Ägyptischer Näherungswert für pi

[Jutta Gut]

Hallo!

Hermann Kremer hat im Thread "Hat Cantor doch geirrt?" die Frage gestellt,
wie die Ägypter auf den Näherungwert (16/9)^2 für pi gekommen sind.
Weil es schon ziemlich unmöglich ist, in den fast 2000 Beträgen dieses
Thread etwas zu finden, mache ich hier einen neuen auf.

Helmur Gericke zitiert verschiedene Erklärungen für diesen Wert
(Mathematik in Antike, Orient und Abendland, S. 55ff.). Am einleuchtendsten
finde ich diese:

Die Zeichnung im Papyrus Rhind zeigt ein dem Kreis umbeschriebenes
Quadrat, das in 9 kleinere Quadrate geteilt ist. In den Eckquadraten
ist die Diagonale eingezeichnet. Dadurch erhält man ein Achteck, das
genauso groß wie der Kreis ist (naja, zumindest für praktische Zwecke.)
Man sieht leicht, dass die Fläche dieses Achtecks 7/9 der Quadratfläche
beträgt.

Wenn man annimmt, dass die Ägypter die Näherungsformel
(1 - x)^2 ~ 1 - 2x
gekannt haben, ergibt sich:
(d*(1 - 1/9))^2 ~ d^2*7/9 = Achteckfläche ~ Kreisfläche

Grüße
Jutta

[Roland Franzius]

Post by Jutta Gut
Hallo!
Hermann Kremer hat im Thread "Hat Cantor doch geirrt?" die Frage gestellt,
wie die Ägypter auf den Näherungwert (16/9)^2 für pi gekommen sind.
Weil es schon ziemlich unmöglich ist, in den fast 2000 Beträgen dieses
Thread etwas zu finden, mache ich hier einen neuen auf.
Helmur Gericke zitiert verschiedene Erklärungen für diesen Wert
(Mathematik in Antike, Orient und Abendland, S. 55ff.). Am einleuchtendsten
Die Zeichnung im Papyrus Rhind zeigt ein dem Kreis umbeschriebenes
Quadrat, das in 9 kleinere Quadrate geteilt ist. In den Eckquadraten
ist die Diagonale eingezeichnet. Dadurch erhält man ein Achteck, das
genauso groß wie der Kreis ist (naja, zumindest für praktische Zwecke.)
Man sieht leicht, dass die Fläche dieses Achtecks 7/9 der Quadratfläche
beträgt.
Wenn man annimmt, dass die Ägypter die Näherungsformel
(1 - x)^2 ~ 1 - 2x
(d*(1 - 1/9))^2 ~ d^2*7/9 = Achteckfläche ~ Kreisfläche

Warum muss man so um die Ecke denken? Die Approximation der Kreisfläche
durch ein gleichgroßes Quadrat ergibt für Brüche mit Zählern und Nennern
zwischen 1 und 32 als Approximationen besser als 5% an pi


{49/16, 81\25, 196/64, 256/81, 324/100, 441/144, 529\169, 625/196,
676/225, 729/225, 784/256, 841/256, 900/289, 1024/324}

={49/16, 81/25, 49/16, 256/81, 81/25, 49/16, 529/169, 625/196, 676/225,
81/25, 49/16, 841/256, 900/289, 256/81}
=
pi*{0.974824, 1.03132, 0.974824, 1.00602, 1.03132, 0.974824, 0.996366,
1.01502, 0.956344, 1.03132, 0.974824, 1.0457, 0.991276, 1.00602}

6%% Genauigkeit bedeuten in der Architektur mehr als der Polier
tatsächlich einhält. Die Bestimmmung von 3/4 des Kreisradius ist
trivial. Interessant ist, wann und welchem Mathematiker erstmalig
aufgefallen ist, dass die Formel in der real messenden Geometrie nicht
exakt ist.

Denn irgendwann entdeckt man, dass auch das Volumen der Kugel
V = (4/3 r)^3 ist, und das kann man als Bildhauer oder Töpfer per Wägung
testen. Damit war man vor vielleicht 4000 Jahren ungefähr so genau wie
heute die Physiker mit dem anomalen magnetischen Moment des Elektrons.
Man hat eine unverselle sehr genaue Näherungsformel und glaubt die Welt
verstanden zu haben.

[Hero]

Lancelot Hogben
"Mathematics for the millions"
Der Moskau-Papyrus.. nahezu 4000 Jahre her.
Ihre Schreiber benutzten als einen Wert für
pi 256/81.
Dies kann eine empirische Entdeckung gewesen sein
durch Messen des Umfangs und des Durchmessers eines
Zylinders. Nicht unwahrscheinlich ist ..Polygon von 12 gleichen
Seiten.."
Grüße
Hero

[Hermann Kremer]

Hero schrieb in Nachricht ...

Post by Hero
Der Moskau-Papyrus.. nahezu 4000 Jahre her.
Ihre Schreiber benutzten als einen Wert für
pi 256/81.

Hmm ... 256/81 = (16/9)^2 = 4*(8/9)^2 .
Von dieser Zahl reden wir zwar ... die stammt aber nicht aus
dem Moskauer Golenischow-Papyrus, sondern aus dem
Londoner Rhind Mathematical Papyrus (RMP), geschrieben
ca. 1750 v. Chr. von einem gewissen Ah.m.s , transskribiert
als Ahmes oder Ahmôse ...

Post by Hero
Dies kann eine empirische Entdeckung gewesen sein
durch Messen des Umfangs und des Durchmessers eines
Zylinders. Nicht unwahrscheinlich ist ... Polygon von 12 gleichen
Seiten.."

http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono/Ahmes.html
Diese Hypothese ist mir aber nicht sehr sympathisch ...

Der Moskauer Golenischow-Papyrus ist berühmt für seine Formel
des Volumens eines quadratischen symmetrischen Pyramidenstumpfs:
http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/egypt.html
http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/egypt_moscow10.html
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Egyptians.html
http://www.math.uvic.ca/courses/math415/Math415Web/egypt/moscow.html
http://www.mathpages.com/home/kmath189/kmath189.htm
http://www.bath.ac.uk/~ma2jc/project.html

Grüße
Hermann
--

Post by Hero
Grüße
Hero

[Roland Franzius]

Post by Hermann Kremer
Hero schrieb in Nachricht ...

Post by Hero
Der Moskau-Papyrus.. nahezu 4000 Jahre her.
Ihre Schreiber benutzten als einen Wert für
pi 256/81.

Hmm ... 256/81 = (16/9)^2 = 4*(8/9)^2 .
Von dieser Zahl reden wir zwar ... die stammt aber nicht aus
dem Moskauer Golenischow-Papyrus, sondern aus dem
Londoner Rhind Mathematical Papyrus (RMP), geschrieben
ca. 1750 v. Chr. von einem gewissen Ah.m.s , transskribiert
als Ahmes oder Ahmôse ...

Post by Hero
Dies kann eine empirische Entdeckung gewesen sein
durch Messen des Umfangs und des Durchmessers eines
Zylinders. Nicht unwahrscheinlich ist ... Polygon von 12 gleichen
Seiten.."

http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono/Ahmes.html
Diese Hypothese ist mir aber nicht sehr sympathisch ...

Beim Googeln fiel mir noch eine pi Seite ins Auge,

http://www.pimath.de/pi.html#pi140

wobei die Chinesen, hier ein Herr Tu, mal wieder durch systematischen
Abusus von Mathematik den Genauigkeitsrekord erzielen:

Man nehme die Näherung von pi von Ptolemäus 377/120 und ziehe davon die
von Archimedes 22/7 ab, das ergibt dann 355/113.

[Peter Luschny]

Post by Roland Franzius
Beim Googeln fiel mir noch eine pi Seite ins Auge,
http://www.pimath.de/pi.html#pi140
wobei die Chinesen, hier ein Herr Tu, mal wieder durch systematischen
Man nehme die Näherung von pi von Ptolemäus 377/120 und ziehe davon die
von Archimedes 22/7 ab, das ergibt dann 355/113.

Hmm, also 377/120 - 22/7 = -1/840 ~ -0.00119..
eine Genauigkeitsrekord? Sicher hast du als Physiker viel
Symphatie für den Abusus der Mathematik, aber gleich soviel?

Gruss Peter

[Roland Franzius]

Post by Peter Luschny

Post by Roland Franzius
Beim Googeln fiel mir noch eine pi Seite ins Auge,
http://www.pimath.de/pi.html#pi140
wobei die Chinesen, hier ein Herr Tu, mal wieder durch systematischen
Man nehme die Näherung von pi von Ptolemäus 377/120 und ziehe davon die
von Archimedes 22/7 ab, das ergibt dann 355/113.

Hmm, also 377/120 - 22/7 = -1/840 ~ -0.00119..
eine Genauigkeitsrekord? Sicher hast du als Physiker viel
Symphatie für den Abusus der Mathematik, aber gleich soviel?

Du hast anscheinend noch nie erlebt, wie naiv manche mit Brüchen
umgehen. Ausser "Summen kürzen nur die Dummen" gibts offensichtlich auch
die Option, Addition und Subtraktion als vektorielle Operation in R^2
auf Nenner und Zähler zu definieren und die Division dann als projektive
Abbildung nach R zu verstehen.

[Peter Luschny]

Post by Roland Franzius

Post by Peter Luschny

Post by Roland Franzius
wobei die Chinesen, hier ein Herr Tu, mal wieder durch systematischen
Man nehme die Näherung von pi von Ptolemäus 377/120 und ziehe davon die
von Archimedes 22/7 ab, das ergibt dann 355/113.

Hmm, also 377/120 - 22/7 = -1/840 ~ -0.00119..
eine Genauigkeitsrekord? Sicher hast du als Physiker viel
Symphatie für den Abusus der Mathematik, aber gleich soviel?

Du hast anscheinend noch nie erlebt, wie naiv manche mit Brüchen
umgehen. Ausser "Summen kürzen nur die Dummen" gibts offensichtlich auch
die Option, Addition und Subtraktion als vektorielle Operation in R^2
auf Nenner und Zähler zu definieren und die Division dann als projektive
Abbildung nach R zu verstehen.

Wow, und das alles schon bei den Chinesen so um 480.
Ich bin beeindruckt. War sicher ein Physiker, der Herr
Tsu Chung-Chih - denn das wirklich Tolle ist ja dabei,
dass bei diesem Unfug tatsächlich der Genauigkeitsrekord
herauskam. Nun, lass es mich vorsichtig formulieren:
Diese /Deutung/, und darum handelt es sich ja, erscheint
mir nicht plausibel.

Ansonsten möchte ich noch auf diesen Herren aufmerksam
machen, der zwar erst 1000 Jahre später, aber unabhängig,
zu der gleichen Näherung kam:

http://www.cosmovisions.com/Otho.htm
http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/oct98/0031.html

Gruss Peter

[Jutta Gut]

Post by Peter Luschny
Wow, und das alles schon bei den Chinesen so um 480.
Ich bin beeindruckt. War sicher ein Physiker, der Herr
Tsu Chung-Chih - denn das wirklich Tolle ist ja dabei,
dass bei diesem Unfug tatsächlich der Genauigkeitsrekord
Diese /Deutung/, und darum handelt es sich ja, erscheint
mir nicht plausibel.

Das ist nicht nur Unfug - wenn Herr Tu wirklich so gerechnet hat,
wollte er ja nicht die Differenz der beiden Brüche berechnen,
sondern einen Wert, der in der Nähe von beiden Brüchen liegt.

Wenn du bei zwei Brüchen Zähler und Nenner addierst, erhältst du
den Medianten, eine Art Mittelwert. Adrian Metius hat das mit
den beiden Näherungen 377/120 und 333/106 gemacht und hat so den
besseren Näherungswert 355/113 erhalten.

Der Mediant tritt auch bei den Farey-Reihen auf - ein Thema, mit
dem ich mich auch mal gründlicher beschäftigen will.

Grüße
Jutta

[Peter Luschny]

"Jutta Gut" schrieb.

"Peter Luschny" schrieb
Diese /Deutung/, und darum handelt es sich ja, erscheint
mir nicht plausibel.

Das ist nicht nur Unfug - wenn Herr Tu wirklich so gerechnet hat,
wollte er ja nicht die Differenz der beiden Brüche berechnen,
sondern einen Wert, der in der Nähe von beiden Brüchen liegt.

Hat er bestimmt nicht. Delahaye schreibt (leider ohne Quellen-
angabe), dass Tsu Chung-Chih und sein Sohn Tsu Keng-Chih
die Inklusion
3,1415926 < PI < 3,1415927
gefunden hatten. Damit war ihnen ja bewußt, dass
der Wert 355/113 eine rationale Näherung darstellt,
die sie, so vermute ich mal, /nach/ ihrer Kenntnis
der Inklusion gesucht haben.

Gruss Peter

PS. Man sollte einfach nicht alles, was im Internet
von Pi-o-logen, Zahlen-Mystikern und RecMathikern
verbrochen wird, hier unreflektiert nacherzählen.

Lieber hier mal gucken:
http://mathworld.wolfram.com/PiContinuedFraction.html
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A001203

[Peter Luschny]

Post by Peter Luschny
Hat er bestimmt nicht. Delahaye schreibt (leider ohne Quellen-
angabe), dass Tsu Chung-Chih und sein Sohn Tsu Keng-Chih
die Inklusion
3,1415926 < PI < 3,1415927
gefunden hatten.

Alexei Volkov: Zhao Youquin and his calculation of Pi.
Historia Mathematica, Vol. 24, No. 3, August 1997, 301-331

Hätte Tsu die Archimedische Exhaustionsmethode mittels
Polygonen verwendet, so hätte er für seine Inklusion
ein Polygon mit 12288 Seiten gebraucht und mit
mindestens 13 Stellen Genauigkeit rechnen müssen.

Gruss Peter

[Jutta Gut]

Post by Peter Luschny
Hat er bestimmt nicht. Delahaye schreibt (leider ohne Quellen-
angabe), dass Tsu Chung-Chih und sein Sohn Tsu Keng-Chih
die Inklusion
3,1415926 < PI < 3,1415927
gefunden hatten. Damit war ihnen ja bewußt, dass
der Wert 355/113 eine rationale Näherung darstellt,
die sie, so vermute ich mal, /nach/ ihrer Kenntnis
der Inklusion gesucht haben.
Gruss Peter
PS. Man sollte einfach nicht alles, was im Internet
von Pi-o-logen, Zahlen-Mystikern und RecMathikern
verbrochen wird, hier unreflektiert nacherzählen.

Tu ich auch nicht, aber jetzt Spaß beiseite:

Die Kettenbruchentwicklung von pi beginnt mit (3, 7, 15, 1, ...)
Die ersten Näherungsbrüche sind 3, 22/7, 333/106, 355/113, ...
Weil an der vierten Stelle 1 steht, erhält man die vierte Näherung,
indem man Zähler und Nenner der zweiten und dritten Näherung addiert.

Wie Ptolemäus auf 377/120 gekommen ist, weiß ich leider nicht.
Aber dass die Werte 22/7, 333/106, 355/113 und 377/120 so schön
miteinander zusammenhängen, ist zumindest bemerkenswert.

Grüße
Jutta

[Jutta Gut]

Post by Jutta Gut
Wie Ptolemäus auf 377/120 gekommen ist, weiß ich leider nicht.

Vielleicht hat er einfach die Näherungen von Archimedes im
Sexagesimalsystem geschrieben:
3 1/7 = 3;8;34;...
3 10/71 = 3;8;27;...
den Mittelwert berechnet und auf den leichter zu merkenden Wert
3;8;30 gerundet.

Grüße
Jutta

[Jutta Gut]

Post by Hero
Dies kann eine empirische Entdeckung gewesen sein
durch Messen des Umfangs und des Durchmessers eines
Zylinders. Nicht unwahrscheinlich ist ..Polygon von 12 gleichen
Seiten.."

Und wie genau kommt man von einem regelmäßigen Zwölfeck auf 256/81?
Außerdem geht es im Papyrus Rhind ja um den Flächeninhalt eines
Kreises.

Übrigens wird ein ähnlicher Näherungswert tatsächlich auch im Papyrus
Moskau verwendet. Ich lese gerade bei Gericke, dass die Fläche eines
Halbkreises mit Radius m mit der Formel
F = 2m*(1 - 1/9)*(1 - 1/9)*m
berechnet wird. (Der Text ist allerdings nicht ganz klar.)

Grüße
Jutta

[Jutta Gut]

Post by Roland Franzius
Warum muss man so um die Ecke denken? Die Approximation der Kreisfläche
durch ein gleichgroßes Quadrat ergibt für Brüche mit Zählern und Nennern
zwischen 1 und 32 als Approximationen besser als 5% an pi

Ja, aber woher wussten die Ägypter das? Sie hatten ja keinen "richtigen"
wer, mit dem sie die Güte der Approximation feststellen konnten.

Grüße
Jutta

[David Kastrup]

Post by Jutta Gut

Post by Roland Franzius
Warum muss man so um die Ecke denken? Die Approximation der Kreisfläche
durch ein gleichgroßes Quadrat ergibt für Brüche mit Zählern und Nennern
zwischen 1 und 32 als Approximationen besser als 5% an pi

Ja, aber woher wussten die Ägypter das? Sie hatten ja keinen "richtigen"
wer, mit dem sie die Güte der Approximation feststellen konnten.

Nur weil die Pyramiden eckig waren, heißt das nicht, daß Kreise in
Ägypten verboten waren. Und mit Drechselei von großen Holzscheiben
kann man schon verdammt genaue Verhältnisse erreichen.

[Roland Franzius]

Post by Jutta Gut

Post by Roland Franzius
Warum muss man so um die Ecke denken? Die Approximation der Kreisfläche
durch ein gleichgroßes Quadrat ergibt für Brüche mit Zählern und Nennern
zwischen 1 und 32 als Approximationen besser als 5% an pi

Ja, aber woher wussten die Ägypter das? Sie hatten ja keinen "richtigen"
wer, mit dem sie die Güte der Approximation feststellen konnten.

Und ob. Wenn die Goldschmiede des Pharao eine ebene Sonnenscheibe oder
einen Reichsapfel aus purem Gold herzustellen hatten, waren sie ab etwa
2500 vChr natürlich in der Lage festzustellen, ob sie dabei Gewinn oder
Verlust machten. Die Geschichte vom Archimedes und seiner Badewanne
-erfunden oder nicht- zeigt, dass Gold- und Silbergewichte und deren
Fälschung von Anbeginn bis heute ein zentrales
mathematisch-physikalisches Thema von großer politischer Bedeutung
darstellen.

Leute, die Pyramiden in der bekannten Größe millimetergenau aufbauen und
mit einer mathematisch exakten Oberfläche verkleiden, soll man nicht
unterschätzen. Exakt runde Kugeln herzustellen, ist ja einfach. Ebene
Platten exakt rund oder viereckig zu gießen ebenfalls. Die strengen
Gesetze für betrügerische Juweliere oder Münzmeister zeigen, dass die
Antike zumindest einen dumpfen Begriff für die Erhaltung der Masse bei
Edelmetallen hatte. Damit liegt die Gleichsetzung von Flächen und
Volumina verschiedener Form nahe.

[Hermann Kremer]

Jutta Gut schrieb in Nachricht <news:***@uni-berlin.de>...

Hallo Jutta

Post by Jutta Gut
Hermann Kremer hat im Thread "Hat Cantor doch geirrt?" die Frage gestellt,
wie die Ägypter auf den Näherungwert (16/9)^2 für pi gekommen sind.
Weil es schon ziemlich unmöglich ist, in den fast 2000 Beträgen dieses
Thread etwas zu finden, mache ich hier einen neuen auf.

Brilliante Idee ...

Post by Jutta Gut
Helmut Gericke zitiert verschiedene Erklärungen für diesen Wert
(Mathematik in Antike, Orient und Abendland.

Wiesbaden: Fourier-Verlag 1992

Post by Jutta Gut
S. 55ff.).
Die Zeichnung im Papyrus Rhind zeigt ein dem Kreis umbeschriebenes
Quadrat, das in 9 kleinere Quadrate geteilt ist. In den Eckquadraten
ist die Diagonale eingezeichnet. Dadurch erhält man ein Achteck, das
genauso groß wie der Kreis ist (naja, zumindest für praktische Zwecke.)
Man sieht leicht, dass die Fläche dieses Achtecks 7/9 der Quadratfläche
beträgt.
Wenn man annimmt, dass die Ägypter die Näherungsformel
(1 - x)^2 ~ 1 - 2x
(d*(1 - 1/9))^2 ~ d^2*7/9 = Achteckfläche ~ Kreisfläche

Ja, so ähnlich steht es auch z.B. in
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono/Ahmes.html
Mich überzeugt es aber nicht ganz; ich kann mir gut vorstellen, daß der
Kreisdurchmesser von 9 khet im Papyrus Rhind gerade so gewählt
worden war, daß es den Schülern (Das "Rechenbuch des Ahmes [Ahmôse]"
war wohl so etwas wie ein Schulbuch ...) direkt anschaulich wurde.
Hier nochmals mein Posting aus dem Horror-Thread:

... "Hermann Kremer" wrote in message <news:cl6ebe$v09$***@online.de>
[ ... ]
Hier eine Rekonstruktion für (8/9)^2 von Otto Neugebauer. Die Ägypter
wollten die Kreisfläche durch ein flächengleiches Quadrat approximieren,
d.h. sie suchten bei einem Kreis mit Durchmesser d eine rationale
Näherung f für

(pi/4)*d^2 = (f*d)^2 ---> f = sqrt(pi/4) .

Einen Viertelkreis kann man durch ein gleichschenklig-rechtwinkliges
Dreieck mit der Hypothenuse sqrt(2) und ein daran angelegtes
symmetrisches Trapez mit Grundseite sqrt(2), Deckenseite sqrt(2)/2
und Höhe 1 - sqrt(2)/2 approximieren, und die Fläche dieser Figur
ist dann gleich

A = (3*sqrt(2) - 1)/4 .

Setzt man sqrt(2) = 7/5, so ergibt das 16/20 = 64/80, und die dazu
nächstgelegene rationale Quadratzahl ist 64/81 = (8/9)^2 =: f^2 ~= pi/4.
Für mich klingt das durchaus plausibel.
[ ... ]

Grüße
Hermann
--

Post by Jutta Gut
Grüße
Jutta

[Jutta Gut]

Post by Hermann Kremer
Hier eine Rekonstruktion für (8/9)^2 von Otto Neugebauer. Die Ägypter
wollten die Kreisfläche durch ein flächengleiches Quadrat approximieren,
d.h. sie suchten bei einem Kreis mit Durchmesser d eine rationale
Näherung f für
(pi/4)*d^2 = (f*d)^2 ---> f = sqrt(pi/4) .
Einen Viertelkreis kann man durch ein gleichschenklig-rechtwinkliges
Dreieck mit der Hypothenuse sqrt(2) und ein daran angelegtes
symmetrisches Trapez mit Grundseite sqrt(2), Deckenseite sqrt(2)/2
und Höhe 1 - sqrt(2)/2 approximieren, und die Fläche dieser Figur
ist dann gleich
A = (3*sqrt(2) - 1)/4 .
Setzt man sqrt(2) = 7/5, so ergibt das 16/20 = 64/80, und die dazu
nächstgelegene rationale Quadratzahl ist 64/81 = (8/9)^2 =: f^2 ~= pi/4.
Für mich klingt das durchaus plausibel.
[ ... ]

Da sind für mich aber ein paar Fragen offen:

- Konnten die Ägypter schon mit irrationalen Quadratwurzeln umgehen?
Der Satz von Pythagoras war ja, soviel ich weiß, noch nicht allgemein
bekannt, sondern nur für den Spezialfall 3, 4, 5.

- Hatten die Ägypter rationale Näherungswerte für Quadratwurzeln?

- Wie hat man die Trapezfläche berechnet? Ich denke, man kannte nur
die falsche Formel für die Viereckfläche: A = (a+c)/2*(b+d)/2.

Grüße
Jutta

[Hermann Kremer]

Post by Jutta Gut

Post by Hermann Kremer
Hier eine Rekonstruktion für (8/9)^2 von Otto Neugebauer. Die Ägypter
wollten die Kreisfläche durch ein flächengleiches Quadrat approximieren,
d.h. sie suchten bei einem Kreis mit Durchmesser d eine rationale
Näherung f für
(pi/4)*d^2 = (f*d)^2 ---> f = sqrt(pi/4) .
Einen Viertelkreis kann man durch ein gleichschenklig-rechtwinkliges
Dreieck mit der Hypothenuse sqrt(2) und ein daran angelegtes
symmetrisches Trapez mit Grundseite sqrt(2), Deckenseite sqrt(2)/2
und Höhe 1 - sqrt(2)/2 approximieren, und die Fläche dieser Figur
ist dann gleich
A = (3*sqrt(2) - 1)/4 .
Setzt man sqrt(2) = 7/5, so ergibt das 16/20 = 64/80, und die dazu
nächstgelegene rationale Quadratzahl ist 64/81 = (8/9)^2 =: f^2 ~= pi/4.
Für mich klingt das durchaus plausibel.
[ ... ]

- Konnten die Ägypter schon mit irrationalen Quadratwurzeln umgehen?
Der Satz von Pythagoras war ja, soviel ich weiß, noch nicht allgemein
bekannt, sondern nur für den Spezialfall 3, 4, 5.
- Hatten die Ägypter rationale Näherungswerte für Quadratwurzeln?

Da bin ich ziemlich sicher: Quadrattabellen und Multiplikationstabellen
waren schon vorhanden.
Bei der Diagonalen suchte man einen Bruch p/q, dessen Quadrat gleich
2 ist: p^2 = 2*q^2, und dazu brauchte man nur einen fleißigen Rechner:

4 : 2*1 = 2 nö
9 : 2*4 = 8 nö
16 : 2*9 = 18 hmm ...
25 : 2*16 = 32 nö
36 : 2*16 = 32 nö
49 : 2*25 = 50 jaaa ... p = 7, q = 5
........

7/5 = 1 + 2/5 = 1 + (1+1/5)/3 = 1 + 1/3 + 1/15

Post by Jutta Gut
- Wie hat man die Trapezfläche berechnet? Ich denke, man kannte nur
die falsche Formel für die Viereckfläche: A = (a+c)/2 * (b+d)/2.

Ja, die steht im Papyrus Rhind. Im Moskauer Papyrus wird aber das
Volumen eines Pyramidenstumpfs richtig mit der Höhe berechnet, und
da sollte man ihnen die Kenntnis der richtigen Formel für die Trapezfläche
schon zutrauen ...

Grüße
Hermann
--

Post by Jutta Gut
Grüße
Jutta

[lin8080]

Post by Jutta Gut
- Konnten die Ägypter schon mit irrationalen Quadratwurzeln umgehen?
Der Satz von Pythagoras war ja, soviel ich weiß, noch nicht allgemein
bekannt, sondern nur für den Spezialfall 3, 4, 5.

Soweit ich gelesen hab, sass der Herr Pythagoras 3 Jahre lang im Knast
einer assyrischen Hauptstadt. Im selben Gebäude waren damals auch einige
ägypt. Hoheprister. Was macht man da wohl den ganzen langen Tag? Mir
fällt es nicht schwer, mir vorzustellen, das der den ägyp. Pristern
zugeschaut hat, wenn sie im Sand herumkritzelten. Ob er ägyptisch
verstand weiss ich leider nicht.
Zudem sind "die" Griechen damals gerne nach Alexandrien gesegelt, wegen
der Bibliothek dort. Das nährt meinen Verdacht, das Wissen von dort
exportiert wurde.

stefan

[Olaf Gerstung]

Post by lin8080
Zudem sind "die" Griechen damals gerne nach Alexandrien
gesegelt, wegen der Bibliothek dort.

/Die/ Bibliothek in Alexandria wurde allerdings erst von
Ptolemaios I. (geb. um 367/366 vuZ) errichtet. Also lange
nach Pythagoras' Zeit. Alexandria selbst wurde ja erst 332
gegründet.

Olaf

[ThomasT]

"Jutta Gut" <***@chello.at> wrote:

Nur mal so eingeworfen:

Die Stonehenge-Erbauer ("Megalithiker") hatte 25/8 == 3.125 als Näherungswert.

[Jutta Gut]

Post by ThomasT
Die Stonehenge-Erbauer ("Megalithiker") hatte 25/8 == 3.125 als Näherungswert.

Hast du dafür eine Quelle?

Grüße
Jutta

[Thomas Thiele]

Post by Jutta Gut

Post by ThomasT
Die Stonehenge-Erbauer ("Megalithiker") hatte 25/8 == 3.125 als Näherungswert.

Hast du dafür eine Quelle?

Momentan nur das Buch "Der Himmel ist unter uns" was ich gerade gelesen
habe.
Woher der Autor die Angabe hat, muss ich erst nachschauen.
Ich habe das aber auch schon woanders (im Netz) gelesen, aber da weiss
ich die
Quelle nicht mehr.

Jedenfalls kommt wohl dieser Wert neben der "megalithischen Elle" ==
0.829m
recht häufig bei Kultstätten und nicht nur da vor.
Aber das ist ein anderes Thema.

[Hermann Kremer]

Post by Thomas Thiele

Post by Jutta Gut

Post by ThomasT
Die Stonehenge-Erbauer ("Megalithiker") hatte 25/8 == 3.125 als Näherungswert.

Hast du dafür eine Quelle?

Hmm, den Wert 25/8 kenne ich von dem ca. 25 v.Chr. geschriebenen
Architektur-Buch des römischen Ingenieurs Vitruv:
http://deu.archinform.net/arch/17633.htm?ID=GdvW182McHVdTBo9

Marcus Vitruvius Pollio: De architectura Libri decem.

Das lateinische Original sowie eine englische und eine italienische
Übersetzung gibt es unter
http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Vitruvius/home.html

Post by Thomas Thiele
Momentan nur das Buch "Der Himmel ist unter uns" was ich gerade gelesen
habe.

http://www.ruhrig.de/weltwunder.html (dazu no comment vor mir ...)

Post by Thomas Thiele
Woher der Autor die Angabe hat, muss ich erst nachschauen.
Ich habe das aber auch schon woanders (im Netz) gelesen, aber da weiss
ich die Quelle nicht mehr.
Jedenfalls kommt wohl dieser Wert neben der "megalithischen Elle" ==
0.829m recht häufig bei Kultstätten und nicht nur da vor.
Aber das ist ein anderes Thema.

Ja, ... und die alten Ägypter hatten ihre Pyramiden nach einer Karte des
Sternbilds Orion angeordnet, und die Tempelritter hatten auch irgendwelche
esoterischen Baupläne (Umberto Eco: Das Foucault'sche Pendel ...), und
so weiter ...

Grüße
Hermann
--

[ThomasT]

Post by Hermann Kremer
http://www.ruhrig.de/weltwunder.html (dazu no comment vor mir ...)

Hast du es gelesen? oder gibst du nur einen Voreingenommenen Kommentar
dazu ab?

Post by Hermann Kremer
Ja, ... und die alten Ägypter hatten ihre Pyramiden nach einer Karte des
Sternbilds Orion angeordnet, und die Tempelritter hatten auch irgendwelche
esoterischen Baupläne (Umberto Eco: Das Foucault'sche Pendel ...), und
so weiter ...

Hast du 'ne Ahnung...nur weil da das Wort esotherisch Vorkommt muss es
kein Quatsch sein!
Auch wenn ich nicht an Gott glaube, so gibt es dennoch Kirchen. Und -
oh Wunder - die sind Ost-West ausrichtet...

[Jutta Gut]

Post by ThomasT
Auch wenn ich nicht an Gott glaube, so gibt es dennoch Kirchen. Und -
oh Wunder - die sind Ost-West ausrichtet...

Was willst du uns damit sagen? Die Juden schauen beim Beten Richtung
Jerusalem, die Moslems Richtung Mekka und die Christen Richtung Osten,
weil die aufgehende Sonne für sie ein Symbol für den auferstandenen
Christus ist. Deswegen haben sie ihre Kirchen so gebaut. Was ist daran
esoterisch oder geheimnisvoll?

Grüße
Jutta

[Hero]

1, Spekulation:
Durchmesser d ganzzahlig und Kreisfläche F auch:
da hatten wir schon die Näherungswerte. Und die
geometrisch einleuchtende Näherung
d=3 F=7.
Will man jetzt aber F als Quadrat mit ganzzahliger
Seitenlänge, dann gibt es erstmal nur drei
Möglichkeiten:
d=8 F=7*7 (+2%)
d=9 F=8*8 (-0.6%)
d=17 F=15*15 (+1%)
2:Spekulation
Das "Auge des Horus" lehrt das Teilen eines Ganzen in
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64
Das wären 63 Teile.
Die erste Näherung war 7/9 =63/81, also hat die Kreisfläche
63 Teile beim Durchmesser 9.
Nun gibt "Thot das fehlende 64stel" (der Kreisfläche -
Spekulation )
"dem Rechner dazu, der sich unter seinen Schutz stellt"
das wären 64 Teile für eine Kreisfläche bei Durchmesser 9.
(Das scheint mir selbst Science Fiction, könnte aber
Herr Ahnmes und Frau Rhind gefallen).
3. Frage
Pi durch Abrollen eines Rades und Messen, das scheint
mir einfach. Führt aber zur Frage:
Wann erkannte man, daß das Pi des Umfangs (d*Pi) dem Pi der
Fläche (d quadrat * Pi /4)(und des Zylinders) gleich ist ?
(Und dann natürlich das dritte pi der Kugel).
Viel Spaß
Hero

[Jutta Gut]

Post by Hero
Wann erkannte man, daß das Pi des Umfangs (d*Pi) dem Pi der
Fläche (d quadrat * Pi /4)(und des Zylinders) gleich ist ?

Dass die Fläche eines Kreises gleich u*r/2 ist (was auf dasselbe
wie deine Aussage hinausläuft), hat Archimedes bewiesen.

lg
Jutta

[Roland Franzius]

Post by Jutta Gut

Post by Hero
Wann erkannte man, daß das Pi des Umfangs (d*Pi) dem Pi der
Fläche (d quadrat * Pi /4)(und des Zylinders) gleich ist ?

Dass die Fläche eines Kreises gleich u*r/2 ist (was auf dasselbe
wie deine Aussage hinausläuft), hat Archimedes bewiesen.

.. und seit wann weiß man, dass die Kugeloberfläche 4 pi ist? Für mich
erscheint das wie ein seltsamer Zufall: Die Kugeloberfläche ist doppelt
so groß wie die zusammengeklappten beiden Seiten einer Großkreisfläche.

[David Kastrup]

Post by Roland Franzius

Post by Jutta Gut

Post by Hero
Wann erkannte man, daß das Pi des Umfangs (d*Pi) dem Pi der
Fläche (d quadrat * Pi /4)(und des Zylinders) gleich ist ?

Dass die Fläche eines Kreises gleich u*r/2 ist (was auf dasselbe
wie deine Aussage hinausläuft), hat Archimedes bewiesen.

.. und seit wann weiß man, dass die Kugeloberfläche 4 pi ist? Für mich
erscheint das wie ein seltsamer Zufall: Die Kugeloberfläche ist
doppelt so groß wie die zusammengeklappten beiden Seiten einer
Großkreisfläche.

Daß die Oberfläche einer Kugelscheibe der Randfläche aus der
entsprechenden Scheibe einen Zylinders um einen Großkreis entspricht,
weißt Du aber? Und der Zylinder, der um die ganze Kugel steht, hat
eine Höhe von 2 r und einen Umfang von 2 pi r.

[Roland Franzius]

Post by David Kastrup

Post by Roland Franzius

Post by Jutta Gut

Post by Hero
Wann erkannte man, daß das Pi des Umfangs (d*Pi) dem Pi der
Fläche (d quadrat * Pi /4)(und des Zylinders) gleich ist ?

Dass die Fläche eines Kreises gleich u*r/2 ist (was auf dasselbe
wie deine Aussage hinausläuft), hat Archimedes bewiesen.

.. und seit wann weiß man, dass die Kugeloberfläche 4 pi ist? Für mich
erscheint das wie ein seltsamer Zufall: Die Kugeloberfläche ist
doppelt so groß wie die zusammengeklappten beiden Seiten einer
Großkreisfläche.

Daß die Oberfläche einer Kugelscheibe der Randfläche aus der
entsprechenden Scheibe einen Zylinders um einen Großkreis entspricht,
weißt Du aber? Und der Zylinder, der um die ganze Kugel steht, hat
eine Höhe von 2 r und einen Umfang von 2 pi r.

Doch, ich weiss noch einiges mehr über Kugeln und ihre Projektionen.
Meine Frage war, seit wann mans weiss und was der Zusammenhang zwischen
einem kreisförmigen Flachballon und seiner extremal aufgeblasenen Form ist.

[Jutta Gut]

Post by Roland Franzius
.. und seit wann weiß man, dass die Kugeloberfläche 4 pi ist?

Das hat auch Archimedes bewiesen, genauso wie die Formel für das
Kugelvolumen.

Grüße
Jutta

[Hero]

Roland Franzius schreibt:"
.. und seit wann weiß man, dass die Kugeloberfläche 4 pi
ist? Für mich erscheint das wie ein seltsamer Zufall: Die
Kugeloberfläche ist doppelt so groß wie die zusammengeklappten
beiden Seiten einer Großkreisfläche."
Und für mich ist seltsam:
Der Rauminhalt der Kugel nach dem Radius abgeleitet,das gibt
Dir die Oberfläche, und die Kreisfläche nach dem Radius
abgeleitet den Umfang (bzw umgekehrt mit Integration -
bis auf Konstante).
Die Welt ist voller Wunder.
Hero

[Roland Franzius]

Post by Hero
Roland Franzius schreibt:"
.. und seit wann weiß man, dass die Kugeloberfläche 4 pi
ist? Für mich erscheint das wie ein seltsamer Zufall: Die
Kugeloberfläche ist doppelt so groß wie die zusammengeklappten
beiden Seiten einer Großkreisfläche."
Der Rauminhalt der Kugel nach dem Radius abgeleitet,das gibt
Dir die Oberfläche, und die Kreisfläche nach dem Radius
abgeleitet den Umfang (bzw umgekehrt mit Integration -
bis auf Konstante).
Die Welt ist voller Wunder.

Nein, das ist kein Wunder, sondern ein Satz oder eine Definition. Die
Oberfläche oder den Rand eines Gebiets bezeichnet man deshalb auch als
Ableitung des Gebiets: Im Limes Schalendicke gegen 0 das etwas
vergrößerte - das etwas verkleinerte dividiert durch die Schalendicke.
Das ist ein ganz anschaulicher Prozess. Jedenfalls für Physiker.

[Hermann Kremer]

Benno Hartwig schrieb in Nachricht ...

Post by Jutta Gut
Die Zeichnung im Papyrus Rhind zeigt ein dem Kreis umbeschriebenes
Quadrat, das in 9 kleinere Quadrate geteilt ist. In den Eckquadraten
ist die Diagonale eingezeichnet. Dadurch erhält man ein Achteck, das
genauso groß wie der Kreis ist (naja, zumindest für praktische Zwecke.)
Man sieht leicht, dass die Fläche dieses Achtecks 7/9 der Quadratfläche
beträgt.

Eine schön-anschauliche Erklärung dafür, dass so ungefähr gilt: 28/9=pi

OK, die Frage ist nur, wie kam Ahmes gerade auf das 9x9-Netz, warum hat
er kein 8x8-Netz oder 10x10-Netz verwendet?

Gibt es auch eine anschauliche Erklärung für das noch etwas bessere 22/7=pi

Versuche es mal mit einem 14x14-Netz ...

Grüße
Hermann
--

Benno

[Hermann Kremer]

Benno Hartwig schrieb in Nachricht ...

Post by Hermann Kremer
Benno Hartwig schrieb in Nachricht ...

Post by Jutta Gut
Die Zeichnung im Papyrus Rhind zeigt ein dem Kreis umbeschriebenes
Quadrat, das in 9 kleinere Quadrate geteilt ist. In den Eckquadraten
ist die Diagonale eingezeichnet. Dadurch erhält man ein Achteck, das
genauso groß wie der Kreis ist (naja, zumindest für praktische Zwecke.)
Man sieht leicht, dass die Fläche dieses Achtecks 7/9 der Quadratfläche
beträgt.

Eine schön-anschauliche Erklärung dafür, dass so ungefähr gilt: 28/9=pi

OK, die Frage ist nur, wie kam Ahmes gerade auf das 9x9-Netz,

Er nahm doch ein 3x3-Netz (hübsch klein und übersichtlich und
schnibbelte die Ecken ab, indem er die 4 Eckquadrate an der Diagonale
durchschnitt. So blieb ihm eine Figur, die so grob dem Kreis ähnelte
(hier etwas zu wenig, da etwas zu viel)

Stimmt, ich hatte mich irrtümlich auf 9X9-Netz aus
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono/Ahmes.html
bezogen.

Sei r die halbe Kantenlänge des ursprünglichen Quadrates
(und damit der Radius des angenäherten Kreises)
so hat das Restnetz die Fläche 7/9*(r*2)*(2*r)=28/9*r^2

Ja, wenn man die Neuntel abzählt:
Kreisfläche ~= (1/2 + 1 + 1/2) + (1 + 1 + 1) + (1/2 + 1 + 1/2) = 7
Quadratfläche = 9/9
Kreisfläche/Quadratfläche ~= 7/9

wobei der Kreis doch eigentlich die Fläche pi*r^2 hat.
Daher die Näherung pi = 28/9
Eben ausgehend vom 3x3-Netz, nicht von einem 9x9-Netz.

Ja, mit Kreisfläche = (pi/4)*d^2 und Quadratfläche = d^2:

pi ~= 4*(7/9) = 28/9 .

Post by Hermann Kremer

Gibt es auch eine anschauliche Erklärung für das noch etwas bessere 22/7=pi

Hmm, wenn man dafür eine analoge Flächenbetrachtung macht, müßte
pi ~= 22/7 = 4*(u/v) = 4*(11/14)
gelten, und für das Netz brauchte man eine rationale Quadratzahl p/q mit
(p/q)^2 ~= 11/14 , wobei p^2 gleich der genäherten Kreisfläche und
q^2 gleich der Quadratfläche ist; man brauchte also ein qxq-Netz.

Die 22/7 von Archimedes stammen von einer Approximation der Kreisfläche
durch ein reguläres 96-Eck, s. z.B.
http://www.google.com/groups?threadm=cglf3n$dfj$***@online.de
man müßte also dort ansetzen.

Vergiss meine 10- und 14-Netze, das war ziemlicher Unsinn ...

Grüße
Hermann
--

Benno

[Hermann Kremer]

.... wie die Ägypter auf den Näherungwert (16/9)^2 für pi gekommen sind.
Helmut Gericke zitiert verschiedene Erklärungen für diesen Wert
(Mathematik in Antike, Orient und Abendland, S. 55ff.). Am einleuchtendsten
Die Zeichnung im Papyrus Rhind zeigt ein dem Kreis umbeschriebenes
Quadrat, das in 9 kleinere Quadrate geteilt ist. In den Eckquadraten
ist die Diagonale eingezeichnet. Dadurch erhält man ein Achteck, das
genauso groß wie der Kreis ist (naja, zumindest für praktische Zwecke.)
Man sieht leicht, dass die Fläche dieses Achtecks 7/9 der Quadratfläche
beträgt.
Wenn man annimmt, dass die Ägypter die Näherungsformel
(1 - x)^2 ~ 1 - 2x
(d*(1 - 1/9))^2 ~ d^2*7/9 = Achteckfläche ~ Kreisfläche

OK, wenn man wirklich von der Achteck-These ausgeht und annimmt, daß
die Ägypter eine rationale Quadratzahl-Näherung für 7/9 gesucht hatten,
dann ist es m.E. naheliegend und auch der ägyptischen Arithmetik entsprechend,
den Bruch 7/9 = 1/2 + 1/4 + 1/36 so zu erweitern, daß man möglichst nahe
an eine rationale Quadratzahl kommt, und da liegen

7: 7/9 = (7*7)/(7*9) = 49/63 ~ (7/8)^2 ; 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8

und

9: 7/9 = (9*7)/(9*9) = 63/81 ~ (8/9)^2 ; 8/9 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/72

sehr nahe. Sowohl der Bruch 7/8 als auch der Bruch 8/9 könnte den
Ägyptern äußerst sympathisch gewesen sein, da beide in der o.a.
Stammbruch-Darstellungm den Anfang der Horus-Augen-Reihe enthalten.

Warum nun Ahmes gerade 8/9 benutzte, ist m.E. eine sehr spannende
Frage, denn aus einer Zeichnung läßt sich wohl kaum entnehmen, daß

4*(8/9)^2 = 3 + 1/7 + 1/57 + 1/10773 = 3.1605

näher bei pi liegt als

4*(7/8)^2 = 3 + 1/16 = 3.0625 ,

insbesondere, weil die Ägypter den genauen Wert von pi ja nicht kannten ...
Eine mögliche Erklärung könnte sein, daß 8/9 nicht nur die Stammbruch-
Darstellung

8/9 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/72 ,

sondern auch die Stammbruch-Darstellung

8/9 = 1/2 + 1/3 + 1/18

erlaubt - mit allem Vorbehalt.
Man weiß einfach zu wenig über die ägyptische Mathematik ...

Grüße
Hermann
--

Grüße
Jutta

[lin8080]

Post by Hermann Kremer
insbesondere, weil die Ägypter den genauen Wert von pi ja nicht kannten ...

Wer hat denn dann die grosse Pyramide gebaut? Da ist diese Zahl ja ganz
genau drin.

stefan

[Oliver Jennrich]

Post by lin8080

Post by Hermann Kremer
insbesondere, weil die Ägypter den genauen Wert von pi ja nicht kannten ...

Wer hat denn dann die grosse Pyramide gebaut? Da ist diese Zahl ja ganz
genau drin.

Wer hat denn die Räder von Streitwagen gebaut? Da steckt die Zahl auch
drin.

[Hermann Kremer]

Post by lin8080

Post by Hermann Kremer
insbesondere, weil die Ägypter den genauen Wert von pi ja nicht kannten ...

Wer hat denn dann die grosse Pyramide gebaut? Da ist diese Zahl ja ganz
genau drin.

Wie genau ???
Siehe z.B.
http://www.jimloy.com/pseudo/pyramid.htm
und besonders
http://www.jimloy.com/pseudo/pyramid0.htm

Grüße
Hermann
--

Post by lin8080
stefan

[Rainer Rosenthal]

"Hermann Kremer" schrieb

Post by Hermann Kremer
Wie genau ???

Eine kleine neuere Info zum Thema Pi, Kuriosität und Genauigkeit.
Von Jim Buddenhagen:

let a,b be the 99 digit primes
5163118277967408387716741479603593818956406718346286128759935580212882369377
51709944319900868251071
and
1643471591413255051146138446440121651004822232568762738321598597780898398758
93509442524862953510657
respectively. Then a^3 + b^3 is the square of an integer and
a/b = 3.14159265358979323846259..


Ein bisschen sci und ein bisschen Mathematik.

Den ollen Schopi habe ich auch mal zur Hand genommen.
Was der so zum Thema Mathe schreibt könnte drei weitere
Mammut-Threads füllen. Kostprobe:

... sondern man beruft sich auf die reine Anschauung
in der Zeit, das Zählen macht also jeden einzelnen
Satz zum Axiom.

Bo ey.

Und noch einer: ... anschaulich erkannte Nothwendigkeit,
welche der Geometrie ihre grosse Evidenz ertheilt und
auf der im Bewusstseyn eines Jeden die Gewissheit ihrer
Sätze beruht: keineswegs ist es der auf Stelzen einher-
schreitende logische Beweis, welcher, der Sache immer
fremd, meistens bald vergessen wird, ohne Nachtheil der
Überzeugung, und ganz wegfallen könnte, ohne dass die
Evidenz der Geometrie dadurch vermindert würde, da sie
ganz unabhängig von ihm ist und er immer nur Das beweist,
wovon man schon vorher, durch eine andere Erkenntnisart,
völlige Überzeugung hat: insofern gleicht er einem feigen
Soldaten, der dem von andern erschlagenen Feinde noch
eine Wunde versetzt, und sich dann rühmt, ihn erlegt
zu haben.

Bla bla ... würde mich interessieren, wie er den Satz
von Napoleon "gewiss sieht" oder den Satz von Morley.
Na ja, wenn man nur einfache Dinge betrachtet, ist halt
auch alles einfach erklärbar :-))

Gruss,
Rainer

[lin8080]

Post by Hermann Kremer

Post by lin8080

Post by Hermann Kremer
insbesondere, weil die Ägypter den genauen Wert von pi ja nicht kannten ...

Wer hat denn dann die grosse Pyramide gebaut? Da ist diese Zahl ja ganz
genau drin.

Wie genau ???
Siehe z.B.
http://www.jimloy.com/pseudo/pyramid.htm
und besonders
http://www.jimloy.com/pseudo/pyramid0.htm

Jetzt hab ich diese Seiten mal gelesen. Ich bin geneigt, den Autor als
oberflächlich einzustufen. Ein Pyrologe, wie man so sagt.

Nun, wie genau. 2 mal die Länge der Grundkante / durch die Höhe = pi. So
liest man das.

Es gibt nun allerlei Zahlen für diese Grundkante, nachmessen kann man
das nicht mehr, weil die Ecken abgeschlagen wurden, kaum das man sie vom
Schutt befreit hat. Ebenso ist es mit der Höhe, genaue Zahlen fehlen
einfach, oder man bekommt gleich ein ganze Hand davon angeboten.

Die Grundkante hat tatsächlich 3 verschiedene Werte. Einmal ist es die
Entfernung von einer Ecke zur anderen (Luftlinie). 230,35m wird genannt.
Zum anderen zeigen Luftaufnahmen, das die Seitenflächen einen Knick
haben, also gibt es eine weitere Lönge, die theoretische, eben die mit
dem Knick. Man hat dann bemerkt, dass man diese Seite am Boden nicht
findet, weil dort ein Stück gerade gebaut wurde. Vorzustellen wie ein
sehr flaches Trapez. Diese tatsächlich mit dem Massband abmessbare
Seitenlänge wäre die 3. Zahl als Länge.

Nun gibt es aber Leute, die sagen, man müsste die Fundamente der
Pyramide als ausschlaggebend nehmen. Es gibt rund um die Pyramide eine
ebene Terasse, wo man wohl den Schatten des Bauwerkes beobachtet hatte
(Sonnenuhr) und diese Ebene liegt etwa 60 cm über den eigentlichechen
Fundamenten der Pyramiede.

Also wiederholt sich das Spiel mit den 3 Längen an den Fundamenten (da
wo der unterste Stein auf dem gewachsenen Fels aufliegt).

Man hat ähnliche Verhältnisse mit der Höhe des Bauwerks. Nur kommt da
hinzu, das manche sagen, ganz oben wär noch was ganz Besonderes
draufgewesen, was dann eine gewünschte Höhe erklärt.

Wie genau ist es denn nun erwünscht? Zahlen reichen von 230m bis 235m
bzw von 145m bis 184m, je nachdem.

Um das zu klären muss man weiter ausholen, man müsste dann allerdings
zugeben können, dass die Pyramiden Erbauer um Klassen besser waren als
die Besten heute sind, weil die heutigen könnten sowas ja nicht bauen.
Und wie man weiss kann das ja gar nicht sein. Also ...

Es bleibt dann noch allgemeines aus den Schriften: Verhältnis Höhe zu
Grundfläche entspricht Radius zu Umfang. Oder Fläche der 4 Seiten = Höhe
im Quadrat. Damit kann man rechnen und bekommt Werte. Allerdings
empfielt es sich, alte ägyptische Masseinheiten zu verwenden, dann gehen
alle Berechnungen wunderbar ganzzahlig auf (ohne Kommastellen). Nur das
ist eine andere Geshichte (vergleichbar mit Seitenlänge hoch 2). Wenns
intressiert, hier fragen, dann such ich mal meine Zettel durch (kann
aber dauern).

stefan

[Jutta Gut]

Post by lin8080
Wie genau ist es denn nun erwünscht? Zahlen reichen von 230m bis 235m
bzw von 145m bis 184m, je nachdem.

Merkst du nicht, dass du genau damit beweist, wie haltlos die Argumente
der "Pyramidologen" sind? Wenn die Seitenlänge irgendein Wert zwischen
230 und 235 sein kann und die Höhe irgendwas zwischen 145 und 184, dann
kann man natürlich immer passende Zahlen finden, so dass das Verhältnis
pi ergibt. Nur beweist das dann gar nichts. Es ist kein Kunststück, die
Daten so zurechtzurücken, dass man das gewünschte ERgebnis erhält.

Ich habe neulich ein Buch gelesen (ich glaube, es war "Der Hund, der
Eier legt"), in dem der Autor in den Maßen eines Zeitungskiosks alle
möglichen Naturkonstanten und historischen Daten "gefunden" hat :-)
Wenn man genug Daten hat und dann noch passend rundet, kann man alles
finden, was man will.

Grüße
Jutta

[ThomasT]

Post by Jutta Gut
Ich habe neulich ein Buch gelesen (ich glaube, es war "Der Hund, der
Eier legt"), in dem der Autor in den Maßen eines Zeitungskiosks alle
möglichen Naturkonstanten und historischen Daten "gefunden" hat :-)
Wenn man genug Daten hat und dann noch passend rundet, kann man alles
finden, was man will.

Dieses Prinzip beruht aber darauf, dass man tatsächlich sehr viele
Möglichkeiten hat, irgendwas zu interpretieren und so auch runde oder
esotherische Werte bzw. Bilder herausgelesen werden können.

Wenn man aber nur wenige Werte hat und die ungefähr stimmen und noch
etwas anderes ungefähr stimmt, dann ist die Signifikanz meines
Erachstens u.U. ausreichend.

Wenn behauptet wird, dass die Pyramiden nicht die Gürtelsterne des
Orions darstellen und man dieses Prinzip dadurch lächerlich machen
will, wenn man zeigt, dass auch in Städten wie Köln man einen Orion
finden kann, dann funktioniert dass nur, wenn man auch beliebiges
anderes in Köln gleichzeitig erkennen kann. Z.B. ebenso das Sternbild
grosser Wagen etc.

Viele Maße leiten sich tatsächlich indirekt auseinander her. Und auch
der Kiosk hat Maße die rund sind oder irgendwo abgetragen worden. Die
einfachen mathematischen Verhältnisse findet man _logischerweise_ auch
dort.
So wie _eventuell_ die Kirchen in Köln tatsächlich einen Orion formen.
(in manchen Städten tun das die Kirchen nämlich! ->Urbanoglyphe)

Bach hat aus seinem Namen ein Musikstück komponiert mit den Tönen
B-A-C-H.
Warum soll nicht irgendwas anderes auch solche "Verschlüsselungen"
enthalten.
Einfach aus Spass oder weil man ja irgendeinen Wert braucht.

Im Gegenteil: wenn die Pyramiden nicht den ein oder anderen runden
Wert (nicht nur volle Zehner sondern auch astrologisch Zahlen und
Naturkonstanten) enthalten würden, würde mich das sehr wundern!
Das ist doch eigl. trivial und gar nicht geheimnisvoll.

[Hermann Kremer]

Post by ThomasT

Post by Jutta Gut
Ich habe neulich ein Buch gelesen (ich glaube, es war "Der Hund, der
Eier legt"), in dem der Autor in den Maßen eines Zeitungskiosks alle
möglichen Naturkonstanten und historischen Daten "gefunden" hat :-)
Wenn man genug Daten hat und dann noch passend rundet, kann man alles
finden, was man will.

Dieses Prinzip beruht aber darauf, dass man tatsächlich sehr viele
Möglichkeiten hat, irgendwas zu interpretieren und so auch runde oder
esotherische Werte bzw. Bilder herausgelesen werden können.
Wenn man aber nur wenige Werte hat und die ungefähr stimmen und noch
etwas anderes ungefähr stimmt, dann ist die Signifikanz meines
Erachstens u.U. ausreichend.

Nö, leider nicht ...

Post by ThomasT
Wenn behauptet wird, dass die Pyramiden nicht die Gürtelsterne des
Orions darstellen

... so wie sie ca. 10500 v. Chr. orientiert waren ...
http://www.zdf.de/ZDFde/inhalt/9/0,1872,2021961,00.html
http://www.zdf.de/ZDFde/inhalt/19/0,1872,2021971,00.html

Post by ThomasT
und man dieses Prinzip dadurch lächerlich machen
will, wenn man zeigt, dass auch in Städten wie Köln man einen Orion
finden kann,

Nicht nur dadurch ...
http://www.quarks.de/dyn/2240.phtml
http://www.quarks.de/pyramiden/09.htm
... sondern auch z.B. ...
http://www.doernenburg.alien.de/alternativ/orion/ori00.php

[ .. ]

Post by ThomasT
Im Gegenteil: wenn die Pyramiden nicht den ein oder anderen runden
Wert (nicht nur volle Zehner sondern auch astrologisch Zahlen und
Naturkonstanten) enthalten würden, würde mich das sehr wundern!
Das ist doch eigl. trivial und gar nicht geheimnisvoll.

Eben ...

Grüße
Hermann
--

[Hermann Kremer]

Post by Jutta Gut

Post by lin8080
Wie genau ist es denn nun erwünscht? Zahlen reichen von 230m bis 235m
bzw von 145m bis 184m, je nachdem.

Merkst du nicht, dass du genau damit beweist, wie haltlos die Argumente
der "Pyramidologen" sind? Wenn die Seitenlänge irgendein Wert zwischen
230 und 235 sein kann und die Höhe irgendwas zwischen 145 und 184, dann
kann man natürlich immer passende Zahlen finden, so dass das Verhältnis
pi ergibt. Nur beweist das dann gar nichts. Es ist kein Kunststück, die
Daten so zurechtzurücken, dass man das gewünschte ERgebnis erhält.
Ich habe neulich ein Buch gelesen (ich glaube, es war "Der Hund, der
Eier legt"), in dem der Autor in den Maßen eines Zeitungskiosks alle
möglichen Naturkonstanten und historischen Daten "gefunden" hat :-)

Geradezu klassisch und mit direktem Bezug auf die Pyramidologen:
Umberto Eco: Das Foucault'sche Pendel. S. 334 ff.

Post by Jutta Gut
Wenn man genug Daten hat und dann noch passend rundet, kann man alles
finden, was man will.

Grüße
Hermann
--

Post by Jutta Gut
Grüße
Jutta

[Jutta Gut]

Post by Hermann Kremer
Jutta Gut schrieb

Post by Jutta Gut
Ich habe neulich ein Buch gelesen (ich glaube, es war "Der Hund, der
Eier legt"), in dem der Autor in den Maßen eines Zeitungskiosks alle
möglichen Naturkonstanten und historischen Daten "gefunden" hat :-)

Umberto Eco: Das Foucault'sche Pendel. S. 334 ff.

Genau, das war's. Dann war es in "Der Hund, der Eier legt" ein
Spaghettischöpfer :-)

Grüße
Jutta