=T_0$ ist Injektion.
2. Ist $\kappa=i+1$ Nachfolger-Ordinalzahl, so ist
$C_\kappa=T_\kappa circ C_i$ injektiv, da $C_i$ (nach I.V.)
und $T_\kappa$ beide injektiv sind.
3. Ist $\kappa$ Limit-Ordinalzahl und $x,y\in M$ mit $x\ne y$,
so gibt es wegen der Kofinalität ein $j<\kappa$, so dass
$\{C_i(x):j<i<\kappa\}$ und $\{C_i(y):j<i<\kappa\}$ beide
einelementig sind. Für $i=j+1$ beispielsweise folgt
$C_\kappa(x)=C_i(x)$ und $C_\kappa(y)=C_i(y)$. Da $C_i$
injektiv ist, folgt insbesondere
$C_\kappa(x) \ne C_\kappa(y)$.

Beachte, dass ich eine analoge Aussage für Surjektionen
(oder Bijektionen) nicht behaupte. Ich bin auch nicht
sicher, ob diese Behauptung richtig wäre.

Ist nun $C:M\to M$ eine Injektion und $M$ partiell geordnet,
so induziert $C$ tatsächlich eine Ordnung auf $M$ vermöge
der Definition $x < y := C(x) < C(y)$.

Ist die Ordnung auf $M$ eine Wohlordnung, so ist auch die
durch $C$ induzierte Ordnung auf $M$ eine Wohlordnung.

Cantors Behauptung scheint nun zu sein: Für eine Injektion
$C$ gibt es genau dann eine ordnungserhaltende Bijektion
zwischen der induzierten Ordnung auf $M$ und der
ursprünglichen Wohlordnung, wenn sich $C$ als Produkt
von Transpositionen $(T_i)_{i\le\kappa}$ schreiben lässt.

Keine der beiden Implikationen der Behauptung scheint mir
offensichtlich:

a) Wenn ich versuche, die $T_i$ mit transfiniter Induktion
mit Hilfe der Abbildung $C$ zu definieren, sehe ich nicht,
wie ich dabei die Kofinalität der Familie $(T_i)_i$
sichern könnte.

b) Wenn $C$ Komposition von Transpositionen ist, habe ich
gar keine rechte Idee, wie ich die ordnungserhaltende
Bijektion definieren könnte. Vom offensichtlichen
Kandidaten $C$ selbst kann ich wie gesagt nicht die
Surjektivität zeigen.
Carlo XYZ
2020-04-05 15:15:28 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Post by Carlo XYZ
Oder eine Relation.
Unwahrscheinlich, dass mit unendlicher Komposition von
Transpositionen eine Relation statt einer Abbildung gemeint ist.
Nein, natürlich nicht. Es handelte sich um den
anderen Teil der Aussage (ziemlich informell).
Post by Martin Vaeth
Aber inwzwischen denke ich, dass ich Cantors Aussage
präzisieren kann.
Ich ja auch. Und RR und HR vermutlich auch.
Post by Martin Vaeth
Cantors Behauptung scheint nun zu sein: Für eine Injektion
$C$ gibt es genau dann eine ordnungserhaltende Bijektion
zwischen der induzierten Ordnung auf $M$ und der
ursprünglichen Wohlordnung, wenn sich $C$ als Produkt
von Transpositionen $(T_i)_{i\le\kappa}$ schreiben lässt.
Das scheint mir allerdings weit über Cantors Aussage
hinaus zu gehen (nach erstem Anschein).
Post by Martin Vaeth
Keine der beiden Implikationen der Behauptung scheint mir
Das wundert mich nicht.

Ich warte erst mal ab, ob Helmut etwas zu meinem
zweiten Beispiel in <r6bm6n$q5r$***@dont-email.me> sagt.
Er hat ja eine alternative Definition der Wirkung
von unendlich vielen Transpositionen.
Martin Vaeth
2020-04-05 16:10:46 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Cantors Behauptung scheint nun zu sein: Für eine Injektion
$C$ gibt es genau dann eine ordnungserhaltende Bijektion
zwischen der induzierten Ordnung auf $M$ und der
ursprünglichen Wohlordnung, wenn sich $C$ als Produkt
von Transpositionen $(T_i)_{i\le\kappa}$ schreiben lässt.
Das scheint mir allerdings weit über Cantors Aussage
hinaus zu gehen (nach erstem Anschein).
Cantors Aussage ist, dass eine "Umformung" genau dann
den Ordnungstyp eine Wohlordnung nicht ändert, wenn die
Umformung als Produkt von Transpositionen entsteht.

"Gleicher Ordnungstyp" heißt per Definition (von
Ordnungstyp), dass es eine ordnungserhaltende Bijektiion gibt.

Es ist also nur zu präzisieren, was eine "Umformung" ist
(ich behaupte, das ist eine Injektion; vielleicht meint
Cantor auch eine Bijektion, s. unten), was die zugehörige
Ordnung ist (das habe ich gemacht), und was ein Produkt von
Transpositionen ist. Letzteres habe ich ebenfalls gemacht.

Damit habe ich exakt Cantors Aussage präzisiert.
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Keine der beiden Implikationen der Behauptung scheint mir
Das wundert mich nicht.
Deswegen habe ich gepostet, wie weit ich gekommen bin:
Vielleicht hat jemand eine Idee, wie man den Beweis
vervollständigen kann:

Eine der beiden Implikationen wäre immerhin sofort bewiesen,
wenn man zeigen könnte, dass ein Produkt von Transpositionen
stets surjektiv ist: Zumindest finde ich kein Gegenbeispiel.
Rainers Idee, ein Element aus dem Bildbereich zu entfernen,
ist ja per Definition der Kofinalität ausgeschlosssen, aber
das zeigt natürlich noch nicht, dass es nicht eine andere
Möglichkeit geben könnte.

Und die andere Implikation scheint man ja "irgendwie"
per transfiniter Induktion in den Griff kriegen zu
können. Es fehlt halt noch eine kleine Idee, wie man
die Kofinalität der "offensichtlichen" Konstruktion
beweisen (oder durch Modifikation der Konstruktion
"sichern") kann.

Falls Cantor unter "Umordnung" eine Bijektion (und nicht
nur eine Injektion) versteht, müsste man für die erste
Implikation die Surjektivität nicht beweisen. Dafür müsste
man aber in der zweiten Implikation zeigen, dass die
konstruierte Komposition surjektiv ist.
Ganzhinterseher
2020-04-05 19:52:55 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Rainers Idee, ein Element aus dem Bildbereich zu entfernen,
ist ja per Definition der Kofinalität ausgeschlosssen,
Sie ist aus viel triftigeren Gründen ausgeschlossen: Umordnungen einer aktual unendlichen festen Menge können keine Änderung der Menge bewirken. Andernfalls wäre die Menge Q nicht abzählbar, sondern nur bestimmte Umordnungen wären abzählbar. Selbst die Menge |N wäre in bestimmten Umordnungen nicht abzählbar. Eine Bijektion von |N_1 mit den Primzahlen der Menge |N_2 würde zeigen, dass die Menge |N_2 niht abzählbar und damit die Menge |N nicht in allen Konfigurationen abzählbar ist.

Rainers Idee wäre also der Tod der Mengenlehre.

Gruß, WM
Helmut Richter
2020-04-05 21:13:49 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Ich warte erst mal ab, ob Helmut etwas zu meinem
Er hat ja eine alternative Definition der Wirkung
von unendlich vielen Transpositionen.
Ich habe heute Pause gemacht und die neuen Beiträge nur kurz überflogen
statt sie wirklich zu lesen. Es scheint zwei oder drei verschiedene
Ansätze zu geben, und die will ich verstehen, bevor ich sie kommentiere.
(Die Pause ist nicht notwendig morgen zu Ende; es gibt auch noch andere
Hobbys. Aber mir scheint die Diskussion jetzt in ein Stadium zu kommen, wo
ich etwas lernen kann.)
--
Helmut Richter
Rainer Rosenthal
2020-04-05 21:28:28 UTC
Permalink
Post by Helmut Richter
Aber mir scheint die Diskussion jetzt in ein Stadium zu kommen, wo
ich etwas lernen kann.)
Das freut mich ganz außerordentlich, dass dies jetzt passiert ist, und
mir geht es genauso.
Die Wende kam, als ich den von WM aus dem Zusammenhang gerissenen Satz
von Cantor glaubte anzweifeln zu müssen. Dass in dem Zusammenhang das
Wort "Anzahl" für "Ordinalzahl" benutzt wurde, habe ich geahnt und dann
beim Lesen der Cantorschen Schriftbestätigt gefunden. Ein schönes erstes
AHA bei der Hütchen-Spielerei.

Es hat sich jetzt herausgestellt, dass es eine schöne Herausforderung
ist, sich Umformungen vorzustellen, die aus unendlich vielen
Transpositionen bestehen.

Auf die heute früh vorgetragene Fortsetzung der alten Story von Hilberts
Hotel bin ich dabei wirklich stolz. Es hat etwas Beruhigendes, dass dem
verblüffenden *Verschwinden* von Elementen ein Paradoxon gegenübersteht,
an das man sich inzwischen gewöhnt hat. Das Paradoxe bei der mit
Hilberts Hotel illustierten Formel 1 + omega = omega ist ja das auch
nicht gerade sofort einleuchtende *Hinzukommen* von Elementen.
Auch bei der klassischen Variante von Hilberts Hotel sind unendlich
viele Vertauschungen beteiligt!

Herzliche Grüße und eine gute Woche,
Rainer
Ganzhinterseher
2020-04-06 12:56:14 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Die Wende kam, als ich den von WM aus dem Zusammenhang gerissenen Satz
von Cantor
Na, na! Du schriebst: Das Hütchenspiel liefert angeblich einen einfachen Weg von Ord_A zu Ord_Z über Zwischenstationen vom Typ Ord_M.

Dazu zitierte ich Cantor in der festen Überzeugung, dass seine Verwendung des Begriffs "Anzahl" llgemein bekannt sei.
Post by Rainer Rosenthal
glaubte anzweifeln zu müssen. Dass in dem Zusammenhang das
Wort "Anzahl" für "Ordinalzahl" benutzt wurde, habe ich geahnt und dann
beim Lesen der Cantorschen Schriftbestätigt gefunden. Ein schönes erstes
AHA bei der Hütchen-Spielerei.
Es hat sich jetzt herausgestellt, dass es eine schöne Herausforderung
ist, sich Umformungen vorzustellen, die aus unendlich vielen
Transpositionen bestehen.
Ohne dunkle Zahlen wäre Cantors Aussage unrettbar falsch. Denn wenn man alle natürlichen Zahlen definieren und manipulieren könnte, dann könnte man aus der Ordnung 1, 2, 3, ... auch die Ordnung ..., 3, 2, 1 machen, die keine Wohlordnung geschweige denn omega ist.
Post by Rainer Rosenthal
Auf die heute früh vorgetragene Fortsetzung der alten Story von Hilberts
Hotel bin ich dabei wirklich stolz.
Dann will ich sie jetzt lesen. (Bisher kam ich nicht dazu.) Und Du kannst Dich daran machen, die obige Umordnung zu erklären.
Post by Rainer Rosenthal
Es hat etwas Beruhigendes, dass dem
verblüffenden *Verschwinden* von Elementen ein Paradoxon gegenübersteht,
an das man sich inzwischen gewöhnt hat. Das Paradoxe bei der mit
Hilberts Hotel illustierten Formel 1 + omega = omega ist ja das auch
nicht gerade sofort einleuchtende *Hinzukommen* von Elementen.
Auch bei der klassischen Variante von Hilberts Hotel sind unendlich
viele Vertauschungen beteiligt!
Das ist richtig, aber es ist nicht die Umformung *einer* Menge.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-06 13:32:12 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Die Wende kam, als ich den von WM aus dem Zusammenhang gerissenen Satz
von Cantor
Na, na! Du schriebst: Das Hütchenspiel liefert angeblich einen einfachen Weg von Ord_A zu Ord_Z über Zwischenstationen vom Typ Ord_M.
Ja, "angeblich", denn Du gibst damit an. Ich doch nicht.
Post by Ganzhinterseher
Dazu zitierte ich Cantor in der festen Überzeugung, dass seine Verwendung des Begriffs "Anzahl" allgemein bekannt sei.
Post by Rainer Rosenthal
glaubte anzweifeln zu müssen. Dass in dem Zusammenhang das
Wort "Anzahl" für "Ordinalzahl" benutzt wurde, habe ich geahnt und dann
beim Lesen der Cantorschen Schriftbestätigt gefunden. Ein schönes erstes
AHA bei der Hütchen-Spielerei.
Du verwechselst selbst immer wieder die beiden Anzahl-Begriffe
Kardinalzahl und Ordinalzahl. Dass 1 + Aleph0 = Aleph0 + 1 = Aleph0 ist
(was stimmt), findest Du genauso schön wie 1 + omega = omega + 1 = omega
(was natürlich falsch ist).
Man spricht von Ordnungen, und Du erzählst dann was von Bijektinen. Ich
habe ja den Zusammenhang geahnt und ihn für mich hergestellt. Und wie Du
sehen konntest, war das eine sehr lehrreiche Erfahrung für mich, für die
ich Dir dann doch irgendwie dankbar bin, weil dank Deiner Nörgeleien
gegen die Mengenlehre auch immer mal wieder etwas zum Nachdenken vorkommt.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Auf die heute früh vorgetragene Fortsetzung der alten Story von Hilberts
Hotel bin ich dabei wirklich stolz.
Dann will ich sie jetzt lesen. (Bisher kam ich nicht dazu.) Und Du kannst Dich daran machen, die obige Umordnung zu erklären.
Sorry, was soll das denn? Ich weiß doch, dass es keine Umordnung aus
Transpositionen gibt, die [1,2,3,...] in [2,3,4,...,1] überführt.

Gruß,
RR
Carlo XYZ
2020-04-06 19:01:11 UTC
Permalink
Post by Helmut Richter
Post by Carlo XYZ
Ich warte erst mal ab, ob Helmut etwas zu meinem
Er hat ja eine alternative Definition der Wirkung
von unendlich vielen Transpositionen.
Ich habe heute Pause gemacht und die neuen Beiträge nur kurz überflogen
statt sie wirklich zu lesen. Es scheint zwei oder drei verschiedene
Ansätze zu geben, und die will ich verstehen, bevor ich sie kommentiere.
(Die Pause ist nicht notwendig morgen zu Ende; es gibt auch noch andere
Hobbys...
Natürlich. Sorry, das sollte kein Drängeln sein!

Dein Einwand gegen meine "ultrafinitistische"
Beweisskizze war vollkommen gerechtfertigt.
Carlo XYZ
2020-04-05 19:02:35 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Cantors Behauptung scheint nun zu sein: Für eine Injektion
$C$ gibt es genau dann eine ordnungserhaltende Bijektion
zwischen der induzierten Ordnung auf $M$ und der
ursprünglichen Wohlordnung, wenn sich $C$ als Produkt
von Transpositionen $(T_i)_{i\le\kappa}$ schreiben lässt.
Ist das das Gleiche wie die folgende Aussage?

"Zwei Wohlordnungen auf M sind genau dann ordnungsisomorph,
wenn die eine durch ein (möglicherweise unendliches) Produkt
von Transpositionen in die andere übergeht."

Wenn ja, dann stimmt es mit meiner Interpretation von
Cantors Behauptung überein - und ich habe dich wenigstens
schon mal so weit verstanden.
Rainer Rosenthal
2020-04-05 20:58:06 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Cantors Behauptung scheint nun zu sein: Für eine Injektion
$C$ gibt es genau dann eine ordnungserhaltende Bijektion
zwischen der induzierten Ordnung auf $M$ und der
ursprünglichen Wohlordnung, wenn sich $C$ als Produkt
von Transpositionen $(T_i)_{i\le\kappa}$ schreiben lässt.
Ist das das Gleiche wie die folgende Aussage?
"Zwei Wohlordnungen auf M sind genau dann ordnungsisomorph,
wenn die eine durch ein (möglicherweise unendliches) Produkt
von Transpositionen in die andere übergeht."
Wenn ja, dann stimmt es mit meiner Interpretation von
Cantors Behauptung überein - und ich habe dich wenigstens
schon mal so weit verstanden.
So habe ich Cantor auch verstanden, und dass ein Element verloren gehen
kann (oder auch mehr, wie das Beispiel lmut Richter zeigt, bei dem sogar
zwei Elemente rausfliegen), nehme ich erst einmal interessiert in Kauf.
Was bei einem unendlichen Produkt von Transpositionen passieren kann,
muss man sich halt genau anschauen, und dann wird man sich
wahrscheinlich damit abfinden können.

Nach meiner Interpretation der Hütchen-Spielerei als Fortsetzung der
alten Geschichte von Hilberts Hotel bin ich doppelt sicher, dass
Elemente verschwinden können.
Dort hat sich der Hütchen-Spieler als Gast eingeschlichen, wie der
Portier glaubte. Der Polizei konnte er dann aber keinen hilfreichen
Hinweis geben, wo er sich aufhielt, weil die Zimmerliste genau gleich
wie am Vortag war und alle Gäste wieder in ihren angestammten Zimmern waren.

Schaut man genau hin, dann ist die Paradoxie von Hilberts Hotel (in der
klassischen Variante), dass durch unendliches Vertauschen ein Element
ZUSÄTZLICH eingebracht werden kann: 1 + omega = omega.
Und meine Geschichte vom Hütchen-Spieler in Hilberts Hotel zeigt, dass
der mysteriöse Gast durch eine andere Art der unendlichen Vertauscherei
auch wieder verschwinden kann.
Unterm Strich total logisch: die Gästeliste ist ungeändert, d.h. der
vorher einquartierte Gast hat wohl das Hotel verlassen. Keine Ahnung
wohin ... aber ins Penthouse sicher nicht :-)

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-06 12:43:30 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Nach meiner Interpretation der Hütchen-Spielerei als Fortsetzung der
alten Geschichte von Hilberts Hotel bin ich doppelt sicher, dass
Elemente verschwinden können.
Dort hat sich der Hütchen-Spieler als Gast eingeschlichen, wie der
Portier glaubte.
Es geh hier also nicht um eine Umordnung der Gäste, sondern um einen zusätzlichen Gast. Es gibt unendlich viele verschiedene Mengen. die die OZ ω haben können. Aber es gibt keine Menge, die zu verschiedenen Zeitpunkten oder in verschiedenen Ordnungen ihre Elemente wechseln kann. Bei einer Umordnung bleiben alle ausnahmslos erhalten. (Und die Plätze auch, denn auch sie stellen ein Menge dar.)

Gruß, WM
Martin Vaeth
2020-04-08 04:44:50 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Cantors Behauptung scheint nun zu sein: Für eine Injektion
$C$ gibt es genau dann eine ordnungserhaltende Bijektion
zwischen der induzierten Ordnung auf $M$ und der
ursprünglichen Wohlordnung, wenn sich $C$ als Produkt
von Transpositionen $(T_i)_{i\le\kappa}$ schreiben lässt.
Ist das das Gleiche wie die folgende Aussage?
"Zwei Wohlordnungen auf M sind genau dann ordnungsisomorph,
wenn die eine durch ein (möglicherweise unendliches) Produkt
von Transpositionen in die andere übergeht."
Wenn ja, dann stimmt es mit meiner Interpretation von
Cantors Behauptung überein - und ich habe dich wenigstens
schon mal so weit verstanden.
So habe ich Cantor auch verstanden, und dass ein Element verloren gehen
kann
Ich bin ziemlich sicher, dass das unter "Umordnung" ausgeschlossen
werden soll: Sonst gäbe es Fälle, wo B eine "Umordnung" von A ist,
aber nicht umgekehrt, und das wäre doch ein sehr merkwürdiger
Begriff von Umordnung.
(Das ist auch das Problem bei meiner Definition, dass ich die
Surjektivität bislang nicht zeigen kann: Falls sich herausstellen
sollte, dass es kofinale Familien von Permutationen gibt, deren
Komposition nicht surjektiv ist, ist meine Definition vermutlich
ebenfalls für die Tonne.)
Post by Rainer Rosenthal
Nach meiner Interpretation der Hütchen-Spielerei als Fortsetzung der
alten Geschichte von Hilberts Hotel
Das ist die Alternative, auf die Dich Ralf bereits aufmerksam
gemacht hast: Entweder Du machst präzise Definitionen und betreibst
Mathematik auf der Basis von ZF, oder Du machst Geschwafel
und gerätst dadurch in Denkfehler.

In Hilberts Hotel ist Dein Denkfehler, dass Du hier einen
zeitlichen Aspekt miteinbeziehst und dabei vergisst,
dass die unendliche Komposition von Transpositionen irgendein
Objekt sein muss (Abbildung, Relation, ...) und nicht nur eine
beliebige Folge von Objekten.
Natürlich kann man auch die gesamte Folge als Objekt auffasen
oder diesem sogar irgendein Limes-Objekt zuordnen - etwa eine
Abbildung auf einem inversen Limes oder auf einem direkten Limes
oder irgendetwas anderes - aber ohne Zusatzvoraussetzungen hat
dieses Objekt mit der Grundmenge praktisch nichts mehr zu tun,
und es gibt wohl insbesondere keinen Weg, es im allgemeinen
Fall als "Umordung" der Grundmenge aufzufassen.

Falls Du einen solchen Weg siehst, d.H., falls Du beliebige
Kompositionen ohne irgendeine Zusatzvoraussetzung betrachten
willst, musst Du das Limesobjekt für *jede* solche Kompositionen
präzise definieren - nicht durch Geschwafel an einem Beispiel.
Insbesondere musst Du dann definieren, was eine "Umordnung" ist,
und beweisen, weshalb für *jede* Familie von Kompositionen eine
solche "Umordnung" definiert ist.
Falls Du das nur für gewisse Familien von Kompositionen tun
kannst oder willst, ist das auch recht.
Entscheidend ist, dass Du eine präzise Definition der
"konvergierenden" Objekte und deren Grenzwerts hast.
Und dass damit Cantors Aussage gilt, denn ansonsten hast Du
wohl nicht das präzisiert, was Cantor im Sinn hatte.

Um die Sache an einem anderen Beispiel zu formulieren:
Es gibt etliche plausible Argumente, wie man der Folge 0,1,0,1...
den Grenzwert 1/2 zuordnen kann. (Durch verschiedene "unerlaubte"
Vertauschungen von Grenzübergängen etwa, oder indem man sagt,
dass die Folge der arithmetischen Mittel gegen 1/2 konvergiert.)
Natürlich kannst Du hergehen und sagen:
Eine Folge heiße "konvergent", falls sie im üblichen Sinne konvergent
ist, oder falls sie eine alternierende Folge 0,1,0,1... ist, oder
sogar allgemeiner, falls die Folge der arithmetischen Mittel im
üblichen Sinne konvergiert.
Und Du kannst sogar hergehen und (mit AC) zeigen, dass sich *jeder*
beschränkten Folge ein Grenzwert zuordnen lässt, der mit dieser
erweiterten Definitionen kompatibel ist und viele weitere übliche
Eigenschaften des üblichen Grenzwerts hat (z.B. Linearität),
Stichwort: Hahn-Banach-Limites.
Es stellt sich heraus, dass es unendlich viele solcher
Grenzwertdefinitionen gibt. Und wenn Du dann forderst, dass jede Folge
unter jeder dieser Definitionen den *selben* Grenzwert hast, bist
Du wieder bei einer ziemlich restriktiven Definition von Konvergenz
(Lorenz-Konvergenz).

All diese Erweiterungen der Definition machen Spaß, und man
kann damit nette Aussagen beweisen. Aber: Es ist eine andere
Definition von Konvergenz als die übliche, und bestimmte
Eigenschaften der *üblichen* Konvergenz sind nach der
Erweiterung der Definition eben anders.

Im konkreten Fall wissen wir nicht, was die "übliche"
Definition der Komposition von Transpositionsein soll.
Wir haben aber von Cantor eine ganz konkrete Behauptung über den
Zusammenhang mit "Umordnungen".
Wenn es darum geht, welche Definition Cantor wohl gemeint hat,
wird sich die Definition daran messsen lassen müssen, ob damit
dessen Behauptung richtig ist:
Ansonsten ist es eben nicht die Definition, die Cantor im Sinn hatte.
Oder Cantor hat hier einen Fehler gemacht - was natürlich nicht
ausgeschlossen ist: da er keinen Beweis gibt, kann man das letztlich
nicht beurteilen.
Es wäre aber doch schön, wenn wir am Ende dieses Threads eine
exakte Formulierung samt Beweis von Cantors Aussage hätten.
Post by Rainer Rosenthal
Unterm Strich total logisch: die Gästeliste ist ungeändert
und damit jeden Tag falsch. Wie gesagt, Dein Denkfehler besteht
darin, einen zeitlichen Aspekt einzubringen - und damit eine
*Folge* von Objekten zu betrachten - die Gästliste aber nur auf
das Limesobjekt zu beziehen, das Du im allgemeinen Fall
nicht einmal definiert hast. Wie erwähnt, kannst Du das
Limesobjekt einfach "herdefinieren", aber dadurch wirst
Du selber zum Hütchenspieler, der die wichtigste Information
durch Geschwafel verschleiert: Statt präzise zu argumentieren,
*definierst* Du die jeden Tag falsche Gästeliste einfach als
richtig, weil sie in irgendeinem undefinierten Grenzfall
richtig sei. Eine nette Geschichte, hat aber mit Mathematik
nichts zu tun. Damit hast Du eben ZF verlassen und bist auf
dem Niveau der Trolle dieser Gruppe.
Carlo XYZ
2020-04-08 05:20:56 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
(Das ist auch das Problem bei meiner Definition, dass ich die
Surjektivität bislang nicht zeigen kann: Falls sich herausstellen
sollte, dass es kofinale Familien von Permutationen gibt, deren
Komposition nicht surjektiv ist, ist meine Definition vermutlich
ebenfalls für die Tonne.)
Schaust du mal bitte unter dem Subject "Transpositionsketten"?
Ich glaube, dass Rainers Verschwindetransformation sowohl
kofinal als auch nicht-surjektiv ist und dass deine Definition
trotzdem nicht für die Tonne ist.
Martin Vaeth
2020-04-09 17:25:02 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
(Das ist auch das Problem bei meiner Definition, dass ich die
Surjektivität bislang nicht zeigen kann: Falls sich herausstellen
sollte, dass es kofinale Familien von Permutationen gibt, deren
Komposition nicht surjektiv ist, ist meine Definition vermutlich
ebenfalls für die Tonne.)
Schaust du mal bitte unter dem Subject "Transpositionsketten"?
Ich glaube, dass Rainers Verschwindetransformation sowohl
kofinal als auch nicht-surjektiv ist und dass deine Definition
trotzdem nicht für die Tonne ist.
Stimmt, sie ist kofinal.
Damit ist meine Definition für die Tonne, zumindest in dem Sinn,
dass man damit Cantors Behauptung nicht beweisen kann.
Carlo XYZ
2020-04-09 17:46:59 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
(Das ist auch das Problem bei meiner Definition, dass ich die
Surjektivität bislang nicht zeigen kann: Falls sich herausstellen
sollte, dass es kofinale Familien von Permutationen gibt, deren
Komposition nicht surjektiv ist, ist meine Definition vermutlich
ebenfalls für die Tonne.)
Schaust du mal bitte unter dem Subject "Transpositionsketten"?
Ich glaube, dass Rainers Verschwindetransformation sowohl
kofinal als auch nicht-surjektiv ist und dass deine Definition
trotzdem nicht für die Tonne ist.
Stimmt, sie ist kofinal.
Damit ist meine Definition für die Tonne, zumindest in dem Sinn,
dass man damit Cantors Behauptung nicht beweisen kann.
Protest! :-)

Aber wie gesagt, ich bin raus.
Carlo XYZ
2020-04-05 19:45:30 UTC
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Post by Martin Vaeth
a) Wenn ich versuche, die $T_i$ mit transfiniter Induktion
mit Hilfe der Abbildung $C$ zu definieren, sehe ich nicht,
wie ich dabei die Kofinalität der Familie $(T_i)_i$
sichern könnte.
Im Spezialfall von zwei unendlichen Folgen wäre die normale
Konstruktion, von der einen sukzessive Anfangselemente zu
betrachten und diese in der zweiten an den Anfang zu vertauschen.
Daraus folgt, dass jedes Element höchstens so oft bewegt wird,
wie seine Position in der ersten Folge ist, also insbesondere
endlich oft. Nimmt man deine Vermutung (unten) hinzu, folgt
schon die Kofinalität. Mache ich einen Denkfehler?

<Zitat MV aus einem anderen Posting:>
Übrigens vermute ich - sehe aber keinen trivialen Beweis -
dass eine Familie $(T_i)_{i<\kappa}$ von Transpositionen
auf $M$ genau dann kofinal ist, wenn jedes für jedes $x\in M$
die Menge $\{T_i(x):i<\kappa\}$ endlich ist:
Damit hätten wir dann Ralfs Definition, nur präzisiert.
<Ende Zitat>
Ganzhinterseher
2020-04-05 20:17:27 UTC
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Post by Carlo XYZ
Im Spezialfall von zwei unendlichen Folgen wäre die normale
Konstruktion, von der einen sukzessive Anfangselemente zu
betrachten und diese in der zweiten an den Anfang zu vertauschen.
Daraus folgt, dass jedes Element höchstens so oft bewegt wird,
wie seine Position in der ersten Folge ist, also insbesondere
endlich oft. Nimmt man deine Vermutung (unten) hinzu, folgt
schon die Kofinalität. Mache ich einen Denkfehler?
Man kann statt der 1 auch den Anfangsabschnitt (1, 2, 3, ..., n) mit Hilfe von Transpositionen durch die wohlgeordnete Menge (1, 2, 3, ...) hindurchwandern lassen. Die Elemente (1, 2, 3, ..., n) werden dabei unendlich oft bewegt. Nach Cantor dürfte sich die OZ nicht ändern.

Man könnte auch alle ungeraden Zahlen durch die wohlgeordnete Menge (1, 2, 3, ...) hindurchwandern lassen. Das Ergebnis (2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, ...) wäre durch Transpositionen zu erreichen und laut Cantor ohne Änderung der OZ möglich. Ohne dunkle Zahlen wäre das falsch.

Gruß, WM
Martin Vaeth
2020-04-08 02:49:17 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
a) Wenn ich versuche, die $T_i$ mit transfiniter Induktion
mit Hilfe der Abbildung $C$ zu definieren, sehe ich nicht,
wie ich dabei die Kofinalität der Familie $(T_i)_i$
sichern könnte.
Im Spezialfall von zwei unendlichen Folgen wäre die normale
Konstruktion, von der einen sukzessive Anfangselemente zu
betrachten und diese in der zweiten an den Anfang zu vertauschen.
Das Problem dabei ist, dass Du dabei die dort stehenden Elemente
"nach hinten" vertauschst. Und sobald Du dann an diesem hinteren
Platz ankommmst, ist dieses Element höchstwahrscheinlich wieder
falsch und muss wieder "nach hinten" vertauscht werden.
Es gibt ohne weitere Konstruktion keine Garantie, dass sich
das für jedes Element nur endlich oft wiederholt.
Post by Carlo XYZ
<Zitat MV aus einem anderen Posting:>
Übrigens vermute ich - sehe aber keinen trivialen Beweis -
dass eine Familie $(T_i)_{i<\kappa}$ von Transpositionen
auf $M$ genau dann kofinal ist, wenn jedes für jedes $x\in M$
Damit hätten wir dann Ralfs Definition, nur präzisiert.
<Ende Zitat>
Das konnte ich ja inzwischen beweisen...
Carlo XYZ
2020-04-08 05:29:04 UTC
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Post by Martin Vaeth
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
a) Wenn ich versuche, die $T_i$ mit transfiniter Induktion
mit Hilfe der Abbildung $C$ zu definieren, sehe ich nicht,
wie ich dabei die Kofinalität der Familie $(T_i)_i$
sichern könnte.
Im Spezialfall von zwei unendlichen Folgen wäre die normale
Konstruktion, von der einen sukzessive Anfangselemente zu
betrachten und diese in der zweiten an den Anfang zu vertauschen.
Das Problem dabei ist, dass Du dabei die dort stehenden Elemente
"nach hinten" vertauschst. Und sobald Du dann an diesem hinteren
Platz ankommmst, ist dieses Element höchstwahrscheinlich wieder
falsch und muss wieder "nach hinten" vertauscht werden.
Es gibt ohne weitere Konstruktion keine Garantie, dass sich
das für jedes Element nur endlich oft wiederholt.
Das verstehe ich nicht. Wie ich schon in meinem allerersten Beitrag
schrieb, würde ich gern "von vorne" vorgehen und die jeweilig ersten
Elemente streichen. Beispiel:

A: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

B: 1, 3, 0, 5, 2, 7, 4, 9, 6, 11, 8, 13, ...

Wie komme ich von A nach B? A gehe ich sukzessive ab, vertausche
nur in B und streiche jeweils das erste Element bei beiden. Also

(0/1), streiche die 0
(1/3), streiche die 1
(2/3), streiche die 2
(3/5), streiche die 3
(4/5), streiche die 4
(5/7), streiche die 5
.
.
.

Dann wird die 0 höchstens einmal, die 1 höchstens 2-mal usw. vertauscht.
So ein Vorgehen kenne ich generell vage unter "Ko-Induktion".
Post by Martin Vaeth
Das konnte ich ja inzwischen beweisen...
Ja, das hatte ich in dem Moment nicht auf dem Schirm.
Carlo XYZ
2020-04-08 05:37:30 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Das verstehe ich nicht. Wie ich schon in meinem allerersten Beitrag
Wie ich gerade sehe, bestätigt Ralf Bader dies mit Hinweis
auf einen URL, den ich auch vorher schon zitiert hatte.
Die Konstruktion dort zeigt, dass man sogar so hinkommt,
dass jedes Element höchstens zweimal vertauscht wird.

Ich bin nicht sicher, wie das in meinem Beispiel gehen
würde (und zweifle es im Moment sogar etwas an).
Martin Vaeth
2020-04-09 17:47:36 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Das Problem dabei ist, dass Du dabei die dort stehenden Elemente
"nach hinten" vertauschst. Und sobald Du dann an diesem hinteren
Platz ankommmst, ist dieses Element höchstwahrscheinlich wieder
falsch und muss wieder "nach hinten" vertauscht werden.
Es gibt ohne weitere Konstruktion keine Garantie, dass sich
das für jedes Element nur endlich oft wiederholt.
Das verstehe ich nicht. Wie ich schon in meinem allerersten Beitrag
schrieb, würde ich gern "von vorne" vorgehen und die jeweilig ersten
A: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
B: 1, 3, 0, 5, 2, 7, 4, 9, 6, 11, 8, 13, ...
Wie komme ich von A nach B? A gehe ich sukzessive ab, vertausche
nur in B und streiche jeweils das erste Element bei beiden. Also
(0/1), streiche die 0
(1/3), streiche die 1
(2/3), streiche die 2
(3/5), streiche die 3
(4/5), streiche die 4
(5/7), streiche die 5
.
Dann wird die 0 höchstens einmal, die 1 höchstens 2-mal usw. vertauscht.
Ja, und bei höheren Ordinalzahlen ist es eben vielleicht möglich,
dass irgendetwas \omega-mal vertauscht wird. Ich behaupte nicht, dass
es ein solches Gegenbeispiel gibt, aber ich sehe halt auch keinen
Beweis.
Carlo XYZ
2020-04-09 17:56:25 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Post by Carlo XYZ
A: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
B: 1, 3, 0, 5, 2, 7, 4, 9, 6, 11, 8, 13, ...
Wie komme ich von A nach B? A gehe ich sukzessive ab, vertausche
nur in B und streiche jeweils das erste Element bei beiden. Also
(0/1), streiche die 0
(1/3), streiche die 1
(2/3), streiche die 2
(3/5), streiche die 3
(4/5), streiche die 4
(5/7), streiche die 5
.
Dann wird die 0 höchstens einmal, die 1 höchstens 2-mal usw. vertauscht.
Ja, und bei höheren Ordinalzahlen ist es eben vielleicht möglich,
dass irgendetwas \omega-mal vertauscht wird. Ich behaupte nicht, dass
es ein solches Gegenbeispiel gibt, aber ich sehe halt auch keinen
Beweis.
Das sehe ich weniger skeptisch. Gehen wir zur ersten Ordinalzahl O,
die behandeln wir erst dann, wenn \nat "insgesamt abgearbeitet" ist,
d.h. alles dort gestrichen ist, und dann geht's weiter mit O+1, O+2
usw. Ich sehe momentan kein intuitives Problem, außer dass es formal
gut hingeschrieben gehört. Gibt es transfinite Ko-Induktion?

<https://www.cs.cornell.edu/~kozen/Papers/Structural.pdf>

Da könnte man mal anfangen. Sagte ich schon, dass ich raus bin?
f***@gmail.com
2020-04-09 18:32:25 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Gibt es transfinite Ko-Induktion?
<https://www.cs.cornell.edu/~kozen/Papers/Structural.pdf>
https://www.academia.edu/28946723/p-Adic_physics_non-well-founded_reality_and_unconventional_computing p.3

'Transfinite coinduction is implicitly used in the definition of spherically complete ultrametric spaces'
Carlo XYZ
2020-04-06 07:37:37 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
b) Wenn $C$ Komposition von Transpositionen ist, habe ich
gar keine rechte Idee, wie ich die ordnungserhaltende
Bijektion definieren könnte. Vom offensichtlichen
Kandidaten $C$ selbst kann ich wie gesagt nicht die
Surjektivität zeigen.
Wieder im Spezialfall unendliche Folgen:

Transpositionen T sind involutorisch (T^{-1}=T),
also sollte eine unendliche Kette C von Transpositionen
selbstinvers sein (und ist es auch, denke ich).

Zur Surjektivität braucht man also "nur" $id\subseteq C\circ C$.
Carlo XYZ
2020-04-06 14:36:30 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Transpositionen T sind involutorisch (T^{-1}=T),
also sollte eine unendliche Kette C von Transpositionen
selbstinvers sein (und ist es auch, denke ich).
Letzteres zu beweisen gelingt mir allerdings nicht.
Carlo XYZ
2020-04-06 17:54:13 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Carlo XYZ
Transpositionen T sind involutorisch (T^{-1}=T),
also sollte eine unendliche Kette C von Transpositionen
selbstinvers sein (und ist es auch, denke ich).
Letzteres zu beweisen gelingt mir allerdings nicht.
Kein Wunder, es stimmt ganz einfach nicht.
Andreas Leitgeb
2020-04-06 17:55:16 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Carlo XYZ
Transpositionen T sind involutorisch (T^{-1}=T),
also sollte eine unendliche Kette C von Transpositionen
selbstinvers sein (und ist es auch, denke ich).
Letzteres zu beweisen gelingt mir allerdings nicht.
Muss wohl daran scheitern, dass man eine (unendliche) Folge
nicht umdrehen kann... egal, ob es eine Folge von Zahlen, oder
eben von Transpositionen ist.
Carlo XYZ
2020-04-06 18:21:39 UTC
Permalink
Post by Andreas Leitgeb
Post by Carlo XYZ
Post by Carlo XYZ
Transpositionen T sind involutorisch (T^{-1}=T),
also sollte eine unendliche Kette C von Transpositionen
selbstinvers sein (und ist es auch, denke ich).
Letzteres zu beweisen gelingt mir allerdings nicht.
Muss wohl daran scheitern, dass man eine (unendliche) Folge
nicht umdrehen kann... egal, ob es eine Folge von Zahlen, oder
eben von Transpositionen ist.
Es scheitert ähnlich, wie schon die Komposition zweier Transpositionen
nicht involuntorisch sein muss.

Dass man unendliche Transpositionsketten C nicht direkt umdrehen kann,
ist kein zwingender Grund. Es könnte sein, dass man den Effekt einer
solchen Umkehrung wieder mit Hilfe einer Transpositionskette darstellen
kann.

Vermutlich steckt irgendwas Gruppentheoretisches dahinter..
Carlo XYZ
2020-04-06 18:58:33 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Vermutlich steckt irgendwas Gruppentheoretisches dahinter..
Beim Googlen stoße ich auf dies hier:

<https://mathoverflow.net/questions/17653/infinite-permutations>

Von dort aus kommt man auf Hölzchen und Stöckchen, inklusive
Topologie und "infinite symmetric group" (hatte hier WIMRE
auch schon jemand erwähnt) ..
Carlo XYZ
2020-04-06 19:23:42 UTC
Permalink
Post by Andreas Leitgeb
Post by Carlo XYZ
Post by Carlo XYZ
Transpositionen T sind involutorisch (T^{-1}=T),
also sollte eine unendliche Kette C von Transpositionen
selbstinvers sein (und ist es auch, denke ich).
Letzteres zu beweisen gelingt mir allerdings nicht.
Muss wohl daran scheitern, dass man eine (unendliche) Folge
nicht umdrehen kann... egal, ob es eine Folge von Zahlen, oder
eben von Transpositionen ist.
Beispiel: Das 2. Beispiel in <r6bm6n$q5r$***@dont-email.me>.

Wenn ich nicht irre, dann führt die dort angegebene Kette
von Transpositionen sowohl A in B als auch B in A über,
zerfällt aber nicht in Zyklen der Länge 2.
Carlo XYZ
2020-04-06 21:54:38 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
b) Wenn $C$ Komposition von Transpositionen ist, habe ich
gar keine rechte Idee, wie ich die ordnungserhaltende
Bijektion definieren könnte. Vom offensichtlichen
Kandidaten $C$ selbst kann ich wie gesagt nicht die
Surjektivität zeigen.
Mir kommen Zweifel, ob deine Definition (kofinal) in b) vielleicht
etwas restriktiv verwendet wird. Mit Obigem willst du wohl zeigen,
dass so etwas wie das Vorbeidefilieren einzelner Elemente damit
nicht möglich ist. Wenn man es aber zuließe? D.h.: C definiert
nicht notwendig eine surjektive Funktion, sondern bildet nur
solche x auf ein y (in M) ab, für die w_x wohldefiniert ist.

Das tut m.M.n. der Aussage von Cantor in der einen Richtung keinen
Abbruch (man müsste zeigen, dass C ein Ordnungsmonomorphismus ist),
und in der anderen Richtung liefert die kanonische Konstruktion
sogar eine in deinen Worten kofinale Kette von Transpositionen.
(Hopefully.)
Carlo XYZ
2020-04-05 18:50:54 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Die Relation zwischen zwei Ordnungen,
Wohlordnungen der gleichen Grundmenge zu sein.
^^ *sigh* Da fehlt "zueinander isomorphe".
Juergen Ilse
2020-04-05 13:07:54 UTC
Permalink
Hallo,
Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge ? irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch Permutation der Elemente entstehen.
Vielleicht sollten SIE sich einfach heraushalten, wenn sich intelligente
Menschenueber ernsthafte Themen unterhalten. IHRE Einlassung zeigt nur
einmal mehr, dass sie nicht das geringste begriffen haben und bicht in
der Lage sind, Metzhematik in irgend einer Form zu begreifen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Carlo XYZ
2020-04-05 20:00:37 UTC
Permalink
Also: Kofinal heißt: Falls $\lambda$ Limesordinalzahl ist,
gibt es für jedes $x\in M$ ein $j<\lambda$, so dass $C_i(x)$ für
jedes $i$ mit $j<i<\lambda$ den selben Wert $w_x$ hat, also
unabhängig ist von $i$. (Und man setzt dann $C_i(x):=w_x$.)
Super-Definition (gefällt mir besser als konvergenzbasierte),
weil sie mMn die Essenz erfasst, wann so ein unendliches
Produkt wohldefiniert ist.
Rainer Rosenthal
2020-04-06 11:13:15 UTC
Permalink
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.
Inzwischen habe ich weiter über dies Hütchen-Spiel nachdenken können und
es in Bezug zu Hilberts Hotel gesetzt. In diesem Klassiker ist das Hotel
mit [2,3,4,...] voll belegt, und es muss Platz geschaffen werden für den
neu angekommenen Gast 1. Das wird scheinbar mühelos durch den Trick
geschafft, alle Gäste ein Zimmer weiter ziehen zu lassen, wonach 1
einziehen kann und das Hotel nun diese Belegung hat: [1,2,3,4,...].

Lasst uns doch nun mal darüber nachdenken, wie wir diesen Gast wieder
loswerden können.
Die einfachste Lösung: er verlässt das Hotel, und alle Gäste dürfen
zurück in ihr altes Zimmer. Ergebnis [2,3,4,...], also wie am Anfang.

Genial wird es, wenn dieser Gast ein krimineller Hütchen-Spieler ist.
Die Polizei ist ihm auf den Fersen, und er bereitet seine Flucht
geistreich vor, indem er so tut als würde er ins Hotel hinein flüchten!
Er suggeriert dem Portier, er würde Gast 2 sein Zimmer wieder zur
Verfügung stellen, um weiter oben zu übernachten: [2,1,3,4,...].
Um nicht lästig zu fallen, würde er aber auch mit 3 tauschen usw.
Er suggeriert dem tumben Portier also, dass er sich aktiv an der
Rücktauscherei der Zimmer beteiligen würde, bei der ja ohnehin alle
Gäste wieder in ihr altes Zimmer zurückkehren. Das ist ein virtuelles
Hütchensiel, das er im Kopf des völlg überorderten Portiers zur Schau
stellt. Der sieht in Gedanken also den betrügerischen Hütchen-Spieler,
den er übrigens sehr nett findet, auf seinem Weg durchs Hotel:
[2,3,1,4,...], [2,3,4,1,...], ... [2,3,4,...,1,...] ...

In Wahrheit aber hat sich der Hütchenspieler längst verdrückt und lässt
den Portier im Glauben, dass er eifrig beim Umzug der anderen Gäste
zurück in ihre Zimmer behilflich sei.
Tja, und dann kommt die der Wahrheit verpfichtete Polizei und wird von
dem Portier unabsichtlich in die falsche Richtung gelenkt.

Cool, nicht wahr?
Ein Anruf des Portiers in Augsburg hat ihn beruhigt, dass er alles
richtig gemacht habe, und dass die Polizei sicher im letzten Zimmer des
Hotels fündig werden würde, wo auch immer das sei :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Michael Klemm
2020-04-06 13:26:36 UTC
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Cantors Aussage *könnte* also mit dieser Definition ohne
zusätzliche Erweiterung stimmen, auch wenn mir nicht klar
ist, was Cantor mit "Umformungen, die die Anzahl nicht ändern"
meint: Meine Versuche, diesen Begriff zu präzisieren, sind
nämlich allesamt gescheitert.
Ich verstand ihn bisher so: zwei verschiedene Wohlordnungen
auf M, die die gleiche zugeordnete Ordinalzahl haben.
Beispiel: N (natürliche Zahlen) mit der üblichen Ordnung
versus N mit der üblichen Ordnung 2<3<4<.. ab Zahl 2
sowie x<1 für alle x in {2,3,4,...} haben nicht die
gleiche zugeordnete Ordinalzahl und sind daher
"Umformungen [von N], die die Anzahl ändern".
Bei Cantor kommt aber das Wort Permutation vor. Deshalb meine ich, dass in Deinem Beispiel die Aussage lautet: "x -> x+1 ist keine Permutation".
Cantors Aussage (von weit vorne im Thread hervorgeholt) lautet
"Die Frage, durch welche Umformungen einer
wohlgeordneten Menge ihre Anzahl geändert wird, durch welche
nicht, läßt sich einfach so beantworten, daß diejenigen und nur
diejenigen Umformungen die Anzahl ungeändert lassen, welche sich
zurückführen lassen auf eine endliche oder unendliche Menge von
Transpositionen, d. h. von Vertauschungen je zweier Elemente."
Ich sehe nichts von Permutation.
Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge
Wirgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten
Rangordnungwechseln, so wird dadmch der Typus nicht verändert, also auch
mcht äe,,Anzahl" oder ,,Ordnungszahl". Daraus folgt, daß sokh Umformuwen
einerwohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche
sichauf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je
zweiElementen zurückführen lassen, d. h. alle solchen Änderungen, welche
durch Perniutation der Elemente entstehen.
Lies: Permutation statt Perniutation.
Gruß
Michael
Unter Rangordnung könnte Cantor verstehen:
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-04-06 14:02:56 UTC
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Am Montag, 6. April 2020 15:26:38 UTC+2 schrieb Michael Klemm:

Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch 390 Permutation der Elemente entstehen. Da nun bei einer endlichen Menge, wenn der Inbegriff ihrer Elemente derselbe bleibt, jede Umformung sich auf eine Folge von Transpositionen zurückführen läßt, so liegt hierin der Grund, warum bei endlichen Mengen Ordnungszahl und Kardinalzahl gewissermaßen
Post by Michael Klemm
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.
Nein, Rang bezieht sich auf Rangfolge in der wohlgeordneten Menge.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-04-06 15:09:14 UTC
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Am Montag, 6. April 2020 15:26:38 UTC+2 schrieb Michael Klemm:

Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch 390 Permutation der Elemente entstehen. Da nun bei einer endlichen Menge, wenn der Inbegriff ihrer Elemente derselbe bleibt, jede Umformung sich auf eine Folge von Transpositionen zurückführen läßt, so liegt hierin der Grund, warum bei endlichen Mengen Ordnungszahl und Kardinalzahl gewissermaßen
Post by Michael Klemm
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.
Nein, Rang bezieht sic auf Rangfolge in der wohlgeordneten Menge.

Gruß, WM
Me
2020-04-06 15:37:16 UTC
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On Monday, April 6, 2020 at 3:26:38 PM UTC+2, Michael Klemm wrote:

"Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch Permutation der Elemente entstehen. Da nun bei einer endlichen Menge, wenn der Inbegriff ihrer Elemente derselbe bleibt, jede Umformung sich auf eine Folge von Transpositionen zurückführen läßt, so liegt hierin der Grund, warum bei endlichen Mengen Ordnungszahl und Kardinalzahl gewissermaßen ..." (Cantor)
Post by Michael Klemm
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.
Nein, eher nicht.

"Wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre
Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus
nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl"."

Man würde das heute wohl nicht mehr so ausdrücken; aber gemeint ist hier wohl einfach nur, dass

... < m < ... < m' < ...
vs.
... <* m' <* ... <* m <* ...
bzw.
... < m' < ... < m < ...
vs.
... <* m <* ... <* m' <* ...

betrachtet wird.

Es gilt hier also insbesondere

AxAy(x,y !e {m,m'} -> (x < y <-> x <* y)
und
(m < m' <-> m' <* m) & (m' < m <-> m <* m') .
Me
2020-04-06 15:51:57 UTC
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Post by Me
"Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch Permutation der Elemente entstehen. Da nun bei einer endlichen Menge, wenn der Inbegriff ihrer Elemente derselbe bleibt, jede Umformung sich auf eine Folge von Transpositionen zurückführen läßt, so liegt hierin der Grund, warum bei endlichen Mengen Ordnungszahl und Kardinalzahl gewissermaßen ..." (Cantor)
Post by Michael Klemm
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.
Nein, eher nicht.
"Wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre
Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus
nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl"."
Man würde das heute wohl nicht mehr so ausdrücken; aber gemeint ist hier wohl einfach nur, dass
... < m < ... < m' < ...
vs.
... <* m' <* ... <* m <* ...
bzw.
... < m' < ... < m < ...
vs.
... <* m <* ... <* m' <* ...
betrachtet wird.
Es gilt hier also insbesondere
AxAy(x,y !e {m,m'} -> (x < y <-> x <* y)
und
(m < m' <-> m' <* m) & (m' < m <-> m <* m') .
Ich denke, dass das Folgende (wenn man von Herrn Mückenheim absieht) unmstritten und einigermapen klar verständlich ist:

"Wenn in einer wohlgeordneten Menge irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß [in jedem Fall] solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche [...] Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen [...]" (Cantor)

Beweis z. B. mittels Induktion.

Offenbar versteht Cantor unter einer "Transpositionen von je zwei Elementen", dass "zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln".

Das scheint so weit ziemlich klar und "unproblematisch" zu sein, oder?
Ganzhinterseher
2020-04-06 16:00:29 UTC
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Post by Me
"Wenn in einer wohlgeordneten Menge irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß [in jedem Fall] solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche [...] Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen [...]" (Cantor)
Wenn es aktual unendliche Mengen gibt, dann auch solche von Transpositionen. Sie verändern die Zahl der Elemente nicht. Sie verändern möglicherweise die OZ. Aber damit werden dunkle Zahlen notwendig, oder die ganze Theorie ist falsch. Beispiel: (1, 2, 3, ...) wird zu (..., 3, 2, 1).

Gruß, WM
Me
2020-04-06 16:07:06 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Wenn es aktual unendliche Mengen gibt, dann auch solche von Transpositionen.
Natürlich.

Es geht hier aber um etwas anderes. Wie ist denn in der Mückenmatik die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Ganzhinterseher
2020-04-06 16:53:48 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Wenn es aktual unendliche Mengen gibt, dann auch solche von Transpositionen.
Natürlich.
Es geht hier aber um etwas anderes. Wie ist denn in der Mengenlehre die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Die 1 wird zur Abzählung der übrigen Zahlen verwendet. Sie wird mit jeder anderen Zahl in der Reihenfolge 2, 3, 4, ... vertauscht. Eigentlich nicht schwer zu verstehen.

Gruß, WM
Me
2020-04-06 17:21:28 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Wenn es aktual unendliche Mengen gibt, dann auch solche von Transpositionen.
Natürlich.
Es geht hier aber um etwas anderes. Wie ist denn in der Mengenlehre die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Die 1 wird zur Abzählung der übrigen Zahlen verwendet. Sie wird mit
Ich habe gefragt: Wie ist denn in der Mengenlehre [wahlweise gerne auch in der Mengenlehre] die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Me
2020-04-06 17:41:56 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Wenn es aktual unendliche Mengen gibt, dann auch solche von Transpositionen.
Natürlich.
Es geht hier aber um etwas anderes. Wie ist denn in der Mengenlehre die
"unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Kannst Du verlogenes A... auch mal etwas zitieren, ohne es zu fälschen?

Ich hatte gefragt: "Wie ist denn in der Mückenmatik die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?

Aber ich vergaß: Ich hatte mich -in diesem Zusammenhang ja schon auf EOD festgelegt. :-)
Ganzhinterseher
2020-04-06 20:26:30 UTC
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Ich hatte gefragt: "Wie ist denn in der Mathematik die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Schon mal was von Surjektion gehört? Ja, sowas gibt's auch bei unendlichen Menge in der Mengenlehre. Da bleibt kein Auge trocken und kein Zahl unberührt.

Gruß, WM
Me
2020-04-07 01:01:24 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Ich hatte gefragt: "Wie ist denn in der Mathematik die "unendliche
Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Kannst Du merkbefreites A... auch mal etwas zitieren, ohne es zu fälschen?
Post by Ganzhinterseher
Ich hatte gefragt: "Wie ist denn in der Mückenmatik die "unendliche
Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT?
Schon mal was von Surjektion gehört?
Ja, in der Tat. Aber wie wär's, wenn Du einfach mal erklären würdest, wie in der Mückenmatik die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT ist?
Ganzhinterseher
2020-04-07 14:08:19 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Schon mal was von Surjektion gehört?
Ja, in der Tat. Aber wie wär's, wenn Du einfach mal erklären würdest, wie in der Mathematik die "unendliche Kompositionen" von Transpositionen DEFINIERT ist?
Es kann jede Gast in Hilberts Hotel das Zimmer wechseln:
(1 --> 2), (2 --> 3), (3 --> 4), ... unendlich viele Transpositionen werden von Hilbert "einfach so" akzeptiert. Es gibt ja nun einmal unendliche Mengen.

Nun lassen wir nicht den Gast von Zimmer 1 auf 2 wechseln, sondern den Hütchenspieler dort abweisen, weil der Gast auf 1 keinen Schlafgenossen möchte, obwohl die Couch noch frei wäre, wegen Corona-Verdacht. Genau so geht es dem Hütchenspieler in Zimmer 2, er wird abgewiesen. Und so weiter. Dass ist also nicht Neues im Vergleich zu Hilberts mit beifälligem Nicken und schafsmäßiger Einigkeit akzeptierten Erzählung.

Was soll also die Frage nach einer Definition? Gibt es etwa eine Definition von Cantor zur Nummerierung aller Brüche? Ja an einer ganz versteckten Stelle: "und es erfährt daher der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsprozeß keinen Stillstand." [Cantor, p. 239] Das ist alles, was gebraucht wird, um das aktual Unendliche zu bewältigen. Alle Brüche werden nummeriert, aber der 1 soll es den Hals brechen, wenn sie "am Ende" vom Tower runterfällt, mangels Penthouse?

Und es ist ja nicht nur die 1. Man kann auch alle ungeraden Zahlen "durchschieben". Sollen die alle runterfallen? Und wenn ja, wieviele Brüche fallen bei der Nummerierung runter?

Gruß, WM
Gruß, WM
Michael Klemm
2020-04-06 16:29:28 UTC
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Post by Me
Post by Me
"Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch Permutation der Elemente entstehen. Da nun bei einer endlichen Menge, wenn der Inbegriff ihrer Elemente derselbe bleibt, jede Umformung sich auf eine Folge von Transpositionen zurückführen läßt, so liegt hierin der Grund, warum bei endlichen Mengen Ordnungszahl und Kardinalzahl gewissermaßen ..." (Cantor)
Post by Michael Klemm
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.
Nein, eher nicht.
"Wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre
Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus
nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl"."
Man würde das heute wohl nicht mehr so ausdrücken; aber gemeint ist hier wohl einfach nur, dass
... < m < ... < m' < ...
vs.
... <* m' <* ... <* m <* ...
bzw.
... < m' < ... < m < ...
vs.
... <* m <* ... <* m' <* ...
betrachtet wird.
Es gilt hier also insbesondere
AxAy(x,y !e {m,m'} -> (x < y <-> x <* y)
und
(m < m' <-> m' <* m) & (m' < m <-> m <* m') .
"Wenn in einer wohlgeordneten Menge irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß [in jedem Fall] solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche [...] Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen [...]" (Cantor)
Beweis z. B. mittels Induktion.
Offenbar versteht Cantor unter einer "Transpositionen von je zwei Elementen", dass "zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln".
Das scheint so weit ziemlich klar und "unproblematisch" zu sein, oder?
Es geht hier um die Begriffe "Rang" und "Typus". Wenn sich jemand im Göttinger Digitalisierungszentrum den auf den zitierten Satz folgenden Satz ansiehst, dann bemerkt er, dass den "endlichen Mengen" (im Plural) eine "Valenz" zuordnet wird, und damit ist wohl nicht dieselbe Kardinal- oder Ordinalzahl gemeint.

Gruß
Michael
Me
2020-04-06 17:17:56 UTC
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Post by Michael Klemm
Post by Me
Post by Me
"Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch Permutation der Elemente entstehen. Da nun bei einer endlichen Menge, wenn der Inbegriff ihrer Elemente derselbe bleibt, jede Umformung sich auf eine Folge von Transpositionen zurückführen läßt, so liegt hierin der Grund, warum bei endlichen Mengen Ordnungszahl und Kardinalzahl gewissermaßen ..." (Cantor)
Post by Michael Klemm
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.
Nein, eher nicht.
"Wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre
Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus
nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl"."
Man würde das heute wohl nicht mehr so ausdrücken; aber gemeint ist hier wohl einfach nur, dass
... < m < ... < m' < ...
vs.
... <* m' <* ... <* m <* ...
bzw.
... < m' < ... < m < ...
vs.
... <* m <* ... <* m' <* ...
betrachtet wird.
Es gilt hier also insbesondere
AxAy(x,y !e {m,m'} -> (x < y <-> x <* y)
und
(m < m' <-> m' <* m) & (m' < m <-> m <* m') .
"Wenn in einer wohlgeordneten Menge irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß [in jedem Fall] solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche [...] Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen [...]" (Cantor)
Beweis z. B. mittels Induktion.
Offenbar versteht Cantor unter einer "Transpositionen von je zwei Elementen", dass "zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln".
Das scheint so weit ziemlich klar und "unproblematisch" zu sein, oder?
Es geht hier um die Begriffe "Rang" und "Typus".
Ah? Woher nimmst Du das? Oben steht lediglich etwas von Rangordnung.

Jetzt kommst Du plötzlich mit "Valenz" daher.

Egal. EOD
Me
2020-04-06 18:18:34 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
dann bemerkt er, dass den "endlichen Mengen" (im Plural) eine "Valenz"
zuordnet wird, und damit ist wohl nicht dieselbe Kardinal- oder
Ordinalzahl gemeint.
"Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)

Dieser Begriff hat sich offenbar nicht durchgesetzt.
Michael Klemm
2020-04-06 19:10:11 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Michael Klemm
dann bemerkt er, dass den "endlichen Mengen" (im Plural) eine "Valenz"
zuordnet wird, und damit ist wohl nicht dieselbe Kardinal- oder
Ordinalzahl gemeint.
"Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)
Dieser Begriff hat sich offenbar nicht durchgesetzt.
Der heutige Begriff müsste "Stufe der ordinalen Unendlichkeit" oder ähnlich heißen. Diese Stufen sind durch die Limesordinalzahlen von einander getrennt.

Gruß
Michael
Me
2020-04-06 19:22:59 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Post by Me
"Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für
Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)
Dieser Begriff hat sich offenbar nicht durchgesetzt.
Der heutige Begriff müsste "Stufe der ordinalen Unendlichkeit" oder ähnlich heißen.
Huh?! Der Begriff ist heute nach wie vor /Mächtigkeit/ oder /Kardinalität/.

Du scheinst etwas anderes zu meinen.
Michael Klemm
2020-04-06 21:03:16 UTC
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Post by Me
Post by Michael Klemm
dann bemerkt er, dass den "endlichen Mengen" (im Plural) eine "Valenz"
zuordnet wird, und damit ist wohl nicht dieselbe Kardinal- oder
Ordinalzahl gemeint.
"Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)
Dieser Begriff hat sich offenbar nicht durchgesetzt.
Der Begriff steht weder für Mächtigkeit noch Kardinalzahl. Seine Klassen sind in
https://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl#/media/Datei:Omega-exp-omega-labeled.svg graphisch dargestellt und nummeriert.

Gruß
Michael
Me
2020-04-06 23:01:54 UTC
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Post by Michael Klemm
Post by Me
"Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für
Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)
Dieser Begriff ["Valenz"; für dieen Zweck] hat sich offenbar nicht
durchgesetzt.
Der Begriff steht weder für Mächtigkeit noch Kardinalzahl.
CANTOR hat geschrieben: "Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)

Bist Du nicht in der Lage, die Aussage die er hier macht zu begreifen? Oder hast Du nur nicht verstanden, was ich oben gesagt/gemeint habe?

Oder redest Du über etwas anderen als dem zitierten Text Cantors?

Ist mir aber jetzt wirklich zu blöde: EOD.
Michael Klemm
2020-04-07 05:05:31 UTC
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Post by Michael Klemm
Post by Me
Post by Michael Klemm
dann bemerkt er, dass den "endlichen Mengen" (im Plural) eine "Valenz"
zuordnet wird, und damit ist wohl nicht dieselbe Kardinal- oder
Ordinalzahl gemeint.
"Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)
Dieser Begriff hat sich offenbar nicht durchgesetzt.
Der Begriff steht weder für Mächtigkeit noch Kardinalzahl. Seine Klassen sind in
https://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl#/media/Datei:Omega-exp-omega-labeled.svg graphisch dargestellt und nummeriert.
Gruß
Michael
OK, da habe ich mich getäuscht. Der Begriff, den ich meine, ist "von gleicher Zahlenklasse". Gemeint sind die Klassen der Ordinalzahlen.

Gruß
Michael
Michael

Gruß
Michael
Michael Klemm
2020-04-07 05:56:13 UTC
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Post by Michael Klemm
Post by Michael Klemm
Post by Me
Post by Michael Klemm
dann bemerkt er, dass den "endlichen Mengen" (im Plural) eine "Valenz"
zuordnet wird, und damit ist wohl nicht dieselbe Kardinal- oder
Ordinalzahl gemeint.
"Daher bediene ich mich auch des kürzeren Ausdrucks /Valenz/ für Mächtigkeit oder Kardinalzahl." (p. 387 ebenda)
Dieser Begriff hat sich offenbar nicht durchgesetzt.
Der Begriff steht weder für Mächtigkeit noch Kardinalzahl. Seine Klassen sind in
https://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl#/media/Datei:Omega-exp-omega-labeled.svg graphisch dargestellt und nummeriert.
Gruß
Michael
OK, da habe ich mich getäuscht. Der Begriff, den ich meine, ist "von gleicher Zahlenklasse". Gemeint sind die Klassen der Ordinalzahlen.
Gruß
Michael
Das ist die "neue Valenz" in
Gesammelte Abhandlungen 390: "Unter Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse verstehe ich ...; dieser Inbegriff von Ordnungszahlen konstituiert eine neue Valenz und zwar die auf der vorgehenden Valenz nächstfolgende, wie ich streng gezeigt habe ..."

Gruß
Michael
Me
2020-04-07 06:03:15 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
"Unter Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse verstehe ich ...; dieser
Inbegriff von Ordnungszahlen konstituiert eine neue Valenz und zwar die auf der
vorgehenden Valenz nächstfolgende, wie ich streng gezeigt habe ..."
Ich verstehe das so, dass er damit "die nächste Kardinalzahl" meint.
Michael Klemm
2020-04-07 07:46:22 UTC
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Post by Me
Post by Michael Klemm
"Unter Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse verstehe ich ...; dieser
Inbegriff von Ordnungszahlen konstituiert eine neue Valenz und zwar die auf der
vorgehenden Valenz nächstfolgende, wie ich streng gezeigt habe ..."
Ich verstehe das so, dass er damit "die nächste Kardinalzahl" meint.
Die zweite Zahlenklasse sind die endlichen Ordinalzahlen, weil Cantor mit der 1 zu zählen beginnt. Die dritte Zahlenklasse bilden die Ordinalzahlen Omega und Omega + n, n = 1, 2, 3,... bis vor 2 Omega. Weil Cantor "Valenz" als Sammelbegriff benutzt, nennt er die Gemeinsamkeit dieser Ordinalzahlen ihre dritte Valenz.

Gruß
Michael
Me
2020-04-07 08:10:01 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Michael Klemm
"Unter Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse verstehe ich ...; dieser
Inbegriff von Ordnungszahlen konstituiert eine neue Valenz und zwar die
auf der vorgehenden Valenz nächstfolgende, wie ich streng gezeigt habe ..."
Ich verstehe das so, dass er damit "die nächste Kardinalzahl" meint.
Weil Cantor "Valenz" als Sammelbegriff benutzt ...
Keine Ahnung, was Du hier mit Sammelbegriff meinst. Du kannst oben Valenz durch "Kardinalzahl" ersetzen.
Michael Klemm
2020-04-07 08:35:57 UTC
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Post by Me
Post by Me
Post by Michael Klemm
"Unter Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse verstehe ich ...; dieser
Inbegriff von Ordnungszahlen konstituiert eine neue Valenz und zwar die
auf der vorgehenden Valenz nächstfolgende, wie ich streng gezeigt habe ..."
Ich verstehe das so, dass er damit "die nächste Kardinalzahl" meint.
Weil Cantor "Valenz" als Sammelbegriff benutzt ...
Keine Ahnung, was Du hier mit Sammelbegriff meinst. Du kannst oben Valenz durch "Kardinalzahl" ersetzen.
Sammelbegriffe sind z.B. "Klasse", "Ordnung" oder "normal". Im vorliegenden Fall ergibt es wenig Sinn, wenn man auf die Klasse der endlichen Ordinalzahlen die Klasse der Kardinalzahlen 2^\aleph_0 folgen lässt.

Gruß
Michael
Me
2020-04-07 09:58:24 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Post by Me
Keine Ahnung, was Du hier mit Sammelbegriff meinst. Du kannst oben Valenz
durch "Kardinalzahl" ersetzen. [Me]
Sammelbegriffe sind z.B. "Klasse", "Ordnung" oder "normal".
Wie ich schon sagte, verwendet Cantor den Begriff "Valenz" im Sinne von "Mächtigkeit" bzw. "Kardinalzahl".

Da wir hier aber offenbar nicht "auf einen Grünen Zweig" kommen, brauchen wir das hier nicht weiter zu "vertiefen".
Michael Klemm
2020-04-07 10:11:15 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Michael Klemm
Post by Me
Keine Ahnung, was Du hier mit Sammelbegriff meinst. Du kannst oben Valenz
durch "Kardinalzahl" ersetzen. [Me]
Sammelbegriffe sind z.B. "Klasse", "Ordnung" oder "normal".
Wie ich schon sagte, verwendet Cantor den Begriff "Valenz" im Sinne von "Mächtigkeit" bzw. "Kardinalzahl".
Da wir hier aber offenbar nicht "auf einen Grünen Zweig" kommen, brauchen wir das hier nicht weiter zu "vertiefen".
Was stellt den Deiner Meinung nach die Spirale der Ordinalzahlen dar?

Gruß
Michael
Rainer Rosenthal
2020-04-07 09:16:55 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Die zweite Zahlenklasse sind die endlichen Ordinalzahlen, weil Cantor mit der 1 zu zählen beginnt. Die dritte Zahlenklasse bilden die Ordinalzahlen Omega und Omega + n, n = 1, 2, 3,... bis vor 2 Omega.
Hier steht es anders:

Gesammelte Abhandlungen III.9, §15 auf Seite 325:

Die zweite Zahlklasse Z(Aleph0) ist die Gesamtheit {alpha} aller
Ordnungstypen alpha wohlgeordneter Mengen von der Kardinalzahl Aleph0 (§6).

A. "Die zweite Zahlklasse hat eine kleinste Zahl omega = lim{nu} nu."

Gruß,
RR
Michael Klemm
2020-04-07 09:59:37 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Michael Klemm
Die zweite Zahlenklasse sind die endlichen Ordinalzahlen, weil Cantor mit der 1 zu zählen beginnt. Die dritte Zahlenklasse bilden die Ordinalzahlen Omega und Omega + n, n = 1, 2, 3,... bis vor 2 Omega.
Die zweite Zahlklasse Z(Aleph0) ist die Gesamtheit {alpha} aller
Ordnungstypen alpha wohlgeordneter Mengen von der Kardinalzahl Aleph0 (§6).
A. "Die zweite Zahlklasse hat eine kleinste Zahl omega = lim{nu} nu."
Gruß,
RR
Ja, Cantor erwähnt bei genauem Lesen meines Zitats die Nummer der ordinalen Zahlenklasse nicht.

Gruß
Michael
Rainer Rosenthal
2020-04-07 12:47:12 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Post by Rainer Rosenthal
Post by Michael Klemm
Die zweite Zahlenklasse sind die endlichen Ordinalzahlen, weil Cantor mit der 1 zu zählen beginnt. Die dritte Zahlenklasse bilden die Ordinalzahlen Omega und Omega + n, n = 1, 2, 3,... bis vor 2 Omega.
Die zweite Zahlklasse Z(Aleph0) ist die Gesamtheit {alpha} aller
Ordnungstypen alpha wohlgeordneter Mengen von der Kardinalzahl Aleph0 (§6).
A. "Die zweite Zahlklasse hat eine kleinste Zahl omega = lim{nu} nu."
Ja, Cantor erwähnt bei genauem Lesen meines Zitats die Nummer der ordinalen Zahlenklasse nicht.
Wer soll welches Zitat genau lesen?

Laut meinem Zitat, Seite 325, gehört omega zur zweiten Zahlklasse.
Laut Deiner Aussage gehört omega zur dritten Zahlklasse.

Was sehe ich falsch?
Michael Klemm
2020-04-07 14:41:58 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Post by Michael Klemm
Post by Rainer Rosenthal
Post by Michael Klemm
Die zweite Zahlenklasse sind die endlichen Ordinalzahlen, weil Cantor mit der 1 zu zählen beginnt. Die dritte Zahlenklasse bilden die Ordinalzahlen Omega und Omega + n, n = 1, 2, 3,... bis vor 2 Omega.
Die zweite Zahlklasse Z(Aleph0) ist die Gesamtheit {alpha} aller
Ordnungstypen alpha wohlgeordneter Mengen von der Kardinalzahl Aleph0 (§6).
A. "Die zweite Zahlklasse hat eine kleinste Zahl omega = lim{nu} nu."
Ja, Cantor erwähnt bei genauem Lesen meines Zitats die Nummer der ordinalen Zahlenklasse nicht.
Wer soll welches Zitat genau lesen?
Laut meinem Zitat, Seite 325, gehört omega zur zweiten Zahlklasse.
Laut Deiner Aussage gehört omega zur dritten Zahlklasse.
Was sehe ich falsch?
Da ist bei mir etwas falsch. Modern und richtig (?) geschrieben:
0, 1, 2, 3,... sind die Elemente der ersten Zahlenklasse omega; (omega,x), x e omega die Elemente zweiten Zahlenklasse omega^2 usw.

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-04-07 16:52:33 UTC
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Post by Michael Klemm
0, 1, 2, 3,... sind die Elemente der ersten Zahlenklasse omega; (omega,x), x e omega die Elemente zweiten Zahlenklasse omega^2 usw.
omega^2 ist ebenso abzählbar wie 2^omega oder omega. Sie alle gehören zur zweiten Zahlenklasse.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-04-07 17:40:54 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Michael Klemm
0, 1, 2, 3,... sind die Elemente der ersten Zahlenklasse omega; (omega,x), x e omega die Elemente zweiten Zahlenklasse omega^2 usw.
omega^2 ist ebenso abzählbar wie 2^omega oder omega.
Ist 2^omega nicht die Ordinalzahl der Pozenzmenge der natuerlichen Zahlen?
Wenn ja, ist 2^omega natuerlich *nicht* abzaehlbar, denn die Potenzmenge
einer beliebigen Menge M ist *immer* maechtiger als die urspruengliche
Menge M ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
f***@gmail.com
2020-04-07 18:01:22 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Michael Klemm
0, 1, 2, 3,... sind die Elemente der ersten Zahlenklasse omega; (omega,x), x e omega die Elemente zweiten Zahlenklasse omega^2 usw.
omega^2 ist ebenso abzählbar wie 2^omega oder omega.
Ist 2^omega nicht die Ordinalzahl der Pozenzmenge der natuerlichen Zahlen?
Wenn ja, ist 2^omega natuerlich *nicht* abzaehlbar, denn die Potenzmenge
einer beliebigen Menge M ist *immer* maechtiger als die urspruengliche
Menge M ...
https://math.stackexchange.com/questions/318827/ordinal-exponentiation-2-omega-omega
Juergen Ilse
2020-04-07 21:02:13 UTC
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iDanke fuer den Hinweis.
Ganzhinterseher
2020-04-07 18:18:38 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Michael Klemm
0, 1, 2, 3,... sind die Elemente der ersten Zahlenklasse omega; (omega,x), x e omega die Elemente zweiten Zahlenklasse omega^2 usw.
omega^2 ist ebenso abzählbar wie 2^omega oder omega.
Ist 2^omega nicht die Ordinalzahl der Pozenzmenge der natuerlichen Zahlen?
Wenn ja, ist 2^omega natuerlich *nicht* abzaehlbar, denn die Potenzmenge
einer beliebigen Menge M ist *immer* maechtiger als die urspruengliche
Menge M ...
All the ordinal numbers sogar w^w^w less than eps1 belong to the second number class because they are countable. A representation of 2^w is the set of all pairs of natural numbers. A model of w^w is the set of all finite sequences of natural numbers or, according to Hessenberg [G. Hessenberg: "Grundbegriffe der Mengenlehre", offprint from Abhandlungen der Fries'schen Schule, Vol. I, no. 4, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) § 20], the ordering of the natural numbers by the number of prime factors and then by sizes of the factors.

Mehr dazu in: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-07 19:17:05 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Michael Klemm
0, 1, 2, 3,... sind die Elemente der ersten Zahlenklasse omega; (omega,x), x e omega die Elemente zweiten Zahlenklasse omega^2 usw.
omega^2 ist ebenso abzählbar wie 2^omega oder omega.
Ist 2^omega nicht die Ordinalzahl der Pozenzmenge der natuerlichen Zahlen?
Wenn ja, ist 2^omega natuerlich *nicht* abzaehlbar, denn die Potenzmenge
einer beliebigen Menge M ist *immer* maechtiger als die urspruengliche
Menge M ...
Tschuess,
Ein paar Basics in Mengenlehre wären hilfreich. Sagt ja keiner, dass das
alles trivial ist. (Stimmt nicht ganz, neulich hat das hier jemand
behauptet, aber fur den ist sogar manchmal omega = omega + 1.)

Gruß,
RR
Me
2020-04-07 05:59:08 UTC
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Post by Michael Klemm
OK, da habe ich mich getäuscht. Der Begriff, den ich meine, ist "von gleicher
Zahlenklasse". Gemeint sind die Klassen der Ordinalzahlen.
Kein Problem. Ich nehme das als Anlass, mich mal ein wenig in die Originalarbeiten Cantors einzulesen. (Fest steht, dass einige seiner "Begriffsbildungen" nicht haltbar waren. Das merkt man auch schon beim einfachen Lesen - aus heutiger Sicht mutet das eine oder andere einigermaßen "fremd" an.)
Me
2020-04-06 18:32:19 UTC
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Post by Me
"Ich hebe noch folgendes hervor: wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl". Daraus folgt, daß solche Umformungen einer wohlgeordneten Menge die Anzahl derselben ungeändert lassen, welche sich auf eine endliche oder unendliche Folge von Transpositionen von je zwei Elementen zurückführen lassen, d. h. alle solche Änderungen, welche durch Permutation der Elemente entstehen. Da nun bei einer endlichen Menge, wenn der Inbegriff ihrer Elemente derselbe bleibt, jede Umformung sich auf eine Folge von Transpositionen zurückführen läßt, so liegt hierin der Grund, warum bei endlichen Mengen Ordnungszahl und Kardinalzahl gewissermaßen ..." (Cantor)
Post by Michael Klemm
Rang 1: endlich
Rang 2: ab omega bis unter 2 omega
usw.
Nein, eher nicht.
"Wenn in einer wohlgeordneten Menge  irgend zwei Elemente m und m' ihre
Plätze in der gesamten Rangordnung wechseln, so wird dadurch der Typus
nicht verändert, also auch nicht die "Anzahl" oder "Ordnungszahl"."
Man würde das heute wohl nicht mehr so ausdrücken; aber gemeint ist hier wohl einfach nur, dass
... < m < ... < m' < ...
vs.
... <* m' <* ... <* m <* ...
bzw.
... < m' < ... < m < ...
vs.
... <* m <* ... <* m' <* ...
betrachtet wird.
Es gilt hier also insbesondere
AxAy(x,y !e {m,m'} -> (x < y <-> x <* y)
und
(m < m' <-> m' <* m) & (m' < m <-> m <* m') .
Anmerkung:

"Zwei /wohlgeordnete/ Mengen M und N nenne ich vom gleichen /Typus/ oder auch /einander ähnlich/, wenn sie sich gegenseitig eindeutig /derart/ aufeinander beziehen lassen, daß wenn m und m' irgend zweier Elemente der ersten, n und n' die entsprechenden Elemente der anderen sind, /alsdann/ immer das Rangverhältnis von m' und m dasselbe ist wie das Rangverhältnis von n' zu n.

Ich denke, dass wir HEUTE wohl statt vom "Rangverhältnis" von der "Reihenfolge" sprechen würden. In jedem Fall scheint er sich mit dem "Rangverhältnis von m' und m" auf das Bestehen oder Nichtbestehen von "m < m'" bzw. "m > m'" zu beziehen.
Rainer Rosenthal
2020-04-06 23:39:29 UTC
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Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Nach gedanklichen Ausflügen zu Hilberts Hotel kehre ich wieder zum
ursprünglichen Thema und schreibe auf, was ich inzwischen finden konnte.
#
# Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
# definiert durch B(n) = n+1, gilt:
#
# B = (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/... (*)
#
# wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
# (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#
Die Komposition (*) entspricht dem "Vorbeidefilieren der 1".

Es ist eine von verschiedenen Möglichkeiten, die Abbildung
B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1,
als unendliches Produkt von Transpositionen zu schreiben.

Die Transpositionskette wirkt dabei so:
[1,2,3,4,5,...] geht mittels (1,2) über in
[2,1,3,4,5,...] geht mittels (1,3) über in
[2,3,1,4,5,...] geht mittels (1,4) über in
[2,3,4,1,5,...] geht mittels (1,5) über in
[2,3,4,5,1,...] usw.

Auch andere Produktdarstellungen sind denkbar. Z.B. diese:
[1,2,3,4,5,...] geht mittels (1,3) über in
[3,2,1,4,5,...] geht mittels (2,3) über in
[2,3,1,4,5,...] geht mittels (1,5) über in
[2,3,5,4,1,...] geht mittels (4,5) über in
[2,3,4,5,1,...] usw.

Hier tauscht die 1 mit dem übernächsten Element und anschließend wird
durch eine weitere Vertauschung dafür gesorgt, dass die übersprungenen
Elemente wieder in die richtige Reihenfolge kommen (*).
Es ist völlig egal, wie die Abbildung B technisch bewerkstelligt wird.
Wichtig ist, dass B die Ordnung [1,2,3,...] ordnungsisomorph in
[2,3,4,...] abbildet mit dem einfachen Zuordnungsgesetz B(n) = B(n+1).

Wer hier ein Element verschwinden sieht, sieht richtig.
Und es ist auch keine Hexerei, denn wenn ich [1,2,3,...] auf [2,3,4,...]
abbilde, muss ich mich nicht wundern, dass die 1 nicht im Bild der
Abbildung B ist, d.h. dass es kein x gibt mit B(x) = 1.

Gruß,
RR

(*) B = (1,3)/(2,3)/.../(1,2k+1)/(2k,2k+1)/...
= Produkt{k=1..oo} (1,2k+1)/(2k,2k+1)
wobei als Produkt von A und B die Komposition A/B bezeichnet wird.
Me
2020-04-06 23:45:22 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
(*) B = (1,3)/(2,3)/.../(1,2k+1)/(2k,2k+1)/...
= Produkt{k=1..oo} (1,2k+1)/(2k,2k+1)
Das ist immer noch Bullshit, sorry.
Ralf Bader
2020-04-07 00:03:47 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
 >
 > Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
 > auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
 >
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A,
komme ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Nach gedanklichen Ausflügen zu Hilberts Hotel kehre ich wieder zum
ursprünglichen Thema und schreibe auf, was ich inzwischen finden konnte.
#
#   Für die ordnungstreue Abbildung B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...],
#
#   B  =  (1,2)/(1,3)/.../(1,m)/...                            (*)
#
#   wobei (a,b) die Transposition von a und b bedeutet und
#   (f/g)(x) = g(f(x)) ist.
#
Die Komposition (*) entspricht dem "Vorbeidefilieren der 1".
Es ist eine von verschiedenen Möglichkeiten, die Abbildung
B: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...], definiert durch B(n) = n+1,
als unendliches Produkt von Transpositionen zu schreiben.
Was ist eine Abbildung zwischen solchen Dingern wie diesem [1,2,3,...]?
Post by Rainer Rosenthal
[1,2,3,4,5,...] geht mittels (1,2) über in
[2,1,3,4,5,...] geht mittels (1,3) über in
[2,3,1,4,5,...] geht mittels (1,4) über in
[2,3,4,1,5,...] geht mittels (1,5) über in
[2,3,4,5,1,...] usw.
[1,2,3,4,5,...] geht mittels (1,3) über in
[3,2,1,4,5,...] geht mittels (2,3) über in
[2,3,1,4,5,...] geht mittels (1,5) über in
[2,3,5,4,1,...] geht mittels (4,5) über in
[2,3,4,5,1,...] usw.
Hier tauscht die 1 mit dem übernächsten Element und anschließend wird
durch eine weitere Vertauschung dafür gesorgt, dass die übersprungenen
Elemente wieder in die richtige Reihenfolge kommen (*).
Es ist völlig egal, wie die Abbildung B technisch bewerkstelligt wird.
Wichtig ist, dass B die Ordnung [1,2,3,...] ordnungsisomorph in
[2,3,4,...] abbildet mit dem einfachen Zuordnungsgesetz B(n) = B(n+1).
Wirkt die "Transpositionskette" so, wie man es sich gerade wünscht?
Wirkt eine "Transpositionskette" nur auf das Dings [1,2,3,...] (OK, eine
Ordnung. Was ist eine Ordnung gerade? Eine Menge geordneter Paare, was
es bei Cantor eher noch nicht gab, oder irgendwas anderes? Gibt es da
allgemeine Definitionen?
Post by Rainer Rosenthal
Wer hier ein Element verschwinden sieht, sieht richtig.
Und es ist auch keine Hexerei, denn wenn ich [1,2,3,...] auf [2,3,4,...]
abbilde, muss ich mich nicht wundern, dass die 1 nicht im Bild der
Abbildung B ist, d.h. dass es kein x gibt mit B(x) = 1.
Und was soll das sein? Eine selbsterfüllende Prophezeiung? Denn das hast
Du ja aus dem eigenen Ärmel gezogen, daß das Ziel der Abbildung
[2,3,4,...] sei.
Post by Rainer Rosenthal
Gruß,
RR
(*) B  =  (1,3)/(2,3)/.../(1,2k+1)/(2k,2k+1)/...
       =  Produkt{k=1..oo} (1,2k+1)/(2k,2k+1)
wobei als Produkt von A und B die Komposition A/B bezeichnet wird.
Zunächst mal kann man exakt zwei
Morphismen/Abbildungen/Transpositionen/whatever verknüpfen. Wenn
hinlänglich Assoziativität gegeben ist, kann man das auf beliebig
endlich viele ausdehnen. Einfach so eine Komposition von unendlöich
vielem whatever zu deklarieren, ist komplett und ganz und gar sinnfrei.
Rainer Rosenthal
2020-04-08 09:53:06 UTC
Permalink
Post by Ralf Bader
Wirkt eine "Transpositionskette" nur auf das Dings [1,2,3,...] (OK, eine
Ordnung. Was ist eine Ordnung gerade? Eine Menge geordneter Paare, was
es bei Cantor eher noch nicht gab, oder irgendwas anderes? Gibt es da
allgemeine Definitionen?
Das Dings ist die Menge N = {1,2,3,...} mit der Ordnungsrelation K.
K ist die Teilmenge der (a,b) aus NxN, für die gilt a <= b.
Post by Ralf Bader
Post by Rainer Rosenthal
(*) B  =  (1,3)/(2,3)/.../(1,2k+1)/(2k,2k+1)/...
        =  Produkt{k=1..oo} (1,2k+1)/(2k,2k+1)
wobei als Produkt von A und B die Komposition A/B bezeichnet wird.
Zunächst mal kann man exakt zwei
Morphismen/Abbildungen/Transpositionen/whatever verknüpfen. Wenn
hinlänglich Assoziativität gegeben ist, ...
Das war ein reichlich rhetorisches "wenn".
Assoziativität von Funktions-Kompositionen ist Grundschule.
Post by Ralf Bader
kann man das auf beliebig endlich viele ausdehnen.
Einfach so eine Komposition von unendlich vielem whatever zu deklarieren,
ist komplett und ganz und gar sinnfrei.
Man kann sich ja bemühen, den Sinn zu erspüren und dann gut zu
formulieren. Die Darstellungsweise
B = (1,3)/(2,3)/.../(1,2k+1)/(2k,2k+1)/...
ist ein gut gemeinter Ansatz. Da muss ich dann auch damit leben, dass
man mir vorwirft: "gut gemeint" ist das Gegenteil von "gut gemacht".
Wer nichts macht, macht keine Fehler :-)

Gruß,
RR
Ralf Bader
2020-04-09 05:35:24 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ralf Bader
Wirkt eine "Transpositionskette" nur auf das Dings [1,2,3,...] (OK, eine
Ordnung. Was ist eine Ordnung gerade? Eine Menge geordneter Paare, was
es bei Cantor eher noch nicht gab, oder irgendwas anderes? Gibt es da
allgemeine Definitionen?
Das Dings ist die Menge N = {1,2,3,...} mit der Ordnungsrelation K.
K ist die Teilmenge der (a,b) aus NxN, für die gilt a <= b.
Post by Ralf Bader
Post by Rainer Rosenthal
(*) B  =  (1,3)/(2,3)/.../(1,2k+1)/(2k,2k+1)/...
        =  Produkt{k=1..oo} (1,2k+1)/(2k,2k+1)
wobei als Produkt von A und B die Komposition A/B bezeichnet wird.
Zunächst mal kann man exakt zwei
Morphismen/Abbildungen/Transpositionen/whatever verknüpfen. Wenn
hinlänglich Assoziativität gegeben ist, ...
Das war ein reichlich rhetorisches "wenn".
Assoziativität von Funktions-Kompositionen ist Grundschule.
Mag sein, aber man muß das trotzdem einmal im Leben explizit machen.
Stell Dir vor, Du programmierst ein Algebra-System, das solche Sachen
können soll. Du wirst Dich nicht darauf verlassen können, daß Dein
Computer/Programm in der Grundschule das Assoziativgesetz gelernt hat.
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ralf Bader
kann man das auf beliebig endlich viele ausdehnen.
Einfach so eine Komposition von unendlich vielem whatever zu deklarieren,
ist komplett und ganz und gar sinnfrei.
Man kann sich ja bemühen, den Sinn zu erspüren und dann gut zu
formulieren.
Ich würde eher sagen, man kann sich bemühen, etwas zu definieren, was
funktioniert.
Post by Rainer Rosenthal
Die Darstellungsweise
B = (1,3)/(2,3)/.../(1,2k+1)/(2k,2k+1)/...
ist ein gut gemeinter Ansatz. Da muss ich dann auch damit leben, dass
man mir vorwirft: "gut gemeint" ist das Gegenteil von "gut gemacht".
Wer nichts macht, macht keine Fehler :-)
Die (i,j), i,j e N, sind jetzt Transpositionen, die auf Dingse der Art
(N,RcNxN) wirken? Wie tun sie das? Etwa so: Mit N passiert überhaupt
nichts, und bei jedem geordneten Paar aus R, in dem i erscheint, wird
dies durch j ersetzt, und entsprechend jedes j durch i? Dann kann man
R_0 = R, R_i = Resultat der i.ten Transposition (1,i) (die besser mit
T(1,i) oder so bezeichnet werden sollte) angewandt auf R_(i-1), R_omega
= lim R_i ist dann wohl definiert. Ich fürchte, dann wird in Deinem
Beispiel aus dem Dings [1,2,3,...] das Dings [2,3,...,1].

Also das von Mückenheim Gewünschte, obwohl der
1) Mengenlimites nicht mag;
2) ein Dings bei ihm etwas anderes ist als bei Dir, nämlich eine
Abbildung f von IN auf eine (bereits geordnete) Menge von "Plätzen" oder
sowas. Und die Transpositionen würden auf solche Abbildungen f wirken,
T(i,j) würde die Werte für die Argumente i und j austauschen, den obigen
R_i entsprechend gäbe es eine Folge f_i, und deren Limes (wieder
Mengenlimes, indem die f_i als Mengen von Argument-Wert-Paaren aufgefaßt
werden, wäre undefiniert, weil es nichts gibt, was für f_omega(1)
infrage käme. Nicht genau, aber in etwa Dein "Verschwinden der 1".

Also: Dein Ansatz liefert das von Mückenheim Gewünschte, und Mückenheims
Ansatz liefert das von Dir Gewünschte. Aber einstweilen nur für ein
einzelnes Beispiel. Und deshalb halte ich es für nötig, die Ding(s)e
sauber zu definieren. Oder zu schweigen.
Carlo XYZ
2020-04-09 05:39:37 UTC
Permalink
Post by Ralf Bader
Die (i,j), i,j e N, sind jetzt Transpositionen, die auf Dingse der Art
(N,RcNxN) wirken? Wie tun sie das? Etwa so: Mit N passiert überhaupt
nichts, und bei jedem geordneten Paar aus R, in dem i erscheint, wird
dies durch j ersetzt, und entsprechend jedes j durch i? Dann kann man
R_0 = R, R_i = Resultat der i.ten Transposition (1,i) (die besser mit
T(1,i) oder so bezeichnet werden sollte) angewandt auf R_(i-1), R_omega
= lim R_i ist dann wohl definiert. Ich fürchte, dann wird in Deinem
Beispiel aus dem Dings [1,2,3,...] das Dings [2,3,...,1].
Dazu frage ich das Gleiche wie bereits Rainer:
Wo ist bitte deine allgemeine Definition?
Post by Ralf Bader
...Und deshalb halte ich es für nötig, die Ding(s)e
sauber zu definieren. Oder zu schweigen.
Oh, ein Glashaus.
Ralf Bader
2020-04-09 07:15:20 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Ralf Bader
Die (i,j), i,j e N, sind jetzt Transpositionen, die auf Dingse der Art
(N,RcNxN) wirken? Wie tun sie das? Etwa so: Mit N passiert überhaupt
nichts, und bei jedem geordneten Paar aus R, in dem i erscheint, wird
dies durch j ersetzt, und entsprechend jedes j durch i? Dann kann man
R_0 = R, R_i = Resultat der i.ten Transposition (1,i) (die besser mit
T(1,i) oder so bezeichnet werden sollte) angewandt auf R_(i-1), R_omega
= lim R_i ist dann wohl definiert. Ich fürchte, dann wird in Deinem
Beispiel aus dem Dings [1,2,3,...] das Dings [2,3,...,1].
Wo ist bitte deine allgemeine Definition?
Die allgemeine Definition wovon?
Post by Carlo XYZ
Post by Ralf Bader
...Und deshalb halte ich es für nötig, die Ding(s)e
sauber zu definieren. Oder zu schweigen.
Oh, ein Glashaus.
Carlo XYZ
2020-04-09 07:24:43 UTC
Permalink
Post by Ralf Bader
Post by Carlo XYZ
Post by Ralf Bader
Die (i,j), i,j e N, sind jetzt Transpositionen, die auf Dingse der Art
(N,RcNxN) wirken? Wie tun sie das? Etwa so: Mit N passiert überhaupt
nichts, und bei jedem geordneten Paar aus R, in dem i erscheint, wird
dies durch j ersetzt, und entsprechend jedes j durch i? Dann kann man
R_0 = R, R_i = Resultat der i.ten Transposition (1,i) (die besser mit
T(1,i) oder so bezeichnet werden sollte) angewandt auf R_(i-1), R_omega
= lim R_i ist dann wohl definiert. Ich fürchte, dann wird in Deinem
Beispiel aus dem Dings [1,2,3,...] das Dings [2,3,...,1].
Wo ist bitte deine allgemeine Definition?
Die allgemeine Definition wovon?
Von lim R_i, was du oben verwendet hast.
Ralf Bader
2020-04-09 15:06:43 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Ralf Bader
Post by Carlo XYZ
Post by Ralf Bader
Die (i,j), i,j e N, sind jetzt Transpositionen, die auf Dingse der Art
(N,RcNxN) wirken? Wie tun sie das? Etwa so: Mit N passiert überhaupt
nichts, und bei jedem geordneten Paar aus R, in dem i erscheint, wird
dies durch j ersetzt, und entsprechend jedes j durch i? Dann kann man
R_0 = R, R_i = Resultat der i.ten Transposition (1,i) (die besser mit
T(1,i) oder so bezeichnet werden sollte) angewandt auf R_(i-1), R_omega
= lim R_i ist dann wohl definiert. Ich fürchte, dann wird in Deinem
Beispiel aus dem Dings [1,2,3,...] das Dings [2,3,...,1].
Wo ist bitte deine allgemeine Definition?
Die allgemeine Definition wovon?
Von lim R_i, was du oben verwendet hast.
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Mengenfolge
Carlo XYZ
2020-04-09 16:12:05 UTC
Permalink
Post by Ralf Bader
Post by Carlo XYZ
Post by Ralf Bader
Post by Carlo XYZ
Post by Ralf Bader
Die (i,j), i,j e N, sind jetzt Transpositionen, die auf Dingse der Art
(N,RcNxN) wirken? Wie tun sie das? Etwa so: Mit N passiert überhaupt
nichts, und bei jedem geordneten Paar aus R, in dem i erscheint, wird
dies durch j ersetzt, und entsprechend jedes j durch i? Dann kann man
R_0 = R, R_i = Resultat der i.ten Transposition (1,i) (die besser mit
T(1,i) oder so bezeichnet werden sollte) angewandt auf R_(i-1), R_omega
= lim R_i ist dann wohl definiert. Ich fürchte, dann wird in Deinem
Beispiel aus dem Dings [1,2,3,...] das Dings [2,3,...,1].
Wo ist bitte deine allgemeine Definition?
Die allgemeine Definition wovon?
Von lim R_i, was du oben verwendet hast.
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Mengenfolge
Fair enough!

(Erst jetzt in dem ganzen Thread erinnere ich mich an diese Stelle
bei Wikipedia, die ich früher auch schon mehrfach hochgehalten habe:)

Ich bin mit deiner Aussage einverstanden: betrachtet man "Dingse"
wie [1,2,3,...] oder [2,3,...,1] als Teilmengen des Kartesischen
Produkts einer Grundmenge mit sich, wird, wie du sagst, mit der
Wikipedia-Definition aus "Dings [1,2,3,...] das Dings [2,3,...,1]".

Das stimmt also schon mal _nicht_ mit Martins kofinal-Definition
überein. Ich bin trotzdem der Auffassung, dass man die Definition
aus der Wikipedia mal im Kontext diskutieren könnte. Die Tatsache,
dass sie das unendliche Überholen erlaubt, hängt ja entscheidend
damit zusammen, dass der Term (\bigcup_{m=n}^\omega A_m) keine
(lineare) Ordnungsrelation mehr sein muss. Es wäre deshalb zu
prüfen, ob man sie für lineare Ordnungen gerne etwas schärfer
hätte (ähnlich wie man Bijektionen gerne mal als Isomorphismen
hat).

Zu Cantors Aussage: Mit Martins Definition scheint sie (zumindest
in größerem Ausmaß) korrekt zu sein, mit obiger Definition aus der
Wikipedia ist sie schlicht und einfach falsch, da Transpositionsketten
danach nicht wohlordnungserhaltend sind. Witzig..

Mein Fazit für heute: Ich kenne jetzt zwei Definitionen, eine mit
Cantor als Ergebnis, die andere ohne Cantor als Ergebnis. Da Helmut
sich nicht geäußert hat und mir die Muße fehlt, seine Definition
auch noch genauer zu untersuchen, kenne ich keine dritte:)

Damit kann ich leben, aber ich bin dann raus.
Carlo XYZ
2020-04-07 20:30:46 UTC
Permalink
Mit dieser korrigierten Definition ist Rainers "Komposition"
nicht kofinal, also das unendliche Produkt nicht definiert.
Das verstehe ich nicht. Dazu mache ich zwei Beispiele.

Beispiel 1:

Wir gehen von der Folge

A: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

aus und wenden darauf die Transpositionskette

(0/1) (0/2) (0/3) (0/4) ... an [ (i/j) bedeute: vertausche i und j ]

Wenn ich nicht irre, ist diese Kette auch nach deiner zweiten
(korrigierten) Version kofinal und ergibt die Folge

B: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

Allerdings ist die Surjektivität verletzt.

Beispiel 2:

Eine einfache nicht-kofinale Transpositionskette ist

(0/1) (1/2) (2/3) (3/4), ...

Angewendet auf Folge A ergibt sich nach deiner Definition,
wenn ich nicht irre, die "Folge"

C: ?, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

wobei die erste Stelle ("?" als Bild von 0) undefiniert ist,
wegen nicht-Kofinalität an der Stelle 0.

Ich glaube, dass ich mit diesem Verständnis deiner Definitionen
mit folgender Interpretation von Cantors Aussage übereinstimmen
könnte (nur für den Spezialfall unendlicher Folgen formuliert):

1) Falls die Folge B aus der Folge A durch ein kofinales T hervorgeht,
dann ist die - nur auf B - induzierte Ordnung isomorph zu der von A.

2) Falls A und B ordnungsisomorph sind, dann gibt es eine
Transpositionskette T1 von A nach B und ebenfalls ein T2
von B nach A. (Das riecht nach Dedekind, um eine Isomorphie
zu konstruieren; durch deine Sätze hat man ja Injektivität.)
Rainer Rosenthal
2020-04-08 09:33:16 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Kurz: [1,2,3,...] -> [2,3,4,...1]. Eine putzige Idee :-)
Fast zwei Wochen später ...
Post by Martin Vaeth
Nach meiner Interpretation der Hütchen-Spielerei als Fortsetzung der
alten Geschichte von Hilberts Hotel
Das ist die Alternative, auf die Dich Ralf bereits aufmerksam
gemacht hast: Entweder Du machst präzise Definitionen und betreibst
Mathematik auf der Basis von ZF, oder Du machst Geschwafel
und gerätst dadurch in Denkfehler.
Ich versuche zu schwafeln und dabei mittels Geschichten Gedanken zu
entwickeln und zu ordnen. Ich bin noch immer erfreut über das plötzliche
AHA!, dass die Hütchen-Spielerei mit [1,2,3,...] -> [2,3,4,...] sich als
Umkehrung von Hilberts Hotel [2,3,4,...] -> [1,2,3,...] sehen lässt.

Auch wenn ich noch so weit weg gerate ins Schwafel-Land, hier habe ich
einen kleinen Brunnen, an dem ich immer wieder frisches Wasser holen
kann. Prost!
Post by Martin Vaeth
In Hilberts Hotel ist Dein Denkfehler, dass Du hier einen
zeitlichen Aspekt miteinbeziehst und dabei vergisst,
dass die unendliche Komposition von Transpositionen irgendein
Objekt sein muss (Abbildung, Relation, ...) und nicht nur eine
beliebige Folge von Objekten.
Wie ist denn überhaupt eine mathematische Einkleidung der originalen
Hilbert-Hotel-Geschichte zu schreiben?
Ich kopiere die Geschichte aus
https://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
In einem Hotel mit endlich vielen Zimmern können keine Gäste mehr
aufgenommen werden, sobald alle Zimmer belegt sind (Schubfachprinzip).
Hilberts Hotel hat nun unendlich viele Zimmer (durchnummeriert mit
natürlichen Zahlen bei 1 beginnend). Man könnte nun annehmen, dass
dasselbe Problem auch hier auftreten würde, nämlich dann, wenn alle
Zimmer durch (unendlich viele) Gäste belegt sind.
Es gibt jedoch einen Weg, Platz für einen weiteren Gast zu machen,
obwohl alle Zimmer belegt sind. Der Gast von Zimmer 1 geht in Zimmer 2,
der Gast von Zimmer 2 geht in Zimmer 3, der von Zimmer 3 nach Zimmer 4
usw. Damit wird Zimmer 1 frei für den neuen Gast. Da die Anzahl der
Zimmer unendlich ist, gibt es keinen „letzten“ Gast, der nicht in ein
weiteres Zimmer umziehen könnte. Wiederholt man das, erhält man Platz
für eine beliebige, aber endliche Zahl neuer Gäste. Es ist sogar
möglich, Platz für abzählbar unendlich viele neue Gäste zu machen: Der
Gast von Zimmer 1 geht wie vorher in Zimmer 2, der Gast von Zimmer 2
aber in Zimmer 4, der von Zimmer 3 in Zimmer 6 usw. Kurz gesagt, jeder
Gast multipliziert seine Zimmernummer mit 2, um die neue zu erhalten.
Damit werden alle Zimmer mit ungerader Nummer frei für die abzählbar
unendlich vielen Neuankömmlinge. Wichtig bei dieser Vorgehensweise ist,
dass alle Gäste gleichzeitig die Zimmer wechseln, beispielsweise bei
einem vom Portier ausgelösten Gong. Wenn dies nacheinander geschehen
würde, würde es bei einer unendlichen Anzahl von Gästen und einer
unendlichen Anzahl von Zimmern unendlich lange dauern.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Also, hier ist der zeitliche Aspekt drin!
Aber mit einem einfachen Trick, der auch das Paradoxon von Achilles und
der Schildkröte auflöst, bekommt man das doch leicht in den Griff.
Wenn der Zimmertausch von Gast G_1 in Zimmer 2 eine halbe Stunde dauert
und jeder weitere Tausch jeweils die halbe Zeit des letzten Tauschs
benötigt, dann ist die Tauscherei nach einer Stunde über die Bühne mit
neuer Belegungsliste, in der Zimmer 1 frei ist. Lassen wir dem
Neuankömmling G_0 noch eine Stunde Zeit, seine Koffer auszupacken und
Rasierer und Zahnputzzeug im Bad zu verstauen, dann ist nach gerade mal
zwei Stunden Hilberts kleine Geschichte fertig.
Post by Martin Vaeth
Unterm Strich total logisch: die Gästeliste ist ungeändert
und damit jeden Tag falsch. Wie gesagt, Dein Denkfehler besteht
darin, einen zeitlichen Aspekt einzubringen - und damit eine
*Folge* von Objekten zu betrachten - die Gästliste aber nur auf
das Limesobjekt zu beziehen, das Du im allgemeinen Fall
nicht einmal definiert hast. Wie erwähnt, kannst Du das
Limesobjekt einfach "herdefinieren", aber dadurch wirst
Du selber zum Hütchenspieler, der die wichtigste Information
durch Geschwafel verschleiert: Statt präzise zu argumentieren,
*definierst* Du die jeden Tag falsche Gästeliste einfach als
richtig, weil sie in irgendeinem undefinierten Grenzfall
richtig sei. Eine nette Geschichte, hat aber mit Mathematik
nichts zu tun. Damit hast Du eben ZF verlassen und bist auf
dem Niveau der Trolle dieser Gruppe.
Starke Anschuldigung, der ich zumindest eins entgegenhalten möchte.
Ich fühle mich keineswegs als Troll, sondern ich bemühe mich, aus den
Fünkchen Sinn, die manchmal in der Trollerei zu entdecken sind, ein
kleines Lagerfeuer zu entfachen, um das wir dann herumsitzen und
plaudern können.
Was den konkreten Vorwurf der "jeden Tag falschen Gästeliste" betrifft,
habe ich Dir oben in un-trolliger Weise zeigen können, dass der
Zeitaspekt in der Geschichte von Hilberts Hotel immanent ist.
Dein Einwand geht davon aus, die Leute jeweils einen ganzen Tag zum
Umziehen benötigen. Davon war nirgends die Rede, und mit geeignetem
Zeitraster lässt sich der Einwand entkräften.

Was wir bitte nicht aus den Augen verlieren sollten, ist der Grund, aus
dem ich diesen Thread "Hütchen-Spiel" begonnen habe.(*)
Es war kein "Fünkchen Sinn", sondern eher ein "Fünkchen Unsinn":
Dass nämlich die Ordnung [1,2,3,...] zur Ordnung [2,3,4,...,1] würde,
wenn man die 1 an allen Zahlen vorbei defilieren lässt.

Es ist erfreulich, dass bei der Diskussion Originalzeugnisse von Cantor
zitiert und mit neueren Begriffen analysiert werden. Das scheint mir
doch sehr in Übereinstimmung mit der Charta von de.sci.mathematik zu
sein, und Schimpfereien blende ich gerne aus.

Abschließend möchte ich meine obige Frage wiederholen:
Wie ist denn überhaupt eine mathematische Einkleidung der originalen
Hilbert-Hotel-Geschichte zu schreiben?

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de

(*) Dieses Posting stelle ich bewusst wieder oben als Fortsetzung des
Einleitungs-Postings in diesen Thread. Es ist zugleich ein Hinweis auf
den am 5.4.2020 begonnenen Thread "Der Hütchenspieler in Hilberts Hotel".
Carlo XYZ
2020-04-08 10:19:43 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Wie ist denn überhaupt eine mathematische Einkleidung der originalen
Hilbert-Hotel-Geschichte zu schreiben?
Meinst du damit deine 1-Verschwinde-Zauberei?

Das habe ich doch schon in <r6intm$aja$***@dont-email.me>
beschrieben (und anderswo mehrfach erwähnt). Dort lasse
ich die 0 verschwinden, weil mir das etwas lieber ist.

Einfach Martin Vaeths geniale Definition auf Beispiel 1
anwenden und siehe da, die angegebene Transpositionskette
ist kofinal (in seinen Worten) und entlässt 0 ins Nirvana.

Wenn ich nicht irre, beantwortet seine Definition deine Frage.

Das gefällt ihm vielleicht nicht, mir aber schon. Sehr sogar.
Rainer Rosenthal
2020-04-08 11:21:51 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Rainer Rosenthal
Wie ist denn überhaupt eine mathematische Einkleidung der originalen
Hilbert-Hotel-Geschichte zu schreiben?
Meinst du damit deine 1-Verschwinde-Zauberei
Die 1-Verschwinde-Zauberei ist der Ausgangspunkt dieses Threads.
Die Hütchen stehen aufgereiht als 1, 2, 3, ...
Der Hütchen-Spieler lässt nun die 1 "an den anderen Hütchen vorbei
defilieren". Ein dsm-Schreiber mutmaßte, dass das 1-er-Hütchen
schließlich "hinten" stehen müsste: 2, 3, ..., 1.

Betrachtet man das als Aussagen über Ordnungen der Menge N und stellt
sie in leicht erklärbarer Weise dar als Ord_A = [1,2,3,...] für die
Ausgangssituation und Ord_Z = [2,3,4,...,1] für die eher
unwahrscheinliche End-Situation, dann hat man Schreibweisen, mit deren
Hilfe man weiter darüber sprechen kann.
Ich vertrete die Auffassung, dass man von Ord_A durch das "Defilieren"
immer nur zu Ordnungen des Typs Ord_M = [2,3,4,...,1,...] gelangt, wobei
in der Ordnung Ord_M(m) die 1 gerade am Hütchen m vorbei defiliert ist.
Und als End-Situation sehe ich Ord_E = [2,3,4,...], wobei ich mich wegen
des gleichen Ordnungstyps von Ord_A und Ord_E in Übereinstimmung mit
Cantor sehe. Die angeblich mögliche Endsituation Ord_Z hat hingegen
anderen Ordnungstyp und kann darum nicht von Ord_A aus erreicht werden.

~~~

Die "Hilbert-Hotel-Geschichte" stellt sich mir in der obigen Notation
dar als [2,3,4,...] -> [1,2,3,...].
Da verschwindet die 1 also nicht, sondern wir haben es mit einem Fall
von 1-Erscheine-Zauberei zu tun.
Post by Carlo XYZ
beschrieben (und anderswo mehrfach erwähnt). Dort lasse
ich die 0 verschwinden, weil mir das etwas lieber ist.
Einfach Martin Vaeths geniale Definition auf Beispiel 1
anwenden und siehe da, die angegebene Transpositionskette
ist kofinal (in seinen Worten) und entlässt 0 ins Nirvana.
Wenn ich nicht irre, beantwortet seine Definition deine Frage.
Das gefällt ihm vielleicht nicht, mir aber schon. Sehr sogar.
Mir gefällt das wahrscheinlich auch, aber ich konnte leider nicht
verstehen, was diskutiert wird. Ich gebe aber die Hoffnung nicht auf,
etwas über Kofinalität zu lernen. Mir ist so, als hätte ich früher sogar
mal gewusst, was es damit auf sich hat.

Weil ich bemerkt habe, dass meine Versuche, das 1-Verschwinden zu
erklären, oder auch nur zufriedenstellend zu formulieren, ohne Erfolg
geblieben waren, wollte ich für das duale oder besser inverse Problem
des 1-Erscheinens nachfragen, wie diese in der Literatur als "Hilberts
Hotel" wohlbekannte Umordnung sauber zu formulieren sei.

Gruß,
RR
Carlo XYZ
2020-04-08 13:26:56 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Weil ich bemerkt habe, dass meine Versuche, das 1-Verschwinden zu
erklären, oder auch nur zufriedenstellend zu formulieren, ohne Erfolg
geblieben waren, wollte ich für das duale oder besser inverse Problem
des 1-Erscheinens nachfragen, wie diese in der Literatur als "Hilberts
Hotel" wohlbekannte Umordnung sauber zu formulieren sei.
Die 1-Verschwindenummer ist eine Relation T zwischen M1={1,2,3,...}
und M2={2,3,4,...}: T={(1,2),(2,3),...}. Formal ist das Hotel deren
Inverse T^{-1}, eine Relation zwischen M2 und M1:
T^{-1}={(2,1),(3,2),...}. Aber das wusstest du bestimmt längst.

T lässt sich als (kofinale) Transpositionskette von M1 nach M2
beschreiben, T^{-1} aber nicht als eine ähnliche Kette von M2
nach M1. Pech für Hilbert :-)

Kofinal ist garnicht schwer und macht Spaß, probier's mal.
Carlo XYZ
2020-04-08 13:50:24 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Die 1-Verschwindenummer ist eine Relation T zwischen M1={1,2,3,...}
und M2={2,3,4,...}: T={(1,2),(2,3),...}. Formal ist das Hotel deren
T^{-1}={(2,1),(3,2),...}. Aber das wusstest du bestimmt längst.
Man kann das noch etwas weiter spinnen.

Sowohl T als auch T^{-1} lassen sich auch als Relationen
über M = M1 verstehen. Definiert man Substitution statt
Transposition (S(i->j) soll bedeuten: ersetze i durch j),
dann lässt sich das Hotel beschreiben als unendliche Kette
von Substitutionen von M nach M:

S: (2->1) (3->2) (4->3) ...
Rainer Rosenthal
2020-04-08 16:08:02 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Definiert man Substitution statt
Transposition (S(i->j) soll bedeuten: ersetze i durch j),
dann lässt sich das Hotel beschreiben als unendliche Kette
S:  (2->1) (3->2) (4->3) ... (*)
Schön, das Du mir Mut bzgl. kofinal gemacht hast.
Die Schreibweise (*) ist intuitiv erfassbar, und scheint mir nicht die
original Hotel-Geschichte zu beschreiben, sondern genau die
Hütchen-Geschichte, mit der dieser Thread gestartet ist.

Ich hoffe, ich sehe es richtig, dass die Kette von Ord_A = [1,2,3,...]
zu Ord_E = [2,3,4,...] führt.

Ich freue mich über Bestätigung. "kofinal" steht auf der To-do-Liste.

Gruß,
RR
Carlo XYZ
2020-04-08 16:23:30 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Carlo XYZ
Definiert man Substitution statt
Transposition (S(i->j) soll bedeuten: ersetze i durch j),
dann lässt sich das Hotel beschreiben als unendliche Kette
S:  (2->1) (3->2) (4->3) ...                       (*)
Schön, das Du mir Mut bzgl. kofinal gemacht hast.
Die Schreibweise (*) ist intuitiv erfassbar, und scheint mir nicht die
original Hotel-Geschichte zu beschreiben, sondern genau die
Hütchen-Geschichte, mit der dieser Thread gestartet ist.
Ich hoffe, ich sehe es richtig, dass die Kette von Ord_A = [1,2,3,...]
zu Ord_E = [2,3,4,...] führt.
Ich freue mich über Bestätigung. "kofinal" steht auf der To-do-Liste.
Ich denke: nein. S(i->j) soll bedeuten: ersetze i durch j.

Wir gehen von 2 3 4 5 ... aus (ich lasse die Kommata weg)
und ersetzen 2 durch 1; dann 3 durch 2; usw. und kriegen
1 2 3 4 ... Der neue Gast hat das Top-Zimmer bekommen.
Post by Rainer Rosenthal
"kofinal" steht auf der To-do-Liste.
Martin wird sich freuen. Ich auch.

BTW kenne ich das Wort auch vage von irgendwoher und bewundere
Martins Mut, es einfach passend (um?)zudefinieren.
Ganzhinterseher
2020-04-08 14:35:10 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Post by Rainer Rosenthal
Weil ich bemerkt habe, dass meine Versuche, das 1-Verschwinden zu
erklären, oder auch nur zufriedenstellend zu formulieren, ohne Erfolg
geblieben waren, wollte ich für das duale oder besser inverse Problem
des 1-Erscheinens nachfragen, wie diese in der Literatur als "Hilberts
Hotel" wohlbekannte Umordnung sauber zu formulieren sei.
Die 1-Verschwindenummer ist eine Relation T zwischen M1={1,2,3,...}
und M2={2,3,4,...}: T={(1,2),(2,3),...}. Formal ist das Hotel deren
T^{-1}={(2,1),(3,2),...}. Aber das wusstest du bestimmt längst.
T lässt sich als (kofinale) Transpositionskette von M1 nach M2
beschreiben, T^{-1} aber nicht als eine ähnliche Kette von M2
nach M1. Pech für Hilbert :-)
Kofinal ist garnicht schwer
nein
Post by Carlo XYZ
und macht Spaß,
mag sein
Post by Carlo XYZ
probier's mal.
Wichtiger sind die Grundlagen:

1) Eine Menge wird durch Transpositionen, gleichviel wieviel, nicht verändert.

2) Ausnahmslos jede Konfiguration der definierbaren Elemente einer wohlgeordneten Menge kann durch Transpositionen erzeugt werden.

Beispiel: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...
wird zu
1/1, 1/10, 1/100, ..., 1/10^k, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ... .

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-04-08 13:43:13 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Ich vertrete die Auffassung, dass man von Ord_A durch das "Defilieren"
immer nur zu Ordnungen des Typs Ord_M = [2,3,4,...,1,...] gelangt, wobei
in der Ordnung Ord_M(m) die 1 gerade am Hütchen m vorbei defiliert ist.
Genau dieses Defilieren kann man als Abzählen auffassen. Wenn man alle Elemente einer unendlichen Menge abzählen kann, dann bleibt keines übrig und offenbar muss es ein Letztes geben. Sonst hat man eben nicht alle abgezählt.
Post by Rainer Rosenthal
Die "Hilbert-Hotel-Geschichte" stellt sich mir in der obigen Notation
dar als [2,3,4,...] -> [1,2,3,...].
Da verschwindet die 1 also nicht, sondern wir haben es mit einem Fall
von 1-Erscheine-Zauberei zu tun.
Die Menge ist jedenfalls verändert. Sonst bräuchte man keine Tricks.
Post by Rainer Rosenthal
Weil ich bemerkt habe, dass meine Versuche, das 1-Verschwinden zu
erklären, oder auch nur zufriedenstellend zu formulieren, ohne Erfolg
geblieben waren,
Das ist eine gute Bemerkung.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-08 18:17:25 UTC
Permalink
Wenn man alle Elemente einer unendlichen Menge abzählen kann, > dann bleibt keines übrig und offenbar muss es ein Letztes geben.>
Sonst hat man eben nicht alle abgezählt.
Dieses in meinen Augen grundlegende Unverständnis hast Du damit wieder
sehr schön und klar formuliert.

Dabei lernt man bereits im ersten Semester das Prinzip der vollständigen
Induktion kennen. Du wirst sicher glauben, Du hättest es verstanden,
aber das ist nicht der Fall, wie Deine Ausführung oben zeigt.

Da es keine letzte natürliche Zahl gibt, bedeutet "A(n) für alle Zahlen
zu beweisen", dass keine der Zahlen n, für die A(n) gilt, die letzte
ihrer Art ist, sondern dass A(n') auch für ihre Nachfolgerzahl n' = n+1
gilt.

Es ist der helle Wahnsinn, dies jemandem flehentlich unter die Nase
halten zu müssen, der ein Buch "Mathematik für die ersten Semester"
geschrieben hat. Ich gratuliere natürlich gerne zur inzwischen vierten
Auflage, aber irre ist das doch irgendwie.

Mit diesem Thread "Hütchen-Spiel" habe ich allen Warnungen wohlmeinender
Mitleser zum Trotz nachhaken wollen, wo es beim Autor des Buches klemmt.
Das hat er nun selbst prima formuliert, aber erfreulicherweise hat der
Thread auch positive Nebenwirkungen, weil ich mich noch immer darüber
freuen kann, das Thema als verwandt zu Hilberts Hotel erkannt zu haben.
Das ist ähnlich wie beim "Seil um die Erde", das mit der Fortsetzung
"Turm unter dem Seil" ein hübsches Aufgaben-Paar bildet.

Gruß,
RR
Me
2020-04-08 18:56:48 UTC
Permalink
[...] erfreulicherweise hat der Thread auch positive Nebenwirkungen
In der Tat. Und sei es auch nur, dass einige der früheren "Regulars" sich wieder einmal haben blicken lassen, um etwas Interessantes beizutragen.

*Ich* wiederum werde mir einmal Cantors Texte vornehmen, nur so zum Spass.
Ganzhinterseher
2020-04-08 20:17:01 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Wenn man alle Elemente einer unendlichen Menge abzählen kann, > dann bleibt keines übrig und offenbar muss es ein Letztes geben.>
Sonst hat man eben nicht alle abgezählt.
Dieses in meinen Augen grundlegende Unverständnis hast Du damit wieder
sehr schön und klar formuliert.
Das ist die Definition der Zahl: dass sie fertig ist.
Post by Ganzhinterseher
Dabei lernt man bereits im ersten Semester das Prinzip der vollständigen
Induktion kennen.
Damit kann man beweisen, dass man niemals alle Zahlen abgezählt hat.
Post by Ganzhinterseher
Da es keine letzte natürliche Zahl gibt, bedeutet "A(n) für alle Zahlen
zu beweisen", dass keine der Zahlen n, für die A(n) gilt, die letzte
ihrer Art ist, sondern dass A(n') auch für ihre Nachfolgerzahl n' = n+1
gilt.
Richtig. Deshalb ist vollendete Unendlichhkeit und Abzählbarkeit unendlicher Mengen einfach Unsinn - auch wenn Du anderes "verstanden" zu haben meinst.
Post by Ganzhinterseher
Es ist der helle Wahnsinn, dies jemandem flehentlich unter die Nase
halten zu müssen, der ein Buch "Mathematik für die ersten Semester"
geschrieben hat.
Dort ist die Induktion korrekt definiert.
Post by Ganzhinterseher
Mit diesem Thread "Hütchen-Spiel" habe ich allen Warnungen wohlmeinender
Mitleser zum Trotz nachhaken wollen, wo es beim Autor des Buches klemmt.
Klemmen tut es bei Dir und allen, die meinen, dass eine Menge durch Umordnung verändert werden kann.

Gruß, WM
Roalto
2020-04-08 20:27:55 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Das ist die Definition der Zahl: dass sie fertig ist.
Mal eine Frage, gab es schon Zahlen bevor es Menschen gab?
Das oben Gesagte deutet ja daraufhin, dass Zahlen definiert werden müssen
bevor sie existieren.
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Viel Spass weiterhin
Roalto
Ganzhinterseher
2020-04-09 12:21:11 UTC
Permalink
Post by Roalto
Mal eine Frage, gab es schon Zahlen bevor es Menschen gab?
Das oben Gesagte deutet ja daraufhin, dass Zahlen definiert werden müssen
bevor sie existieren.
Im Anfang, da war ℕ, und ℕ war dunkel. Und Gott sprach: "Es werde Licht" - und es ward Licht, geschaffen durch Menschen, die einsahen, dass Licht gut ist. Und sie trennten das Licht von der Finsternis:

Jede Definition einer natürlichen Zahl erleuchtet sie und alle Zahlen, die kleiner sind als die gerade definierte. Die erleuchteten Zahlen haben keine obere Schranke; sie sind potentiell unendlich, können immer wieder übertroffen werden. Aber die dunklen Zahlen werden ewig in der Mehrheit bleiben, in der erdrückenden Mehrheit sogar: Es steht: unenendlich aleph_0 gegen endlich n.

Und nun kommt Cantors Satz, wonach unendlich viele Transpositionen die OZ nicht ändern (p. 214 und p. 389f): Umformung der Menge 0, 1, 2, 3, ... zu 1, 2, 3, ..., 0 erhält natürlich alle Elemente, aber auch die OZ omega unverändert. Und das geht so: WENN: die "..." lediglich die definierten Zahlen bezeichnen (denn andere kann man nicht manipulieren) und WENN nach der 0 noch alle dunklen Zahlen folgen, also fast alle natürlichen Zahlen, dann hat sich die OZ nicht verändert.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-04-09 14:06:36 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Roalto
Mal eine Frage, gab es schon Zahlen bevor es Menschen gab?
Das oben Gesagte deutet ja daraufhin, dass Zahlen definiert werden müssen
bevor sie existieren.
Im Anfang, da war ℕ, und ℕ war dunkel. Und Gott sprach: "Es werde Licht" - und es ward Licht, geschaffen durch Menschen, die einsahen, dass Licht gut ist.
Das Original ergibt (im Gegensatz zum von IHNEN praesentierten unsinnigen
Plagiat) zumindest fuer Christen noch einen Sinn.
Post by Ganzhinterseher
Jede Definition einer natürlichen Zahl erleuchtet sie und alle Zahlen, die kleiner sind als die gerade definierte. Die erleuchteten Zahlen haben keine obere Schranke; sie sind potentiell unendlich, können immer wieder übertroffen werden. Aber die dunklen Zahlen werden ewig in der Mehrheit bleiben, in der erdrückenden Mehrheit sogar: Es steht: unenendlich aleph_0 gegen endlich n.
Diesen hinrissigen Schwachsinn sollten SIE sich dorthin stecken, wo die
Sonne nicht hinscheint.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-04-09 19:59:05 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Roalto
Mal eine Frage, gab es schon Zahlen bevor es Menschen gab?
Das oben Gesagte deutet ja daraufhin, dass Zahlen definiert werden müssen
bevor sie existieren.
Im Anfang, da war ℕ, und ℕ war dunkel. Und Gott sprach: "Es werde Licht" - und es ward Licht, geschaffen durch Menschen, die einsahen, dass Licht gut ist.
Das Original ergibt (im Gegensatz zum von IHNEN praesentierten unsinnigen
Plagiat) zumindest fuer Christen noch einen Sinn.
Post by Ganzhinterseher
Jede Definition einer natürlichen Zahl erleuchtet sie und alle Zahlen, die kleiner sind als die gerade definierte. Die erleuchteten Zahlen haben keine obere Schranke; sie sind potentiell unendlich, können immer wieder übertroffen werden. Aber die dunklen Zahlen werden ewig in der Mehrheit bleiben, in der erdrückenden Mehrheit sogar: Es steht: unenendlich aleph_0 gegen endlich n.
Diesen hinrissigen Schwachsinn sollten SIE sich dorthin stecken, wo die
Sonne nicht hinscheint.
Definiere einfach einmal eine natürliche Zahl, für die das Verhältnis nicht gilt.

Gruß, WM
Roalto
2020-04-09 14:53:49 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Roalto
Mal eine Frage, gab es schon Zahlen bevor es Menschen gab?
Das oben Gesagte deutet ja daraufhin, dass Zahlen definiert werden müssen
bevor sie existieren.
Solche Antworten sind eigentlich eines intelligenten Menschen unwürdig!
Aber, na,ja ...
Post by Ganzhinterseher
Jede Definition einer natürlichen Zahl erleuchtet sie und alle Zahlen, die kleiner sind als die gerade definierte. Die erleuchteten Zahlen haben keine obere Schranke; sie sind potentiell unendlich, können immer wieder übertroffen werden. Aber die dunklen Zahlen werden ewig in der Mehrheit bleiben, in der erdrückenden Mehrheit sogar: Es steht: unenendlich aleph_0 gegen endlich n.
Kann eine helle Zahl wieder verblassen, wenn niemand sie benutzt, oder bleibt sie ewig hell?

Oder ist aktuelle Unendlichkeit die Summe von hellen Zahlen und dunklen Zahlen?
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Viel Spass weiterhin
Roalto
Ganzhinterseher
2020-04-09 20:07:46 UTC
Permalink
Post by Roalto
Solche Antworten sind eigentlich eines intelligenten Menschen unwürdig!
Aber, na,ja ...
Post by Ganzhinterseher
Jede Definition einer natürlichen Zahl erleuchtet sie und alle Zahlen, die kleiner sind als die gerade definierte. Die erleuchteten Zahlen haben keine obere Schranke; sie sind potentiell unendlich, können immer wieder übertroffen werden. Aber die dunklen Zahlen werden ewig in der Mehrheit bleiben, in der erdrückenden Mehrheit sogar: Es steht: unenendlich aleph_0 gegen endlich n.
Kann eine helle Zahl wieder verblassen, wenn niemand sie benutzt
Natürlich. Das ist genau dasselbe wie mit antiken Manuskripten, von denen viele längst wieder verblasst sind.
Post by Roalto
Oder ist aktuelle Unendlichkeit die Summe von hellen Zahlen und dunklen Zahlen?
Richtig. Die ersten Zahlen bis zu einer gewissen variablen Grenze kann man definieren und benutzen. Darauf folgt der dunkle Rest, der zwar weiterhin partiell aufgehellt werden kann, aber immer in der Mehrheit bleibt:

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Gruß, WM
Roalto
2020-04-09 20:30:48 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Roalto
Solche Antworten sind eigentlich eines intelligenten Menschen unwürdig!
Aber, na,ja ...
Na, wieder etwas sinnentstellend weggeschnitten?

Wenn man eine Zahl erhellt, wird dann auch das Negative erhellt?
Mit anderen Worten, sind die ganzen Zahlen immer symmetrisch um den 0-Punkt erhellt?
Wie erhelle ich Brüche?
Wer führt Buch über die Grenzen, oder ist das ein automatischer Prozess?
Oder hat jeder, der Zahlen benutzt, seine eigenen Grenzen zwischen hell und dunkel?
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Viel Spass weiterhin
Roalto
Roland Franzius
2020-04-10 07:21:44 UTC
Permalink
Post by Roalto
Post by Roalto
Solche Antworten sind eigentlich eines intelligenten Menschen unwürdig!
Aber, na,ja ...
Na, wieder etwas sinnentstellend weggeschnitten?
Wenn man eine Zahl erhellt, wird dann auch das Negative erhellt?
Mit anderen Worten, sind die ganzen Zahlen immer symmetrisch um den 0-Punkt erhellt?
Wie erhelle ich Brüche?
Wer führt Buch über die Grenzen, oder ist das ein automatischer Prozess?
Oder hat jeder, der Zahlen benutzt, seine eigenen Grenzen zwischen hell und dunkel?
Du denkst zu eng. Die Schulmathematik hat ja Regeln entwickelt, die
schlagartig ganze Räume erhellen.

Das heißt halt, dass automatisch mit dem Anknipsen einer dunklen Zahl
der gesamte mit Rechenoperationen vom 1x1 bis zum Integral - wie Egmont
Colerus titelte - mit schon angeknipsten Zahlen erhellt wird.

Schlichte Körpererweiterungen halt mit den klassischen Beispielen von
sqrt(2), root[x^3 + x + 1 = 0], e, pi und i.

Leider stößt der Ingenieur schon ab Nullstellen von Gleichungen 5.
Grades nur noch auf dunkle Zahlen, lässt sichs aber nicht verdriessen,
es reicht ihm, wenn er deren Umgebung zu erhellen imstande ist.

Um es nach 20 Jahren vergeblicher Bemühungen noch einmal zu wiederholen:
Sowohl Cantor wie auch Hilbert und von Neumann wurden von neuen
mathematischen Anwendungen der Physik überrollt und versuchten, logische
Ordnung in deren Grundlagen zu bringen.

Cantor kam von der Fourieranalysis, Hilbert von den partiellen
Differentialgleichungen der mathematischen Physik und von Neumann von
der Theorie der Abbildungen zwischen Hilberträumen mittels beschränkter
Operatoren für Teilchensysteme mit anzählbar unendlich vielen Variablen.

In immer neuen Kaskaden wurde die praktische Mathematik von
Unendlichkeiten von Zahlen, Funktionen und Funktionaloperatoren
überschwemmt, für die es weder eine Idee noch keine Axiomatik gab und
deren Strukturen erst deutlicher wurden, als man sie zusammen mit ihren
Dualräumen und losgelöst von ihren Darstellungen duech konkrete
Kontruktionen über Zahlenkörpern zu betrachten gelernt hatte.

Das waren dann die Bourbakisten, die seither als Schreckgespest der
Deutschen Angewandten Mathematik durch die Hörsäle geistern.
--
Roland Franzius
Ganzhinterseher
2020-04-10 11:14:37 UTC
Permalink
Post by Roland Franzius
Sowohl Cantor wie auch Hilbert und von Neumann wurden von neuen
mathematischen Anwendungen der Physik überrollt und versuchten, logische
Ordnung in deren Grundlagen zu bringen.
Um diese naive Aussage richtigzustellen: Es gibt keine physikalische oder sonstige wissenschaftliche Aussage der Mengenlehre, denn die Abhängigkeit ihrer Ergebnisse von der Indizierung schließt sie von aller Wissenschaft aus.
Post by Roland Franzius
In immer neuen Kaskaden wurde die praktische Mathematik von
Unendlichkeiten von Zahlen, Funktionen und Funktionaloperatoren
überschwemmt,
Das erscheint nur dem Laien so.

In his concluding chapters, Feferman uses tools from the special part of logic called proof theory to explain how the vast part if not all of scientifically applicable mathematics can be justified on the basis of purely arithmetical principles. At least to that extent, the question raised in two of the essays of the volume, "Is Cantor Necessary?", is answered with a resounding "no". [S. Feferman, "In the light of logic", Oxford Univ. Press (1998) jacket flap]

The actual infinite is not required for the mathematics of the physical world. [S. Feferman: "Infinity in mathematics: Is Cantor necessary?" in "In the light of logic", Oxford Univ. Press (1998) p. 30]

I am convinced that the platonism which underlies Cantorian set theory is utterly unsatisfactory as a philosophy of our subject despite the apparent coherence of current set-theoretical conceptions and methods. To echo Weyl, platonism is the medieval metaphysics of mathematics; surely we can do better. [S. Feferman: "Infinity in mathematics: Is Cantor necessary? (Conclusion)" in "In the light of logic", Oxford Univ. Press (1998) p. 248]

Gruß, WM

Rainer Rosenthal
2020-04-08 21:53:13 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dabei lernt man bereits im ersten Semester das Prinzip der vollständigen
Induktion kennen.
Damit kann man beweisen, dass man niemals alle Zahlen abgezählt hat.
Du meinst das vielleicht so?

Satz NIEMALS: nach jeder Zahl kommt noch eine.

Induktionsanfang: Der Satz gilt für n=1.
Beweis: Nach 1 kommt 2, also noch eine Zahl.

Induktionsschritt: Wenn der Satz für n gilt, dann gilt er auch für n+1.
Beweis: Nach n kommt n+1. Also kommt nach n+1 die Zahl (n+1)+1 = n+2.

q.e.d.

Corollar: Es gibt keine letzte Zahl.
Beweis: Angenommen, N wäre die letzte Zahl; dann gibt es laut Satz
NIEMALS danach noch eine Zahl. Die Annahme führt auf einen Widerspruch,
d.h. es gibt keine letzte Zahl.

Könnte man gelten lassen, aber ist es nicht so, dass das zu Beweisende
schon in dem Beweisprinzip steckt?

Vielleicht hast Du ja einen anderen Beweis parat?

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-09 12:27:48 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dabei lernt man bereits im ersten Semester das Prinzip der vollständigen
Induktion kennen.
Damit kann man beweisen, dass man niemals alle Zahlen abgezählt hat.
Du meinst das vielleicht so?
Satz NIEMALS: nach jeder Zahl kommt noch eine.
Induktionsanfang: Der Satz gilt für n=1.
Beweis: Nach 1 kommt 2, also noch eine Zahl.
Induktionsschritt: Wenn der Satz für n gilt, dann gilt er auch für n+1.
Beweis: Nach n kommt n+1. Also kommt nach n+1 die Zahl (n+1)+1 = n+2.
q.e.d.
Corollar: Es gibt keine letzte Zahl.
Beweis: Angenommen, N wäre die letzte Zahl; dann gibt es laut Satz
NIEMALS danach noch eine Zahl. Die Annahme führt auf einen Widerspruch,
d.h. es gibt keine letzte Zahl.
Könnte man gelten lassen, aber ist es nicht so, dass das zu Beweisende
schon in dem Beweisprinzip steckt?
Vielleicht hast Du ja einen anderen Beweis parat?
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.

Jedenfalls in der idealen Mathematik, die man gewöhnlich voraussetzt. In der Realität (MatheRealismus) versagt das Prinzip. Beispiel: Versuche auf dem Taschenrechner den Nachfolger von 10^20 zu produzieren.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-09 13:58:21 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.
Und trotzdem kommst Du mit der Behauptung daher, die 1 würde bein
"Vorbeidefilieren" in [1,2,3,...] auf dem "letzten Platz" landen mit dem
Ergebnis [2,3,4,...,1]. Ich sehe da einen Widerspruch.

Gruß,
RR
Juergen Ilse
2020-04-09 14:14:44 UTC
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Hallo,
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.
Und trotzdem kommst Du mit der Behauptung daher, die 1 würde bein
"Vorbeidefilieren" in [1,2,3,...] auf dem "letzten Platz" landen mit dem
Ergebnis [2,3,4,...,1]. Ich sehe da einen Widerspruch.
Nicht nur du. Und dieser Widerspruch laesst sich auch nicht mit der Schnaps-
idee der "dunklen Zahlen" irgendwie "reparieren" ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Helmut Richter
2020-04-09 16:31:30 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.
Und trotzdem kommst Du mit der Behauptung daher, die 1 würde bein
"Vorbeidefilieren" in [1,2,3,...] auf dem "letzten Platz" landen mit dem
Ergebnis [2,3,4,...,1]. Ich sehe da einen Widerspruch.
Nicht nur du. Und dieser Widerspruch laesst sich auch nicht mit der Schnaps-
idee der "dunklen Zahlen" irgendwie "reparieren" ...
Ich sehe da keinen. Man kann die Hintereinanderausführung der Transpositionen
ohne große Verrenkungen sinnvoll so definieren, dass am Ende [2,3,4,...,1] vom
Ordnungstyp ω+1 herauskommt. Der Ganzhinterseher kanns wahrscheinlich nicht,
aber nicht, weil es in sich widersprüchlich wäre, sondern weil er zu gar
keiner Definition fähig ist.

Ich habe jetzt ein paar Tage pausiert. Es ist nicht leicht, da wieder
einzusteigen, weil es inzwischen sehr viele Beiträge gab: manches Quatsch,
manches Antworten auf Quatsch (was kaum lesbarer ist), manches trivial,
manches für mich uninteressant (kann ja für andere interessant sein), und
dazwischen vielleicht auch ein paar Perlen. Und die gilt es erst einmal zu
entdecken.

--
Helmut Richter
Ganzhinterseher
2020-04-09 19:55:02 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.
Und trotzdem kommst Du mit der Behauptung daher, die 1 würde bein
"Vorbeidefilieren" in [1,2,3,...] auf dem "letzten Platz" landen mit dem
Ergebnis [2,3,4,...,1].
Ich behaupte das unter der Prämisse, dass alle natürlichen Zahlen existieren und für Abzählbarkeitszwecke verwendet werden können, also dass man irgendwie feststellt, alle erledigt zu haben und wenn nötig anschließend mit omega weiterzählen kann.
Post by Rainer Rosenthal
Ich sehe da einen Widerspruch.
Sehr gut! Genau zu dem Zwecke habe ich die Annahme gemacht und Folgerungen daraus gezogen. Annahme: Alle natürlichen Zahlen sitzen auf endlich indizierten Plätzen. Folgerung: Keine Umordnung kann aus dieser Menge herausführen.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-09 21:16:10 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.
Und trotzdem kommst Du mit der Behauptung daher, die 1 würde bein
"Vorbeidefilieren" in [1,2,3,...] auf dem "letzten Platz" landen mit dem
Ergebnis [2,3,4,...,1].
Ich behaupte das unter der Prämisse, ...
Behauptest Du es nun oder nicht?

Gruß,
RR
Juergen Ilse
2020-04-09 14:12:23 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.
So ist es. Nur schade, dass SIE unfaehig sind, das zu begreifen.
Post by Ganzhinterseher
Jedenfalls in der idealen Mathematik, die man gewöhnlich voraussetzt.
In der Mathematik. Wo es *nicht* so ist, haben wir es nicht mehr mit
Mathematik zu tun (vielleicht mit "rechnen" aber nicht mehr mit Mathematik).
Post by Ganzhinterseher
In der Realität (MatheRealismus) versagt das Prinzip.
Wirklich?
Post by Ganzhinterseher
Beispiel: Versuche auf dem Taschenrechner den Nachfolger von 10^20 zu
produzieren.
Mein Taschenrechner ist das tool "bc" auf meinem Rechner (notfalls eben
auf dem portablen solchen) ...

~ $ bc
10^20+1
100000000000000000001

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-04-09 20:01:50 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Das zu Beweisende steckt in der Definition der natürlichen Zahlen: Zu jeder gibt es einen Nachfolger. Deswegen gibt es keine letzte und man kann niemals zu omega hinüberzählen.
So ist es. Nur schade, dass SIE unfaehig sind, das zu begreifen.
Post by Ganzhinterseher
Jedenfalls in der idealen Mathematik, die man gewöhnlich voraussetzt.
In der Mathematik. Wo es *nicht* so ist, haben wir es nicht mehr mit
Mathematik zu tun (vielleicht mit "rechnen" aber nicht mehr mit Mathematik).
Post by Ganzhinterseher
In der Realität (MatheRealismus) versagt das Prinzip.
Wirklich?
Post by Ganzhinterseher
Beispiel: Versuche auf dem Taschenrechner den Nachfolger von 10^20 zu
produzieren.
Mein Taschenrechner ist das tool "bc" auf meinem Rechner (notfalls eben
auf dem portablen solchen) ...
~ $ bc
10^20+1
100000000000000000001
Gemeint war selbstverständlich eine zehnstellige Anzeige. Aber auch für Dein Tool habe ich eine passende Aufgabe: Drucke alle Zahlen zwischen 10^10^100 und 10^10^200 aus. Wenn Du es versuchst, wirst Du verstehe, wofür MatheRealismus gut ist.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-04-09 20:41:48 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
In der Realität (MatheRealismus) versagt das Prinzip.
Beispiel: Versuche auf dem Taschenrechner den Nachfolger von 10^20 zu
produzieren.
Mein Taschenrechner ist das tool "bc" auf meinem Rechner (notfalls eben
auf dem portablen solchen) ...
~ $ bc
10^20+1
100000000000000000001
Gemeint war selbstverständlich eine zehnstellige Anzeige. Aber auch für Dein Tool habe ich eine passende Aufgabe: Drucke alle Zahlen zwischen 10^10^100 und 10^10^200 aus. Wenn Du es versuchst, wirst Du verstehe, wofür MatheRealismus gut ist.
Dein "Matherealismus" ist hahnebuechener Bullshit. Wenn du die Theorie
auf den Grenzen deiner aktuellen Technik aufbaust, wirfst du dann alles
ueber den Haufen, wenn deine technischen Moeglichkeiten steigen?

Es hat seinen Grund, wenn man die Mathematik nicht auf den aktuell geltenden
technischen Restriktionen aufbaut.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ralf Bader
2020-04-09 21:36:19 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
In der Realität (MatheRealismus) versagt das Prinzip.
Beispiel: Versuche auf dem Taschenrechner den Nachfolger von 10^20 zu
produzieren.
Mein Taschenrechner ist das tool "bc" auf meinem Rechner (notfalls eben
auf dem portablen solchen) ...
~ $ bc
10^20+1
100000000000000000001
Gemeint war selbstverständlich eine zehnstellige Anzeige. Aber auch für Dein Tool habe ich eine passende Aufgabe: Drucke alle Zahlen zwischen 10^10^100 und 10^10^200 aus. Wenn Du es versuchst, wirst Du verstehe, wofür MatheRealismus gut ist.
Dein "Matherealismus" ist hahnebuechener Bullshit. Wenn du die Theorie
auf den Grenzen deiner aktuellen Technik aufbaust, wirfst du dann alles
ueber den Haufen, wenn deine technischen Moeglichkeiten steigen?
Das ist nun ein wirklich unsinniger Einwand. Die Theorie ist hinlänglich
idiotisch, daß ihre Anwendung jegliche Steigerung der technischen
Möglichkeiten zuverlässig verunmöglichen wird.
Ganzhinterseher
2020-04-08 13:37:04 UTC
Permalink
Post by Carlo XYZ
Einfach Martin Vaeths geniale Definition auf Beispiel 1
anwenden und siehe da, die angegebene Transpositionskette
ist kofinal (in seinen Worten) und entlässt 0 ins Nirvana.
Durch unendlich viele Transpositinen kann man ebensoleicht alle geraden Zahlen (und viele mehr) ins Nirvana verschwinden lassen. Die Frage ist nur, ob die Menge damit lediglich umgeformt wird. Und ob die Bijektion von |N, Q, die auch unendlich viele Elemente umfasst, tatsächlich alle Brüche umfasst, oder ob Cantors Abzählung damit in die Brüche geht.

Gruß, WM
Martin Vaeth
2020-04-09 17:37:28 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Ich fühle mich keineswegs als Troll
Dich hatte ich mit dem Begriff auch keinesfalls gemeint.
Ich bitte um Entschuldigung, dass das anders aufgefasst werden konnte.
Post by Rainer Rosenthal
Was den konkreten Vorwurf der "jeden Tag falschen Gästeliste" betrifft,
habe ich Dir oben in un-trolliger Weise zeigen können, dass der
Zeitaspekt in der Geschichte von Hilberts Hotel immanent ist.
Vielleicht in der sprachlichen Formulierung, aber eben nicht
im mathematischen Hintergrund: Der ist einfach die Abbildung n->n+1.
Post by Rainer Rosenthal
Dein Einwand geht davon aus, die Leute jeweils einen ganzen Tag zum
Umziehen benötigen. Davon war nirgends die Rede, und mit geeignetem
Zeitraster lässt sich der Einwand entkräften.
Nein, eben nicht: Ohne den Zeitaspekt hast Du nur die
Identitätsabbildung.
Aber da ich offensichtlich übersehen hatte, dass Deine
Transpositionsfolge tatsächlich kofinal ist - fälschlicherweise
hatte ich gedacht, das Bild der 1 ändere sich ständig, aber
das Bild der 1 ist ja schlichtweg 2 und ändert sich schon im
zweiten Schritt nicht - ist meine Kritik insofern unberechtigt.
Vielmehr war mein Versuch, Cantors Aussage zu präzisieren,
mindestens genauso falsch wie Deiner. Schade. Mir scheint
inzwischen, Cantors Aussage ist in diesem Fall wirklich "falsch"
(in dem Sinne, dass es keine beweisbare Präzisierung gibt).
Rainer Rosenthal
2020-04-09 15:44:10 UTC
Permalink
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Diese absurde Vorstellung hat mich bewogen, diesen Thread zu starten.
Dabei gab es interessante Beobachtungen und Postings mit Ideen statt
immer gleichen Behauptungen und Anschuldigungen.

Der Original-Adressat "Ganzhinterseher" hat allerdings nichts
dazugelernt, sondern es war ihm wichtig, mich namentlich in einem neuen
Thread "Lieber Rainer: Köpfchen statt Hütchen!" anzuschreiben.

Darin dokumentiert er sehr ehrlich, wie wenig er verstanden hat.
Ich mag nicht weiter einen Thread verlängern, in dem ich gegen jede
newsnet-Etiquette mit Namen genannt werde. Darum antworte ich hier.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Allgemeinbildung ist schön und gut, aber in der Mathematik zählen
Beweise. Dass Du Deinen Studenten und Studentinnen nicht vormachen
kannst, was ein Beweis ist, ist für ihre Allgemeinbildung garantiert
schädlich.
1) *Keine* Umordnung einer Menge kann die Elemente dieser Menge verändern > 2) ∀A ∀B (∀X (X ∈ A <==> X ∈ B) ==> A = B).
Dass Du diesen Beweis nicht erkennen und würdigen kannst, zeigt,
dass bei Dir die Schranke schon unwiderruflich geschlossen ist.
Ich sage, dass die aus unendlich vielen Transformationen bestehende
Umformung mittels Hütchen-Defilieren das Element 1 aus der geordneten
Menge Ord_A = [1,2,3,...] verschwinden lässt, und dass das Ergebnis
Ord_E = [2,3,4,...] ist.

Und nun Dein angeblicher Beweis dagegen:

1) Behauptet, dass Umordnungen eine Menge nicht verändern können.
Dabei gehst Du nicht auf die Besonderheit der Umformung ein, dass sie
nämlich aus unendlich vielen Transpositionen besteht, die der 1 keinen
Platz einzunehmen erlaube. Das ist also kein Beweis, sondern nur eine
/Gegenbehauptung allgemeiner Art/.

2) Ist eine Binsenweisheit wie "2+2=4", dass nämlich zwei Mengen A und B
genau dann gleich sind, wenn für jedes Element X gilt, dass es genau
dann in A ist, wenn es in B ist. Die Beweiskraft gegen meine Behauptung
ist gleich Null, denn ich sage, dass A = Ord_A und B = Ord_E verschieden
sind. Du scheinst sagen zu wollen: sie müssen aber gleich sein, und das
heißt, dass jedes X genau dann in A ist, wenn X in B ist. Die Prämisse
/"sie müssen aber gleich sein"/ ist das Wichtige dabei, und sie ist
lediglich die Wiederholung dessen, was Du in 1) sagst.

Fazit: Dein Beweis ist nichts weiter als ein wortreicher und sinnleerer
Widerspruch gegen meine Aussage.

Peinlicherweise bietest Du als eigenes Ergebnis der Umformung eine
Ordnung vom Typ omega+1 an, nämlich Ord_Z = [2,3,4,...,1].
Du bist so froh darüber, der 1 zum Überleben verholfen zu haben, dass Du
ihr sogar eine Platznummer p gönnst, die größer ist als jede natürliche
Zahl. Dass Du an anderer Stelle vehement gegen solchen Unsinn schimpfst,
ist ja OK, aber konsequent ist anders.

Gruß,
RR
Ganzhinterseher
2020-04-09 20:17:40 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Darin dokumentiert er sehr ehrlich, wie wenig er verstanden hat.
Wie wenig dummes Zeug er zu glauben bereit ist.
Post by Rainer Rosenthal
Ich mag nicht weiter einen Thread verlängern, in dem ich gegen jede
newsnet-Etiquette mit Namen genannt werde.
Nun, Rainer heißen wirklich viele, vielleicht mehr als Wolfgang.
Post by Rainer Rosenthal
1) *Keine* Umordnung einer Menge kann die Elemente dieser Menge verändern > 2) ∀A ∀B (∀X (X ∈ A <==> X ∈ B) ==> A = B).
Dass Du diesen Beweis nicht erkennen und würdigen kannst, zeigt,
dass bei Dir die Schranke schon unwiderruflich geschlossen ist.
Ich sage, dass die aus unendlich vielen Transformationen bestehende
Umformung mittels Hütchen-Defilieren das Element 1 aus der geordneten
Menge Ord_A = [1,2,3,...] verschwinden lässt, und dass das Ergebnis
Ord_E = [2,3,4,...] ist.
1) Behauptet, dass Umordnungen eine Menge nicht verändern können.
Dabei gehst Du nicht auf die Besonderheit der Umformung ein,
Umformung heißt Umformung. Da gibt es keine Besonderheiten. Wenn man unendlich viele Zahlen zählt, dann ist das auch keine Besonderheit, die eine unendeliche Zahl erzeugt. Solange jede Transposition eine endliche Nummer besitzt, agiert sie wie jede Transposition.
Post by Rainer Rosenthal
dass sie
nämlich aus unendlich vielen Transpositionen besteht
Welche ist denn als erste eine unendliche?
Post by Rainer Rosenthal
2) Ist eine Binsenweisheit wie "2+2=4", dass nämlich zwei Mengen A und B
genau dann gleich sind, wenn für jedes Element X gilt, dass es genau
dann in A ist, wenn es in B ist. Die Beweiskraft gegen meine Behauptung
ist gleich Null, denn ich sage, dass A = Ord_A und B = Ord_E verschieden
sind.
Nicht stattgegeben. Solange nur endliche Zahlen vorkommen, sind sie alle endlich. Solange nur endliche Zahlen vertauscht werden, sind die Vertauschungen elementerhaltend..
Post by Rainer Rosenthal
Peinlicherweise bietest Du als eigenes Ergebnis der Umformung eine
Ordnung vom Typ omega+1 an, nämlich Ord_Z = [2,3,4,...,1].
Du bist so froh darüber, der 1 zum Überleben verholfen zu haben, dass Du
ihr sogar eine Platznummer p gönnst, die größer ist als jede natürliche
Zahl.
Nein, ich sage, dass es unendlich viele größere natürliche Zahlen gibt - allerdings dunkle.
Post by Rainer Rosenthal
Dass Du an anderer Stelle vehement gegen solchen Unsinn schimpfst,
ist ja OK, aber konsequent ist anders.
Mein Beweis zeigt nur, wie widersinning vollendete Unendlichkeit ist.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-04-09 21:26:40 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
1) Behauptet, dass Umordnungen eine Menge nicht verändern können.
Dabei gehst Du nicht auf die Besonderheit der Umformung ein,
Umformung heißt Umformung.
Sage ich doch: Du gehst nicht auf die Besonderheit der Umformung ein.
Nennst das Ganze dann aber stolz "Beweis".
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
dass sie
nämlich aus unendlich vielen Transpositionen besteht
Welche ist denn als erste eine unendliche?
Ein Witz?
Das ist so albern wie zu meinen, es müsste unter den unendlich vielen
Zahlen 1, 2, 3, ... eine erste unendliche geben. Ich fühle mich da
intellektuell unterfordert.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
2) Ist eine Binsenweisheit wie "2+2=4", dass nämlich zwei Mengen A und B
genau dann gleich sind, wenn für jedes Element X gilt, dass es genau
dann in A ist, wenn es in B ist. Die Beweiskraft gegen meine Behauptung
ist gleich Null, denn ich sage, dass A = Ord_A und B = Ord_E verschieden
sind.
Nicht stattgegeben. Solange nur endliche Zahlen vorkommen, sind sie alle endlich. Solange nur endliche Zahlen vertauscht werden, sind die Vertauschungen elementerhaltend.
Ich habe Deine Argumentation kritisiert, und Du hast nichts zur
Verteidigung angeben können, klar. Macht nicht so viel Spüaß, wenn Du
einfach ignorierst, was ich schreibe und dann irgendwas anderes sagst.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Peinlicherweise bietest Du als eigenes Ergebnis der Umformung eine
Ordnung vom Typ omega+1 an, nämlich Ord_Z = [2,3,4,...,1].
Du bist so froh darüber, der 1 zum Überleben verholfen zu haben, dass Du
ihr sogar eine Platznummer p gönnst, die größer ist als jede natürliche
Zahl.
Nein, ich sage, dass es unendlich viele größere natürliche Zahlen gibt - allerdings dunkle.
Du gönnst der Zahl 1 einen Platz p mit p > n für alle natürlichen Zahlen
n. Mal wieder das dunkle Wort "dunkel" einzustreuen erhellt Deine
Gedankengänge nicht im Mindesten.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dass Du an anderer Stelle vehement gegen solchen Unsinn schimpfst,
ist ja OK, aber konsequent ist anders.
Mein Beweis zeigt nur, wie widersinning vollendete Unendlichkeit ist.
Was für ein Beweis?

Gruß,
RR
Rainer Rosenthal
2020-04-10 10:08:50 UTC
Permalink
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Die Diskussion ist ausgeufert, und ich muss immer wieder zur Quelle
zurück, um mich zurechtzufinden. Es gibt inzwischen viele Diskutanten
und Gesichtspunkte, und heute früh war ich derart verwirrt, dass ich auf
die einfache Frage (H3) keine Antwort parat hatte:

Frage H3:
Wieso hat A = [1,2,3] den gleichen Ordnungstyp wie Z = [2,3,1]?

Sowas kann in hohem Alter und vor dem Frühstück schon mal passieren.
Immerhin konnte ich mir die Frage dann doch schnell beantworten. Mir
schien, dass ich dabei der Quelle wieder nahe gekommen war.
Denn das Hütchen-Spiel gibt Anlass zur Frage (Hoo):

Frage Hoo:
Wieso haben Ord_A = [1,2,3,...] und Ord_Z = [2,3,...,1] nicht den
gleichen Ordnungstyp?

Ich lade die geneigten Leser ein, sich hier mit mir an der Quelle zu
treffen. Das ist ein virtuelles Treffen, passend zur Corona-Zeit, und es
gibt auch gleich was zu besprechen:

Am 09.04.2020 um 18:31 schrieb Helmut Richter:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Man kann die Hintereinanderausführung der Transpositionen ohne große
Verrenkungen sinnvoll so definieren, dass am Ende [2,3,4,...,1] vom
Ordnungstyp ω+1 herauskommt.
Ich habe jetzt ein paar Tage pausiert. Es ist nicht leicht, da wieder
einzusteigen, weil es inzwischen sehr viele Beiträge gab: manches
Quatsch, manches Antworten auf Quatsch (was kaum lesbarer ist), manches
trivial, manches für mich uninteressant (kann ja für andere interessant
sein), und dazwischen vielleicht auch ein paar Perlen. Und die gilt es
erst einmal zu entdecken.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nun denn perlendes Quellwasser kann ich schon mal bieten :-)
Die Morgengymnastik "ohne große Verrenkungen" interessiert mich. Kann
ich die Übungen auch machen?

Gruß,
RR
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